P´eriodes d’apr`es M. Kontsevich et D. Zagier

(1)

”Colloque de la Société Mathématique de Tunisie” Mahdia, mars 2004

P´ eriodes

d’apr` es M. Kontsevich et D. Zagier

Michel Waldschmidt

http://www.math.jussieu.fr/∼miw/

(2)

P´ eriodes M. Kontsevich et D. Zagier – Periods.

Mathematics Unlimited - 2001 and Beyond.

Engquist, B.; Schmid, W., Eds., Springer (2000), 771–808.

http://www.ihes.fr/PREPRINTS/M01/Resu/resu-M01-22.html

Une p´ eriode est un nombre complexe dont les parties r´ eelle et imaginaire sont des valeurs d’int´ egrales absolument convergentes de fonctions rationnelles avec des coefficients rationnels, sur des domaines de R

ⁿ

d´ efinis par des ´ egalit´ es ou des in´ egalit´ es polynomiales ayant des coefficients rationnels.

http://www.math.jussieu.fr/∼miw/ 2

(3)

P´ eriodes M. Kontsevich et D. Zagier – Periods.

Mathematics Unlimited - 2001 and Beyond.

Engquist, B.; Schmid, W., Eds., Springer (2000), 771–808.

http://www.ihes.fr/PREPRINTS/M01/Resu/resu-M01-22.html

Une p´ eriode est un nombre complexe dont les parties r´ eelle et imaginaire sont des valeurs d’int´ egrales absolument convergentes de fonctions rationnelles avec des coefficients rationnels, sur des domaines de R

ⁿ

d´ efinis par des ´ egalit´ es ou des in´ egalit´ es polynomiales ayant des coefficients rationnels.

L’ensemble P des p´ eriodes est une sous-Q-alg` ebre de C.

(4)

Exemples:

√ 2 =

Z

2x²≤1

dx,

π =

Z

x²+y²≤1

dxdy, log 2 =

Z

1<x<2

dx x , ζ (2) =

Z

1>t₁>t₂>0

dt

₁

t

₁

· dt

₂

1 − t

₂

= π

²

6 ·

(5)

Relations entre p´ eriodes 1 Additivit´ e

Z

b

a

f (x) + g(x)

dx =

Z

b

a

f (x)dx +

Z

b

a

g(x)dx et

Z

b

a

f (x)dx =

Z

c

a

f (x)dx +

Z

b

c

f (x)dx.

2 Changement de variables

Z

ϕ(b)

f (t)dt =

Z

b

f ϕ(u)

ϕ

⁰

(u)du.

(6)

3 Newton–Leibniz–Stokes

Z

b

a

f

⁰

(t)dt = f (b) − f (a).

Conjecture (Kontsevich–Zagier). Si une p´ eriode a deux repr´ esentations, alors on peut passer de l’une ` a l’autre en utilisant uniquement les r` egles 1 , 2 et 3 dans lesquelles toutes les fonctions et tous les domaines d’int´ egration sont alg´ ebriques avec des coefficients alg´ ebriques.

(7)

π =

Z

x²+y²≤1

dxdy

= 2

Z

1

−1

p 1 − x

²

dx

=

Z

1

−1

√ dx

1 − x

²

=

Z

∞

−∞

dx

1 + x

²

·

(8)

Plan

1 Transcendance de valeurs d’int´ egrales d´ efinies

Genre 0: logarithmes de nombres alg´ ebriques Genre 1: Int´ egrales elliptiques

Genre ≥ 2: Int´ egrales ab´ eliennes 2 Valeurs de la fonction Gamma d’Euler 3 Valeurs de la fonction zˆ eta de Riemann 4 Fonctions hyperg´ eom´ etriques

5 P´ eriodes exponentielles

(9)

Transcendance de valeurs d’int´ egrales d´ efinies F. Lindemann (1882) – Uber die Ludolph’sche Zahl. ¨

Le nombre π est transcendant.

(10)

Transcendance de valeurs d’int´ egrales d´ efinies F. Lindemann (1882) – Uber die Ludolph’sche Zahl. ¨

Le nombre π est transcendant.

Ch. Hermite (1873) + F. Lindemann (1882) – Si α est un nombre alg´ ebrique non nul, et si log α est une d´ etermination non nulle de son logarithme, alors le nombre log α est transcendant.

(11)

Transcendance de valeurs d’int´ egrales d´ efinies F. Lindemann (1882) – Uber die Ludolph’sche Zahl. ¨

Le nombre π est transcendant.

Ch. Hermite (1873) + F. Lindemann (1882) – Si α est un nombre alg´ ebrique non nul, et si log α est une d´ etermination non nulle de son logarithme, alors le nombre log α est transcendant.

A.O. Gelfond et Th. Schneider (1932) (Septi` eme probl` eme de

Hilbert) – Si log α

₁

et log α

₂

sont deux logarithmes non nuls

de nombres alg´ ebriques, le quotient (log α

₁

)/(log α

₂

) est soit

rationnel, soit transcendant.

