Méthodes Numériques I Algorithmique numérique François Cuvelier

(1)

Méthodes Numériques I

Algorithmique numérique

François Cuvelier

Laboratoire d’Analyse Géométrie et Applications Institut Galilée

Université Paris XIII.

6 avril 2016

6 avril 2016 1 / 14

(2)

Plan

1

Polynômes d’interpolation de Lagrange

2

Dérivation numérique

3

Intégration numérique

4

Résolution de systèmes linéaires Matrices particulières

Matrices diagonales

Matrices triangulaires inférieures Matrices triangulaires supérieures

Méthode de Gauss-Jordan

(3)

Plan

1

Polynômes d’interpolation de Lagrange

2

Dérivation numérique

3

Intégration numérique

4

Résolution de systèmes linéaires Matrices particulières

Matrices diagonales

Méthode de Gauss-Jordan

Dérivation numérique 6 avril 2016 3 / 14

(4)

Plan

1

Polynômes d’interpolation de Lagrange

2

Dérivation numérique

3

Intégration numérique

4

Résolution de systèmes linéaires Matrices particulières

Matrices diagonales

Méthode de Gauss-Jordan

(5)

Plan

1

Polynômes d’interpolation de Lagrange

2

Dérivation numérique

3

Intégration numérique

4

Résolution de systèmes linéaires Matrices particulières

Matrices diagonales

Méthode de Gauss-Jordan

Résolution de systèmes linéaires 6 avril 2016 5 / 14

(6)

Système diagonal

Soit

A

P

M_n

pKq diagonale inversible et b b b P

Kⁿ

.

x

_i

“ b

_i

{A

_i,i

, @i P v1, nw. (1)

Algorithme 1 FonctionRSLMATDIAG permettant de résoudre le sys- tème linéaire à matrice diagonale inversible

Axxx“bbb.

Données : A : matrice diagonale deM_npRqinversible.

bbb : vecteur deRⁿ. Résultat : xxx : vecteur deRⁿ.

1: FonctionxxxÐRSLMATDIAG(A,bbb) 2: PouriÐ1ànfaire

3: xpiq Ðbpiq{Api,iq 4: Fin Pour

5: Fin Fonction

(7)

Système triangulaire inférieur

Soit

A

P

M_n

pKq triangulaire inférieure inversible (A

_i,j

“ 0 si i ă j)

Ax

x x “ b b b ðñ

¨

˚

˝

A

_1,1

0 . . . 0

.. . . .. ... .. . .. . . .. 0 A

_n,1

. . . . . . A

_n,n

˛

‹

‚

¨

˚

˝ x

₁

.. . .. . x

_n

˛

‹

‚

“

¨

˚

˝ b

₁

.. . .. . b

_n

˛

‹

‚

A

inversible ðñ

A

_i,i

‰ 0, @ i P v 1, n w

Soit i P v1, nw, pAx x x q

i

“ b

_i

, ðñ

n

ÿ

j“1

A

_i,j

x

_j

“ b

_i

.

b

_i

“

i´1

ÿ

j“1

A

_i,j

x

_j

` A

_i,i

x

_i

`

n

ÿ

j“i`1

A

_i,j

lo omo on

“0

x

_j

“

i´1

ÿ

j“1

A

_i,j

x

_j

` A

_i,i

x

_i

x

_i

“ 1 A

_i,i

¨

˝ b

_i

´

i´1

ÿ

j“1

A

_i,j

x

_j

˛

‚ , @i P v1, nw. (2)

Résolution de systèmes linéaires Matrices particulières 6 avril 2016 7 / 14

(8)

Système triangulaire inférieur

Soit

A

P

M_n

pKq triangulaire inférieure inversible (A

_i,j

“ 0 si i ă j)

Ax

x x “ b b b ðñ

¨

˚

˝

A

_1,1

0 . . . 0

.. . . .. ... .. . .. . . .. 0 A

_n,1

. . . . . . A

_n,n

˛

‹

‚

¨

˚

˝ x

₁

.. . .. . x

_n

˛

‹

‚

“

¨

˚

˝ b

₁

.. . .. . b

_n

˛

‹

‚

A

inversible ðñ A

_i,i

‰ 0, @ i P v 1, n w

Soit i P v1, nw, pAx x x q

i

“ b

_i

, ðñ

n

ÿ

j“1

A

_i,j

x

_j

“ b

_i

.

b

_i

“

i´1

ÿ

j“1

A

_i,j

x

_j

` A

_i,i

x

_i

`

n

ÿ

j“i`1

A

_i,j

lo omo on

“0

x

_j

“

i´1

ÿ

j“1

A

_i,j

x

_j

` A

_i,i

x

_i

x

_i

“ 1 A

_i,i

¨

˝ b

_i

´

i´1

ÿ

j“1

A

_i,j

x

_j

˛

‚ , @i P v1, nw. (2)

(9)

