Obtention de modèles de diffusion à partir d'équations cinétiques. Modélisation, étude mathématique et simulation

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cinétiques. Modélisation, étude mathématique et simulation

Jean-Pierre Bourgade

To cite this version:

Jean-Pierre Bourgade. Obtention de modèles de diffusion à partir d’équations cinétiques. Modélisa- tion, étude mathématique et simulation. Mathématiques [math]. Université Paul Sabatier - Toulouse III, 2004. Français. �tel-00008808�

UNIVERSITE TOULOUSE III - PAUL SABATIER U.F.R. M.I.G.

TH` ESE

pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L’UNIVERSIT´ E TOULOUSE III Discipline : Math´ ematiques Appliqu´ ees

pr´ esent´ ee par Jean-Pierre Bourgade

le 10 d´ ecembre 2004

Titre : Obtention de mod` eles de diffusion ` a partir d’´ equations cin´ etiques Mod´ elisation, ´ etude math´ ematique et simulation

Soutenue publiquement devant le jury compos´ e de :

Rapporteur A. Nouri Professeur,

Universit´ e de Provence, Marseille

Examinateurs K. Aoki Professeur,

Kyoto University, Kyoto N. Ben Abdallah Professeur,

Universit´ e Paul Sabatier, Toulouse J.-M. Roquejoffre Professur,

Universit´ e Paul Sabatier, Toulouse Directeurs P. Degond Directeur de Recherche CNRS,

Universit´ e Paul Sabatier, Toulouse L. Mieussens Maˆıtre de Conf´ erences,

Universit´ e Paul Sabatier, Toulouse

3

Remerciements

La r´ ealisation de ce travail n’aurait pas ´ et´ e pensable sans l’aide et le soutien constant de mes directeurs de th` ese, Pierre Degond et Luc Mieussens. La qualit´ e de mon travail rend sans doute un hommage insuffisant ` a leur exigence et ` a la pertinence de leurs conseils. Je tiens ` a les remercier ici d’avoir accept´ e de diriger mes recherches, mais aussi d’avoir su me faire partager leurs connaissances en math´ ematiques appliqu´ ees ainsi qu’en physique ou en analyse num´ erique.

Certains travaux pr´ esent´ es ici sont le fruit de collaborations. Je tiens ` a saluer ici la gentillesse d’Antoine Mellet avec qui ce fut toujours un plaisir de travailler. Florian M´ ehats m´ erite toute ma reconnaissance pour les comp´ etences et la patience dont il a fait preuve pendant le long travail de correction et d’am´ elioration des r´ esultats sur les mod` eles SHE quantiques. Je suis

´ egalement reconnaissant envers Christian Ringhofer qui m’a accueilli chaleureusement durant mon s´ ejour ` a Arizona State University ` a Phoenix.

Je remercie Anne Nouri et Juan Soler pour l’int´ erˆ et qu’ils ont accord´ e ` a ma th` ese en accep- tant d’en ˆ etre les rapporteurs et pour les suggestions stimulantes qu’ils ont pu me faire.

J’ai effectu´ e mes premiers pas en math´ ematiques appliqu´ ees en suivant les cours tr` es fournis de N. Ben Abdallah et J.-M. Roquejoffre. C’est un plaisir pour moi qu’ils aient accept´ e d’ˆ etre membres du jury. Je suis ´ egalement tr` es honor´ e que M. Aoki ait accept´ e de faire partie de mon jury.

Il serait absurde et injuste d’oublier de mentionner ici Nicolas, avec qui la cohabitation dans le bureau 201 fut toujours extrˆ emement salutaire pour moi. Je pense que je ne serais jamais parvenu ` a terminer ce travail sans son intelligence, son extraordinaire gentillesse et son amiti´ e. Cl´ ement et S´ ebastien ont support´ e ´ egalement mon amiti´ e encombrante pendant des ann´ ees. J’esp` ere que leurs ´ epaules sont encore assez solides pour les ann´ ees ` a venir. Je remercie ´ egalement les amis qui, de pr` es ou de loin, souvent sans le savoir, m’ont aid´ e dans l’ach` evement de ce travail : Renaud, Yann, Jonathan, les statisticiens C´ ecile, Christophe, Lionel et Marielle, le probabiliste Yan, Sophie, Mattias et Abderrahim du “bureau d’en face”, C´ eline et Francis, G´ eraldine et toutes les personnes, jeunes ou moins jeunes, qui ont rendu le s´ ejour dans ce laboratoire agr´ eable. Je remercie particuli` erement Christine Marty d’avoir apport´ e, pour beaucoup d’entre nous, la preuve que la comp´ etence, la discr´ etion et la gentillesse pouvaient se trouver r´ eunies chez une mˆ eme personne.

Pierre Mazet a jou´ e un rˆ ole unique dans ma trajectoire et je n’aurais probablement jamais

fait de math´ ematiques s’il n’avait ´ et´ e un passeur merveilleux. Des domaines aussi passionnants

que la sociologie, la physique ou les math´ ematiques me seraient certainement rest´ es ferm´ es sans

lui. Je ne sais comment lui exprimer ma gratitude sinon peut-ˆ etre en soulignant sa culture quasi

universelle, son int´ egrit´ e exemplaire et sa gentillesse.

Le montant de ma dette envers mes parents est infini. Les conditions initiales id´ eales qu’ils m’ont donn´ ees, la famille qu’ils ont fond´ ee et l’affection faite d’´ ecoute et de soutien que j’y ai toujours trouv´ ee m’ont permis de surmonter les phases les plus angoissantes de ma vie. Je remercie par ailleurs mes petites grandes soeurs Annie et Florence qui, par leur pr´ esence discr` ete mais constante, m’ont aid´ e ` a faire mes premiers pas, et les suivants, dans la vie.

Enfin et surtout, merci ` a Christel pour tout ce qu’elle est.

5

A mes grand-parents, pr´ esents et absents

Table des mati` eres

I Introduction et r´ esum´ e 11

1 Mod´ elisation du transport de particules charg´ ees 17

1 Mod´ elisation cin´ etique des ph´ enom` enes de transport . . . . 17

1.1 Equations cin´ etiques sans terme de collision : ´ equation de Vlasov, ´ equation de Wigner . . . . 17

1.2 Interactions avec le milieu et entre particules : Op´ erateurs de collision . . . . 21

2 Mod´ elisation macroscopique des ph´ enom` enes de transport . . . . 26

2.1 G´ en´ eralit´ es : le syst` eme de D´ erive Diffusion . . . . 28

2.2 Lien entre ´ equilibre thermodynamique et op´ erateur de collision . . . . 28

2.3 D´ erivation formelle des syst` emes DD et SHE . . . . 31

2.4 Remarque g´ en´ erale sur le mod` ele SHE Le mod` ele SHE coupl´ e . . . . 34

2 Etude des mod` eles de type SHE et SHE coupl´ e 39 1 Mod` eles SHE quantiques et op´ erateurs de collision dissipant l’entropie quantique 39 2 Mod` eles macroscopiques pour les collisions entre ´ electrons et phonons . . . . 45

3 R´ egimes de diffusion engendr´ es par des collisions de surface . . . . 52

4 Simulations num´ eriques . . . . 64

II Mod´ elisation et ´ etude math´ ematique 79 3 Sur deux mod` eles de diffusion de type SHE quantique 81 1 Introduction . . . . 81

2 Classical modelling of Electron-Phonon Scattering in semiconductor devices . . . 83

2.1 The Classical Electron-Phonon collision operator . . . . 85

2.2 Derivation of the Classical SHE model . . . . 86

3 Classical collision operators and Quasi-Quantum SHE models . . . . 88

3.1 The Wigner-Boltzmann equation . . . . 88

3.2 The Quasi-Quantum SHE model (QQSHE) . . . . 91

3.3 The QQSHE

model : quantum corrections to the classical SHE model . 94 4 Quantum collision operators . . . . 94