(12)

A. Baker (1968) – Linear forms in the logarithms of algebraic numbers

Si log α

₁

, . . . , log α

_n

sont des logarithmes Q-lin´ eairement ind´ ependants de nombres alg´ ebriques, alors 1, log α

₁

, . . . , log α

_n

sont lin´ eairement ind´ ependants sur le corps Q des nombres alg´ ebriques.

Exemple:

le nombre

Z

1

0

dx

1 + x

³

= 1 3

log 2 + π

√ 3

est transcendant.

(13)

A.J. van der Poorten (1970) – On the arithmetic nature of definite integrals of rational functions.

Soient P et Q des polynˆ omes ` a coefficients alg´ ebriques v´ erifiant deg P < deg Q et soit γ un chemin ferm´ e, ou bien un chemin dont les extr´ emit´ es sont alg´ ebriques ou infinies. Si l’int´ egrale

Z

γ

P (z ) Q(z ) dz

existe, alors elle est soit nulle, soit transcendante.

(14)

Int´ egrales elliptiques Th. Schneider

(1934) – Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen.

(1937) – Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale.

Transcendance d’int´ egrales elliptiques de premi` ere ou de seconde esp` ece.

(15)

Soient a et b deux nombres alg´ ebriques r´ eels; soit E

_ab

l’ellipse x

²

a

²

+ y

²

b

²

= 1.

On pose

= r

1 − b

²

a

²

· Soient (x

₀

, y

₀

) et (x

₁

, y

₁

) deux points sur E

_ab

ayant des coordonn´ ees alg´ ebriques. Alors la longueur de l’arc

Z

x₁

x₀

r a

²

−

²

x

²

a

²

− x

²

dx

(16)

Soient a un nombre alg´ ebrique non nul. On d´ esigne par L

_a

la lemniscate

(x

²

+ y

²

)

²

= 2a

²

(x

²

− y

²

).

On pose

t = s

x

²

− y

²

x

²

+ y

²

· Soient (x

₀

, y

₀

) et (x

₁

, y

₁

) deux point sur L

_a

ayant des coordonn´ ees alg´ ebriques r´ eelles. Alors la longueur de l’arc

Z

t₁

t₀

a √

√ 2

1 − t

⁴

dt

est soit nulle, soit un nombre transcendant.

(17)

Exemples num´ eriques:

Z

∞

1

√ dx

4x

³

− 4x = 1

4 ^V (1/4, 1/2) = Γ(1/4)

²

4 √

2π et

Z

∞

1

√ dx

4x

³

− 4 = 1

6 ^V (1/6, 1/2) = Γ(1/3)

³

2

^4/3

π

sont des nombres transcendants.

(18)

Int´ egrales ab´ eliennes

Th. Schneider (1940) – Zur Theorie des Abelschen Funktionen und Integrale.

Soient a et b des nombres rationnels non entiers tels que a + b ne soit pas non plus un entier. Alors le nombre

V (a, b) = Γ(a)Γ(b) Γ(a + b) =

Z

1

0

x

^a−1

(1 − x)

^b−1

dx est transcendant.

Remarque. Pour tout p/q ∈ Q avec p > 0 et q > 0, le nombre Γ(p/q)

^q

est une p´ eriode.

(19)

Int´ egrales ab´ eliennes

Th. Schneider (1940), S. Lang (1960’s), D.W. Masser (1980’s).

G. W¨ ustholz (1989) – Algebraische Punkte auf analytischen Untergruppen algebraischer Gruppen.

Extension du th´ eor` eme de Baker aux groupes alg´ ebriques commutatifs.

Transcendance et ind´ ependance lin´ eaire sur le corps des

nombres alg´ ebriques d’int´ egrales ab´ eliennes de premi` ere,

seconde ou troisi` eme esp` ece.

(20)

G.V. Chudnovskij (1976) – Algebraic independence of constants connected with exponential and elliptical functions

Th´ eor` eme (G.V. Chudnovskij). Soit ℘ une fonction elliptique de Weierstrass d’invariants g

₂

et g

₃

. Soit ω une p´ eriode non nulle de ℘ et soit η la quasi-p´ eriode associ´ ee de la fonction zˆ eta de Weierstrass ζ :

℘

⁰²

= 4℘

³

− g

₂

℘ − g

₃

, ζ

⁰

= −℘, ζ (z + ω) = ζ (z ) + η.

Alors deux au moins des nombres

g

₂

, g

₃

, ω/π, η/π sont alg´ ebriquement ind´ ependants.

(21)

Corollaire. En consid´ erant la courbe elliptique y

²

= 4x

³

− 4x on d´ eduit l’ind´ ependance alg´ ebrique des deux nombres

Γ(1/4) et π.

Avec la courbe y

²

= 4x

³

− 4 on obtient l’ind´ ependance alg´ ebrique de

Γ(1/3) et π.

