Preuve.Lasommedesanglesd'untriangleestl'angle plat

(1)

Appliations.

ChantalMenini

12 juin2008

Danstoutl'exposélorsquenousparleronsdetriangle,ilestsous-entenduqueletriangleestnonaplati.

1 Relations métriques dans un triangle retangle (niveau ollège).

Noussupposons onnus lanotiond'anglegéométrique,lessymétries entraleet orthogonaleet leurspropriétés,

lethéorèmedeThales(faultatifvoiràlan),laaratérisationdesparallélogrammesetdesretangles.

1.1 Dénition et premières relations.

Dénition 1.1 Un triangle ABC êst ^retangle ên A ^si^l'angle géométrique \BAC êst ^droit. ^Le ôté ôpposé [BC]

est appelé hypothénuse.

Untriangle estretangles'ilest retangle en l'unde sessommets.

Proposition1.2 Les deuxanglesd'untriangleretangle qui nesont pasdroitsont omplémentaires.

Preuve.Lasommedesanglesd'untriangleestl'angle plat.

Théorème 1.3 Soient ABC ûn ^triangle êt I ^le ^milieu ^de [BC] âlors, ^le ^triangle ABC êst ^retangle ên A ^si êt

seulement siIA=IB=IC^.

Preuve.Soit A^′ ^le^symétrique^deA ^par^la^symétrie êntrale^deêntreI^. ^Parônstrution ^lequadrilatèreABA^′C

est unparallélogramme.

ABC êst^retangleênA^siêt^seulement^siABA^′C êstûn^retangle(parallélogrammeayantunangledroit)soitsiet

seulementsisesdiagonalessontdemême longueur.

Corrolaire 1.4 Untriangle ABC êst^retangleênA ^siêt^seulement^siA êst^sur^leêrle^de ^diamètre [BC]^privé

despointsB ^etC^.

Théorème 1.5 (ThéorèmedePythagore)UntriangleABCêst^retangleênA^siêt^seulement^siAB²+AC²=BC²^.

Preuve.MontronsqueABC êst^retangleênAîmpliqueAB²+AC²=BC²^.^Notonsa=BC^,b=AC êt c=AB^.

b c

a c

a

b

c a

b

c a

b

b c

b

b c

b

c

Les gures parlent d'elles mêmes; il reste juste à justier que dans la gure de gauhe le quadrialtère de otéa

est bien un arré, ei résulte du fait que dans un triangle retangle les deux angles qui ne sont pas droits sont

omplémentaires.

Une autredémonstrationlassique onsisteàalulerl'aireA^du^trapèze^i-dessous^de^deux^manières^diérentes

(2)

A C

B E

D

b

c b

c a a

enutilisantlaformulesommedesbasesfoishauteurdiviséepar2soitiiA= (b+c)×^b⁺₂^c ^puis^en^utilisant^que^'est

aussilasommedesairesdestroistrianglesABC^,BED ^etBDC^qui^valentrespetivement

b+c 2 ^,

b+c

2 ^eta²/2^.^Il^faut

justier lealuldel'airedeBDC^,îl^résulte ^du^fait^que^le^triangleBDCêst ^retangleênB âr^lesânglesEBD\ êt

\CBA^sontomplémentaires.

Pourmontrerlaréiproquenousintroduisonsundemi-erle dediamètre[BC]^.^Nous^notons D^le^point^de^e^demi

erletelqueCD=CA^.^Grâeâu^théorème^préédentBCDêst^retangleênDêtâve^la^partie^direte^du^théorème

de PythagoreBD²+CD²=BC²^, ^dont^on^déduit ^avel'hypothèseAB²+AC² =BC² ^que AB=BD^.^Si A=D

'est terminé, sinon B êt C ^sont ^sur ^la^médiatrie ^de [AD] êt ^don ^le^triangle ABC êst ^le ^symétrique^du ^triangle DBC ^par^symétrie orthogonaled'axe(BC)^,^la ^symétrie ônserve^les ânglesgéométriquesdon ABC êst ^retangle

enA^.

