Méthodes Numériques I Algorithmique numérique François Cuvelier

Méthodes Numériques I

Algorithmique numérique

François Cuvelier

Laboratoire d’Analyse Géométrie et Applications Institut Galilée

Université Paris XIII.

2 avril 2015

Plan

1 Polynômes d’interpolation de Lagrange

2 Dérivation numérique

3 Intégration numérique Méthodes simplistes

Méthodes de Newton-Cotes Méthodes composites Autres méthodes Intégrales multiples

4 Résolution de systèmes linéaires Vecteurs

Matrices

Factorisation LU

Factorisation de Cholesky

Définition

Définition

SoientnPN^˚ etpxi,yiqiPv0,nwavecpxi,yiq PR²et lesxi distincts deux à deux. Lepolynôme d’interpolation de Lagrangeassocié auxn`1 pointspxi,yiq_iPv0,nw,notéP_n,est donné par

P_nptq “

n

ÿ

i“0

y_iL_iptq, @tPR (1)

avec

Liptq “

n

ź

j“0 j‰i

t´xj

xi´xj

, @i P v0,nw, @tPR. (2)

Théorème

Théorème

Lepolynôme d’interpolation de Lagrange,P_n,associé aux n`1 pointspxi,yiq_iPv0,nw,est l’unique polynôme de degré au plus n,vérifiant

P_npxiq “yi, @iP v0,nw. (3)

Exemple

A titre d’exemple, on représente, En figure 1, le polynôme d’interpolation de Lagrange associé à 7 points donnés.

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

t

y

y=P₆(t) 7 Points (x_i,y_i)

FIGURE:Polynôme d’interpolation de Lagrange avec 7 points donnés)

Exercices

Exercice

Ecrire la fonctionLAGRANGEpermettant de calculerP_n(polynôme d’interpolation de Lagrange associé aux n`1pointspxi,yiq_iPv0,nw) au point x PR.

Exercice

SoitP_n le polynôme d’interpolation de Lagrange associé aux n`1 pointspxi,yiq_iPv0,nw et XXX un vecteur deR^m.

1 Ecrire la fonctionLAGRANGEVECpermettant de calculer le vecteur YYY PR^mtel que

Yi “P_npXiq, @iP v1,mw.

2 Evaluer le coût arithmétique de la fonctionLAGRANGEVECen fonction de n et m.

Exercices

Exercice

Soient nPN^˚ etpa,bq PR²avec aăb.On note XXX “ pX1, . . . ,X<sub>n`1</sub>qla dicrétisation régulière de l’intervallera,bsavec n`1points et

Y Y

Y PR<sup>n`1</sup>tel que Yi “fpXiq, @iP v1,n`1w.

Ecrire un programme permettant de représenter graphiquement f et P_n(polynôme d’interpolation de Lagrange associé aux n`1points pXi,Yiq_iPv0,nw) sur l’intervallera,bs.

On utilisera pour celà la fonctionPLOT dont la syntaxe est ^{P L O T}(x,y) oùxetysont des vecteurs deR^k.Cette fonction relie successivement les points(x(j),y(j)), pour j allant de 1 à k, par des segments.

Erreur de l’interpolation

Soit une fonctionf :ra,bs ÝÑR.On suppose que lesyi sont donnés par

yi “fpxiq, @iP v0,nw. (4) On cherche à évaluer l’erreurEnptq “fptq ´P_nptq.

Erreur de l’interpolation

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

t

y

y=f(t)=sin(t) y=P₆(t) 7 Points (x_i,y_i)

-6 -4 -2 0 2 4 6

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

y

y=f(t)=1/(1+t²) y=P₆(t) 7 Points (x_i,y_i)

FIGURE:Erreurs d’interpolation avecn“6

Erreur de l’interpolation

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

y

y=f(t)=sin(t) y=P₁₀(t) 11 Points (x_i,y_i)

-6 -4 -2 0 2 4 6

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

y

y=f(t)=1/(1+t²) y=P₁₀(t) 11 Points (x_i,y_i)

FIGURE:Erreurs d’interpolation avecn“10

Erreur de l’interpolation

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

y

y=f(t)=sin(t) y=P₁₈(t) 19 Points (x_i,y_i)

-6 -4 -2 0 2 4 6

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

y

y=f(t)=1/(1+t²) y=P₁₈(t) 19 Points (x_i,y_i)

FIGURE:Erreurs d’interpolation avecn“18

Erreur de l’interpolation

Théorème (Cauchy, 1840)

Soit f :ra,bs ÝÑR,une fonctionpn`1q-fois différentiable et soitP_nptq le polynôme d’interpolation de degré n passant par

pxi,fpxiqq, @i P v0,nw.Alors,@tP ra,bs, Dξt P pmin_iPv0,nwpxi,tq,max_iPv0,nwpxi,tqq,

fptq ´P_nptq “ f<sup>pn`1q</sup>pξtq pn`1q!

n

ź

i“0

pt´xiq (5)