(22)

Yu.V. Nesterenko (1996) – Modular functions and transcendence questions

P(q) = E₂(q) = 1 − 24

∞

X

n=1

nqⁿ 1 − qⁿ, Q(q) = E₄(q) = 1 + 240

∞

X

n=1

n³qⁿ 1 − qⁿ, R(q) = E₆(q) = 1 − 504

∞

X

n=1

n⁵qⁿ 1 − qⁿ·

Th´ eor` eme (Yu.V. Nesterenko.) Soit q ∈ C un nombre complexe satisfaisant 0 < |q| < 1. Alors trois au moins des quatre nombres

q, P (q), Q(q), R(q) sont alg´ ebriquement ind´ ependants.

(23)

Lien avec les fonctions elliptiques

Soit ℘ une fonction elliptique d’invariants g

₂

et g

₃

et de p´ eriodes fondamentales ω

₂

, ω

₁

. Posons τ = ω

₁

/ω

₂

, q = e

^2iπτ

,

J (q) = j (τ ) = 1728 g

₂³

g

₂³

− 27g

₃²

· Remarque. Le nombre

∆(q) = 1

1728 Q(q)

³

− R(q)

²

v´ erifie

J (q) = Q(q)

³

∆(q) et ∆(q) = q Y

n≥1

(1 − q

ⁿ

)

²⁴

.

(24)

LEMNISCATE y

²

= 4x

³

− 4x

g

₂

= 4, g

₃

= 0, j = 1728, τ = i, q = e

^−2π

,

ω

₁

= Γ(1/4)

²

√ 8π = 2.6220575542 . . .

P (e

^−2π

) = 3

π , Q(e

^−2π

) = 3

ω

₁

π

⁴

,

R(e

^−2π

) = 0, ∆(e

^−2π

) = 1 2

⁶

ω

₁

π

¹²

.

(25)

ANHARMONIQUE y

²

= 4x

³

− 4

g

₂

= 0, g

₃

= 4, j = 0, τ = %, q = −e

^−π

√3

,

ω

₁

= Γ(1/3)

³

2

^4/3

π = 2.428650648 . . . P (−e

^−π

√3

) = 2 √ 3

π , Q(−e

^−π

√3

) = 0,

R(−e

^−π

√3

) = 27 2

ω

₁

π

6

, ∆(−e

^−π

√3

) = − 27 256

ω

₁

π

12

.

(26)

Corollaire. Les trois nombres

Γ(1/4), π et e

^π

sont alg´ ebriquement ind´ ependants, et il en est de mˆ eme de Γ(1/3), π et e

^π

√3

.

(27)

Lindemann: le nombre Γ(1/2) = √

π est transcendant.

(28)

Lindemann: le nombre Γ(1/2) = √

π est transcendant.

Chacun des trois nombres Γ(1/2), Γ(1/3) et Γ(1/4) est transcendant.

Ce sont les seules valeurs de la fonction Gamma en des points rationnels de l’intervalle (0, 1/2] dont on connaisse la nature arithm´ etique.

(29)

Lindemann: le nombre Γ(1/2) = √

π est transcendant.

Chacun des trois nombres Γ(1/2), Γ(1/3) et Γ(1/4) est transcendant.

Probl` eme ouvert: le nombre Γ(1/5) est-il transcendant?

(30)

Lindemann: le nombre Γ(1/2) = √

π est transcendant.

Chacun des trois nombres Γ(1/2), Γ(1/3) et Γ(1/4) est transcendant.

Probl` eme ouvert: le nombre Γ(1/5) est-il transcendant?

Remarque. La courbe de Fermat d’exposant 5, ` a savoir x

⁵

+ y

⁵

= 1, est de genre 2. Sa Jacobienne est une surface abelienne.

(31)

Lindemann: le nombre Γ(1/2) = √

π est transcendant.

Chacun des trois nombres Γ(1/2), Γ(1/3) et Γ(1/4) est transcendant.

Probl` eme ouvert: le nombre Γ(1/5) est-il transcendant?

Remarque. La courbe de Fermat d’exposant 5, ` a savoir x

⁵

+ y

⁵

= 1, est de genre 2. Sa Jacobienne est une surface abelienne.

Conjecture. Trois au moins des quatre nombres Γ(1/5), Γ(2/5), π et e

^π

√5

(32)

Relations Standard

Γ(a + 1) = aΓ(a),

Γ(a)Γ(1 − a) = π

sin(πa) ,

n−1

Y

k=0

Γ

a + k n

= (2π)

^(n−1)/2

n

^−na+(1/2)

Γ(na).

(33)

Posons

G(z ) = 1

√ 2π Γ(z ).

D’apr` es la formule de multiplication de Gauss et Legendre, pour tout entier positif N et tout nombre complexe z satisfaisant N z 6≡ 0 (mod Z), on a

N−1

Y

i=0

G

z + i N

= N

^{(1/2)−N z}

G(N z ).