Une premièreappliationduthéorèmedePythagoreest

Proposition1.6 Soient(d)ûne^droiteêtAûn^pointn'appartenantpasà(d)^.Îlêxiste ûnûnique^pointH ^de(d)^tel

que AH= min{AM | M ∈(d)}^.H êst^le^point^de (d) ^tel^que(AH)⊥(d) êtôn^dit ^qued(A,(d)) =AH^.

Preuve.Soit H ^le^point^de(d)^tel ^que(AH)⊥(d)^,âve ^le^théorème^de ^Pythagore ^pour ^tout ^pointM ^de (d) ônâ AM²=AH²+HM² ^soitAM²≥AH²êt îl^yâ^égalité ^siêt^seulement^siHM = 0^.

1.2 Triangle retangle et hauteur.

Théorème 1.7 SoientABC ûn^triangle êtH ^la ^hauteurîssue^de A âlors,ABC êst ^retangle ên A^siêt^seulement

siH ∈[BC] ^etHA²=HB×HC^.

Preuve.DuthéorèmedePythagoreappliquédanslestrianglesretanglesAHBêtAHC^nous^déduisons^que2HA²+ HB²+HC²=AB²+AC² (1)^.^Si ^le^triangleABC êst ^retangleênAâlors2HA²+HB²+HC²=BC²^.^Nousên

déduisons queHB≤BC ^etHC ≤BC^don^le^pointH ^est^sur^le^segment[BC]^.

De pluspuisque H ∈[BC]^,BC²= (BH +HC)² =BH²+CH²+ 2HB×HC êt âve(1) ^nousâvons^équivalene

entreHA²=HB×HC êtAB²+AC²=BC²^; ^soit,êntre HA²=HB×HC êtABC ^retangleênA^.

Proposition1.8 SoientABC ûn^triangleêtH ^la^hauteurîssue^deAâlors,ABC êst^retangleênA^siêt^seulement

siH ∈[BC] êtBH×BC=BA² ^siêt^seulement ^siH ∈[BC]êtCH×CB=CA²^.

Preuve.NoussavonsdéjàavelapropositionpréédentequeABC ^retangle^enA^impliqueH ∈[BC]^.

DuthéorèmedePythagoreappliquédansletriangleretangleAHB ^nous^déduisons^queHA²+HB²=AB²^, ^ainsi

sousl'hypothèseH ∈[BC]^,HA²=HB×HC ^équivaut^àHB×(HB+HC) =AB²^et ^la^premièreéquivalene.La

deuxièmesetraitedemêmeenpartantdutriangleretangleAHC^.

Proposition1.9 SoientABC ûn^triangleêtH ^la^hauteurîssue^deAâlors,ABC êst^retangleênA^siêt^seulement

siHA×BC=AB×AC^.

Preuve.Nousalulonsl'aireA^du^triangle^de^deux^façons^diérentes.

Avelaformulebase foishauteurdiviséepar2,A=HA×BC/2^.

SiABCêst^retangleênA^,âlorsAêst^le^pied^de^la^hauteurîssue^deB êtA=AB×AC/2êtônâ^l'égalitéânnonée.

RéiproquementsionaHA×BC=AB×AC^,^notonsB^′ ^le^pied^de^la^hauteur^issue^deB^.^L'aire^du^triangleABC

estdonA=HA×BC/2 =B^′B×AC/2 =AB×AC/2^,^d'oùB^′B=AB^.^Par^onstrutionB^′^est^le^point^de(AC)

telqued(B,(AC)) =BB^′^,A∈(AC)^don^parûniité^deê^pointA=B^′ êt ^le^triangleêst ^retangleênA^.

Proposition1.10 Soient ABC ûn^triangle ^retangle ênA êtH ^la ^hauteurîssue^de Aâlors _AH¹2 = _AB¹2 +_AC¹2^.

Preuve.Avelespropositionspréédentes

HA×BC=AB×AC împliqueHA²×BC²=AB²×AC²êtâve^PythagoreHA²×(AC²+AB²) =AB²×AC²^.