Points de Chebyshev

Pour minimiser l’erreur commise lors de l’interpolation d’une fonctionf par un polynôme d’interpolation de Lagrange, on peut, pour unn donné, "jouer" sur le choix des pointsxi :

Trouverp¯x_iqⁿ_i“0,x_i P ra,bs,distincts deux à deux, tels que

tPra,bsmax

n

ź

i“0

|t´x¯i| ď max

tPra,bs n

ź

i“0

|t´xi|, @pxiqⁿ_i“0, xi P ra,bs, distincts 2 à 2 (6)

Points de Chebyshev

Théorème

Les points réalisant (6) sont les points de Chebyshev donnés par

¯

xi “ a`b

2 `b´a

2 cospp2i`1qπ

2n`2 q, @i P v0,nw. (7)

Points de Chebyshev

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

t

y

Points de Chebyshev

y=f(t)=sin(t) y=P6(t) 7 Points (x_i,y_i)

-6 -4 -2 0 2 4 6

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

y

Points de Chebyshev

y=f(t)=1/(1+t²) y=P₆(t) 7 Points (xi,yi)

FIGURE:Erreurs d’interpolation avecn“6

Points de Chebyshev

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

t

y

Points de Chebyshev

y=f(t)=sin(t) y=P10(t) 11 Points (x_i,y_i)

-6 -4 -2 0 2 4 6

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

y

Points de Chebyshev

y=f(t)=1/(1+t²) y=P₁₀(t) 11 Points (x_i,y_i)

FIGURE:Erreurs d’interpolation avecn“10

Points de Chebyshev

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

y

Points de Chebyshev

y=f(t)=sin(t) y=P18(t) 19 Points (x_i,y_i)

-6 -4 -2 0 2 4 6

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

y

Points de Chebyshev

y=f(t)=1/(1+t²) y=P₁₈(t) 19 Points (x_i,y_i)

FIGURE:Erreurs d’interpolation avecn“18

Plan

1 Polynômes d’interpolation de Lagrange

2 Dérivation numérique

3 Intégration numérique Méthodes simplistes

Méthodes de Newton-Cotes Méthodes composites Autres méthodes Intégrales multiples

4 Résolution de systèmes linéaires Vecteurs

Matrices

Factorisation LU

Factorisation de Cholesky

Dérivée

On propose de chercher une approximation de la dérivée première de f en un pointx¯Psa,br.

Définition

Une fonctionf définie sur un intervallera,bsest dérivable en un point

¯

x Psa,brsi la limite suivante existe et est finie f¹p¯xq “lim_hÑ01

hpfp¯x`hq ´fp¯xq (8)

Premières approximations

différence finie progressive :

f¹p¯xq « fp¯x`hq ´fp¯xq

h (9)

différence finie rétrograde :

f¹p¯xq « fp¯xq ´fp¯x´hq

h (10)

Estimation d’erreur

Théorème (Taylor-Lagrange)

On suppose que f PC<sup>n`1</sup>sur I.Alors, pour tout hPRtel quex¯`h appartienne à I, il existeθhPs0,1rtel que l’on ait

fp¯x`hq “

n

ÿ

k“0

h^k

k!f^pkqp¯xq ` h<sup>n`1</sup>

pn`1q!f<sup>pn`1q</sup>p¯x`θhhq (11)

Estimation d’erreur

Soithą0.Sif PC²psa,brq,alorsDξ`Ps¯x,x¯`hr,Dξ´Ps¯x´h,x¯r,tel que fp¯x`hq ´fp¯xq

h “ f¹p¯xq `h

2f^p2qpξ`q (12) fp¯xq ´fp¯x´hq

h “ f¹p¯xq ´h

2f^p2qpξ_´q (13)

Estimation d’erreur

Soithą0.Sif PC²psa,brq,alorsDξ`Ps¯x,x¯`hr,Dξ´Ps¯x´h,x¯r,tel que fp¯x`hq ´fp¯xq

h “ f¹p¯xq `h¹

2 f^p2qpξ`q (12) fp¯xq ´fp¯x´hq

h “ f¹p¯xq ´h¹

2 f^p2qpξ´q (13) Ces formules sont des approximations d’ordre1def¹p¯xqpar rapport àh.

Estimation d’erreur

Soithą0.Sif PC²psa,brq,alorsDξ`Ps¯x,x¯`hr,Dξ´Ps¯x´h,x¯r,tel que fp¯x`hq ´fp¯xq

h “ f¹p¯xq `h¹

2 f^p2qpξ`q (12) fp¯xq ´fp¯x´hq

h “ f¹p¯xq ´h¹

2 f^p2qpξ´q (13) Ces formules sont des approximations d’ordre1def¹p¯xqpar rapport àh.

On peut aussi obtenir ces formules en dérivant les polynômes d’interpolation associés aux pointst¯x,¯x`huett¯x´h,x¯u.

