I. Une norme sur S

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CCP Maths 2 PSI 2013 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Clément Mifsud (ENS Cachan) ; il a été relu par Florian Metzger (ENS Cachan) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE).

Ce sujet est consacré à l’étude des classiques matrices de Hilbert définies par

∀n>2 Hn = 1

j+k−1

16j,k6n

• La première partie mélange topologie, algèbre linéaire et bilinéaire pour établir des résultats généraux qui seront utiles dans la suite du problème. On y introduit une norme surSn(R)définie par

∀A∈ Sn(R) N(A) = Sup

x∈Ωn

|hAx|xi|

oùΩndésigne la sphère unité de Rⁿ pour la norme euclidienne associée àh | i.

• La deuxième partie introduit les matrices Hn de Hilbert, étudie leurs valeurs propres et affine les résultats de la première partie. On démontre en particulier que la plus petite valeur propre de Hn tend vers0quandntend vers l’infini.

• La troisième partie fait appel au calcul intégral pour obtenir la limite de la norme (introduite à la première partie) des matrices de Hilbert quand la taille des matrices tend vers l’infini.

• Enfin, la quatrième partie a pour but de montrer que, pour tout entiern>2, le déterminant de la matriceHn vaut

det Hn= _n−1

Q

k=1

k!

⁴

2n−1

Q

k=1

k!

Cette partie peut être résolue indépendamment des autres.

Ce sujet permettait de tester les candidats sur un grand nombre de parties du programme : topologie, algèbre linéaire et bilinéaire, fractions rationnelles, séries nu- mériques, intégrales doubles, intégrabilité et séries de Fourier. On ne peut donc l’abor- der qu’en fin d’année, mais c’est alors un bon moyen de réviser tout le programme, d’autant qu’on peut le résoudre entièrement dans le temps imparti.

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Indications

Partie I

I.1.1 Penser à utiliser le fait qu’une application continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes.

I.1.2 Si xest un vecteur non nul, x

kxk est de norme1.

I.1.3 Utiliser la formulesin (2θ) = 2 sinθcosθ valable pour toutθ∈R.

I.2.2 L’application(x, y)7→ hAx|yiest bilinéaire.

I.3 Une matrice deMn(R)à la fois symétrique et antisymétrique est nulle.

I.4 La question I.3 permet d’obtenir la propriété de séparation.

I.5.1 Ne pas oublier quehek|eki= 1.

I.5.2 (ek)_16k6n est une base orthonormée de vecteurs propres pour la matriceA.

I.5.3 Se référer à la question I.5.1.

I.5.4 Le théorème spectral permet d’obtenir l’inégalité.

I.5.5 La matriceAest symétrique.

Partie II II.1.3 Que vaut

Z 1

0

t^j+k−2dt?

II.1.4 Si f ∈C⁰([0,1],R⁺), en particulier Z ¹

0

f >0.

II.2.2 L’inégalité Z 1

0

Q²(t)dt6 Z 1

−1

Q²(t)dtpermet d’utiliser la question précédente.

II.2.3 Appliquer l’identité de Parseval au polynôme trigonométriqueθ7→Q eⁱ^θ . Partie III

III.1.2 Se servir de la relation donnée par l’énoncé et utiliser le théorème de Fubini.

III.2.1 ÉtablirArctan t6tpour toutt∈R⁺ grâce à la concavité deArctan|R⁺. III.3.1 Comparaison série-intégrale.

III.3.2 Découper l’intégraleInsur des carrés de côté1à sommets entiers en se servant du théorème de Fubini et se servir du résultat de la question III.1.1.

III.3.3 Penser à la question II.2.3.

Partie IV

IV.2.1 Soustraire à la dernière colonne deAn une combinaison judicieuse des n−1 premières colonnes.

IV.2.2 Développer le déterminant deAn par rapport à la dernière colonne.

IV.3 Montrer que les deux suites vérifient la même relation de récurrence.

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I. Une norme sur S

_n

( R )

I.1.1 La sphère unité Ωn est fermée comme image réciproque du fermé {0} par l’application continueN:

(Rⁿ −→R

x 7−→ kxk −1 et bornée car tous ses éléments sont de norme1. L’espace Rⁿ est un R-espace vectoriel normé de dimension finie et les compacts sont les ensembles fermés bornés en dimension finie. Ceci nous permet d’affirmer que

La sphère unitéΩn est une partie compacte deRⁿ.