(34)

La fonction Gamma n’a pas de z´ eros. Elle d´ efinit une application de C \ Z dans C

^×

. On la restreint ` a Q \ Z puis on la compose avec l’application canonique C

^×

→ C

^×

/Q

^×

. L’application qui en r´ esulte est p´ eriodique de p´ eriode 1, ce qui fournit une application

G : Q

Z \ {0} → C

^×

Q

^×

qui est une distribution impaire sur (Q/Z) \ {0}:

N−1

Y

i=0

G

a + i N

= G(N a) pour a ∈ Q

Z \ {0}

et

G(−a) = G(a)

⁻¹

.

(35)

Conjecture (Rohrlich). G est la distribution impaire universelle

`

a valeurs dans un groupe o` u la multiplication par 2 est inversible.

(36)

Conjecture (Rohrlich). G est la distribution impaire universelle

`

a valeurs dans un groupe o` u la multiplication par 2 est inversible.

Cela signifie: toute relation multiplicative de la forme π

^b/2

Y

a∈Q

Γ(a)

^m^a

∈ Q

avec b et m

_a

dans Z se d´ eduit des relations standard.

(37)

Conjecture (Rohrlich). G est la distribution impaire universelle

`

a valeurs dans un groupe o` u la multiplication par 2 est inversible.

Cela signifie: toute relation multiplicative de la forme π

^b/2

Y

a∈Q

Γ(a)

^m^a

∈ Q

avec b et m

_a

dans Z se d´ eduit des relations standard.

Exemple: (P. Das)

Γ(1/3)Γ(2/15)

Γ(4/15)Γ(1/5) ∈ Q.

(38)

Conjecture (Rohrlich). G est la distribution impaire universelle

`

a valeurs dans un groupe o` u la multiplication par 2 est inversible.

Cela signifie: toute relation multiplicative de la forme π

^b/2

Y

a∈Q

Γ(a)

^m^a

∈ Q

avec b et m

_a

dans Z se d´ eduit des relations standard.

Cela conduit ` a la question de savoir si l’id´ eal sur Q de toutes les relations alg´ ebriques entre les valeurs de G(a) pour a ∈ Q est engendr´ e par les relations de distributions, l’´ equation fonctionnelle et l’imparit´ e.

(39)

Constante d’Euler

γ = lim

n→∞

1 + 1

2 + 1

3 + · · · + 1

n − log n

= 0.5772157 . . .

(40)

Constante d’Euler

γ = lim

n→∞

1 + 1

2 + 1

3 + · · · + 1

n − log n

= 0.5772157 . . .

Probl` eme ouvert: Le nombre γ est-il irrationnel?

(41)

Constante d’Euler

γ = lim

n→∞

1 + 1

2 + 1

3 + · · · + 1

n − log n

= 0.5772157 . . .

Probl` eme ouvert: Le nombre γ est-il irrationnel?

Conjecture: Le nombre γ est transcendant.

(42)

Constante d’Euler

γ = lim

n→∞

1 + 1

2 + 1

3 + · · · + 1

n − log n

= 0.5772157 . . .

Probl` eme ouvert: Le nombre γ est-il irrationnel?

Conjecture: Le nombre γ est transcendant.

Conjecture: Le nombre γ n’est pas une p´ eriode.

(43)

J. Sondow (2003) – Crit` ere d’irrationalit´ e pour la constante d’Euler.

Une in´ egalit´ e tr` es forte et conjecturale pour une infinit´ e d’´ el´ ements d’une suite bien sp´ ecifi´ ee de nombres de la forme

e

^b⁰

a

^b₁¹

· · · a

^b_m^m

− 1

avec b

₀

quelconque, o` u tous les exposants b

_i

ont le mˆ eme signe,

permettrait d’´ etablir l’irrationalit´ e de la constante d’Euler.

(44)

Analogue de la constante d’Euler en caract´ eristique finie L. Carlitz (1935) – On certain functions connected with polynomials in a Galois field.

V.G. Drinfel’d (1974) – Elliptic modules.

I.I. Wade (1941), J.M. Geijsel (1978), P. Bundschuh (1978), Yu Jing (1980’s), G.W. Anderson et D. Thakur (1990). . .

ζ (s) = Y

p

(1 − p

^−s

)

⁻¹

, γ = lim

s→1

ζ (s) − 1 s − 1

.

En caract´ eristique finie, p d´ ecrit les polynˆ omes unitaires irr´ eductibles ` a coefficients dans un corps fini, et ζ (1) converge.

(45)

Un analogue en dimension 2 de la constante d’Euler

Pour chaque k ≥ 2, d´ esignons par A

_k

l’aire minimale d’un disque ferm´ e de R

²

contenant au moins k points de Z

²

. Pour n ≥ 2, posons

δ

_n

= − log n +

n

X

k=2

1 A

_k

et δ = lim

n→∞

δ

_n

. F. Gramain conjecture:

δ = 1 + 4

π γL

⁰

(1) + L(1) , o` u

L(s) = X

n≥0

(−1)

ⁿ

(2n + 1)

^−s

.