Exercice 1

Exercice

On note xi “a`ih,iP v0,nw,une discrétisation régulière de l’intervallera,bs.Soit une fonction f :ra,bs ÝÑRsuffisament régulière. On suppose que les yi sont donnés par

yi “fpxiq, @iP v0,nw. (14) Ecrire une fonction DERIVE1 permettant de calculer des

approximations d’ordre 1 de f¹pxiqpour i P v0,nw.

Ordre 2

Pour obtenir une formule d’approximation d’ordre 2 def¹p¯xq,on supposef PC³psa,brqet on peut alors développer les formules de Taylor defp¯x`hqetfp¯x ´hqjusqu’au troisième ordre.

Ordre 2

Pour obtenir une formule d’approximation d’ordre 2 def¹p¯xq,on supposef PC³psa,brqet on peut alors développer les formules de Taylor defp¯x`hqetfp¯x ´hqjusqu’au troisième ordre.

On obtient alors

f¹p¯xq “ fp¯x`hq ´fp¯x´hq

2h ` Oph²q. (15)

Ordre 2

Pour obtenir une formule d’approximation d’ordre 2 def¹p¯xq,on supposef PC³psa,brqet on peut alors développer les formules de Taylor defp¯x`hqetfp¯x ´hqjusqu’au troisième ordre.

On obtient alors

f¹p¯xq “ fp¯x`hq ´fp¯x´hq

2h ` Oph²q. (15)

Cette approximation est la formule desdifférences finies centrées.

Ordre 2

Pour obtenir une formule d’approximation d’ordre 2 def¹p¯xq,on supposef PC³psa,brqet on peut alors développer les formules de Taylor defp¯x`hqetfp¯x ´hqjusqu’au troisième ordre.

On obtient alors

f¹p¯xq “ fp¯x`hq ´fp¯x´hq

2h ` Oph²q. (15)

Cette approximation est la formule desdifférences finies centrées.

Cette approximation est d’ordre2.

Exercice 2

Exercice

On note xi “a`ih,iP v0,nw,une discrétisation régulière de l’intervallera,bs.Soit une fonction f :ra,bs ÝÑRsuffisament régulière. On suppose que les yi sont donnés par

yi “fpxiq, @iP v0,nw. (16) Ecrire une fonction DERIVE2 permettant de calculer des

approximations d’ordre 2 de f¹pxiqpour i P v0,nw.

Dérivée seconde

Sif PC⁴psa,brq,on peut alors développer les formules de Taylor de fp¯x`hqetfp¯x´hqjusqu’au quatrième ordre.

Dérivée seconde

Sif PC⁴psa,brq,on peut alors développer les formules de Taylor de fp¯x`hqetfp¯x´hqjusqu’au quatrième ordre.

On obtient alors

f^p2qp¯xq “ fp¯x `hq ´2fp¯xq `fp¯x ´hq

h² ` Oph²q. (17)

Dérivée seconde

Sif PC⁴psa,brq,on peut alors développer les formules de Taylor de fp¯x`hqetfp¯x´hqjusqu’au quatrième ordre.

On obtient alors

f^p2qp¯xq “ fp¯x `hq ´2fp¯xq `fp¯x ´hq

h² ` Oph²q. (17)

Cette approximation est d’ordre2.

Exercice 3

Exercice

On note xi “a`ih,iP v0,nw,une discrétisation régulière de l’intervallera,bs.Soit une fonction f :ra,bs ÝÑRsuffisament régulière. On suppose que les yi sont donnés par

yi “fpxiq, @iP v0,nw. (18) Ecrire une fonction DERIVESECONDE2permettant de calculer des approximations d’ordre 2 de f^p2qpxiqpour i P v0,nw.

Plan

1 Polynômes d’interpolation de Lagrange

2 Dérivation numérique

3 Intégration numérique Méthodes simplistes

Méthodes de Newton-Cotes Méthodes composites Autres méthodes Intégrales multiples

4 Résolution de systèmes linéaires Vecteurs

Matrices

Factorisation LU

Factorisation de Cholesky

Intégration

Soitf une fonction définie et intégrable sur un intervallera,bsdonné.

On propose de chercher une approximation de I“

żb a

fptqdt

a b

f(a)

f(b)

f(t)

FIGURE:Représentation de la fonctionf

Intégration

Soitf une fonction définie et intégrable sur un intervallera,bsdonné.