7

4.1 The Quantum Electron-Phonon collision operator . . . . 96

4.2 The quantum relaxation operator . . . . 98

5 Quantum SHE models . . . 100

A The QQSHE

model . . . 101

B The QSHE

model . . . 104

4 Sur des mod` eles macroscopiques pour les collisions avec les phonons 111 1 Introduction . . . 111

2 Two elastic/inelastic splittings . . . 114

3 Formal approach to the diffusion approximation . . . 118

4 The diffusion tensor : an infinite dimensional matrix . . . 120

5 Rigorous approach to the diffusion approximation . . . 124

5.1 Convergence and continuity equation . . . 124

5.2 Current equation . . . 126

5.3 Uniqueness of the asymptotic current and density . . . 131

6 Conclusion . . . 132

5 R´ egimes de diffusion engendr´ es par des collisions de surface 137 1 Introduction . . . 137

2 The Microscopic Model . . . 139

3 The Boundary Condition : properties of the Collision Operator . . . 142

3.1 The general form of the collision operator . . . 142

3.2 Two splittings of the boundary collision operator . . . 143

3.3 Flux conservation . . . 144

3.4 Mathematical properties of the collision operators . . . 145

4 Formal Derivation of the macroscopic model . . . 147

4.1 The limit as a function of the energy . . . 148

4.2 The continuity equation . . . 148

4.3 Resolution of the auxiliary equation . . . 149

4.4 The current equation . . . 152

5 Existence for the microscopic problem . . . 152

5.1 Green’s formula . . . 153

5.2 Resolution of an approximate kinetic problem . . . 153

5.3 Trace estimates and existence for the kinetic problem . . . 154

6 From the kinetic problem to the coupled SHE model : Rigorous Asymptotics . . 157

6.1 Weak convergence of f

. . . 157

6.2 Resolution of the auxiliary problem . . . 159

6.3 Positivity of the diffusion tensor . . . 160

6.4 Derivation of the current equation . . . 161

6.5 The coupled SHE model . . . 163

7 Conclusion . . . 164

9

III Simulations Num´ eriques 169

6 Comparaison de deux mod` eles SHE et d’un mod` ele cin´ etique 171

1 Introduction . . . 171

2 The microscopic model and the SHE models . . . 173

2.1 The kinetic model . . . 173

2.2 The standard SHE model . . . 174

2.3 The coupled SHE model . . . 175

3 Numerical methods . . . 178

3.1 The discretized Boltzmann equation . . . 178

3.2 The SHE models . . . 179

4 Numerical results . . . 180

4.1 The diffusion and stationary regimes . . . 182

4.2 The transient regime . . . 184

5 Conclusion . . . 185

Premi` ere partie

Introduction et r´ esum´ e

11

13 La mod´ elisation du transport de particules charg´ ees est un enjeu majeur de la physique des semi-conducteurs. Les propri´ et´ es physiques de ces mat´ eriaux ne peuvent ˆ etre pr´ evues et expliqu´ ees correctement que dans la mesure o` u l’on sait rendre compte de fa¸con pr´ ecise d’un ensemble de ph´ enom` enes tels que :

– l’action des champs de force (essentiellement ´ electriques dans les travaux pr´ esent´ es ici) sur les particules (en particulier, parce que les mat´ eriaux actuels atteignent des tailles de l’ordre de la centaine de nanom` etres, il devient crucial de donner dans certains cas une description quantique du transport des particules) ;

– les interactions entre particules, qui, en premi` ere approximation, peuvent ˆ etre mod´ elis´ ees comme des collisions - ´ elastiques ou non - bien que, dans la mˆ eme perspective de minia- turisation des composants ´ electroniques, il devienne n´ ecessaire de proposer des mod` eles qui rendent compte du caract` ere quantique des interactions particulaires ;

– les interactions des particules avec le milieu dans lequel elles ´ evoluent, soit, plus pr´ ecis´ ement dans le cas d’´ electrons dans des semi-conducteurs, les ´ echanges d’´ energie entre les ´ electrons et le r´ eseau atomique, ou encore les interactions entre les particules et le bord des mat´ eriaux.

Les ´ echelles typiques des mat´ eriaux semi-conducteurs imposent de consid´ erer un nombre tr` es important de particules ` a la fois et il est impossible pratiquement de proposer une descrip- tion r´ ealiste et ais´ ement expoitable (notamment num´ eriquement) des ph´ enom` enes ` a l’´ echelle des particules. Une des perspectives le plus souvent adopt´ ees depuis les ann´ ees 1960 consiste

`

a mod´ eliser l’´ evolution au cours du temps d’un nuage de particules dans l’espace des phases par l’interm´ ediaire d’´ equations cin´ etiques (on trouvera de nombreux ´ el´ ements de la th´ eorie cin´ etique des semi-conducteurs dans [18], [71] et [69], et un expos´ e plus centr´ e sur les ques- tions math´ ematiques dans [62]). L’´ echelle de description de ces mod` eles permet de conserver une certaine pertinence physique tout en autorisant des impl´ ementations num´ eriques. Cepen- dant, la r´ esolution num´ erique de ces ´ equations reste souvent tr` es coˆ uteuse en temps de calcul.

L’´ etude de mod` eles macroscopiques - diffusifs ou hydrodynamiques - s’impose alors comme une direction de recherche tr` es fertile. Il s’agit de mettre en ´ equation l’´ evolution de quantit´ es macroscopiques telles que la densit´ e particulaire, le courant, la temp´ erature, l’´ energie, etc. La r´ esolution num´ erique de ces ´ equations s’av` ere largement moins on´ ereuse que celle des ´ equations de type cin´ etique. Le gain en temps de calcul se paie toutefois par une perte de pr´ ecision et la justification th´ eorique de ces mod` eles est souvent d´ elicate et constitue en soi un objet d’´ etude complet.

Le but de ce type d’approche est de proposer des mod` eles macroscopiques aussi fiables et

aussi proches de la r´ ealit´ e physique que possible. Or, si la physique des particules est relative-

ment bien comprise, ` a ce jour l’obtention de mod` eles macroscopiques ` a partir de consid´ erations

purement microscopiques reste d´ elicate. Le probl` eme consiste essentiellement ` a comprendre en

d´ etail comment certains ph´ enom` enes microscopiques (par exemple les collisions entre parti-

cules) peuvent s’exprimer ` a une ´ echelle m´ eso ou macroscopique (` a travers les ph´ enom` enes de

diffusion ou de dissipation d’entropie par exemple). Il est assez d´ elicat d’´ etablir des ´ equations

d’´ evolution macroscopiques ` a partir de consid´ erations purement ph´ enom´ enologiques et une des

fa¸cons de garantir une certaine fid´ elit´ e des mod` eles macroscopiques envers la r´ ealit´ e physique

consiste ` a les d´ eriver ` a partir d’´ equations microscopiques via un changement d’´ echelle.

On est donc amen´ e ` a ´ etudier l’influence des changements d’´ echelle sur le comportement des solutions des ´ equations microscopiques. Les m´ ethodes de perturbation singuli` ere fournissent un cadre g´ en´ eral, quoique non syst´ ematique, pour l’´ etude de ces changement d’´ echelle. Il s’agit d’effectuer un changement de variables dans les ´ equations microscopiques en y introduisant un param` etre qui mesure le rapport de l’´ echelle typique ` a laquelle se produisent les ph´ enom` enes microscopiques pertinents (par exemple le libre parcours moyen, de l’ordre du nanom` etre) ` a l’´ echelle du mat´ eriau semi-conducteur lui-mˆ eme (de l’ordre du millim` etre ou du micron). Ces m´ ethodes pr´ esentent l’avantage de proposer une justification heuristique pour la d´ erivation de mod` eles macroscopiques ` a partir des ´ equations fondamentales de la physique des particules. La notion intuitive de changement d’´ echelle s’y traduit math´ ematiquement de fa¸con relativement simple et elles fournissent un cadre formel assez homog` ene d’un probl` eme ` a l’autre, donnant ainsi l’espoir de produire des th´ eories relativement coh´ erentes (fond´ ees par exemple sur les d´ eveloppements de Hilbert ou de Chapman-Enskog [17], [15], [62] ou encore les m´ ethodes de moments de Levermore [50]) permettant des d´ emonstrations math´ ematiques au moins partiel- lement rigoureuses.