(46)

Comme L(1) = π/4 et L

⁰

(1) = X

n≥0

(−1)

ⁿ⁺¹

· log(2n + 1) 2n + 1

= π

4 3 log π + 2 log 2 + γ − 4 log Γ(1/4) , la conjecture de Gramain s’´ ecrit aussi

δ = 1 + 3 log π + 2 log 2 + 2γ − 4 log Γ(1/4) = 1.82282524 . . . Meilleur encadrement connu pour δ

(F. Gramain et M. Weber, 1985):

1.811 . . . < δ < 1.897 . . .

(47)

Transcendance de sommes de s´ eries

S.D. Adhikari, N. Saradha, T.N. Shorey, R. Tijdeman (2001) – Transcendental infinite sums.

N. Saradha, R. Tijdeman (2003) – On the transcendence of infinite sums of values of rational functions.

Question: quelle est la nature arithm´ etique de

X

n≥0 Q(n)6=0

P (n)

Q(n) ?

(48)

∞

X

n=1

1 n(n + 1) = 1,

∞

X

n=0

1 4n + 1 − 3

4n + 2 + 1

4n + 3 + 1 4n + 4

= 0 sont des nombres rationnels.

(49)

∞

X

n=1

1 n(n + 1) = 1,

∞

X

n=0

1 4n + 1 − 3

4n + 2 + 1

4n + 3 + 1 4n + 4

= 0 sont des nombres rationnels. S´ eries t´ el´ escopiques.

∞

X

n=0

1 (an + b)(an + a + b) = 1 ab ,

∞

X

n=0

1 (an + b)(an + a + b)(an + 2a + b) = 1

2ab(a + b) ·

(50)

∞

X

n=0

1 (2n + 1)(2n + 2) = log 2,

∞

X

n=0

1 (n + 1)(2n + 1)(4n + 1) = π 3 ,

∞

X

n=1

1 n

²

= π

²

6 ,

∞

X

n=0

1 n

²

+ 1 = 1

2 + π

2 · e

^π

+ e

^−π

e

^π

− e

^−π

sont des nombres transcendants.

(51)

Le nombre

∞

X

n=0

1 (3n + 1)(3n + 2)(3n + 3)

est aussi transcendant (combinaison lin´ eaire de logarithmes de

nombres alg´ ebriques).

(52)

Question: quelles sont les p´ eriodes parmi les nombres X

n≥0 Q(n)6=0

P (n) Q(n) ?

(53)

Question: quelles sont les p´ eriodes parmi les nombres X

n≥0 Q(n)6=0

P (n) Q(n) ?

Le nombre

∞

X

n=1

1 n

²

= π

²

6 =

Z

1>t>u>0

dt

t · du 1 − u est une p´ eriode, mais probablement pas

∞

X 1

n

²

+ 1 = 1

2 + π

2 · e

^π

+ e

^−π

e

^π

− e

^−π

·

(54)

Question: quelles sont les p´ eriodes parmi les nombres X

n≥0 Q(n)6=0

P (n) Q(n) ?

Conjecture: un nombre de la forme X

n≥0 Q(n)6=0

P (n) Q(n) est soit rationnel, soit transcendant.

(55)

Question: quelles sont les p´ eriodes parmi les nombres X

n≥0 Q(n)6=0

P (n) Q(n) ?

Conjecture: un nombre de la forme X

n≥0 Q(n)6=0

P (n) Q(n)

est soit rationnel, soit transcendant. De plus, s’il est rationnel,

alors la s´ erie est t´ elescopique.

(56)

Cas particulier: P (X )/Q(X ) = X

^−s

Fait: pour s ≥ 2

ζ (s) = X

n≥1

1 n

^s

est une p´ eriode.

(57)

Cas particulier: P (X )/Q(X ) = X

^−s

Fait: pour s ≥ 2

ζ (s) = X

n≥1

1 n

^s

est une p´ eriode.

D´ emonstration: ζ (s) = Z

1>t₁>···>t_s>0

dt

₁

t

₁

· · · dt

_s−1

t

_s−1

· dt

_s

1 − t

_s

·

(58)

Cas particulier: P (X )/Q(X ) = X

^−s

Fait: pour s ≥ 2

ζ (s) = X

n≥1

1 n

^s

est une p´ eriode.

D´ emonstration: ζ (s) = Z

1>t₁>···>t_s>0

dt

₁

t

₁

· · · dt

_s−1

t

_s−1

· dt

_s

1 − t

_s

· Notation (int´ egrale it´ er´ ee de Chen).

ζ (s) =

Z

1

0

ω

₀^s−1

ω

₁

avec ω

₀

= dt

t et ω

₁

= dt 1 − t ·

(59)

Valeurs de la fonction zˆ eta de Riemann aux entiers positifs Nombres d’Euler

ζ (s) = X

n≥1

1 n

^s

for s ≥ 2.

Ce sont des valeurs sp´ eciales de la fonction zˆ eta de Riemann:

s ∈ C.

Euler: π

^−2k

ζ (2k) ∈ Q pour k ≥ 1 (nombres de Bernoulli).