Si on note x= (x1, x2, . . . , xn)∈Rⁿ, alors la fonctionqA est une fonction poly- nomiale en les coefficients(xi)_16i6n donc continue. On en déduit que

La fonction continueqA sur le compactΩn est bornée et atteint ses bornes.

I.1.2 Soit λ ∈ R∩sp (A). Comme λ est une valeur propre de A, il existe ainsi un vecteur x ∈ Rⁿ non nul tel que Ax = λx. Puisque x est un vecteur non nul, le vecteury=x/kxkappartient àΩn et il vérifieAy=λy. Calculons maintenant

qA(y) =hAy|yi=hλy|yi=λkyk²=λ (y∈Ωn) D’après la question I.1.1,λ∈[mA; MA]. Ceci étant vrai pour toutλ∈R∩sp (A),

L’inclusionR∩sp (A)⊂[mA; MA]est vérifiée.

I.1.3 La matriceA est triangulaire supérieure, ses valeurs propres se lisent sur sa diagonale. On obtient que

sp (A) ={2}

Rappelons queΩ2={(x, y)∈R²|x²+y²= 1}correspond au cercle unité du plan euclidien. Ce dernier peut être paramétré en complexe par les points{eⁱ^θ|θ∈R}ou de manière équivalente par{(cosθ,sinθ)|θ∈R}. Utilisons ce dernier paramétrage.

Soitθ∈R, on a qA

cosθ sinθ

=

A cosθ

sinθ

cosθ sinθ

= 2 cosθ−sinθ 2 sinθ

cosθ sinθ

= 2 cos²θ+ sin²θ

−sinθcosθ qA

cosθ sinθ

= 2−sin 2θ 2 .

Or pour toutθ∈R,−16sin 2θ61 et ces bornes sont atteintes puisque θ≡ π

4[π] =⇒ sin(2θ) = 1 et θ≡ −π

4 [π] =⇒ sin(2θ) =−1 On en déduit que mA= 3/2 et MA= 5/2

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I.2.1 Pour un vecteury∈Rⁿ non nul et par bilinéarité du produit scalaire, il vient qA(y) =kyk²qA(y/kyk) = 0cary/kyk ∈Ωn. De plus, poury= 0, l’égalitéqA(y) = 0 est vraie. Finalement

∀y∈Rⁿ qA(y) = 0

I.2.2 Soit(y, z)∈Rⁿ×Rⁿ. Par bilinéarité du produit scalaire, il vient qA(y+z) =hA (y+z) |y+zi

=hAy|yi+hAz|yi+hAy|zi+hAz|zi

d’où, en utilisant le fait que qA(w) = hAw|wi = 0 pour tout w ∈ Rⁿ d’après la question I.2.1,

∀(y, z)∈Rⁿ×Rⁿ qA(y+z) =hAz|yi+hAy|zi I.2.3 En combinant les questions I.2.1 et I.2.2, on obtient que

∀(y, z)∈Rⁿ×Rⁿ hAz|yi=−hAy|zi

En appliquant ceci ày=εi etz=εj, où(εk)_16k6n est la base canonique deRⁿ et(i, j)∈[[ 1 ; n]]², et en remarquant queAεi est le vecteur formé par la i^e colonne deA, il s’en déduit que

∀(i, j)∈[[ 1 ;n]]² hAεi|εji=aj,i=−hAεj|εii=−ai,j

ce qui signifie exactement que

La matriceAest antisymétrique.

I.3 Supposons que qA(x) = 0 pour tout x ∈ Ωn. D’après la question I.2.3, A est une matrice antisymétrique. Or par hypothèse,A est symétrique. Ceci implique queA = 0car

A = ^tA =−A

=⇒ (2A = 0) =⇒ (A = 0)

Réciproquement, si Aest la matrice nulle, le produitAxpour x∈Ωn est nul et par suiteqAest nulle surΩn. En définitive, on vient de montrer que

∀x∈Ωn qA(x) = 0

⇐⇒ (A = 0)

I.4 Vérifions chacune des propriétés caractérisant une norme.

• L’applicationNest bien définie d’après la question I.1.1 et à valeurs positives.

• La question I.3 permet d’affirmer que

∀A∈ Sn(R) (N(A) = 0) ⇐⇒ (A = 0)

• Soientλ∈Retx∈Ωn, par bilinéarité du produit scalaire on obtient que qλA(x) =hλAx|xi=λhAx|xi

soit en passant à la valeur absolue

|qλA(x)|=|λ| |hAx|xi|

La borne supérieure étant le plus petit des majorants etλétant indépendant dex, on aboutit à

N (λA) =|λ|N (A)