Analyse Numérique I Sup’Galilée, Ingénieurs MACS 1ère année & L3 MIM François Cuvelier

(1)

Analyse Numérique I

Sup’Galilée, Ingénieurs MACS 1ère année & L3 MIM

François Cuvelier

Laboratoire d’Analyse Géométrie et Applications Institut Galilée

Université Paris XIII.

2019/10/11

2019/10/11 1 / 23

(2)

Plan

1

Matrices blocs

2

Normes vectorielles et normes matricielles

Normes vectorielles Normes matricielles

Matrices blocs 2019/10/11 2 / 23

(3)

Definition 1.1

On appelle matrice bloc une matrice A P M

_N,M

écrite sous la forme

A “

¨

˚

˝

A

_1,1

¨ ¨ ¨ A

_1,q

.. . .. . A

p,1

¨ ¨ ¨ A

_p,q

˛

‹

‚

où @i P v1, p w, @j P v1, qw, A

_i_,j

est une matrice de M

_n_i_,m_j

. On a

N “

p

ÿ

i“1

n

_i

et M “

q

ÿ

j“1

m

_j

.

On dit que A et une matrice bloc-carrée si p “ q et si tous les blocs diagonaux sont des matrices carrées.

(4)

Propriété 1.2: Multiplication de matrices blocs

SoientAPMN,M etBPMM,S.Le produitP“ABPMN,Speut s’écrire sous forme bloc si les matricesAetBsontcompatibles par blocs: il faut que le nombre de blocs colonne deAsoit égale au nombre de blocs ligne deBavec correspondance des dimensions.

A“

¨

˚

˝

A_1,1 ¨ ¨ ¨ A_1,q ... ... Ap,1 ¨ ¨ ¨ Ap,q

˛

‹

‚ et B“

¨

˚

˝

B_1,1 ¨ ¨ ¨ A_1,r ... ... Bq,1 ¨ ¨ ¨ Aq,r

˛

‹

‚

avecAi,kPMni,mk etBk,jPMmk,sjpour toutiP v1,pw,kP v1,qwetjP v1,rw.La matrice produit Ps’écrit alors sous la forme bloc

P“

¨

˚

˝

P1,1 ¨ ¨ ¨ P1,r

... ... Pp,1 ¨ ¨ ¨ Pp,r

˛

‹

‚

avec@iP v1,pw,@jP v1,rwPi,jPMn_i,s_jet

Pi,j“

q

ÿ

k“1

Ai,kBk,j.

(5)

Definition 1.3

On dit qu’une matrice bloc-carrée A est triangulaire inférieure (resp.

supérieure) par blocs si elle peut s’écrire sous la forme d’une matrice bloc avec les sous matrices A

_i,j

“ 0 pour i ă j (resp. i ą j ). . Elle s’écrit donc sous la forme

A “

¨

˚

˝

A

1,1

O ¨ ¨ ¨ O .. . . .. ... .. . .. . . .. ... O A

_n,1

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ A

_n,n

˛

‹

‚

(resp. A “

¨

˚

˝

A

1,1

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ A

n,1

O . .. ... .. . .. . . .. ... .. . O ¨ ¨ ¨ O A

_n,n

˛

‹

‚ ).

(6)

Definition 1.4

On dit qu’une matrice bloc-carrée A est diagonale par blocs ou bloc- diagonale si elle peut s’écrire sous la forme d’une matrice bloc avec les sous matrices A

_i_,j

“ 0 pour i ‰ j . Elle s’écrit donc sous la forme

A “

¨

˚

˝

A

_1,1

O ¨ ¨ ¨ O O . .. ... .. .

.. . . .. ... O O ¨ ¨ ¨ O A

_n,n

˛

‹

‚

(7)

Proposition 1.5

Soit A une matrice bloc-carré décomposée en n ˆ n blocs. Si A est bloc-diagonale ou triangulaire par blocs alors son déterminant est le produit des déterminant des blocs diagonaux :

det A “

n

ź

i“1

det A

_i,i

(1)

(8)

Proposition 1.6

SoitAune matrice bloc-carréinversibledécomposée ennˆnblocs.

‚ SiAestbloc-diagonalealors son inverse (décomposée ennˆnblocs) est aussi bloc-diagonale.

‚ SiAesttriangulaire inférieure par blocs(resp. supérieure) alors son inverse (décomposée en nˆnblocs) est aussitriangulaire inférieure par blocs(resp. supérieure).

