D´ erivation formelle des syst` emes DD et SHE

La d´erivation formelle de mod`eles de diffusion `a partir d’une ´equation cin´etique peut souvent

ˆetre effectu´ee en suivant une m´ethode g´en´erale utilisant des notions comme le d´eveloppement de

Hilbert ou de Chapman-Enskog. Les d´erivations de mod`eles diffusifs donn´ees dans ce travail sont

fond´ees sur cette m´ethode et, pour clarifier les id´ees utilis´ees dans les chapitres suivant, nous

les illustrons ici dans un cas simple de d´erivation d’un mod`ele SHE. Par ailleurs, la d´erivation

formelle de syst`emes de D´erive Diffusion est assez connue (cf. par exemple [66] et, dans le cas du

transport de neutrons, [7]) et il nous semble profitable de pr´esenter parall`element la d´erivation

d’un mod`ele SHE et d’un mod`ele DD pour montrer les analogies et les diff´erences entre les

deux d´emarches.

Dans tous les cas, on part de l’´equation (2.18) apr`es changement d’´echelle. L’op´erateur C

est pris ´egal `a C

lin

ou C

0

el

. On suppose que la suite f

η

pr´esente suffisamment de r´egularit´e par

rapport `aη pour que le d´eveloppement limit´e suivant (d´eveloppement de Hilbert) ait un sens

f

^η

=f

⁰

+ηf

¹

+η

²

f

²

+O η

³

. (2.22)

La m´ethode (formelle) repose sur l’identification des termes de mˆeme ordre enηdans l’´equation

(2.18) o`u l’on a remplac´e f

^η

par le d´eveloppement (2.22). Nous d´etaillons cette m´ethode en

insistant particuli`erement sur le traitement des termes d’ordre 1 qui est crucial pour l’obtention

des coefficients de diffusion.

Termes d’ordre 0 : L’ordre 0 enηdonne la valeur asymptotique def

η

. On doit avoirC(f

0

) =

0, ce qui implique, selon que C est pris ´egal `a C

lin

ou `a C

0

el

:

D´erive Diffusion SHE

f

⁰

=P

DD

f

⁰

, f

⁰

=P

SHE

(f

⁰

),

c-`a-d f

⁰

(t, x, v) = n(t, x)M(v) c-`a-d f

⁰

(t, x, v) = F(t, x, ε(v)).

Le terme d’ordre 0 dans le d´eveloppement de Hilbert est donc ´egal `a l’´equilibre

thermody-namique (Maxwellienne dans le cas d’une thermalisation compl`ete, fonction de l’´energie

dans le cas d’une thermalisation partielle).

Termes d’ordre 1 : A l’ordre 1 on obtient l’´equation suivante

(v· ∇

x

− ∇

x

V · ∇

v

)f

⁰

=Cf

¹

dont nous donnons les formes exactes ainsi que les conditions de solvabilit´e selon que l’on

consid`ere C =C

lin

ouC =C

0

el

:

D´erive Diffusion SHE

M(v)v·(∇

x

n− ∇

x

V n) =C

lin

(f

¹

) v·∇^˜F =C

0 el

(f

¹

)

Conditions de solvabilit´e :

Z

M(v)v·(∇

x

n− ∇

x

V n)dv = 0

Z

v·∇^˜F dω= 0.

Notons que les conditions de solvabilit´e sont assur´ees par imparit´e. Nous avons not´e ˜∇=

∇

x

− ∇

x

V ∂

_ε

. Ces ´equations peuvent donc ˆetre invers´ees (puisque C est un isomorphisme

de l’orthogonal de son noyau sur lui-mˆeme) et on obtient

D´erive Diffusion SHE

f

1

=C

⁻1 lin

(M(v)v·(∇

x

n− ∇

x

V n)) f

1

=C

0 el −1

(v ·∇^˜F) ^(2.23)

c’est-`a-dire

D´erive Diffusion SHE

f

¹

=C

lin⁻¹

(M(v)v)·(∇

x

n− ∇

x

V n) f

¹

=C

0

el

−1

(v)·∇^˜F. ^(2.24)

Soulignons que le passage de (2.23) `a (2.24) repose sur le fait que C

0

el

(resp. C

lin

) n’agit

que sur la variable d’angleω(resp. de vitessev), si bien que, pour toutes fonctionsφ(x, ε),

ψ(x) et f(x, v), on a :

C

0 el

(f φ) = C

0 el

(f)φ, C

0 el

−1

(f φ) = C

0 el

−1

(f)φ (2.25)

(resp.C

lin

(f ψ) =C

lin

(f)ψ etC

lin⁻¹

(f ψ) = C

lin⁻¹

(f)ψ). Cette propri´et´e de C

0

el

est directement

li´ee au fait que cet op´erateur estlocal en ´energie. (Le fait qu’il soit ´elastique ne suffit pas :

l’op´erateurC

1

el

d´efini par (1.13) en section 1.2 n’a pas de propri´et´e analogue.) Notons aussi

que, pour une fonction vectorielle ξ de composantes ξ

i

, C

−1

(ξ), s’il existe, est le vecteur

de composantes C

−1

(ξ

_i

).

Les ´equations (2.24) peuvent ˆetre interpr´et´ees comme des lois de Fick. En effet, d´efinissant

le courant de la fa¸con suivante :

j

_DD

=P

DD

(vf

¹

)M

⁻¹

, J

_SHE

=√

2ε P

SHE

(vf

¹

)

on a, en projetant (2.24) sur (KerC)

^⊥

:

D´erive Diffusion SHE

j

_DD

=−D

DD

(∇

x

n− ∇

x

V n) J

_SHE

=−D

SHE

∇˜F

D

DD

=P

DD

v ⊗ C

lin⁻¹

(−v M(v))M

⁻¹

D

SHE

=√

2ε P

SHE

v ⊗ C

el⁰ −1

(−v)

.