On propose de chercher une approximation de I“

żb a

fptqdt

a b

f(a)

f(b)

f(t)

FIGURE:Représentation deşb afptqdt

Méthodes simplistes

On approchef par le polynôme constantPptq “fpaq.

a b

f(a)

f(b)

f(t)

FIGURE:Représentation de la fonctionf

Méthodes simplistes

On approchef par le polynôme constantPptq “fpaq.

a b

f(a)

f(b)

a b

f(a)

f(b)

f(t)

FIGURE:Représentation deşb aPptqdt

Méthodes simplistes

On approchef par le polynôme constantPptq “fpaq.

a b

f(a)

f(b)

a b

f(a)

f(b)

f(t)

FIGURE:Représentation deşb aPptqdt

żb a

fptqdt « pb´aqfpaq, formule du rectangle (à gauche)

Méthodes simplistes

On approchef par le polynôme constantPptq “fpbq.

a b

f(a)

f(b)

f(t)

FIGURE:Représentation de la fonctionf

Méthodes simplistes

On approchef par le polynôme constantPptq “fpbq.

a b

f(a)

f(b)

a b

f(a)

f(b)

f(t)

FIGURE:Représentation deşb aPptqdt

Méthodes simplistes

On approchef par le polynôme constantPptq “fpbq.

a b

f(a)

f(b)

a b

f(a)

f(b)

f(t)

FIGURE:Représentation deşb aPptqdt

żb a

fptqdt « pb´aqfpbq, formule du rectangle (à droite)

Méthodes simplistes

On approchef par le polynôme constantPptq “fpcq,avec c “ pa`bq{2.

a b

f(a)

f(b)

f(t)

FIGURE:Représentation de la fonctionf

Méthodes simplistes

On approchef par le polynôme constantPptq “fpcq,avec c “ pa`bq{2.

a b

f(a)

f(b)

a b

f(a)

f(b)

c=(a+b)/2 f(c)

f(t)

FIGURE:Représentation deşb aPptqdt

Méthodes simplistes

On approchef par le polynôme constantPptq “fpcq,avec c “ pa`bq{2.

a b

f(a)

f(b)

a b

f(a)

f(b)

c=(a+b)/2 f(c)

f(t)

FIGURE:Représentation deşb aPptqdt

żb a

fptqdx « pb´aqfpa`b

2 q, formule du point milieu

Méthodes de Newton-Cotes

1 Discrétisation régulière dera,bs:@iP v0,nw,ti “a`ihavec h“ ^b´a_n .

Méthodes de Newton-Cotes

1 Discrétisation régulière dera,bs:@iP v0,nw,ti “a`ihavec h“ ^b´a_n .

2 On approchef par le polynôme d’interpolation de LagrangeP_nde degréntel que

P_nptiq “fptiq, @i P v0,nw.

Méthodes de Newton-Cotes

1 Discrétisation régulière dera,bs:@iP v0,nw,ti “a`ihavec h“ ^b´a_n .

2 On approchef par le polynôme d’interpolation de LagrangeP_nde degréntel que

P_nptiq “fptiq, @i P v0,nw.

P_nptq “

n

ÿ

i“0

Liptqfptiq

Méthodes de Newton-Cotes

1 Discrétisation régulière dera,bs:@iP v0,nw,ti “a`ihavec h“ ^b´a_n .

2 On approchef par le polynôme d’interpolation de LagrangeP_nde degréntel que

P_nptiq “fptiq, @i P v0,nw.

P_nptq “

n

ÿ

i“0

Liptqfptiq

3 On a alors żb

a

fptqdt « żb

a

P_nptqdt “

n

ÿ

i“0

fptiq żb

a

Liptqdt.

Méthodes de Newton-Cotes

1 Discrétisation régulière dera,bs:@iP v0,nw,ti “a`ihavec h“ ^b´a_n .

2 On approchef par le polynôme d’interpolation de LagrangeP_nde degréntel que

P_nptiq “fptiq, @i P v0,nw.

P_nptq “

n

ÿ

i“0

Liptqfptiq

3 On a alors żb

a

fptqdt « żb

a

P_nptqdt “

n

ÿ

i“0

fptiq żb

a

Liptqdt.

Les formules de Newton-Cotes génériques : żb

a

fptqdt «

n

ÿα_ifptiq

Méthodes de Newton-Cotes

żb a

fptqdt «

n

ÿ

i“0

α_ifptiq avec α_i “ żb

a

Liptqdt En posantαi “hAwi,on a

n A w0 w1 w2 w3 w4 nom ordre

1 1{2 1 1 trapèzes 1

2 1{3 1 4 1 Simpson 3

3 3{8 1 3 3 1 Simpson (3/8) 3

4 2{45 7 32 12 32 7 Villarceau 5

Simpson : żb

a

fptqdt «

Méthodes de Newton-Cotes

żb a

fptqdt «

n

ÿ

i“0

α_ifptiq avec α_i “ żb

a

Liptqdt En posantαi “hAwi,on a

n A w0 w1 w2 w3 w4 nom ordre

1 1{2 1 1 trapèzes 1

2 1{3 1 4 1 Simpson 3

3 3{8 1 3 3 1 Simpson (3/8) 3

4 2{45 7 32 12 32 7 Villarceau 5

Simpson : żb

a

fptqdt «b´a 6

ˆ

fpaq `4fpa`b

2 q `fpbq

˙

Méthodes de Newton-Cotes

Définition

On dit qu’une formule d’intégration (ou formule de quadrature) est d’ordrensi elle est exacte pour les polynômes de degré inférieur ou égal àn.