OnonlueendivisantparAH²×AB²×AC²^.

(3)

Savoirreonnaitresiuntriangleestretangleounonlorsquel'ononnaitlalongueurdesesotés(f.le3-4-5

desmaçons).

Laonstrutiondesrainesdes entierssuessifs(enpartiulier

√2 ^est^la^longueur^de^la^diagonale^d'un^arré

deoté1^).

1 1

1

1 1

a êt b ^étant ^deux êntiers, ^la ônstrution ^à ^la ^règle êt âu ômpas ^de √

ab^. Ôn ûtilise ^le ôrrolaire ^1.3 êt ^le

théorème 1.7. Ii BH = a^, HC = b ^et ^le ^point A ^à l'intersetion dudemi-erle de diamètre [BC] ^et ^de ^la

perpendiulaireenH ^à[BC]^est ^tel^queAH=√ ab^.

B H C

A

ConstrutiondestangentesàunerleC^deêntreO^,^passant^parûn^pointêxtérieurA^àêêrle^(la^tangente

àC ên ûn^pointM ^de C êst^laperpendiulaireenM âu^rayon[OM]^). Ôn^trae^le êrle^de ^diamètre[OA]^, îl

oupeC ênT êtT^′^, ^les^droites(AT)êt(AT^′)^sont^les^tangentes^herhées.

A T

T’

0 C

Caluldelahauteurdansuntriangleéquilatéraldeotéa^: ^√₂³a^.

2 Relations métriques dans un triangle retangle (niveau lyée+).

Nousnousplaçonsdansleplan anemunid'unrepère(O, I, J) ^et^nous^supposons ^que^le ^plan^vetoriel^assoié

est munid'unproduitsalaire.Parexemplepourtousveteurs

−

→u êt−→v ^deôordonnées^respetives(x, y)êt(x^′, y^′)

danslabase(−→

OI,−→

OJ)^nous^dénissons^le^produit ^salaire^de−→u ^et −→v^, ^noté−→u · −→v ^par−→u · −→v =xx^′+yy^′^.

Deux veteurssontditsorthogonauxsileurproduit salaireestnul.

Lanormeassoiéeauproduitsalaireestk−→uk=√−→u · −→u ^et^nous^noteronsAB=kABk^.

2.1 Dénition et premières relations.

Dénition 2.1 Untriangle ABC ^est^dit ^retangle^en A ^si−−→

AB·−→

AC = 0^.^Le ôté ôpposéâu ^sommetA êst âppelé

hypothénuse.

Untriangle estretangles'ilest retangle en l'unde sessommets.

Théorème 2.2 (ThéorèmedePythagore)UntriangleABCêst^retangleênA^siêt^seulement^siAB²+AC²=BC²^.

(4)

BC² = −−→

BC·−−→

BC=−−→

BA·−−→

BA+−→

AC·−→

AC+ 2−−→

BA·−→

AC

= AB²+AC²+ 2−−→BA·−→AC

et lerésultat.

Théorème 2.3 Soient ABC ûn ^triangle êt I ^le ^milieu ^de [BC] âlors, ^le ^triangle ABC êst ^retangle ên A ^si êt

seulement siIA=IB=IC^.

Preuve.AvelarelationdeChasles, labilinéaritéduproduitsalaireet lefaitque

−→IB=−−→

IC=−¹2

−−→BC

−−→AB·−→AC=AI²−BC²/4

et lerésultat(nousavonsétablipourelaunedesassertionsduthéorèmedelamédiane).

Corrolaire 2.4 Untriangle ABC êst^retangleênA ^siêt^seulement^siA êst^sur^leêrle^de ^diamètre [BC]^privé

despointsB ^etC^.

2.2 Triangle retangle et hauteur.

Théorème 2.5 SoientABC ûn^triangle êtH ^la ^hauteurîssue^de A âlors,ABC êst ^retangle ên A^siêt^seulement

siHA²=−−−→HB·−−→HC^.

