Méthodes Numériques I

AIR1 Année 2016-2017

Méthodes Numériques I

Travaux Pratiques N^o 5

‚ ‚ ‚ ‚ ‚ ‚ ‚ Algèbre linéaire ^b

aVersion du November 30, 2016

bversion en cours de rédaction

Un vecteuruuuPRⁿ est un objet mathématique contenantnnombres réels et l'on note

uuu“

¨

˚

˚

˚

˝ u1

u₂ ...

u_n

˛

‹

‹

‹

‚

(1)

Pour toutiP v1, nw, u_i est un réel et on dit queu_i est lai-ème composante du vecteuruuu.

Une matriceAPM_m,npRqest un objet mathématique contenantmˆnnombres réels rangés enmlignes et ncolonnes et l'on note

A“

¨

˚

˝

A_1,1 . . . A_1,n ... ... ...

Am,1 . . . Am,n

˛

‹

‚ (2)

Pour tout iP v1, mw, pour tout j P v1, nw, Ai,j est un réel et on dit que Ai,j est la composante pi, jq de la matriceAet elle est située en ligne iet colonnej.

1 Opérations élémentaires

1.1 Produit scalaire de deux vecteurs

Soientuuuetvvv deux vecteurs de Rⁿ. Le produit scalaire du vecteuruuupar le vecteurvvv est un nombre réel noté xuuu, vvvyet déni par

xuuu, vvvy “

n

ÿ

i“1

uivi. (3)

Exercice 1. 1. Ecrire la fonction PS permettant de calculer le produit scalaire de deux vecteurs.

2. Ecrire un programme permettant de valider cette fonction. On pourra pour cela utiliser la fonction dot de Matlab.

1.2 Normes d'un vecteur

Soituuu un vecteur de Rⁿ. La norme usuelle du vecteur uuu (correspondant à la mesure d'une distance) est le nombre réel positif}uuu}₂ déni par

}uuu}₂“

˜ _n ÿ

i“1

u²_i

¸1{2

. (4)

On peut aussi noter que}uuu}²₂“ xuuu, uuuy.

De manière plus générale, la normepdu vecteuruuu, pě1,est le nombre réel positif noté}uuu}_p déni par }uuu}_p“

˜ _n ÿ

i“1

u^p_i

¸1{p

. (5)

Enn la norme dites inni du vecteuruuuest le nombre réel positif noté}uuu}₈ et déni par }uuu}₈ “ max

iPv1,nw

|ui|. (6)

Exercice 2. 1. Ecrire les fonctions Norme et NormeInf permettant de calculer respectivement la norme pet la norme inni d'un vecteur.

2. Ecrire un programme permettant de valider ces deux fonctions. On pourra pour cela utiliser la fonction norm de Matlab.

1.3 Produit matrice-vecteur

Soient A une matrice de Mm,npRq et uuu un vecteur de R^p. Le produit de la matrice A par le vecteuruuu n'est déni que si le nombre de colonne deAest égale au nombre de ligne deuuui.e.

n“p

Dans ce cas le produit deAparuuu,notéAuuu,est un vecteur deR^m, métant le nombre de ligne deA.Le vecteur résultatvvv“AuuudeR^mest alors donné par

@iP v1, mw, v_i“

n

ÿ

j“1

A_i,ju_j. (7)

En dénissantAAAi,: comme étant lei-ème vecteur ligne deA,on a la relation utilisant le produit scalaire de la i-ème ligne deAavec le vecteuruuu

n

ÿ

j“1

Ai,juj“ xAAAi,:, uuuy.

Exercice 3. 1. Ecrire la fonction ProdMatVec permettant de calculer le produit d'une matrice par un vecteur

2. Ecrire un programme permettant de valider cette fonction.

1.4 Produit matrice-matrice

SoientAPMm,npRqetBPMp,qpRq.Le produit de la matriceApar la matrice B, notéAB,n'est déni que si le nombre de colonne deAest égale au nombre de ligne deBi.e.

n“p

Dans ce cas le produit deAparBest une matrice deM_m,qpRq, métant le nombre de ligne deAetqle nombre de colonneB.La matrice résultatC“ABdeM_m,qpRqest alors donné par

@iP v1, mw, @j P v1, qw Ci,j“

n

ÿ

j“1

Ai,kBk,j. (8)

Attention le produit deAparBest diérent du produit de BparAdans le cas général!

2

• En notant parAAA_i,: lei-ème vecteur ligne deAet en notant parBBB_:,j lej-ème vecteur colonne deB,on a

alors la relation _n

ÿ

k“1

Ai,kBk, j“ xAAAi,:, BBB:,jy.

• On peut aussi noter quej-ème vecteur colonne de Cest le produit de la matrice A par lej-ème vecteur colonne deB:

CCC:,j “ABBB:,j.

Exercice 4. 1. Ecrire la fonction ProdMatMat permettant de calculer le produit de deux matrices 2. Ecrire un programme permettant de valider cette fonction.

2 Résolution de systèmes linéaires particuliers

2.1 Matrice diagonale

2.2 Matrice triangulaire inférieure 2.3 Matrice triangulaire supérieure

3 Méthode de Gauss

3