Théorème

Les formules de Newton-Cotes à n`1points sont d’ordre n si n est impair et d’ordre n`1sinon.

Méthodes de Newton-Cotes

Définition

On dit qu’une formule d’intégration (ou formule de quadrature) est d’ordrensi elle est exacte pour les polynômes de degré inférieur ou égal àn.

Théorème

Les formules de Newton-Cotes à n`1points sont d’ordre n si n est impair et d’ordre n`1sinon.

Attention

Du au phénomène de Runge, ces formules ne sont pas "fiables" pour des ordres élevés.

Méthodes composites

Les méthodes composites sont basées sur la relation de Chasles.

Soitpxkq_kPv0,nw une discrétisation régulière de l’intervallera,bs: xk “a`khavech“ pb´aq{n.On a alors

żb a

fpxqdx “

n

ÿ

k“1

żx_k x_k´1

fpxqdx.

Méthodes composites des points milieux

żb a

fpxqdx “

n

ÿ

k“1

żx_k x_k´1

fpxqdx.

On notemk “ ^xk´1₂^`xk. żx_k

x_k

´1

fpxqdx «hfpmkq

Méthodes composites des points milieux

żb a

fpxqdx “

n

ÿ

k“1

żx_k x_k´1

fpxqdx.

On notemk “ ^xk´1₂^`xk. żx_k

x_k

´1

fpxqdx «hfpmkq

Théorème

żb a

fpxqdx “h

n

ÿ

k“1

fpmkq `Oph²q.

Méthodes composites des points milieux

żb a

fpxqdx “

n

ÿ

k“1

żx_k x_k´1

fpxqdx.

On notemk “ ^xk´1₂^`xk. żx_k

x_k

´1

fpxqdx «hfpmkq

Théorème

żb a

fpxqdx “h

n

ÿ

k“1

fpmkq `Oph²q.

Erreur d’ordre2(par rapport àh.)

Méthodes composites des points milieux : Exercice

Exercice

Soit f une fonction définie sur l’intervallera,bs.Ecrire la fonction QUADPMpermettant de calculer une approximation de l’intégrale de f surra,bspar la méthode composite des points milieux.

Méthodes composites des trapèzes

żb a

fpxqdx “

n

ÿ

k“1

żx_k x_k´1

fpxqdx.

żx_k x_k

´1

fpxqdx «hpfpx_k´1`fpxkq

2 q

Méthodes composites des trapèzes

żb a

fpxqdx “

n

ÿ

k“1

żx_k x_k´1

fpxqdx.

żx_k x_k

´1

fpxqdx «hpfpx_k´1`fpxkq

2 q

Théorème żb

a

fpxqdx “h

n

ÿ

k“1

pfpxk´1q `fpxkq

2 q `Oph²q.

Méthodes composites des trapèzes

żb a

fpxqdx “

n

ÿ

k“1

żx_k x_k´1

fpxqdx.

żx_k x_k

´1

fpxqdx «hpfpx_k´1`fpxkq

2 q

Théorème żb

a

fpxqdx “h

n

ÿ

k“1

pfpxk´1q `fpxkq

2 q `Oph²q.

Erreur d’ordre2(par rapport àh.)

Méthodes composites des trapèzes : Exercice

Exercice

Soit f une fonction définie sur l’intervallera,bs.Ecrire la fonction QUADTRAPEZE permettant de calculer une approximation de l’intégrale de f surra,bspar la méthode composite des trapèzes.

Méthodes composites de Simpson

żb a

fpxqdx “

n

ÿ

k“1

żx_k x_k´1

fpxqdx.

On notemk “ ^xk´1₂^`xk. żx_k

x_k

´1

fpxqdx « h

6pfpxk´1q `4fpmkq `fpxkqq

Méthodes composites de Simpson

żb a

fpxqdx “

n

ÿ

k“1

żx_k x_k´1

fpxqdx.

On notemk “ ^xk´1₂^`xk. żx_k

x_k

´1

fpxqdx « h

6pfpxk´1q `4fpmkq `fpxkqq Théorème

żb a

fpxqdx “ h 6

n

ÿ

k“1

pfpxk´1q `4fpmkq `fpxkqq `Oph⁴q.

Méthodes composites de Simpson

żb a

fpxqdx “

n

ÿ

k“1

żx_k x_k´1

fpxqdx.

On notemk “ ^xk´1₂^`xk. żx_k

x_k

´1

fpxqdx « h

6pfpxk´1q `4fpmkq `fpxkqq Théorème

żb a

fpxqdx “ h 6

n

ÿ

k“1

pfpxk´1q `4fpmkq `fpxkqq `Oph⁴q.

Erreur d’ordre4(par rapport àh.)

Méthodes composites de Simpson : Exercice

Exercice

Soit f une fonction définie sur l’intervallera,bs.Ecrire la fonction QUADSIMPSONpermettant de calculer une approximation de l’intégrale de f surra,bspar la méthode composite de Simpson.