Système triangulaire inférieur

Soit

A

P

M_n

pKq triangulaire inférieure inversible (A

_i,j “0 siiăj)

Ax

x x “ b b b ðñ

¨

˚

˝

A

_1,1

0 . . . 0

.. . . .. ... .. . .. . . .. 0 A

_n,1

. . . . . . A

_n,n

˛

‹

‚

¨

˚

˝ x

₁

.. . .. . x

_n

˛

‹

‚

“

¨

˚

˝ b

₁

.. . .. . b

_n

˛

‹

‚

A

inversible ðñ A

_i,i

‰ 0, @ i P v 1, n w

Soit i P v1, nw, pAx x x q

i

“ b

_i

, ðñ

n

ÿ

j“1

A

_i,j

x

_j

“ b

_i

.

b

_i

“

i´1

ÿ

j“1

A

_i,j

x

_j

` A

_i,i

x

_i

`

n

ÿ

j“i`1

A

_i,j

lo omo on

“0

x

_j

“

i´1

ÿ

j“1

A

_i,j

x

_j

` A

_i,i

x

_i

x

_i

“ 1 A

_i,i

¨

˝b

_i

´

i´1

ÿ

j“1

A

_i,j

x

_j

˛

‚, @i P v1, nw. (2)

(10)

x

_i

“ 1 A

_i,i

¨

˝b

_i

´

i´1

ÿ

j“1

A

_i,j

x

_j

˛

‚ , @ i P v 1, n w.

Algorithme 2 R₀

1: RésoudreAxxx“bbben calculant successivementx1, x2, . . . ,xn.

Algorithme 2 R₁ 1: PouriÐ1ànfaire

2: xiÐ 1

A_i,i

¨

˝bi´

i´1

ÿ

j“1

Ai,jxj

˛

‚ 3: Fin Pour

(11)

x

_i

“ 1 A

_i,i

¨

˝ b

_i

´

i´1

ÿ

j“1

A

_i,j

x

_j

˛

‚ , @i P v1, nw.

Algorithme 2 R₁

1: PouriÐ1ànfaire

2: xi Ð 1

Ai,i

¨

˝bi´

i´1

ÿ

j“1

Ai,jxj

˛

‚

3: Fin Pour

Algorithme 2 R₂

2: SÐ

i´1

ÿ

j“1

Ai,jxj

3: x_iÐ pb_i´Sq{A_i,i

4: Fin Pour

(12)

x

_i

“ 1 A

_i,i

¨

˝b

_i

´

i´1

ÿ

j“1

A

_i,j

x

_j

˛

‚ , @i P v1, nw.

Algorithme 2 R₃

2: SÐ

i´1

ÿ

j“1

A_i_,jx_j

3: xi Ð pb_i´Sq{A_i_,i

4: Fin Pour

Algorithme 2 R₄

2: SÐ0

3: PourjÐ1ài´1faire

4: SÐS`Api,jq ˚xpjq

5: Fin Pour

6: xiÐ pbi´Sq{Ai,i

7: Fin Pour

(13)

x

_i

“ 1 A

_i,i

¨

˝ b

_i

´

i´1

ÿ

j“1

A

_i,j

x

_j

˛

‚ , @i P v1, nw.

Algorithme 2FonctionRSLTRIINF permettant de résoudre le système linéaire triangulaire inférieur inversible

Axxx“bbb.

Données : A : matrice triangulaire deM_npKqinférieure inversible.

bbb : vecteur deKⁿ. Résultat : xxx : vecteur deKⁿ.

1: FonctionxxxÐRSLTRIINF(A,bbb)

3: SÐ0

4: PourjÐ1ài´1faire

5: SÐS`Api,jq ˚xpjq

6: Fin Pour

7: xpiq Ð pbpiq ´Sq{Api,iq

8: Fin Pour

9: Fin Fonction

(14)

Système triangulaire supérieur

Soit

A

P

M_n

pKq triangulaire supérieure inversible (A

_i,j

“ 0 si i ă j)

Ax

x x “ b b b ðñ

¨

˚

˝

A

_1,1

. . . . . . A

_1,n

0 . .. .. .

.. . . .. ... .. .

0 . . . 0 A

_n,n

˛

‹

‚

¨

˚

˝ x

₁

.. . .. . x

_n

˛

‹

‚

“

¨

˚

˝ b

₁

.. . .. . b

_n

˛

‹

‚

Exercise 1

Ecrire la fonction

RSLTRISUP

permettant de résoudre le système

triangulaire supérieure

Ax

x x “ b b b.

(15)

Algorithme de Gauss-Jordan

Ax

x x “ b b b ðñ

Ux

x x “ fff où

U

matrice triangulaire supérieure.

Opérations élémentaires sur les matrices :

‚ L_i

Ø

L_j

permutation lignes i et j

‚ L_i

Ð

L_i

` αL

_j

combinaison linéaire

A l’aide d’opérations élémentaires, on va transformer successivement en n ´ 1 étapes le système. A l’étape k , on va s’arranger pour annuler les termes sous-diagonaux de la colonne k de la matrice sans modifier les k ´ 1 premières colonnes.