On voit d`es lors comment une telle m´ethode permet de d´eduire la valeur des constantes

de diffusion d’un mod`ele macroscopique `a partir d’´equations microscopiques bien ´etablies.

Au frais d’une hypoth`ese (on suppose que le changement de variables (2.17) et le passage

`

a la limite η → 0 sont valides math´ematiquement et ont un sens physique pr´ecis) on

obtient une information directe sur les tenseurs de diffusion en s’affranchissant d’un

in-term´ediaire exp´erimental (qui reste n´eanmoins n´ecessaire `a titre de validationa posteriori

de la m´ethode de perturbation singuli`ere). Remarquons enfin que toutes les informations

contenues dans la matrice de diffusion D d´ecoulent de propri´et´es de l’op´erateur de

colli-sionC, ce qui n’est qu’une fa¸con de dire pr´ecis´ement que la diffusion constat´ee `a l’´echelle

macroscopique r´esulte des collisions entre particules - ou encore, que la thermalisation est

le produit des collisions.

Mod´elisation macroscopique des ph´enom`enes de transport 33

Termes d’ordre 2 : Le termef

1

est d´esormais connu. On a, `a l’ordre 2

∂

_t

f

⁰

+ (v· ∇

x

− ∇

x

V · ∇

v

)f

¹

=C(f

²

)

et la condition de solvabilit´e de cette ´equation d’inconnue f

²

s’´ecrit

P ∂

_t

f

⁰

+ (v· ∇

x

− ∇

x

V · ∇

v

)f

¹

= 0

o`uP est le projecteur sur le noyau de C. Des calculs simples conduisent `a

D´erive Diffusion SHE

∂

_t

n+∇

x

·j

_DD

= 0 √

2ε∂

_t

F + ˜∇ ·J

_SHE

= 0

Les mod`eles obtenus sont donc :

D´erive Diffusion SHE

∂

_t

n+∇

x

·j

_DD

= 0 √

2ε∂

_t

F + ˜∇ ·J

_SHE

= 0

j

_DD

=−D

DD

(∇

x

n− ∇

x

V n) J

_SHE

=−D

SHE

∇˜F

D

DD

=P

DD

v ⊗ C

⁻1 lin

(−v M(v))M

⁻¹

D

SHE

=√

2ε P

SHE

v ⊗ C

0 el −1

(−v).

Tab.1.1 – Mod`eles DD et SHE

On peut ´egalement reprendre la d´erivation formelle du mod`ele SHE en choisissant pour

op´erateur de collision un op´erateur de la forme

C(f) =C

el

+βC

inel

o`u le noyau de l’op´erateur (´elastique et local) C

el

est form´e de fonctions de l’´energie

seule-ment, l’op´erateur C

inel

peut ˆetre assez g´en´eral (et, en particulier, il peut ˆetre in´elastique), et le

param`etreβ doit ˆetre de l’ordre deη

2

. On obtient alors un mod`ele SHE collisionnel qui s’´ecrit :

√

2ε∂

t

F + ˜∇ ·J

SHE

=Q(F)

J

SHE

=−D

SHE

∇˜F

D

SHE

=√

2ε P

SHE

v ⊗ C

0 el −1

(−v)

Q(F) =√

2εP

SHE

(C

inel

(F)).

Soulignons pour terminer que la positivit´e de la matrice de diffusion d´ecoule de la

coerci-vit´e de l’op´erateur de collision qui, elle-mˆeme, est une cons´equence de l’estimation uniforme

suivante :

σ(x, v, v

⁰

)≥σ >0.

Cette estimation implique notamment que le noyau de collision ne d´eg´en`ere pas et, donc, que

les collisions font intervenir des particules de toutes vitesses et sont homog`enes spatialement.

Notons enfin que dans certains cas la diffusion peut ˆetre le produit des interactions entre les

particules et le bord du domaine, par exemple lorsque les collisions en volume sont n´egligeables

devant les collisions au bord et que celles-ci sont de type diffusif (chaque particule frappant le

mur avec une vitessev

⁰

est r´e´emise avec une vitessev, la distribution des vitesses de r´e´emission

´etant par exemple une Maxwellienne). La d´erivation de mod`eles de type SHE dans ce cas fera

l’objet du chapitre 5 qui sera pr´esent´e en section 3. Remarquons d`es maintenant que, dans le cas

d’une diffusion g´en´er´ee par les collisions pari´etales, la d´erivation formelle est structurellement

semblable `a celle que nous venons de pr´esenter, `a ceci pr`es que l’in´egalit´e d’entropie (2.20) est

remplac´ee par une in´egalit´e de type Darroz`es-Guiraud [19]. La principale difficult´e est alors de

d´eduire la nature de l’´equilibre thermodynamique (une fonction dex∈Ω etv ∈R

3

) `a partir de

l’´etude du noyau de l’op´erateur de collision au bord (qui op`ere seulement sur lestracesentrantes

et sortantes qui sont des fonctions de x∈∂Ω et v ∈R

3

).

2.4 Remarque g´en´erale sur le mod`ele SHE

Dans le document Obtention de modèles de diffusion à partir d'équations cinétiques. Modélisation, étude mathématique et simulation (Page 32-35)