Ordres (numériques) des méthodes composites

10^-3 10^-2 10^-1

10^-16 10^-14 10^-12 10^-10 10^-8 10^-6 10^-4 10^-2

h

Erreur

ordres des methodes composites

QuadPM QuadTrapeze QuadSimpson O(h²) O(h⁴)

FIGURE:Ordre de l’erreur des méthodes composites

Exercice

Ecrire un programme Matlab permettant d’obtenir cette figure sachant qu’ici fpxq “sinpxq,a“0et b “π.

Autres méthodes

Il existe un grand nombre de méthodes d’intégration numérique : Méthode de Gauss-Legendre

Méthode de Gauss-Tchebychev Méthode de Gauss-Laguerre Méthode de Gauss-Hermitte Méthode de Gauss-Lobatto Méthode de Romberg...

Intégrales multiples

On veut approcher, en utilisant la formule de Simpson, l’intégrale I“

żb a

żd c

fpx,yqdydx

gpxq “ żd

c

fpx,yqdy «gpx˜ q “ d ´c 6

ˆ

fpx,cq `4fpx,c`d

2 q `fpx,dq

˙ .

On a I“

żb a

gpxqdx « b´a 6

ˆ

gpaq `4gpa`b

2 q `gpbq

˙

« b´a 6

ˆ

˜

gpaq `4˜gpa`b

2 q `gpbq˜

˙

Intégrales multiples : formule de Simpson 2D

On poseα“ ^{a`b</sup><sub>2</sub> etβ “ <sup>c`d}₂

I« b´a 6

d´c 6

¨

˝

fpa,cq `4fpa, βq `fpa,dq

`4pfpα,cq `4fpα, βq `fpα,dqq

`fpb,cq `4fpb, βq `fpb,dq

˛

‚

Intégrales multiples : méthodes composites

1 Discrétisation régulière dera,bs:@k P v0,nw,xk “a`khx avec hx “ ^b´a_n .

2 Discrétisation régulière derc,ds:@l P v0,mw,yl “a`lhy avec hy “ ^d´c_m .

Intégrales multiples : méthodes composites

1 Discrétisation régulière dera,bs:@k P v0,nw,xk “a`khx avec hx “ ^b´a_n .

2 Discrétisation régulière derc,ds:@l P v0,mw,yl “a`lhy avec hy “ ^d´c_m .

3 Relation de Chasles : żb

a

żd c

fpx,yqdydx“

n

ÿ

k“1 m

ÿ

l“1

żx_k x_k´1

ży_l y_l´1

fpx,yqdydx.

Intégrales multiples : méthodes composites

1 Discrétisation régulière dera,bs:@k P v0,nw,xk “a`khx avec hx “ ^b´a_n .

2 Discrétisation régulière derc,ds:@l P v0,mw,yl “a`lhy avec hy “ ^d´c_m .

3 Relation de Chasles : żb

a

żd c

fpx,yqdydx“

n

ÿ

k“1 m

ÿ

l“1

żx_k x_k´1

ży_l y_l´1

fpx,yqdydx.

4 Formule de Simpson 2D : şb

a

şd

c fpx,yqdydx

“ hxhy

36

n

ÿ

k“1 m

ÿ

l“1

¨

˝

fpxk´1,y_l´1q `4fpxk´1, βlq `fpxk´1,ylq

`4pfpαk,y<sub>l´1</sub>q `4fpαk, β_lq `fpαk,ylqq

`fpxk,y<sub>l´1</sub>q `4fpxk, β_lq `fpxk,ylq

˛

‚

avecα_k “ ^xk´1₂^{`xk</sup> etβ<sub>l</sub> “ <sup>yl´1</sup><sub>2</sub><sup>`yl}.

Plan

1 Polynômes d’interpolation de Lagrange

2 Dérivation numérique

3 Intégration numérique Méthodes simplistes

Méthodes de Newton-Cotes Méthodes composites Autres méthodes Intégrales multiples

4 Résolution de systèmes linéaires Vecteurs

Matrices

Factorisation LU

Factorisation de Cholesky

Introduction

A faire

Vecteurs : zzz “ α xxx ` y yy

Exercice

Soient xxx et yyy deux vecteurs deRⁿetαPR.Ecrire la fonction VECAXPYpermettant de calculer zzz “αxxx`yyy.

Vecteurs : zzz “ α xxx ` y yy

Exercice

Soient xxx et yyy deux vecteurs deRⁿetαPR.Ecrire la fonction VECAXPYpermettant de calculer zzz “αxxx`yyy.

Correction On posezzz “αxxx`yyy.zzzest un vecteur deR<sup>n</sup>et zi “αxi`yi, @i P v1,nw.

♦

Vecteurs : zzz “ α xxx ` y yy

Algorithme 1Fonction VECAXPY retournantzzz“αxxx`yyyavecxxx,yyy PRⁿ etαPR

Données : xxx,yyy : deux vecteurs deRⁿ α : un réel.