Résolution de systèmes linéaires Méthode de Gauss-Jordan 6 avril 2016 10 / 14

(16)

¨

˚

˝

‚ ‚ ¨ ¨ ¨ ‚ ‚ ¨ ¨ ¨ ‚ 0 . .. . .. ... ... ... ... . .. . .. ‚ ... ...

0 . . . 0 ‚ ‚ ¨ ¨ ¨ ‚

0 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ 0 ‚ ¨ ¨ ¨ ‚ ... ... ... ...

0 . . . . . . 0 ‚ ¨ ¨ ¨ ‚

˛

‹

‚ x x x=

¨

˚

˝

‚ ...

‚

‚ ...

‚

˛

‹

‚ k´1

Etape k

ðñ

¨

˚

˝

‚ ‚ ¨ ¨ ¨ ‚ ‚ ¨ ¨ ¨ ‚ 0 . .. . .. ... ... ... ... . .. . .. ‚ ... ...

0 . . . 0 ‚ ‚ ¨ ¨ ¨ ‚

0 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ 0 ‚ ¨ ¨ ¨ ‚ ... ... ... ...

0 . . . . . . 0 ‚ ¨ ¨ ¨ ‚

˛

‹

‚ x xx=

¨

˚

˝

‚ ...

‚

‚ ...

‚

˛

‹

‚ k

(17)

Algorithme 3

Algorithme de Gauss-Jordan formel pour la résolution de

Ax

x x “ b b b

1: Pour

j Ð 1

à

n ´ 1

faire

2:

Rechercher l’indice k de la ligne du pivot (sur la colonne j, k P vj, nw)

3:

Permuter les lignes j (L

_j

) et k (L

_k

) du système si besoin.

4: Pour

i Ð j ` 1

à

n

faire

5:

Eliminer en effectuant

L_i

Ð

L_i

´

^A_A^i,j

j,jL_j

6: Fin Pour

7: Fin Pour

8:

Résoudre le système triangulaire supérieur par la méthode de la remontée.

(18)

Algorithme 4Algorithme de Gauss-Jordan avec fonctions pour la résolution deAxxx“bbb

Données : A : matrice deM_npKqinversible.

bbb : vecteur deKⁿ. Résultat : xxx : vecteur deRⁿ.

1: FonctionxxxÐRSLGAUSS(A,bbb)

2: PourjÐ1àn´1faire

3: kÐ CHERCHEINDPIVOT pA,jq Źà écrire

4: rA,bbbs Ð PERMLIGNESSYS pA,bbb,j,kq Źà écrire

5: PouriÐj`1ànfaire

6: rA,bbbs Ð COMBLIGNESSYS pA,bbb,j,i,´Api,jq{Apj,jqq Źà écrire

7: Fin Pour

8: Fin Pour

9: xxxÐRSLTRISUPpA,bbbq Źdéjà écrite

10: Fin Fonction

(19)

Algorithme 5Recherche d’un pivot pour l’algorithme de Gauss-Jordan.

Données : A : matrice deMnpKq.

j : entier, 1ďjďn.

Résultat : k : entier, indice ligne pivot

1:FonctionkÐCHERCHEINDPIVOT(A,j) 2: kÐj,pivotÐ |Apj,jq|

3: PouriÐj`1ànfaire 4: Si|Api,jq| ąpivotalors

5: kÐi

6: pivotÐ |Api,jq|

7: Fin Si 8: Fin Pour 9:Fin Fonction

Algorithme 6Permutte deux lignes d’une matrice et d’un vecteur.

Données : A : matrice deMnpKq.

b b

b : vecteur deKⁿ. j,k : entiers, 1ďj,kďn.

Résultat : Aetbbbmodifiés.

1:FonctionrA,bbbs ÐPERMLIGNESSYS(A,bbb,j,k) 2: PourlÐ1ànfaire

3: tÐApj,lq 4: Apj,lq ÐApk,lq 5: Apk,lq Ðt 6: Fin Pour

7: tÐbbbpjq,bbbpjq Ðbbbpkq,bbbpkq Ðt 8:Fin Fonction

Algorithme 7Combinaison linéaireL_iÐL_i`αL_jappli- qué à une matrice et à un vecteur.

Données : A : matrice deM_npKq.

b

bb : vecteur deKⁿ. j,i : entiers, 1ďj,iďn.

alpha : scalaire deK Résultat : Aetbbbmodifiés.

1:FonctionrA,bbbs ÐCOMBLIGNESSYS(A,bbb,j,i, α) 2: PourkÐ1ànfaire

3: Api,kq ÐApi,kq `α˚Apj,kq 4: Fin Pour

5: bbbpiq Ðbbbpiq `αbbbpjq 6:Fin Fonction

(20)

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