Ici, nous cherchons ` a d´ eriver des mod` eles (macroscopiques) relativement g´ en´ eraux ` a partir d’´ equations cin´ etiques (microscopiques) dont le r´ ealisme physique est d´ ej` a bien ´ etabli. Un des mod` eles de diffusion les plus r´ ecents est le mod` ele Spherical Harmonics Expansion (SHE), qui g´ en´ eralise le mod` ele de D´ erive Diffusion (DD) en ce qu’il d´ ecrit le comportement d’un nuage de particules en fonction du temps, de la position et d’une variable d’´ energie (alors que les mod` eles de type DD ne prennent pas en compte l’´ energie des particules). Le mod` ele SHE a pu ˆ etre d´ eriv´ e (formellement et, dans certains cas, rigoureusement) ` a partir d’´ equations cin´ etiques par des m´ ethodes de changement d’´ echelle dans le cas o` u les interactions particulaires sont

´ elastiques (voir entre autres les travaux de P. Degond et N. Ben Abdallah [22], [8]), et sa validit´ e a ´ et´ e test´ ee num´ eriquement dans des cas stationnaires (cf. [24]). A ce jour, le mod` ele SHE n’a ´ et´ e ´ etudi´ e que pour des syst` emes dont l’´ echelle permet de n´ egliger les ph´ enom` enes quantiques.

R´ ecemment, P. Degond [21] a introduit une g´ en´ eralisation du mod` ele SHE permettant de prendre en compte des collisions ´ elastiques locales et non locales. Ce mod` ele, le mod` ele SHE coupl´ e, donne l’espoir de d´ ecrire plus pr´ ecis´ ement les situations physiques o` u les interactions dominantes sont in´ elastiques (ce qui est le cas le plus fr´ equent).

Cette th` ese se donne trois objectifs principaux. Tout d’abord un objectif de mod´ elisation, avec l’introduction de mod` eles SHE quantiques dont le but est de d´ ecrire les ph´ enom` enes de diffusion avec pr´ ecision dans le cas de mat´ eriaux de tr` es petite ´ echelle. Nous proposons essentiellement deux mod` eles diffusifs, le mod` ele SHE quasi quantique (Quasi Quantum SHE model, QQSHE) qui tient compte des propri´ et´ es quantiques du transport des particules dans un champ ´ electrique, et le mod` ele SHE quantique (Quantum SHE model, QSHE) qui, outre ces propri´ et´ es, vise ´ egalement ` a d´ ecrire les effets quantiques des interactions entre particules.

Pour cela, nous proposons des op´ erateurs susceptibles de d´ ecrire les interactions quantiques

et qui dissipent une entropie quantique. Pour ces deux mod` eles nous d´ eveloppons une ´ etude

entropique (suivant P. Degond et C. Ringhofer [30] et P. Degond, F. M´ ehats et C. Ringhofer

[29]) et nous donnons une d´ erivation formelle ` a partir de l’´ equation (de type cin´ etique) de

Wigner. La d´ erivation du mod` ele QQSHE a pu ˆ etre r´ ealis´ ee rigoureusement d’un point de vue

15 math´ ematique. Cette ´ etude est le fruit d’une collaboration avec P. Degond, F. M´ ehats et C.

Ringhofer. Nous pr´ esentons un r´ esum´ e de ces travaux en section 1 de cette introduction et les d´ etails sont donn´ es dans le chapitre 3.

Un deuxi` eme enjeu est l’´ etude math´ ematique du mod` ele SHE coupl´ e, dans la suite des travaux de P. Degond [21] et de T. Goudon et A. Mellet [44]. D’une part, nous donnons la d´ erivation formelle et rigoureuse du mod` ele SHE coupl´ e dans le cas d’interactions entre ´ electrons et phonons dans un semi-conducteur. Il s’agit ` a notre connaissance du premier mod` ele SHE non p´ eriodique d´ edi´ e ` a l’´ etude des interactions entre ´ electrons et phonons. Le r´ esum´ e de ce travail est pr´ esent´ e en section 2. L’´ etude compl` ete constitue le chapitre 4 de cette th` ese.

D’autre part, nous reprenons l’´ etude d’un mod` ele SHE introduit par P. Degond [23] en vue de mod´ eliser les ph´ enom` enes de diffusion engendr´ es par des collisions de particules avec une surface. Nous introduisons un mod` ele SHE coupl´ e qui g´ en´ eralise ce mod` ele et nous en donnons une d´ erivation rigoureuse. Un expos´ e l´ eg` erement d´ etaill´ e est donn´ e en section 3. Le chapitre 5 approfondit et d´ etaille les ´ enonc´ es et preuves.

Enfin, en vue d’´ eprouver la validit´ e des mod` eles SHE et SHE coupl´ e, nous proposons une

´ etude num´ erique compar´ ee de ces mod` eles, le mod` ele de r´ ef´ erence de la comparaison ´ etant de type cin´ etique. Nous nous pla¸cons dans un contexte purement classique et nous donnons une comparaison de ces mod` eles avec un mod` ele cin´ etique en pr´ esence ou non d’un champ ´ electrique.

Cette ´ etude, a ´ et´ e men´ ee avec A. Mellet et L. Mieussens. Nous la pr´ esentons succinctement en

section 4 et le travail est repris dans son int´ egralit´ e dans le chapitre 6.

Chapitre 1

Mod´ elisation du transport de particules charg´ ees

Ce chapitre rappelle des r´ esultats classiques sur les ´ equations cin´ etiques et les mod` eles de diffusion utilis´ es couramment pour la mod´ elisation des mat´ eriaux semiconducteurs.

1 Mod´ elisation cin´ etique des ph´ enom` enes de transport

Dans cette section, nous rappelons quelques g´ en´ eralit´ es sur les ´ equations microscopiques de type cin´ etique. Les travaux pr´ esent´ es dans cette th` ese ont pour point de d´ epart des ´ equations cin´ etiques classiques (de type Boltzmann) ou quantiques (de type Wigner). Nous introduisons les deux points de vue parall` element. Nous pr´ esentons d’abord les ´ equations sans terme de collision, puis nous donnons une pr´ esentation d´ etaill´ ee des op´ erateurs de collision que nous utilisons dans cette th` ese.

1.1 Equations cin´ etiques sans terme de collision :

´

equation de Vlasov, ´ equation de Wigner

Dans un premier temps, on consid` ere que les dimensions du syst` eme mod´ elis´ e sont telles que les ph´ enom` enes quantiques n’ont qu’une influence marginale sur le comportement des particules

´ etudi´ ees.

1.1.1 Transport classique : ´ equation de Vlasov

On consid` ere un nuage de particules (´ electrons) dans un semi-conducteur. On introduit la fonction de distribution f de ces ´ electrons. C’est une fonction du temps t > 0, de la position x ∈ Ω dans l’espace (Ω peut ˆ etre l’espace R

tout entier ou un sous-domaine propre de R

) et de la vitesse des particules v ∈ R

. La quantit´ e f(t, x, v)dxdv repr´ esente par d´ efinition le nombre de particules situ´ ees ` a l’instant t ` a la position x - ` a dx pr` es - et ´ evoluant avec une vitesse v - ` a dv pr` es. L’objet de la th´ eorie cin´ etique est d’´ etablir et d’´ etudier math´ ematiquement des

´ equations d’´ evolution pour la fonction f (cf. par exemple [14]).