Résultat : zzz : vecteur deRⁿ.

1: Fonctionzzz ÐVECAXPY(α,xxx,yyy )

2: Pouri Ð1ànfaire

3: zpiq Ðα˚xpiq `ypiq

4: Fin Pour

5: Fin Fonction

Vecteurs

Exercice

Soient xxx et yyy deux vecteurs deRⁿ.

1 Ecrire la fonctionVECDOTpermettant de calculer le produit scalaire entre les vecteurs xxx et yyy :

xxxx,yyyy “

n

ÿ

i“1

x_iy_i. (19)

2 Ecrire la fonctionVECNORM1permettant de calculer

}xxx}₁“

n

ÿ

i“1

|xi|, @xxx PRⁿ. (20)

3 Ecrire la fonctionVECNORM2permettant de calculer

}xxx}₂“

˜ _n ÿ

i“1

|x_i|²

¸1{2

, @xxx PRⁿ. (21)

Correction : fonction V

D

Algorithme 2Fonction VECDOT permettant de calculer le produit sca- laire des vecteursxxx etyyy oùxxx PRⁿetyyy PRⁿ.

Données :

xxx : vecteur deRⁿ, yyy : vecteur deRⁿ.

Résultat : s : le réel tel ques“ xxxx,yyyy.

1: FonctionsÐVECDOT(xxx,yyy )

2: sÐ0

3: Pouri Ð1ànfaire

4: s Ðs`xpiq ˚ypiq

5: Fin Pour

6: Fin Fonction

Correction : fonction V

N

1

Algorithme 3 Fonction VECNORM1 permettant de retourner}xxx}₁avec xxx PRⁿ

Données :

xxx : vecteur deRⁿ. Résultat :

s : le réel tel ques“ }xxx}₁.

1: FonctionsÐVECNORM1(xxx )

2: sÐ0

3: Pouri “1ànfaire

4: s Ðs`^ABSpxpiqq

5: Fin Pour

6: Fin Fonction

Correction : fonction V

N

2 (version 1)

Algorithme 4 Fonction VECNORM2 permettant de retourner}xxx}₂avec xxx PRⁿ

Données :

xxx : vecteur deRⁿ. Résultat :

s : le réel tel ques“ }xxx}₂.

1: FonctionsÐVECNORM2(xxx )

2: sÐ0

3: Pouri Ð1ànfaire

4: s Ðs`xpiq ˚xpiq

5: Fin Pour

6: sÐSQRTpsq

7: Fin Fonction

Correction : fonction V

N

2 (version 2)

Algorithme 5 Fonction VECNORM2 permettant de retourner}xxx}₂avec xxx PRⁿ(utilise la fonction VECDOT).

Données :

xxx : vecteur deRⁿ. Résultat :

s : le réel tel ques“ }xxx}₂.

1: FonctionsÐVECNORM2(xxx )

2: sÐSQRTpVECDOTpxxx,xxxqq

3: Fin Fonction

Matrices : Z “ αX ` Y

Exercice

SoientXetYdeux matrices deM_m,npRqetαPREcrire la fonction MATAXPYpermettant de retournerZ“αX`Y.

Matrices : Z “ αX ` Y

Exercice

SoientXetYdeux matrices deM_m,npRqetαPREcrire la fonction MATAXPYpermettant de retournerZ“αX`Y.

Correction On aZPM_m,npRqet

@iP v1,mw, @iP v1,nw, Zi,j“αXi,j`Yi,j.

♦

Matrices : Z “ αX ` Y

Algorithme 6Fonction MATAXPY permettant de retournerZ“αX`Y avecXetYdansM_m,npRq,etαPR

Données : α : un réel,

X : matrice deM_m,npRq, Y : matrice deM_m,npRq.

Résultat :

Z : matrice deM_m,npRqtel queZ“αX`Y.

1: FonctionZÐMATAXPY(α,X,Y)

2: Pouri Ð1àmfaire

3: Pourj Ð1ànfaire

4: Zpi,jq Ðα˚Xpi,jq `Ypi,jq

5: Fin Pour

6: Fin Pour

7: Fin Fonction

Matrices : produit matrice-vecteur

Exercice

Ecrire la fonctionMATMULT permettant de retourner le produit d’une matrice par un vecteur.

Matrices : produit matrice-vecteur

Exercice

Ecrire la fonctionMATMULT permettant de retourner le produit d’une matrice par un vecteur.

Correction On rappelle que le produit d’une matriceAPM_m,npRq par un vecteurxxx PRⁿest un vecteur deR^m.On le noteyyy et on a

yi “

n

ÿ

j“1

Ai,jxj, @i P v1,mw,

Matrices : produit matrice-vecteur

Algorithme 7- R₀

1: Calcul deyyy ÐAxxx.

Matrices : produit matrice-vecteur

Algorithme 7- R₀

1: Calcul deyyy ÐAxxx.