Preuve.AvelarelationdeChasles, labilinéaritéduproduitsalaireet lefaitque

−−→AH·−−→HB=−−→AH·−−→HC = 0

−−→AB·−→AC=AH²+−−→HB·−−→HC

et lerésultat.

Proposition2.6 SoientABC ûn^triangleêtH ^la ^hauteurîssue^de Aâlors, ABC êst^retangleên Aêst^équivalent

àl'unedesassertionssuivantes

(i)

−−→BH·−−→

BC=BA²

(ii)

−−→CH·−−→

CB=CA²

(iii) HA×BC=AB×AC^.

Preuve.Les deux premièresassertionssemontrenttoujours ave l'utilisationdu produit salaireet dela relation

deChasles. Parexemplepour(i)

BA²=−−→BA·(−−→BC+−→CA) =−−→BH·−−→BC+−−→BA·−→CA.

Latroisièmeommedanslapartie niveau ollège.

Proposition2.7 SoientABC ûn^triangle ^retangleên Aêt H ^la^hauteur îssue^de A âlors _AH¹2 =_AB¹2 +_AC¹2^.

Preuve.Commeauniveau ollège.

2.3 Appliations.

Cellesduniveauollège,onpeutrajouter

Caluldelahauteurh^d'un^tétraèdre^régulierABCD^deôtéa^:^le^piedG^de^la^hauteurîssue^du^sommetAêst

l'isobaryentrede(B, C, D)êtBCDêstûn^triangleéquilatérald'oùBG²+h²=a² êtBG= ²₃^√₂³a^,h= ^√₃⁶a^.

Construtiondel'inversed'unpointparl'inversiondeentreO^et^rapportk^.M ^étant^un^point^du^plan^diérent

deO ôn^herhe^àônstruireûn^pointM^′ ^tels^que0^,M^,M^′ ^soientâlignésêt−−→OM ·−−−→

OM^′=k^.

Pourk <0 ^on^introduit ^le^pointA^tel^queAO=√

−kêt −→AO^soitôrthogonal^à−−→M O^.M^′ êstâlors^le^point^de

ladroite (OM)^tel^queAM M^′ ^soit^retangle^enA^(f. ^théorème^2.5).

Pourk >0^il ^va^falloir^distinguer^trois^as. ^Si√

k=OM ^alorsM^′ =M^.^Si √

k > OM âlorsôn^vaônstruire M^′ ^pour^que ^le ^triangle OAM^′ ^soit ^retangle ên A âve M ^pied ^de ^la ^hauteurîssue ^de A êt OA = √

k ^(f.

proposition2.6 (i)).Si

√k < OM âlorsôn^vaônstruireM^′ ômme^pied^de^la^hauteurîssue^deAâveOAM

triangleretangleenA ^etOA=√

k^.

(5)

Noussupposonsqueleplananeeulidienestmunid'uneorientationetnoussupposonsonnueladénitiond'un

angle orienté de veteurs et desesmesures. Nousnoterons (−→u ,−→v) ^l'angleôrienté ^des^veteurs−→u êt −→v êt (−→\u ,−→v)

une mesure. Nous supposons onnu l'ation des transformations usuelles (translation,symétrie axiale et rotation)

surlesanglesorientésdeveteurs.

Nousappelons(O,−→OI,−→OJ)ûn^repèreôrthonormé^diret^du^planâne.^Leêrle^deêntreO^,^passant^parIêtôrienté

danslesensdiretest appeléerle trigonométrique.

3.1 Dénitions et premières onséquenes.

Dénition 3.1 Soient t ûn ^réel êt M ^le ^point ^du êrle trigonométrique tel que (−→OI,\−−→OM) = t [2π]^. Ôn âppelle

osinus etsinusde t^(notés cost ^etsint^),^les^oordonnées^de M ^dans^le^repère(O,−→

OI ,−→

OJ)

−−→OM = cos(t)−→OI+ sin(t)−→OJ .

.