17

Soit un ´ electron se d´ epla¸cant ` a la vitesse V (t) le long d’une trajectoire X (t). On suppose ici que les ph´ enom` enes quantiques sont n´ egligeables ` a l’´ echelle ´ etudi´ ee. On peut alors d´ eduire l’´ equation param´ etrique de la courbe X (t) de l’´ equation fondamentale de la cin´ ematique

V (t) = X

(t) (1.1)

et de la deuxi` eme loi de Newton

m V

(t) = F (m, q, t, X (t), V (t)) (1.2) o` u F (m, q, t, x, v) est la r´ esultante des forces exerc´ ees ` a l’instant t sur une particule de masse m, de charge q, situ´ ee ` a la position x et ´ evoluant ` a la vitesse v. Dans le cas d’un champ de force engendr´ e par un potentiel ´ electrique V , la force consid´ er´ ee est la force ´ electrique F (m, q, t, x, v) = − qE (t, x), o` u le champ ´ electrique E(t, x) = −∇

V (t, x) d´ erive du potentiel V ( ∇

d´ esigne le gradient par rapport ` a la variable x). Dans toute la suite et sauf mention contraire, toutes les constantes physiques non pertinentes pour le probl` eme ´ etudi´ e sont prises

´ egales ` a 1 ou − 1 (par exemple, ici, m = 1 et q = − 1). On a alors : d X

dt (t) = V (t); d V

dt (t) = −∇

V (t, X (t)). (1.3) Sous des conditions de r´ egularit´ e convenables sur le champ V , il est bien connu qu’´ etant donn´ ees une position x

et une vitesse v

initiales quelconques, un tel syst` eme de Cauchy admet une unique solution. On cherche maintenant ` a calculer le nombre de particules par unit´ e de volume (dans l’espace des phases) qui, au point x, ont ` a l’instant t une vitesse ´ egale ` a v. Par d´ efinition de la fonction de distribution f, ce nombre est ´ egal ` a f (t, x, v).

D’apr` es le th´ eor` eme de Cauchy-Lipschitz, il existe une unique trajectoire t → ( X (t), V (t)) (et une unique donn´ ee initiale (x

, v

)) solution des ´ equations (1.1) et (1.2) telles que

X (t) = x X (0) = x

V (t) = v V (0) = v

. Alors, on a

f (t, x, v) = f (t, X (t), V (t)).

Par ailleurs, en l’absence de collisions (qui pourraient faire passer une particule d’une trajec- toire ` a l’autre), la conservation de la masse impose que le long d’une trajectoire le nombre de particules reste constant, ou encore que

d

dt f (t, X (t), V (t)) = (∂

f + X

(t) · ∇

f + V

(t) · ∇

f ) (t, X (t), V (t)) = 0

o` u ∇

d´ esigne le gradient par rapport ` a v. En utilisant (1.3), on ´ etablit ainsi que f est solution de l’´ equation de Vlasov

∂

f(t, x, v) + v · ∇

f(t, x, v) − ∇

V (t, x) · ∇

f (t, x, v) = 0, t > 0, x ∈ Ω, v ∈ R

. (1.4)

Mod´ elisation cin´ etique des ph´ enom` enes de transport 19 Les ´ equations (1.3) d´ efinissent les courbes caract´ eristiques de cette ´ equation. Selon les cas, V peut ˆ etre un potentiel ext´ erieur appliqu´ e au semi-conducteur ou bien un potentiel autoconsistant engendr´ e par la distribution spatiale des charges ´ electroniques, des trous et des impuret´ es ionis´ ees (dopants). Dans ce dernier cas, le potentiel est solution de l’´ equation de Poisson

∆V = Z

R³

f(t, x, v)dv, (1.5)

et la fonction de distribution f est alors solution du syst` eme non lin´ eaire de Vlasov-Poisson (1.4), (1.5). Les r´ esultats les plus g´ en´ eraux d’existence de solutions faibles ou de solutions r´ eguli` eres pour ce syst` eme peuvent ˆ etre trouv´ ees respectivement dans les travaux de R. J. DiPerna et P.

L. Lions [32], [33], et P. L. et B. Perthame [54].

1.1.2 Transport quantique : ´ equation de Wigner

Avec la miniaturisation progressive des composants ´ electroniques, les ´ echelles atteintes sont de l’ordre de la centaine, voire de la dizaine de nanom` etres. A ces ´ echelles, les ´ electrons ne suivent plus que tr` es approximativement les ´ equations de la m´ ecanique classique et les ph´ enom` enes quantiques ne sont plus n´ egligeables. Il devient donc essentiel de proposer des mod` eles cin´ etiques tenant compte de ces aspects quantiques.

L’´ etat d’un ´ elecron libre soumis ` a un potentiel ´ electrique V peut ˆ etre d´ ecrit par l’´ equation de Schr¨ odinger (cf. [3], [47]) :

i∂

ψ = − }

2 ∆ψ + V ψ. (1.6)

On note H = − ( } /2) ∆ + V l’hamiltonien et ∆ d´ esigne l’op´ erateur laplacien. La solution ψ de cette ´ equation est la fonction d’onde associ´ ee au syst` eme consid´ er´ e. On interpr` ete g´ en´ eralement

| ψ(t, x) |

comme la probabilit´ e de pr´ esence de la particule en x ` a l’instant t. Wigner a introduit en 1934 une transformation qui a toute solution ψ de l’´ equation de Schr¨ odinger (1.6) associe une fonction W solution d’une ´ equation de type cin´ etique (l’´ equation de Wigner, que nous introduisons plus bas). La transform´ ee de Wigner d’une fonction ψ(x) (avec x ∈ R

) peut s’´ ecrire

W (x, p) = Z

R³

ψ x + η

2

ψ

x − η

2

e

dη

o` u z

d´ esigne le nombre complexe conjugu´ e de z. L’application qui ` a ψ associe W est

´ evidemment quadratique. L’objet naturel auquel associer de fa¸ con lin´ eaire la fonction W est la matrice densit´ e

ρ(x, y) = ψ(x)ψ

(y).

On notera par la suite

W [ρ](x, p) = Z

R³

ρ x + η

2 , x − η 2

e

dη

la transform´ ee de Wigner de la matrice densit´ e ρ. Par cons´ equent, il devient naturel de

s’int´ eresser ` a une ´ equation sur ρ ´ equivalente ` a l’´ equation de Schr¨ odinger et de partir d’elle

pour d´ eriver l’´ equation de Wigner. On peut montrer ais´ ement que ψ est solution de l’´ equation de Schr¨ odinger (1.6) si et seulement si la matrice densit´ e ρ associ´ ee ` a ψ est solution de l’´ equation de Von Neumann

∂

ρ = − i

} [ H , ρ] (1.7)

o` u [ρ, σ] = ρσ − σρ d´ esigne le commutateur de deux op´ erateurs ρ et σ. Un calcul ´ el´ ementaire permet de montrer que pour tout op´ erateur ρ de Hilbert-Schmidt on a

W [ H , ρ](x, p) = }

i (p · ∇

− θ[V ])W [ρ]

o` u θ[V ] est un op´ erateur pseudo-diff´ erentiel d´ ependant de } . Par application de la transform´ ee de Wigner, l’´ equation de Von Neumann (1.7) devient donc (en notant f la transform´ ee de Wigner W [ρ] de ρ)

∂

f + p · ∇

f − θ[V ]f = 0. (1.8)

L’´ equation de Wigner (1.8) est formellement semblable ` a l’´ equation de Vlasov (1.4) o` u l’op´ erateur diff´ erentiel ∇

V · ∇

a ´ et´ e remplac´ e par θ[V ]. Dans le cas d’un champ autocon- sistant donn´ e par l’´ equation de Poisson, on est amen´ e ` a ´ etudier le syst` eme de Wigner-Poisson (cf. par exemple entre autres r´ ef´ erences [58], [76], [28]). Il est bien connu que les lois de la m´ ecanique classique sont valides lorsque les dimensions du syst` eme consid´ er´ e sont telles que la constante de Planck peut ˆ etre consid´ er´ ee comme n´ egligeable. Une attente l´ egitime est alors que l’op´ erateur θ[V ] soit asymptotiquement ´ egal ` a ∇

V · ∇

lorsque } tend vers 0. Cet op´ erateur est donn´ e par

θ[V ]f = i (2π)

Z

R⁶

V (x +

η) − V (x −

η)

} f(t, x, p

) e

dη dp

,

et le terme principal du d´ eveloppement limit´ e formel en } de θ[V ] est ∇

V · ∇

ce qui assure bien la convergence formelle semi-classique (c’est-` a-dire lorsque } tend vers 0) vers l’´ equation de Vlasov. Ce point de vue a ´ et´ e etudi´ e par de nombreux physiciens. Citons par exemple [86], [87] pour des d´ eveloppements en lien avec la physique statistique.