Question Diophantienne: Quelles sont les relations

alg´ ebriques entre les nombres

(60)

Conjecture. Il n’y en a pas! Autrement dit les nombres ζ (2), ζ (3), ζ (5), ζ (7) . . .

sont alg´ ebriquement ind´ ependants.

(61)

Conjecture. Il n’y en a pas! Autrement dit les nombres ζ (2), ζ (3), ζ (5), ζ (7) . . .

sont alg´ ebriquement ind´ ependants.

Connu:

• Hermite-Lindemann: π est transcendant, donc ζ (2k) aussi

pour tout k ≥ 1.

(62)

Conjecture. Il n’y en a pas! Autrement dit les nombres ζ (2), ζ (3), ζ (5), ζ (7) . . .

sont alg´ ebriquement ind´ ependants.

Connu:

• Hermite-Lindemann: π est transcendant, donc ζ (2k) aussi pour tout k ≥ 1.

• Ap´ ery (1978) – Le nombre ζ (3) est irrationnel.

(63)

Conjecture. Il n’y en a pas! Autrement dit les nombres ζ (2), ζ (3), ζ (5), ζ (7) . . .

sont alg´ ebriquement ind´ ependants.

Connu:

• Hermite-Lindemann: π est transcendant, donc ζ (2k) aussi pour tout k ≥ 1.

• Ap´ ery (1978) – Le nombre ζ (3) est irrationnel.

• Rivoal (2000) + Ball, Zudilin. . . Parmi les nombres

ζ (2k + 1), il y en a une infinit´ e d’irrationnels + minoration

(64)

Soit > 0. Quand a est un entier impair suffisamment grand, la dimension du Q-espace vectoriel engendr´ e par 1, ζ (3), ζ (5), · · · , ζ (a) est au moins

1 −

1 + log 2 log a.

(65)

W. Zudilin.

• Un au moins des quatre nombres

ζ (5), ζ (7), ζ (9), ζ (11) est irrationnel.

• Il existe un entier impair j dans l’intervalle [5, 69] tel que les

trois nombres 1, ζ (3), ζ (j ) soient lin´ eairement ind´ ependants

sur Q.

(66)

Lin´ earisation du probl` eme (Euler). Le produit de ζ (s

₁

) par ζ (s

₂

) est encore la somme d’une s´ erie.

(67)

Lin´ earisation du probl` eme (Euler). Le produit de ζ (s

₁

) par ζ (s

₂

) est encore la somme d’une s´ erie.

De la relation

X

n₁≥1

n^−s₁ ¹ X

n₂≥1

n₂^−s² = X

n₁>n₂≥1

n^−s₁ ¹n₂^−s² + X

n₂>n₁≥1

n^−s₂ ²n₁^−s¹ + X

n≥1

n^−s¹^−s²

on d´ eduit, pour s

₁

≥ 2 et s

₂

≥ 2,

ζ (s

₁

)ζ (s

₂

) = ζ (s

₁

, s

₂

) + ζ (s

₂

, s

₁

) + ζ (s

₁

+ s

₂

) avec

ζ (s

₁

, s

₂

) = X

n₁>n₂≥1

n

^−s₁ ¹

n

₂^−s²

.

(68)

Pour k, s

₁

, . . . , s

_k

entiers positifs avec s

₁

≥ 2, on pose s = (s

₁

, . . . , s

_k

) et

ζ (s) = X

n₁>n₂>···>n_k≥1

1 n

^s₁¹

· · · n

^s_k^k

· (Valeurs zˆ eta multiples - MZV)

(69)

Pour k, s

₁

, . . . , s

_k

entiers positifs avec s

₁

≥ 2, on pose s = (s

₁

, . . . , s

_k

) et

ζ (s) = X

n₁>n₂>···>n_k≥1

1 n

^s₁¹

· · · n

^s_k^k

· (Valeurs zˆ eta multiples - MZV)

Pour k = 1 on retrouve les nombres d’Euler ζ (s).

(70)

Pour k, s

₁

, . . . , s

_k

entiers positifs avec s

₁

≥ 2, on pose s = (s

₁

, . . . , s

_k

) et

ζ (s) = X

n₁>n₂>···>n_k≥1

1 n

^s₁¹

· · · n

^s_k^k

· (Valeurs zˆ eta multiples - MZV)

Pour k = 1 on retrouve les nombres d’Euler ζ (s).

Remarque: ζ (s) est une p´ eriode:

ζ (s) =

Z

1

0

ω

₀^s¹⁻¹

ω

₁

· · · ω

₀^s^k⁻¹

ω

₁

.

(71)

Pour k, s

₁

, . . . , s

_k

entiers positifs avec s

₁

≥ 2, on pose s = (s

₁

, . . . , s

_k

) et

ζ (s) = X

n₁>n₂>···>n_k≥1

1 n

^s₁¹

· · · n

^s_k^k

· (Valeurs zˆ eta multiples - MZV)

Pour k = 1 on retrouve les nombres d’Euler ζ (s).