Dénition 3.2 Le osinus(respetivement sinus) d'un angle orienté de veteurs est leosinus (respetivement

sinus) d'unemesure deetangle.Nousnoteronsenorecos(−→u ,−→v) (respetivementsin(−→u ,−→v)^).

Lapropositionsuivanteestuneonséqueneimmédiatedeladénition

Proposition3.3 1. Lesfontionscos ^etsin ^sont^dénies^surR^et 2πpériodiques.

2. Les fontionscos ^etsin ^sont^à^valeurs^dans[−1,1]^.

3. Pourtoutréelt^,cos²(t) + sin²(t) = 1^.

Proposition3.4 Valeursremarquables.

t 0

π 6

π 4

π

2 π

cost ¹ ^√₂³ ^√₂² ⁰ −1 sint ⁰ ¹₂ ^√₂² ¹ ⁰

Preuve.

Les valeursen0,

π

2 êt π ^sontimmédiates. Pour lesautres valeursommençonspar remarquerque lesoordonnées dupointM ^sont^toujours^positives,îl^sut ^don^deâluler^la^valeur^duôsinusôu^sinus.

IntroduisonsM^′ ^le^symétrique^deM ^par^la^symétrie orthogonaled'axe(OI)^.

Si (−→OI,\−−→OM) = ^π₆ [2π] âlors^le^triangleOM^′M êstéquilatéralde oté1et l'ordonnée deM êst^la^moitié^de^la ^lon-

gueurd'untéd'oùlavaleurdusinuspuisduosinus(pourleosinusonpeutaussiutiliserlahauteurdutriangle

équilatéral).

Si (−→OI,\−−→OM) = ^π₄ [2π] âlors^le ^triangle OM^′M êst ^retangle êt îsoèle ên O^, ^l'abisse ^(ou l'ordonnée) est don la demilongeurdeladiagonaled'unarrédeté1soit

√2

2 ^.

Proposition3.5 Pourtoutréelt

1. cos(−t) = cos(t) sin(−t) =−sin(t)^,

2. cos(π−t) =−cos(t) sin(π−t) = sin(t)^,

3. cos(t+π) =−cos(t) sin(t+π) =−sin(t)^,

4. cos(^π₂ −t) = sin(t) sin(^π₂−t) = cos(t)^.

Preuve. Dans l'ordre : par symétrie axiale d'axe(OI)^, âxiale ^d'axe(OJ)^, êntrale ^de êntre O^, âxiale ^d'axe (d)

d'équationy=x^.

Corrolaire 3.6 cos(^π₃) =¹₂ ^etsin(^π₃) =^√₂³^.

Dénition 3.7 Lafontiontangente(notéetan⁾ ^est^dénie^surR\({^π₂}+πZ)^par tan(t) = sint

cost.

Remarque 3.8 Onvérieaisémentquecos(t) = 0 ^équivaut^àt∈ {^π2}+πZ^.

(6)

==========sionahoisitunepremièrepartieniveauollège===========

Proposition3.9 SoitABC ûn^triangle,îl êst^retangle ênA ^siêt^seulement^si cos(−−→BA,−−→BC) =AB

BC.

Preuve.Leosinusétantunefontionpairenouspouvonssupposerque(−−→BA,−−→BC)^est^diret.

Les translationset rotationsne hangeantpaslesanglesorientésdeveteursnouspouvonssupposerqueB =O êt I∈[BA)^.^Nous^notons C^′ ^le^pointintersetionde[BC)âve^leêrletrigonométriqueetA^′ ^son^projetéôrthogonal

sur(BA)^.

Si ABC êst ^retangleênAâlorscos(−−→BA,−−→BC) =BA^′ ^(les ângles^non^droits^d'un^triangle^retangle^sontâigus).^Les

droites (A^′C^′) êt (AC) ^sont ^parallèles âr ^toutes ^deux perpendiulaires à(BA) ^don âve ^le ^théorème ^de ^Thales

BA^′

BA =^BC_BC^′ = _BC¹ ^soit BA^′= ^AB_BC^.