On peut donc voir l’´ equation de Wigner comme une g´ en´ eralisation quantique de l’´ equation

de Vlasov (1.4) ou, mieux, voir cette derni` ere comme une approximation (valable lorsque }

est n´ egligeable) de l’´ equation de Wigner (1.8) (on trouvera une preuve rigoureuse de la limite

semi-classique dans [53]). En fait, ce point de vue n’est valable que formellement puisque, ` a

strictement parler, l’´ equation de Wigner qui fait l’objet de cette section n’est pas une ´ equation

cin´ etique dans le sens o` u une solution f de (1.8) pourrait ˆ etre interpr´ et´ ee ais´ ement comme une

fonction de distribution : en particulier, la positivit´ e de f n’est pas garantie. Par ailleurs, la

transform´ ee de Wigner admet une transformation inverse (la quantification de Weyl, introduite

dans le chapitre 3) et par application de cette transform´ ee ` a l’´ equation de Wigner on retrouve

l’´ equation de Von Neumann. L’´ equation de Wigner est donc en fait ´ equivalente ` a l’´ equation de

Schr¨ odinger pour un corps. De ce fait, il n’est pas ais´ e de comprendre en quoi l’´ equation de

Wigner pourrait mod´ eliser le transport d’un nuage de particules.

Mod´ elisation cin´ etique des ph´ enom` enes de transport 21 Ici, cette ´ equation est avant tout utilis´ ee comme un outil int´ eressant pour la d´ erivation de mod` eles macroscopiques quantiques. Equivalente math´ ematiquement ` a l’´ equation de Schr¨ odin- ger, elle est formellement semblable ` a une ´ equation cin´ etique et les outils utilis´ es pour la d´ erivation de mod` eles de diffusion ` a partir d’´ equations de type Vlasov ou Boltzmann restent pertinents pour l’´ etude de l’asymptotique de diffusion ` a partir de l’´ equation de Wigner.

1.2 Interactions avec le milieu et entre particules : Op´ erateurs de collision

Outre le transport des particules sous l’influence de champs de forces, il est n´ ecessaire de rendre compte des autres types de ph´ enom` enes microscopiques et notamment des interactions entre les particules et le milieu dans lequel elles ´ evoluent ou encore des collisions entre les par- ticules elles-mˆ emes. Ces interactions sont mod´ elis´ ees dans les ´ equations cin´ etiques par l’action d’op´ erateurs sur la fonction de distribution. Ces op´ erateurs respectent deux exigences fonda- mentales : ils conservent la masse et entraˆınent une dissipation d’entropie.

On peut scinder en deux grandes classes les types d’interactions selon le type d’op´ erateur qui les mod´ elisent le mieux : interactions en volume et interactions au bord.

Les collisions entre particules ou entre les particules et le milieu (le r´ eseau atomique du semi-conducteur par exemple) sont du premier type : elles peuvent se produire en tout point du domaine Ω. On les mod´ elise grˆ ace ` a des op´ erateurs agissant sur la fonction de distribution f(t, x, v) en tout point x de Ω.

A l’inverse, les collisions entre les particules et le bord du syst` eme ne se produisent par d´ efinition qu’` a la fronti` ere du domaine Ω et en g´ en´ eral elles sont d´ ecrites par des op´ erateurs n’agissant que sur la trace de f sur le bord de Ω : γf(t, x, v) pour x ∈ ∂Ω (o` u ∂ Ω d´ esigne la fronti` ere de Ω et γ l’op´ erateur trace).

L’´ etude math´ ematique des ´ equations cin´ etiques tenant compte des collisions ne pr´ esente pas les mˆ emes types de difficult´ es selon que l’on consid` ere des collisions en volume ou au bord. Il est donc naturel de pr´ esenter s´ epar´ ement les deux types d’op´ erateurs associ´ es ` a ces interactions.

1.2.1 Collisions en volume

Si les particules sont en nombre cons´ equent et si le dispositif est grand par rapport au libre parcours moyen, l’influence des collisions entre particules devient importante et il est n´ ecessaire d’en tenir compte dans l’´ equation. On suppose cependant que les collisions binaires ont seules de l’importance (on peut montrer que les collisions entre trois particules ou plus sont suffisamment rares pour ˆ etre n´ eglig´ ees). De fa¸con classique, on introduit dans l’´ equation cin´ etique un op´ erateur C dont l’action sur la fonction de distribution consiste essentiellement ` a modifier le nombre de particules pr´ esentes le long d’une courbe caract´ eristique : en effet, lors d’une collision entre particules chaque particule quitte en g´ en´ eral sa trajectoire pr´ ecollisionnelle.

L’´ equation de Vlasov est remplac´ ee par une ´ equation de type Boltzmann :

∂

f + v · ∇

f − ∇

V · ∇

f = C f. (1.9)

En l’absence de collisions la conservation de la masse se traduit par l’´ equation de Vlasov (1.4). Si l’on tient compte des collisions, une exigence ´ el´ ementaire est que la masse soit conserv´ ee, non plus le long des trajectoires, mais globalement. On doit donc avoir :

d dt

Z

Ω×R³

f(t, x, v)dxdv = 0, ∀ t > 0.

En int´ egrant (1.9) et en supposant que le nombre de particules tend vers 0 pour de grandes vitesses et pr` es du bord de Ω, on obtient

d dt

Z

Ω×R³

f(t, x, v)dxdv = Z

Ω×R³

C (f )(t, x, v)dxdv, ∀ t > 0.

Ainsi, naturellement, un op´ erateur de collision est dit conservatif s’il v´ erifie Z

Ω×R³

C (f)(x, v)dxdv = 0, ∀ f.

Dans la plupart des situations classiques, on consid` ere que les collisions sont locales en espace.

Si une collision se produit en x, le nombre de particules en x n’est pas modifi´ e et seules les vitesses des particules sont chang´ ees. L’op´ erateur C n’agit alors que sur la distribution en vitesse des particules et la condition de conservativit´ e se simplifie en

Z

R³

C(f )(v )dv = 0, ∀ f. (1.10)

Dans toute la suite, les op´ erateurs de collision consid´ er´ es seront locaux en espace.

L’op´ erateur C peut prendre des formes tr` es diff´ erentes selon la physique du syst` eme consid´ er´ e. Il peut en particulier ˆ etre lin´ eaire ou non lin´ eaire, ´ elastique ou in´ elastique. Un op´ erateur suffisamment g´ en´ eral peut s’´ ecrire comme un op´ erateur int´ egral de la forme

C f = Z

R³

σ(x, v, v

) (M f

(1 − f ) − M

f(1 − f

)) dv

o` u la section efficace de collision σ d´ epend de la physique du probl` eme, M (v ) = exp( −| v |

/2) d´ esigne la Maxwellienne et, pour une fonction g quelconque on a not´ e g et g

pour g(v) et g (v

) respectivement. Dans la suite, nous ferons toujours l’hypoth` ese suivante :

Hypoth` ese 1.1 Les op´ erateurs de collisions consid´ er´ es ici sont tous tels que la section efficace de collision σ est sym´ etrique :

σ(v, v

) = σ(v

, v).