Dans ces deux cas les blocs diagonaux de la matrice inverse sont les inverses des blocs diagonaux de A.On a donc

A“

¨

˚

˝

A1,1 O ¨ ¨ ¨ O O . .. ... ... ... . .. ... O O ¨ ¨ ¨ ˝ An,n

˛

‹

‚ etA^-1“

¨

˚

˝

A^-1_1,1 O ¨ ¨ ¨ O O . .. ... ... ... . .. ... O O ¨ ¨ ¨ O A^-1_n,n

˛

‹

‚

A“

¨

˚

˝

A_1,1 O ¨ ¨ ¨ O ... . .. ... ... ... . .. ... O An,1 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ An,n

˛

‹

‚ et A^-1“

¨

˚

˝

A^-1_1,1 O ¨ ¨ ¨ O

‚ . .. ... ... ... . .. ... O

‚ ¨ ¨ ¨ ‚ A^-1_n,n

˛

‹

‚

A“

¨

˚

˝

A_1,1 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ A_n,1 O . .. ... ...

... . .. ... ... O ¨ ¨ ¨ O An,n

˛

‹

‚ et A^-1“

¨

˚

˝

A^-1_1,1 ‚ ¨ ¨ ¨ ‚ O . .. ... ... ... . .. ... ‚ O ¨ ¨ ¨ O A^-1_n,n

˛

‹

‚

(9)

Plan

1

Matrices blocs

2

Normes vectorielles et normes matricielles

Normes vectorielles

Normes matricielles Suites de vecteurs et de matrices

Normes vectorielles et normes matricielles 2019/10/11 9 / 23

(10)

Plan

1

Matrices blocs

2

Normes vectorielles et normes matricielles

Normes vectorielles Normes matricielles

Suites de vecteurs et de matrices

3

Conditionnement d’un système linéaire

4

Méthodes itératives

Normes vectorielles et normes matricielles Normes vectorielles 2019/10/11 10 / 23

(11)

Definition

Une norme sur un espace vectoriel V est une application }‚} : V Ñ R

^`

qui vérifie les propriétés suivantes

˛ }vvv } “ 0 ðñ vvv “ 0,

˛ }αvvv } “ |α| }vvv } , @α P K , @vvv P V ,

˛ }u u u ` ` ` v v v} ď }u u u} ` }vvv } , @ pu, u, u, v v vq P V

²

(inégalité triangulaire).

Une norme sur V est également appelée norme vectorielle . On appelle espace vectoriel normé un espace vectoriel muni d’une norme.

(12)

Proposition

Soit vvv P K

ⁿ

. Pour tout nombre réel p ě 1, l’application }‚}

_p

définie par

}vvv }

_p

“

˜

_n

ÿ

i“1

|v

_i

|

^p

¸

1{p

est une norme sur K

ⁿ

. Normes usitées :

}vvv }

₁

“

n

ÿ

i“1

|v

_i

| , }vvv }

₂

“

˜

_n

ÿ

i“1

|v

_i

|

²

¸

1{2

, }vvv }

₈

“ max

iPv1,nw

|v

_i

| .

(13)

Lemme 2.1: Inégalité de Cauchy-Schwarz

@xxx ,yyy P K

ⁿ

| xxxx ,yyy y | ď }xxx }

₂

}yyy }

₂

. (2) Cette inégalité s’appelle l’inégalité de Cauchy-Schwarz. On a égalité si et seulement si xxx et yyy sont colinéaires.

(14)

Lemme 2.2: Inégalité de Hölder

Pour p ą 1 et

_p¹

`

¹_q

“ 1, on a @xxx , yyy P K

ⁿ

n

ÿ

i“1

|x

i

y

i

| ď

˜

_n

ÿ

i“1

|x

i

|

^p

¸

1{p

˜

_n

ÿ

i“1

|y

i

|

^q

¸

1{q

“ }xxx }

_p

}yyy }

_q

. (3) Cette inégalité s’appelle l’inégalité de Hölder.

(15)

Definition 2.3

Deux normes }‚} et }‚}

¹

, définies sur un même espace vectoriel V , sont équivalentes s’il exite deux constantes C et C

¹

telles que

}xxx }

¹

ď C }xxx } et }xxx } ď C

¹

}xxx }

¹

pour tout xxx P V . (4)

Proposition

Sur un espace vectoriel de dimension finie toutes les normes sont équiv- alentes.