Le produit de deux valeurs zˆ eta multiples est une combinaison

lin´ eaire de valeurs zˆ eta multiples.

(72)

Ces nombres v´ erifient beaucoup de relations lin´ eaires ` a coefficients rationnels.

(73)

Ces nombres v´ erifient beaucoup de relations lin´ eaires ` a coefficients rationnels.

• Produit de s´ eries.

• Produit d’int´ egrales.

• R´ egularisation des s´ eries et int´ egrales divergentes.

(74)

Ces nombres v´ erifient beaucoup de relations lin´ eaires ` a coefficients rationnels.

Une description exhaustive de ces relations devrait r´ esoudre le probl` eme de l’ind´ ependance alg´ ebrique des nombres

π, ζ (3), ζ (5), . . . , ζ (2k + 1).

But: d´ ecrire toutes les relations lin´ eaires ` a coefficients rationnels entre les Valeurs Zˆ eta Multiples.

(75)

Exemple de relation lin´ eaire.

Euler:

ζ (2, 1) = ζ (3).

(76)

Exemple de relation lin´ eaire.

Euler:

ζ (2, 1) = ζ (3).

ζ (2, 1) = Z

1>t₁>t₂>t₃>0

dt

₁

t

₁

· dt

₂

1 − t

₂

· dt

₃

1 − t

₃

·

(77)

Exemple de relation lin´ eaire.

Euler:

ζ (2, 1) = ζ (3).

ζ (2, 1) = Z

1>t₁>t₂>t₃>0

dt

₁

t

₁

· dt

₂

1 − t

₂

· dt

₃

1 − t

₃

· ζ (3) =

Z

1>t₁>t₂>t₃>0

dt

₁

t

₁

· dt

₂

t

₂

· dt

₃

1 − t

₃

·

(78)

Exemple de relation lin´ eaire.

Euler:

ζ (2, 1) = ζ (3).

ζ (2, 1) = Z

1>t₁>t₂>t₃>0

dt

₁

t

₁

· dt

₂

1 − t

₂

· dt

₃

1 − t

₃

· ζ (3) =

Z

1>t₁>t₂>t₃>0

dt

₁

t

₁

· dt

₂

t

₂

· dt

₃

1 − t

₃

· Le r´ esultat d’Euler’ s’obtient par (t

₁

, t

₂

, t

₃

) 7→ (1 − t

₃

, 1 − t

₂

, 1 − t

₁

).

(79)

Soit Z

_p

le Q-sous-espace vectoriel de R engendr´ e par les nombres ζ (s) pour s de poids s

₁

+ · · · + s

_k

= p, avec Z

₀

= Q et Z

₁

= {0}.

Voici la conjecture de Zagier sur la dimension d

_p

de Z

_p

. Conjecture (Zagier). Pour p ≥ 3 on a

d

_p

= d

_p−2

+ d

_p−3

.

(d

₀

, d

₁

, d

₂

, . . .) = (1, 0, 1, 1, 1, 2, 2, . . .).

(80)

Cette conjecture s’´ ecrit aussi

X

p≥0

d

_p

X

^p

= 1

1 − X

²

− X

³

· M. Hoffman conjecture: une base de Z

_p

sur Q est donn´ ee par les nombres ζ (s

₁

, . . . , s

_k

), s

₁

+ · · · + s

_k

= p, o` u chacun des s

_i

est soit 2, soit 3.

Compatible avec ce qui est connu pour p ≤ 16 (Hoang Ngoc Minh)

(81)

Exemples

d

₀

= 1 ζ (s

₁

, . . . , s

_k

) = 1 pour k = 0.

d

₁

= 0 {(s

₁

, . . . , s

_k

) ; s

₁

+ · · · + s

_k

= 1, s

₁

≥ 2} = ∅.

d

₂

= 1 ζ (2) 6= 0

d

₃

= 1 ζ (2, 1) = ζ (3) 6= 0

d

₄

= 1 ζ (3, 1) = (1/4)ζ (4), ζ (2, 2) = (3/4)ζ (4),

ζ (2, 1, 1) = ζ (4) = (2/5)ζ (2)

²

(82)

Question: d

₅

= 2 ? Comme on a

ζ (2, 1, 1, 1)= ζ (5),

ζ (3, 1, 1) =ζ (4, 1)= 2ζ (5) − ζ (2)ζ (3), ζ (2, 1, 2) =ζ (2, 3)= 9

2 ζ (5) − 2ζ (2)ζ (3), ζ (2, 2, 1) =ζ (3, 2)=3ζ (2)ζ (3) − 11

2 ζ (5),

il en r´ esulte que d

₅

∈ {1, 2} et que d

₅

= 2 si et seulement si le nombre ζ (2)ζ (3)/ζ (5) est irrationnel.

(83)

A.G. Goncharov (2000) – Multiple ζ -values, Galois groups and Geometry of Modular Varieties.

