On consid`ere, pour chaque entiern≥2, la formuleGn suivante : Gn=∃x1∃x2

Universit´e Paris 7 8 novembre 2011 Licence Math-Info (L3)

TD de Logique (Brice Minaud)

TD 7 R´evisions

Exercice1 :[Pr´edicats] Soit un langageL₌{', R}o`uRest un symbole de relation binaire. On consid`ere, pour chaque entiern≥2, la formuleG_n suivante :

Gn=∃x1∃x2. . .∃xn (R x1x2∧R x2x3∧R x3x4∧. . .∧R xnx1) On poseT ={¬Gn ; n≥2}.

1. Donner uneL-structureMqui satisfaitG4, puis uneL-structureNqui satisfait

¬G2∧ ¬G3∧ ¬G4.

2. Donner, pour chaquen≥2, uneL-structureNnqui satisfait¬G2∧ ¬G3∧. . .∧ ¬Gn∧Gn+1. 3?. Montrer que, pour toute formule closeF qui est cons´equence deT, il existe uneL-structure

< M, R^M > mod`ele de F, telle que la relation binaire R<sup>M</sup> poss`ede un cycle (c’est-`a-dire satisfait l’une des formulesG<sub>n</sub>). (On pourra appliquer le th´eor`eme de compacit´e)

4?. Montrer queT n’est logiquement ´equivalente `a aucun ensemble fini de formules deL.

Exercice2 :[Clauses] On dit qu’une clause est uneclause de Hornssi elle a au plus une variable positive (au plus une variable `a droite de =⇒).

a- Montrer que si un ensemble de clauses de Horn ne contient pas de clause du type =⇒ v, alors cet ensemble est satisfaisable.

b?- En d´eduire un algorithme polynomial pour d´eterminer si un ensemble de clauses de Horn est satisfaisable.

Exercice3 :[Connecteurs] Soitαle connecteur ternaire d´efini par : α(a, b, c) ssi (a∧b)⇒c

Montrer que{0, α} est un syst`eme de connecteurs complet.

Exercice4 :[R`egle des poids] Soient aet bdeux symboles de constantes, het k deux symboles de fonctions unaires,f etg deux symboles de fonctions binaires. Le mot suivant est-il un terme ?

f ghgv10v3ggaggkhv4ghv2v1gbv8v0f ggv9v3gv9v10f f v0f gv7bf v11v12f v2ggv6v1v7

Si oui, donner les termest1 et t2 tels que ce mot estf t1t2

Exercice5 :[Structures]

(a) On consid`ere le langageL ={R, S, f} o`uR et S sont des symbols de relations binaires et f un symbols de fontion binaire. On s’int´eresse auxL-structures :

M₁=hN, >, <,×i M₂=hN, >, <,+i

Trouver unL-´enonc´eφtel que M1|=φetM2|=¬φ

(b) On consid`ere maintenant le langageL={f, g, c} o`uf etg sont des fonctions binaires, etc un constante. Soit leL-´enonc´e :

φ=∀y∀z∃x(¬y'c =⇒ gf xyz'c) Trouver deuxL-structures dont l’une satisfaitφet l’autre pas.

(c) On poseL={a, c, R, f, g} et laL-structureM=hP(N),∅,N,⊆,∩,∪i. Donner φtelle que V al(φ,M) ={{n}:n∈N}