AIR1 2014-2015
Méthodes Numériques I
aTravaux Pratiques No 3
‚ ‚ ‚ ‚ ‚ ‚ ‚
Dérivation numérique
a. Version du 14 avril 2015
Table des matières
1 Approximation de dérivées premières 2
2 Approximation de dérivées secondes 2
1 Approximation de dérivées premières
Soithą0.Sif PC2psa, brq,alorsDξ`Ps¯x,x¯`hr,Dξ´Ps¯x´h,xr,¯ tel que fp¯x`hq ´fp¯xq
h “ f1p¯xq `h1
2 fp2qpξ`q (1.1)
fp¯xq ´fp¯x´hq
h “ f1p¯xq ´h1
2 fp2qpξ´q (1.2)
‚ Ces formules sont des approximations def1p¯xqd'ordre1par rapport àh.
‚ On peut aussi obtenir ces formules en dérivant les polynômes d'interpolation associés aux points t¯x,x¯`huet t¯x´h,¯xu.
Q. 1 On notexi“a`ih, iP v0, nw, une discrétisation régulière de l'intervalle ra, bs. Soit une fonction f :ra, bs ÝÑRsusament régulière. On suppose que lesyi sont donnés par
yi“fpxiq, @iP v0, nw. (1.3)
Ecrire une fonction Derive1 permettant de calculer des approximations d'ordre 1 de f1pxiq pour i P
v0, nw. ‚
Pour obtenir une formule d'approximation d'ordre 2 de f1p¯xq, on suppose f PC3psa, brqet on peut alors développer les formules de Taylor defp¯x`hqetfp¯x´hqjusqu'au troisième ordre.
On obtient alors
f1p¯xq “ fp¯x`hq ´fp¯x´hq
2h `Oph2q. (1.4)
‚ Cette approximation est la formule des diérences nies centrées.
‚ Cette approximation est d'ordre2.
Une autre approximation à l'ordre 2de f1p¯xqutilisant les valeurs def aux points t¯x,¯x`h,x¯`2hu est donnée par
f1p¯xq “ ´fp¯x`2hq ´4fp¯x`hq `3fp¯xq
2h `Oph2q. (1.5)
Une autre approximation def1p¯xqà l'ordre2 utilisant les valeurs def aux points t¯x,¯x´h,x¯´2hu est donnée par
f1p¯xq “ 3fp¯xq ´4fp¯x´hq `fp¯x´2hq
2h `Oph2q. (1.6)
Q. 2 On notexi“a`ih, iP v0, nw, une discrétisation régulière de l'intervalle ra, bs. Soit une fonction f :ra, bs ÝÑRsusament régulière. On suppose que lesyi sont donnés par
yi“fpxiq, @iP v0, nw. (1.7)
Ecrire une fonction Derive2 permettant de calculer des approximations d'ordre 2 de f1pxiq pour i P
v0, nw. ‚
Q. 3 Ecrire un programme, nommé erreurDerive.m, permettant de vérier graphiquement, pour cha- cune des2 fonctions précédentes , l'ordre des erreurs. voir gure 1. ‚
2 Approximation de dérivées secondes
L'objectif ici est déterminer une approximation d'ordre 2 de la dérivée seconde d'une fonction f (susament régulière) en les points d'une discrétisation régulièrexi “a`ih, i P v0, nw, de l'intervalle ra, bs.
2
10−3 10−2 10−1 10−5
10−4 10−3 10−2 10−1
h
Erreur
ordres des methodes de derivation
Derive1 (0.99986) Derive2 (1.99941) O(h)
O(h2)
Figure 1 Ordre de l'erreur des méthodes de dérivation
En utilisant les formules de Taylor de defp¯x`hqetfp¯x´hqjusqu'au quatrième ordre, on abouti à fp2qp¯xq “fp¯x`hq ´2fp¯xq `fp¯x´hq
h2 `Oph2q. (2.8)
On peut utiliser cette formule pour obtenir des approximations de la dérivée seconde def en xi, @i P v1, n´1w.
Il reste à déterminer des formules aux pointsx0“aetxn“b.
Pour obtenir une formule aux pointsx0“aon peut utiliser des formules de Taylor de defp¯x`hq, fp¯x`2hqet fp¯x`3hqjusqu'au quatrième ordre. On a :
fp¯x`hq “ fp¯xq `hfp1qp¯xq `h2
2!fp2qp¯xq `h3
3!fp3qp¯xq `Oph4q (2.9) fp¯x`2hq “ fp¯xq `2hfp1qp¯xq `p2hq2
2! fp2qp¯xq `p2hq3
3! fp3qp¯xq `Oph4q (2.10) fp¯x`3hq “ fp¯xq `3hfp1qp¯xq `p3hq2
2! fp2qp¯xq `p3hq3
3! fp3qp¯xq `Oph4q (2.11) En eectuant les combinaisons2ˆ(2.9)´(2.10) et 3ˆ(2.9)´(2.10) on obtient respectivement les deux équations
2fp¯x`hq ´fp¯x`2hq “ fp¯xq ´h2fp2qp¯xq ´h3fp3qp¯xq `Oph4q 3fp¯x`hq ´fp¯x`3hq “ 2fp¯xq ´3h2fp2qp¯xq ´4h3fp3qp¯xq `Oph4q
d'où les deux formules d'ordre1
fp2qp¯xq “ fp¯xq ´2fp¯x`hq `fp¯x`2hq
h2 ´hfp3qp¯xq `Oph2q (2.12)
fp2qp¯xq “ 2fp¯xq ´3fp¯x`hq `fp¯x`3hq
3h2 ´4
3hfp3qp¯xq `Oph2q (2.13) 3
En eectuant la combinaison4ˆ(2.12)´3(2.13),on obtient la formule d'ordre1 fp2qp¯xq “ 4fp¯xq ´2fp¯x`hq `fp¯x`2hq
h2 ´32fp¯xq ´3fp¯x`hq ´fp¯x`3hq
3h2 `Oph2q
“ 2fp¯xq ´5fp¯x`hq `4fp¯x`2hq ´fp¯x`3hq
h2 `Oph2q (2.14)
On prendra comme approximation d'ordre2
fp2qpaq « 2fpaq ´5fpa`hq `4fpa`2hq ´fpa`3hq
h2 .
Q. 4 Montrer que l'on a
fp2qp¯xq “2fp¯xq ´5fp¯x´hq `4fp¯x´2hq ´fp¯x´3hq
h2 `Oph2q (2.15)
En déduire une approximation defp2qpbq. ‚
Q. 5 Ecrire une fonction DeriveSec2 permettant de calculer des approximations d'ordre 2 defp2qpxiq
pouriP v0, nw. ‚
Q. 6 Ecrire un programme, nommé erreurDeriveSeconde.m, permettant de vérier/retrouver gra- phiquement, l'ordre de la méthode d'approximation précédente. voir gure 2. ‚
10−3 10−2 10−1
10−6 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1
h
Erreur
ordres des methodes de derivation seconde
DeriveSec2 (1.99994) O(h)
O(h2)
Figure 2 Ordre de l'erreur de l'approximation de la dérivée seconde
4