Cette hypoth` ese suffit ` a prouver la conservativit´ e (1.10) de l’op´ erateur C .

D’autre part, on souhaite obtenir une dissipation d’entropie (exigence minimale lorsque l’on mod´ elise des ph´ enom` enes aussi typiquement irr´ eversibles que la diffusion), c’est-` a-dire pour toute solution f de (1.9) une in´ egalit´ e de la forme

dH(f )

dt ≤ 0

Mod´ elisation cin´ etique des ph´ enom` enes de transport 23 o` u H est une fonctionnelle convexe. Cette in´ egalit´ e (Th´ eor` eme H de Boltzmann) d´ ecoule n´ ecessairement de propri´ et´ es de l’op´ erateur de collision puisque l’´ equation de Vlasov est r´ eversible. On doit en fait avoir une estimation du type

− Z

R³

C (f )h(f)dv ≥ 0

avec h convexe. Dans les travaux pr´ esent´ es dans cette th` ese cette estimation d´ ecoule g´ en´ eralement d’une in´ egalit´ e ou, dans certains cas, d’un encadrement de la section efficace de collision. A l’´ equilibre thermodynamique (s’il est atteint), l’entropie devient constante et la solution f de l’´ equation (1.9) v´ erifie C (f ) = 0 : on dit alors que f est un ´ etat d’´ equilibre pour C .

Une grande partie de l’information physique sur les collisions est mod´ elis´ ee ` a travers la section efficace de collision. En faisant quelques hypoth` eses sur σ et sur f, on peut ainsi obtenir des cas particuliers int´ eressants d’op´ erateurs de collision.

(i) Si la densit´ e ´ electronique est tr` es faible (c’est-` a-dire si f << 1), alors la quantit´ e C f est bien approch´ ee par l’action sur f de l’op´ erateur lin´ earis´ e C

d´ efini par

C

f = Z

R³

σ(v

, v) (M f

− M

f ) dv

. L’hypoth` ese f << 1 est faite dans tous les travaux pr´ esent´ es ici.

On peut faire un partage entre deux grandes classes de collisions : les collisions ´ elastiques et les collisions in´ elastiques. Si deux particules int´ eragissent et si ` a l’issue de l’interaction chaque particule a conserv´ e son ´ energie, l’interaction est dite ´ elastique. A l’inverse, si l’´ energie de chaque particule n’est pas conserv´ ee, l’interaction est in´ elastique. Pour donner un sens pr´ ecis ` a ces notions on introduit l’´ energie ε(v) d’une particule de vitesse v. Dans la suite, on prendra pour ε l’´ energie cin´ etique. En notant ω la partie angulaire de la vitesse, on effectue le changement de variables suivant

(

ε =

> 0

ω =

∈ S

(1.11)

de jacobien √

2ε, de sorte que v = √ 2εω.

En ces variables et en notant abusivement g(ε, ω) = g( √

2εω) = g(v) pour toute fonction g, l’op´ erateur C

s’´ ecrit

C

f = Z

ε>0, ω∈S²

σ(ε

, ω

; ε, ω) (M (ε)f (ε

, ω

) − M (ε

)f (ε, ω)) √

2ε

dε

dω

.

Dans cette formulation, ε correspond ` a l’´ energie d’une particule apr` es collision et ε

` a l’´ energie pr´ ecollisionnelle.

Un type particulier de collision ´ elastique est donn´ e par une interaction lors de laquelle une

particule d’´ energie post collisionnelle ε r´ esulte en fait de la collision d’une particule d’´ energie

pr´ ecollisionnelle ´ egale elle-mˆ eme ` a ε. Lors d’une telle interaction, la fonction de distribution

f(t, x, ε, ω) doit rester constante par rapport ` a ε (le nombre de particules d’´ energie ε par unit´ e

de volume doit rester constant). Un op´ erateur mod´ elisant de telles collisions ne doit donc agir

sur f qu’` a travers la partie angulaire ω de la variable de vitesse.

(ii) Dans ce cas (qui correspond par exemple ` a des collisions entre ´ electrons et des impuret´ es ionis´ ees, cf. [69], la section efficace σ peut en fait s’´ ecrire σ(v

, v) = ˜ σ(v

, v)δ(ε(v

) − ε(v)) o` u ε(v) est l’´ energie d’un ´ electron de vitesse v et δ est la masse de Dirac. Si on consid` ere l’´ energie cin´ etique ε(v) = | v |

/2, l’op´ erateur de collision lin´ eaire ´ elastique C

s’´ ecrit

C

f = √ 2ε

Z

ω⁰∈S²

˜

σ (ε, ω

; ε, ω) M (f(ε, ω

) − f(ε, ω)) dω

. (1.12) Pour garantir la conservativit´ e, on supposera, outre l’hypoth` ese 1.1, que σ satisfait

σ(ε

, ω

; ε, ω) = σ(ε

, ω; ε, ω

).

Un tel op´ erateur de collision est dit “local” : il agit localement en ´ energie puisque le nombre de particules ` a une ´ energie donn´ ee ε apr` es collision ne d´ epend que du nombre de particules d’´ energie pr´ ecollisionnelle ε (et non de toutes les ´ energies ε

> 0). On peut ´ egalement mod´ eliser des collisions ´ elastiques “non locales” par un op´ erateur int´ egral agissant sur la variable d’´ energie comme suit :

C

f = Z

R³

˜

σ (ε

, ω

; ε, ω) M (f (ε

, ω

) − f (ε

, ω)) √

2ε

dε

dω

. (1.13) Cet op´ erateur est bien ´ elastique puisque les ´ energies pr´ e et post collisionnelle sont ´ egales, mais il est non local. Un tel op´ erateur sera utilis´ e par la suite dans la pr´ esentation du mod` ele SHE coupl´ e (cf. section 2.4).

Dans la physique des semi-conducteurs, les interactions entre les ´ electrons et le r´ eseau ato- mique sont tr` es importantes et peuvent assurer la thermalisation du syst` eme dans certains cas (par exemple lorsque la densit´ e ´ electronique est trop faible pour que les collisions entre ´ electrons soient dominantes). Le r´ eseau atomique est en vibration constante du fait de l’agitation ther- mique et on peut mod´ eliser ces vibrations par des oscillateurs harmoniques de pulsation propre ω

> 0 avec lesquels les ´ electrons ´ echangent de l’´ energie (en premi` ere approximation, on peut supposer que tous les oscillateurs ont mˆ eme pulsation propre). En fait, la mod´ elisation par des oscillateurs est trompeuse puisque les ´ electrons ne peuvent pas ´ echanger n’importe quelle quantit´ e d’´ energie avec le r´ eseau : ils ne peuvent que gagner ou perdre une ´ energie multiple du quantum d’´ energie } ω

. Ceci conduit ` a introduire en guise de quantification des oscillateurs harmoniques une pseudo-particule d’´ energie } ω

, le phonon. L’interaction d’un ´ electron avec le r´ eseau atomique se traduit en fait par l’absorption ou l’´ emission d’un phonon d’´ energie }ω

(o` u } d´ esigne la constante de Planck r´ eduite). L’´ energie post collisionnelle d’un ´ electron de vitesse v

avant absorption (resp. ´ emission) d’un phonon d’´ energie } ω

est alors ε = ε

+ } ω

(resp.