Algorithme 7- R₁

1: Pouri Ð1àmfaire

2: Calcul dey_i Ð

n

ÿ

j“1

A_i,jx_j

3: Fin Pour

Matrices : produit matrice-vecteur

Algorithme 7- R₁

1: Pouri Ð1àmfaire

2: Calcul deyi Ð

n

ÿ

j“1

Ai,jxj

3: Fin Pour

Matrices : produit matrice-vecteur

Algorithme 7- R₁

1: Pouri Ð1àmfaire

2: Calcul deyi Ð

n

ÿ

j“1

Ai,jxj

3: Fin Pour

Algorithme 7- R₂

1: Pouri Ð1àmfaire

2: SÐ0

3: PourjÐ1ànfaire

4: SÐS`Api,jq ˚xpjq

5: Fin Pour

6: ypiq ÐS

7: Fin Pour

Matrices : produit matrice-vecteur

Algorithme 7Fonction MATMULT

Données :

A : matrice deM_m,npRq, xxx : vecteur deRⁿ. Résultat :

yyy : vecteur deR^mtel queyyy “Axxx.

1: Fonctionxxx ÐMATMULT(A,xxx )

2: Pouri Ð1àmfaire

3: S Ð0

4: Pourj Ð1ànfaire

5: SÐS`Api,jq ˚xpjq

6: Fin Pour

7: ypiq ÐS

8: Fin Pour

9: Fin Fonction

Matrices : produit matrice-matrice

Exercice

Ecrire la fonctionMATMATMULT permettant de retourner le produit de deux matrices.

Matrices : produit matrice-matrice

Exercice

Ecrire la fonctionMATMATMULT permettant de retourner le produit de deux matrices.

Correction SoientXPM_m,npRqetYPM_n,ppRq.On note ZPM_m,ppRqla matrice produit i.e.Z“XY.

On rappelle que l’on a Zi,j “

n

ÿ

k“1

Xi,kYk,j, @pi,jq P v1,mw ˆ v1,pw.

Matrices : produit matrice-matrice

Algorithme 8- R₀

1: Calcul deZ“XY.

Matrices : produit matrice-matrice

Algorithme 8- R₀

1: Calcul deZ“XY.

Algorithme 8- R₁

1: Pouri Ð1àmfaire

2: Calcul lignei matriceZ 3: Fin Pour

Matrices : produit matrice-matrice

Algorithme 8- R₁

1: Pouri Ð1àmfaire

2: Calcul lignei matriceZ 3: Fin Pour

Matrices : produit matrice-matrice

Algorithme 8- R₁

1: Pouri Ð1àmfaire

2: Calcul lignei matriceZ 3: Fin Pour

Algorithme 8- R₂

1: Pouri Ð1àmfaire

2: PourjÐ1àp faire

3: Zi,j Ð

n

ÿ

k“1

Xi,kYk,j 4: Fin Pour

5: Fin Pour

Matrices : produit matrice-matrice

Algorithme 8- R₂

1: Pouri Ð1àmfaire

2: Pourj Ð1àpfaire

3: Z_i,j Ð

n

ÿ

k“1

X_i,kY_k,j 4: Fin Pour

5: Fin Pour

Matrices : produit matrice-matrice

Algorithme 8- R₂

1: Pouri Ð1àmfaire

2: Pourj Ð1àpfaire

3: Z_i,j Ð

n

ÿ

k“1

X_i,kY_k,j

4: Fin Pour

5: Fin Pour

Algorithme 8- R₃

1: Pouri Ð1àmfaire

2: PourjÐ1àp faire

3: SÐ0

4: Pourk Ð1ànfaire

5: S ÐS`Xi,kYk,j 6: Fin Pour

7: Zi,j ÐS

8: Fin Pour

9: Fin Pour

Matrices : produit matrice-matrice

Algorithme 8Fonction MATMATMULT

Données :

X : matrice deM_m,npRq, Y : matrice deM_n,ppRq.

Résultat :

Z : matrice deM_m,ppRqtelle queZ“XY.

1: FonctionZÐMATMATMULT(X,Y)

2: PouriÐ1àmfaire

3: PourjÐ1àpfaire

4: SÐ0

5: PourkÐ1ànfaire

6: SÐS`Xpi,kq ˚Ypk,jq

7: Fin Pour

8: Zpi,jq ÐS

9: Fin Pour

10: Fin Pour

11: Fin Fonction

Factorisation LU

Théorème

SoitAPM_npRqune matrice dont les sous-matrices principales sont inversibles alors il existe une unique matriceLPM_npRqtriangulaire inférieure à diagonale unité et une unique matriceUPM_npRq triangulaire supérieure telles ques

A“LU.

Factorisation LU

Trouverxxx PRⁿtel que

Axxx “bbb. (22) est équivalent à

Trouveryyy PRⁿ solution de

Lyyy “bbb (23) puisxxx PRⁿ solution de

Uxxx “yyy. (24)