Si cos(−−→BA,−−→BC) = ÂB_BC ^nous ên ^déduisons ^que ^le ôsinus êst ^positif êt ^don^que A^′ ∈ [BA)^, ^nous âvons^déjà ^par

onstrutionC^′∈[BC)^,^nous^onluons^ave^la^réiproque^du^théorème^de^Thales.

Proposition3.10 SoitABC ûn^triangle, îl êst^retangle ên A^siêt ^seulement^si|sin(−−→BA,−−→BC)|=_BCÂC

Preuve.Pourl'impliation nousutilisonslethéorèmedePythagoreetlaproposition 3.9.

Pourlaréiproque,enreprenantlesnotationsdelapreuvepréédentenousavons

AC

BC = ^A_BC^′^C′^′^.^NotonsA^′′ ^le^projeté

orthogonaldeC^sur^la^droite(AB)^,âve^le^théorème^de^Thales Â_A^′′_′_C^C_′ = _BC^BC_′ ^d'oùAC =A^′′C êtA=A^′′ ^parûniité

duprojetéorthogonal;letriangleestretangleenA^.

Corrolaire 3.11 SoitABC ûn^triangle ^retangle ên Aâlors |tan(−−→

BA,−−→

BC)|= ^AC_AB^.

Preuve.Conséquenedespropositions3.9et3.10

Remarque 3.12 Ii nous n'avons plus d'équivalene, si ABC êst ^retangle ên A ônsidérons D ^le ^projeté ôrtho-

gonal de A ^sur (BC) ^et C^′ ^l'image ^de C ^par ^la ^symétrie ^d'axe (AD)^. ^Alors AC^′ = AC ^don |tan(−−→BA,−−→

BC^′)| =

|tan(−−→BA,−−→BC)|= ÂC_AB^′ êt ^la^triangle ABC^′ ^n'est^pas^retangle ênA^.

Nousrappelonsqu'unemesureenradiandel'anglegéométrique\ABC^est^la^valeur^absolue^de^la^mesure^prinipale

(mesureappartenantà]−π, π]⁾^de^l'angle^orienté^de^veteurs(−−→

BA,−−→

BC)^,^d'où^le^orrolaire

Corrolaire 3.13 SoitABC ûn^triangle ^retangle ên A^.Âlors cos(\ABC) = AB

BC sin(\ABC) = AC

BC tan(\ABC) = AC AB.

==========sionahoisitunepremièrepartieniveaulyée+===========

Proposition3.14 Soient −→u ^et−→v ^deux^veteurs^non ^nuls ^alors

−

→u · −→v =k−→uk × k−→vk ×cos(−→u ,−→v).

Preuve.Quitteàfaireunerotation,nouspouvonssupposerque−→u =k−→uk−→OI ^et−→v =x−→OI+y−→OJ^,^puisque(−→OI,−→OJ)

est orthonormée,

−

→u · −→v =k−→ukx+ 0y=k−→ukx^.^Par^dénition

cos(−→u ,−→v) = cos( −→u\ k−→uk, −→v

k−→vk) = cos(−→OI,\−→v

k−→vk) = x k−→vk.

Corrolaire 3.15 SoitABC ûn^triangle,îl êst^retangle ênA ^siêt^seulement^si cos(−−→BA,−−→BC) = ÂB_BC

Preuve.

−−→AB·−→

AC=AB²−−−→

BA·−−→

BC^.

Proposition3.16 SoitABC ûn^triangle, îl êst^retangle ên A^siêt ^seulement^si|sin(−−→BA,−−→BC)|=_BCÂC^.

Preuve.Commei-dessus.Onpourraitaussiutiliserquedet(−−→BA,−−→BC) =BA×BC×sin(−−→BA,−−→BC)^mais^ela^dépasse

leniveaulyée.

Corrolaire 3.17 SoitABC ûn^triangle ^retangle ên Aâlors |tan(−−→

BA,−−→

BC)|= ^ACAB^.

Même preuveetremarquequei-dessus.