ε = ε

− }ω

) o` u ε

= | v

|

/2. La probabilit´ e pour qu’une collision ait lieu d´ epend n´ ecessairement de la quantit´ e de phonons dans le r´ eseau soit, plus pr´ ecis´ ement, du nombre d’occupation N

des phonons. Les phonons ´ etant des bosons, ce nombre est donn´ e par la statistique de Bose-Einstein, soit :

N

= 1

e

− 1 ,

o` u k

est la constante de Boltzmann et T la temp´ erature du r´ eseau. Tenant compte de ceci,

Mod´ elisation cin´ etique des ph´ enom` enes de transport 25 (iii) les interactions entre ´ electrons et phonons sont bien mod´ elis´ ees par une section efficace

σ(v

, v) = ˜ σ(v

, v) (δ(ε

− ε − } ω

) + δ(ε

− ε + } ω

))

o` u ˜ σ s’exprime en fonction de N

et de } ω

(cf. [62] pour plus de d´ etails. Quelques ´ el´ ements d’information sont rappel´ es dans les chapitres 3 et 4). L’op´ erateur s’´ ecrit alors

C

(f) = Z

R³

˜

σ(v

, v) (M f

− M

f ) (δ(ε

− ε − } ω

) + δ(ε

− ε + } ω

)) dv

sous l’hypoth` ese de faible densit´ e f << 1.

Remarquons que les termes δ(ε

− ε ± } ω

) sont proches de δ(ε

− ε), et donc C

≈ C

si l’´ energie des ´ electrons est tr` es ´ elev´ ee par rapport ` a l’´ energie } ω

des phonons. L’op´ erateur C

est donc bien adapt´ e pour d´ ecrire des syst` emes o` u l’´ energie ´ electronique n’est pas trop ´ elev´ ee, ce qui est par exemple le cas lorsque la tension appliqu´ ee au semi-conducteur reste faible.

Ces op´ erateurs de collision mod´ elisent des interactions relevant essentiellement de la m´ ecanique classique et un des enjeux importants de la mod´ elisation du transport de parti- cules dans les semi-conducteurs consiste ` a rendre compte d’interactions de type quantique. Ce travail fait l’objet du Chapitre 3 et sera d´ etaill´ e dans la section 1 de l’introduction.

1.2.2 Collisions au bord

Les op´ erateurs de collision que nous venons de pr´ esenter ne permettent pas de rendre compte d’interactions localis´ ees le long d’une surface. La plupart des syst` emes physiques usuels (semi- conducteurs, panneaux solaires, etc.) sont ´ evidemment born´ es et il est crucial de parvenir ` a mod´ eliser les interactions entre le nuage de particules consid´ er´ e et le bord du domaine. A l’´ echelle cin´ etique, on doit pouvoir distinguer les particules sortant du domaine (i.e. dont la vitesse v

est de mˆ eme sens que la normale ext´ erieure n au domaine) des particules r´ e´ emises par la paroi (dont la vitesse v est de sens oppos´ e ` a celui de la normale ext´ erieure). On note γ

f la restriction de f ` a { (x, v) ∈ Ω × R

/ ± v · n(x) > 0 } ; γ

f (resp. γ

f ) repr´ esente donc la fonction de distribution des particules sortant (resp. entrant) dans le domaine. Pour simplifier la pr´ esentation, nous supposons que Ω est en fait le demi-espace R

× R

. Alors,

∂Ω = R

× { 0 } ∼ = R

et γ

f est la restriction de f ` a R

× R

o` u R

= { v ∈ R

/ ± v

> 0 } . On note v = (v

, v

, v

), v = (v

, v

), x = (x

, x

, x

), x = (x

, x

) et, plus g´ en´ eralement, pour tout vecteur l de R

, l = (l

, l

, l

) = (l, l

).

L’enjeu est alors de savoir d´ eterminer la distribution γ

f des particules r´ e´ emises par le mur connaissant la distribution γ

f des particules incidentes au moment de la collision avec le mur.

Il s’agit de d´ eterminer un op´ erateur (de collision avec le bord) K tel que γ

f = K γ

f

. (1.14)

L’´ equation que l’on consid` ere est alors l’´ equation de Vlasov (1.4) (dans le cas o` u les collisions

en volume sont n´ egligeables devant les collisions au bord) ou l’´ equation de Boltzmann (1.9)

associ´ ee ` a une condition au bord du type (1.14)

Le choix de K d´ epend du comportement des particules le long de la fronti` ere ∂ Ω. En premi` ere approximation, on peut supposer que les particules subissent des collisions ´ elastiques avec le bord ; alors la condition au bord est une condition de type r´ eflexion sp´ eculaire :

γ

f (t, x, v) = γ

f (t, x, v

), ∀ x ∈ ∂Ω

avec v

= (v

, v

, − v

). Cette condition est valide en pr´ esence d’une surface parfaitement lisse, ce qui n’est pas du tout r´ ealiste ici puisque les particules consid´ er´ ees (´ electrons) sont de taille subatomique : ` a cette ´ echelle les parois des mat´ eriaux pr´ esentent ´ evidemment de nombreuses asp´ erit´ es. En fait parler de collision n’a mˆ eme pas grand sens, les ´ electrons ´ etant diffus´ es par les atomes de la paroi plutˆ ot qu’ils ne subissent des collisions. On pr´ ef´ erera donc mod´ eliser la r´ eflexion des particules par la paroi sous la forme d’un op´ erateur diffusif :

γ

f (v) = K (γ

f)(v) = Z

v⁰_z>0

κ(v

→ v)γ

f (v

) | v

| dv

M (v), ∀ v ∈ R

s. t. v

< 0 (1.15) o` u κ(v

→ v) | v

| dv

M (v) est la probabilit´ e qu’une particule de vitesse v

soit r´ e´ emise avec une vitesse v. On parle de r´ eflexion diffusive lorsque la section efficace de collision κ est strictement positive.

La conservation de la masse impose que le nombre de particules r´ e´ emises apr` es collision soit ´ egal au nombre de particules ayant heurt´ e la paroi (on exclut donc ici les ph´ enom` enes d’attachement), ce qui se traduit au niveau de la section κ par la contrainte suivante :

Z

vz<0

κ(v

→ v)M (v) | v

| dv = 1.

Dans le cas o` u les collisions en volume sont n´ egligeables, on peut retrouver un analogue du Th´ eor` eme H de Boltzmann pour l’op´ erateur de collision au bord sous la forme d’une in´ egalit´ e de type Darroz` es-Guiraud (cf. [19]). Nous d´ etaillerons ce point en section 3.

De mˆ eme que dans le cas de collisions en volume on peut, en faisant diverses hypoth` eses sur la section κ, mod´ eliser des types d’interaction diff´ erents. Nous nous int´ eresserons principalement au cas des interactions ´ elastiques. En posant κ(v

→ v ) = ˜ κ(v

→ v)δ(ε(v

) − ε(v)) on obtient un op´ erateur de collision ´ elastique et local (cf. le paragraphe consacr´ e aux collisions en volume pour la terminologie). L’obtention d’un op´ erateur ´ elastique mais non local est plus d´ elicate que dans le cas des interactions en volume puisque, clairement, une condition au bord mod´ elisant des interactions non locales en ´ energie ne peut pas se mettre sous la forme (1.14). Nous d´ etaillerons en section 3 un moyen de mod´ eliser des interactions ´ elastiques non locales.