(16)

Plan

1

Matrices blocs

2

Normes vectorielles et normes matricielles

Normes vectorielles Normes matricielles

Suites de vecteurs et de matrices

3

Conditionnement d’un système linéaire

4

Méthodes itératives

Normes vectorielles et normes matricielles Normes matricielles 2019/10/11 16 / 23

(17)

Definition 2.4

Une norme matricielle sur M

_n

p K q est une application }‚} : M

_n

p K q Ñ R

^`

vérifiant

1

}A} “ 0 ðñ A “ 0,

2

}αA} “ |α| }A}, @α P K , @A P M

_n

p K q,

3

}A ` B} ď }A} ` }B} , @ pA, Bq P M

_n

pKq

²

(inégalité triangulaire)

4

}AB} ď }A} }B} , @ pA, Bq P M

_n

pKq

²

Peut-on étendre cette définition sur M

_m,n

pKq ?

(18)

Proposition:

Etant donné une norme vectorielle}‚}surKⁿ,l’application}‚}_s:MnpKq ÑR^`définie par

}A}_s“sup

vv vPKⁿ

v vv‰0

}Avvv}

}vvv} (5)

est une norme matricielle, appeléenorme matricielle subordonnée(à la norme vectorielle donnée).

Elle vérifie

}A}_s“ sup

v vvPKⁿ }vvv}ď1

}Avvv} “ sup

v vvPKⁿ }vvv}“1

}Avvv} “inftαPR:}Avvv} ďα}vvv}, @vvvPKⁿu. (6)

De plus, pour toutvvvPKⁿon a

}Avvv} ď }A}_s}vvv} (7)

et il existe au moins un vecteuruuuPKⁿzt0utel que

}Auuu} “ }A}_s}uuu}. (8)

SoitIla matrice identité d’ordren,on a

}I}s“1. (9)

(19)

Théorème 3:

Soit A P M

_n

pKq. On a }A}

₁ ^def

“ sup

v vvPKⁿ

v vv‰0

}Avvv }

₁

}vvv }

₁

“ max

jPv1,nw n

ÿ

i“1

|a

_ij

| (10)

}A}

₂ ^def

“ sup

vv vPKⁿ

v vv‰0

}Avvv }

₂

}vvv }

₂

“ a

ρ pA

^˚

Aq “ a

ρ pAA

^˚

q “ }A

^˚

}

₂

(11)

}A}

₈^def

“ sup

v vvPKⁿ

vvv‰0

}Avvv }

₈

}vvv }

₈

“ max

iPv1,nw n

ÿ

j“1

|a

_ij

| (12)

La norme }‚}

₂

est invariante par transformation unitaire :

UU

^˚

“ I ùñ }A}

₂

“ }AU}

₂

“ }UA}

₂

“ }U

^˚

AU}

₂

. (13)

(20)

Corollaire 3.1

1

Si une matrice A est hermitienne,on a }A}

₂

“ ρ pAq.

2

Si une matrice A est unitaire, on a }A}

₂

“ 1.

(21)

Plan

1

Matrices blocs

2

Normes vectorielles et normes matricielles

Normes vectorielles Normes matricielles

Suites de vecteurs et de matrices

3

Conditionnement d’un système linéaire

4

Méthodes itératives

Normes vectorielles et normes matricielles Suites de vecteurs et de matrices 2019/10/11 21 / 23

(22)

Definition 3.2

Soit V un espace vectoriel muni d’une norme }‚}, on dit qu’une suite pvvv

_k

q d’éléments de V converge vers un élément vvv P V , si

kÑ8

lim }vvv

k

´ vvv } “ 0 et on écrit

vvv “ lim

kÑ8

vvv

k

.

(23)

Théorème 4: admis

Soit B une matrice carrée. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1

lim

kÑ8

B

^k

“ 0,

2

lim

_kÑ8

B

^k

vvv “ 0 pour tout vecteur vvv ,

3

ρ pBq ă 1,

4

}B} ă 1 pour au moins une norme matricielle subordonnée }‚} .

Théorème 5: admis

Soit B une matrice carrée, et }‚} une norme matricielle quelconque.

Alors

k

lim

Ñ8

›

› B

^k

›

1{k

“ ρ pBq.

(24)

tt tt

2019/10/11 23 / 23