2 Mod´ elisation macroscopique des ph´ enom` enes de transport :

M´ ethodes de perturbation singuli` ere

Dans la plupart des applications, il est tr` es d´ elicat de mettre en oeuvre des simulations

num´ eriques des ´ equations cin´ etiques ` a peu de frais. Pour cette raison, d` es les ann´ ees 1950 [81]

Mod´ elisation macroscopique des ph´ enom` enes de transport 27 on a cherch´ e ` a d´ evelopper des mod` eles approchant la r´ ealit´ e physique suffisamment pour donner des informations pr´ ecises sur les syst` emes mod´ elis´ es et qui soient moins coˆ uteux num´ eriquement que les mod` eles cin´ etiques. Par analogie avec la dynamique des gaz, des mod` eles de type dif- fusif ou hydrodynamique ont successivement vu le jour pour rendre compte du comportement d’´ electrons dans des semi-conducteurs. Dans cette th` ese, nous nous attachons exclusivement ` a l’´ etude de mod` eles de diffusion, par cons´ equent nous ne parlerons pas de mod` eles hydrodyna- miques dans cette introduction, mˆ eme s’ils ont une importance cruciale dans certains des tra- vaux de mod´ elisation actuels. Les premiers mod` eles diffusifs obtenus pour les semi-conducteurs sont les mod` eles de D´ erive Diffusion (DD), ou mod` eles de Van Roosbroeck [81].

Les mod` eles DD sont fond´ es sur l’hypoth` ese que lorsque l’´ equilibre thermodynamique est atteint, la distribution des particules (´ electrons) dans l’espace des phases est une Maxwellienne.

Or, dans de nombreux cas, l’´ equilibre thermodynamique n’est pas Maxwellien tout en ´ etant une fonction de l’´ energie cin´ etique (comme dans le cas du transport de petits ions dans un champ

´ electrique [65]). Le mod` ele Spherical Harmonics Expansion (SHE), ´ egalement appel´ e mod` ele de Fokker-Planck, est bien adapt´ e ` a de telles situations. Il apparaˆıt dans de nombreux domaines de la physique et de la chimie [70] et trouve de larges applications notamment dans la description de la cin´ etique ´ electronique dans les d´ echarges de gaz et dans les plasmas [74], [48], [68], mais aussi dans les semi-conducteurs [12], [11]. Une des premi` eres utilisations de ce mod` ele remonte aux travaux de Stratton [77], [78], [79], [80]. Par la suite le mod` ele SHE a ´ et´ e utilis´ e comme une m´ ethode num´ erique d’approximation pour les mod` eles cin´ etiques [83], [40], [72], [39], [41], [52], [42].

L’obtention de mod` eles diffusifs ou fluides ` a partir d’´ equations cin´ etiques remonte aux tra- vaux pionniers de Hilbert [46] dans un article c´ el` ebre o` u il jette les fondements d’une approche qui sera am´ elior´ ee plus tard par Chapman [16] et Enskog [35]. Grad [45] a ensuite fourni un cadre math´ ematique et, ` a sa suite, de multiples travaux ont appliqu´ e ces techniques ` a la dyna- mique des gaz. Dans le cas des semi-conducteurs, l’´ etablissement des mod` eles DD ` a partir de l’´ equation de Boltzmann revient en premier lieu aux physiciens ([63], [82], [71], [18], etc.). Les aspects math´ ematiques ont ´ et´ e trait´ es par F. Poupaud dans [66] (voir aussi les travaux de C.

Bardos, R. Santos et R. Sentis [7], ou encore E. Larsen et J. B. Keller [49] dans le cas de la neutronique). On trouvera une revue des r´ esultats principaux sur ce th` eme dans l’ouvrage [62].

Le mod` ele SHE, pour sa part, a ´ et´ e ´ etabli par P. Dmitruk, A. Saul et L. Reyna dans une

limite diffusive ` a partir de l’´ equation de Boltzmann pour la premi` ere fois dans [34]. L’analyse

d´ evelopp´ ee dans ce travail restreint l’´ etablissement du mod` ele aux scatterings isotropiques (et

celle de [83] se limite aux diagrammes de bande ` a sym´ etrie sph´ erique). Il faut attendre les

travaux de P. Degond et N. Ben Abdallah [8] pour l’obtention du mod` ele dans un contexte

g´ en´ eral. Par la suite, P. Degond a introduit un mod` ele de type SHE dans lequel les niveaux

d’´ energie sont coupl´ es dans l’´ equation de courant. Ce mod` ele devrait permettre de mieux d´ ecrire

les interactions in´ elastiques. Il a ´ et´ e ´ etabli formellement et rigoureusement pour la premi` ere fois

par P. Degond dans [21], puis appliqu´ e ` a la neutronique par T. Goudon et A. Mellet [44].

2.1 G´ en´ eralit´ es : le syst` eme de D´ erive Diffusion

L’´ equation de diffusion la mieux connue est bien sˆ ur l’´ equation de la chaleur qui rel` eve d’une cat´ egorie assez large d’´ equations : les ´ equations de D´ erive Diffusion. Consid´ erons un gaz d’´ electrons dans un domaine Ω de l’espace (avec Ω = R

´ eventuellement), soumis ` a un potentiel

´ electrique V suppos´ e donn´ e. Les ´ equations de D´ erive Diffusion d´ ecrivent l’´ evolution au cours du temps d’une quantit´ e macroscopique, la densit´ e n(t, x) de particules (´ electrons), qui est une fonction du temps t et de la position x. Si l’on note j (t, x) le flux de particules en un point x et

`

a l’instant t, la conservation de la masse impose que la variation spatiale de ce flux soit ´ egale

`

a la variation temporelle de la densit´ e, ce qui s’exprime par l’´ equation de continuit´ e suivante :

∂

n(t, x) + ∇

j(t, x) = 0. (2.16) Pour fermer le syst` eme DD il reste ` a trouver une relation suppl´ ementaire entre le courant j et la densit´ e n. Intuitivement, il semble clair que, du fait des interactions (r´ epulsion ´ electrostatique, collisions), les ´ electrons auront tendance ` a fuir les zones de forte densit´ e pour gagner les zones de faible densit´ e. Ainsi, si les particules ` a un instant donn´ e se r´ epartissent dans l’espace selon un gradient de densit´ e ∇

n, le courant sera vraisemblablement dirig´ e selon le sens oppos´ e ` a ce gradient. De mˆ eme, les ´ electrons sont acc´ el´ er´ es par la force ´ electrique ∇

V , ce qui se traduit

`

a l’´ echelle macroscopique par un mouvement de d´ erive du gaz d’´ electron dirig´ e dans le sens de cette force.

Ceci s’exprime pr´ ecis´ ement selon l’´ equation de courant suivante (dite loi de Fick) : j(t, x) = − D ( ∇

n − ∇

V n)

o` u, d’apr` es les consid´ erations qui pr´ ec` edent, la matrice de diffusion D doit ˆ etre positive. Son expression exacte d´ epend de la physique du probl` eme consid´ er´ e (en l’occurrence, du type d’in- teractions qui entraˆınent la diffusion - collisions, etc.). Un des buts principaux de la mod´ elisation math´ ematique des ph´ enom` enes de transport est de parvenir ` a sp´ ecifier explicitement la matrice de diffusion ` a partir de consid´ erations physiques pr´ ecises sur le comportement microscopique des particules.

La th´ eorie math´ ematique du mod` ele de D´ erive Diffusion dans le cas des semi-conducteurs est trait´ ee dans ses grandes lignes par P. A. Markowich dans [57] et sa r´ esolution num´ erique est pr´ esent´ ee dans [73].

2.2 Lien entre ´ equilibre thermodynamique et op´ erateur de collision

Une des perspectives courantes consiste ` a ´ etudier les ´ equations cin´ etiques de type (1.9) au voisinage de l’´ equilibre thermodynamique. Il est ` a noter que c’est l’existence d’un Th´ eor` eme H pour l’op´ erateur C qui garantit (au moins formellement) la convergence du syst` eme vers un

´ equilibre thermodynamique. Dans des cas simples, l’in´ egalit´ e d’entropie d´ ecoule de la coercivit´ e de l’op´ erateur de collision sur un certain espace et on peut en d´ eduire explicitement le noyau de C . Nous nous placerons dans ce cas par la suite.

Dans des situations de ce type, ´ etudier le comportement d’une solution f de (1.9) au voisi-

nage de l’´ equilibre revient ` a analyser son ´ evolution lorsqu’elle est proche du noyau de l’op´ erateur