T. Terasoma (2002) – Mixed Tate motives and multiple zeta values.

Les entiers d´ efinis par la relation de r´ ecurrence de la conjecture de Zagier

d

_p

= d

_p−2

+ d

_p−3

.

avec les conditions initiales d

₀

= 1, d

₁

= 0 fournissent une

majoration pour la dimension de Z

_p

.

(84)

Fonction hyperg´ eom´ etrique de Gauss

Pour a, b, c et z nombres complexes avec c 6∈ Z

_≤0

et |z | < 1, on d´ efinit

2

F

₁

a, b ; c z

=

∞

X

n=0

(a)

_n

(b)

_n

(c)

_n

· z

ⁿ

n!

o` u

(a)

_n

= a(a + 1) · · · (a + n − 1).

(85)

Fonction hyperg´ eom´ etrique de Gauss

Pour a, b, c et z nombres complexes avec c 6∈ Z

_≤0

et |z | < 1, on d´ efinit

2

F

₁

a, b ; c z

=

∞

X

n=0

(a)

_n

(b)

_n

(c)

_n

· z

ⁿ

n!

o` u

(a)

_n

= a(a + 1) · · · (a + n − 1).

Fait: pour a, b, c rationnels avec c 6∈ Z

_≤0

et z ∈ Q avec |z | < 1,

2

F

₁

a, b ; c z

∈ 1

π P .

Remarque: P ⊂ (1/π)P .

(86)

Exemples

2

F

₁

a, 1 ; 1 z

= 1

(1 − z )

^a

,

2

F

₁

1/2, 1 ; 3/2

z

²

= 1

2z log 1 + z 1 − z ,

2

F

₁

1/2, 1/2 ; 3/2

z

²

= 1

z arcsin z,

2

F

₁

1/2, 1/2 ; 1

z

²

= 2

π K (z ),

2

F

₁

−n, n + 1 ; 1

(1 + z )/2

= 2

⁻ⁿ

P

_n

(z ),

2

F

₁

−n, n ; 1/2

(1 + z )/2

= (−1)

ⁿ

T

_n

(z).

(87)

K (z ) est l’int´ egrale elliptique de Jacobi de premi` ere esp` ece K (z ) =

Z

1

0

dx

p (1 − x

²

)(1 − z

²

x

²

) ,

P

_n

le n-i` eme polynˆ ome de Legendre et T

_n

le n-i` eme polynˆ ome de Chebyshev:

P

_n

(z ) = 1 n!

d dz

n

(1 − z

²

)

ⁿ

, T

_n

(cos z ) = cos(nz).

(88)

Pour c > b > 0

2

F

₁

a, b ; c z

= Γ(c)

Γ(b)Γ(c − b)

Z

1

0

t

^b−1

(1 − t)

^c−b−1

(1 − tz)

^−a

dt

et Γ(c)

Γ(b)Γ(c − b) ∈ 1 π P .

Remarque: pour a, b, c r´ eels avec c > a + b et c 6∈ Z

_≤0

, on a

2

F

₁

a, b ; c 1

= Γ(c − a)Γ(c − b) Γ(c)Γ(c − a − b) ·

(89)

Transcendance

J. Wolfart: Transcendance de

₂

F

₁

a, b ; c z

quand a, b, c, z

sont rationnels.

(90)

Transcendance

J. Wolfart: Transcendance de

₂

F

₁

a, b ; c z

quand a, b, c, z sont rationnels.

F. Beukers et J. Wolfart:

2

F

₁

1 12 , 5

12 ; 1 2

1323 1331

= 3 4

√

4

11

(91)

Fonctions hyperg´ eom´ etriques g´ en´ eralis´ ees

Pour p entier ≥ 2 et a

₁

, . . . , a

_p

, b

₁

, . . . , b

_p−1

et z nombres complexes avec b

_i

6∈ Z

_≤0

et |z | < 1, on d´ efinit

p

F

_p−1

a

₁

, . . . , a

_p

b

₁

, . . . , b

_p−1

z

=

∞

X

n=0

(a

₁

)

_n

· · · (a

_p

)

_n

(b

₁

)

_n

· · · (b

_p−1

)

_n

· z

ⁿ

n! ·

(92)

Fonctions hyperg´ eom´ etriques g´ en´ eralis´ ees

Pour p entier ≥ 2 et a

₁

, . . . , a

_p

, b

₁

, . . . , b

_p−1

et z nombres complexes avec b

_i

6∈ Z

_≤0

et |z | < 1, on d´ efinit

p

F

_p−1

a

₁

, . . . , a

_p

b

₁

, . . . , b

_p−1

z

=

∞

X

n=0

(a

₁

)

_n

· · · (a

_p

)

_n

(b

₁

)

_n

· · · (b

_p−1

)

_n

· z

ⁿ

n! · Exemple:

3

F

₂

1/4, 1/2, 3/4 1/3, 2/3

256z 27

=

∞

X

k=0

4k k

z

^k

est une fonction alg´ ebrique.

(93)

Fait: pour a

₁

, . . . , a

_p

, b

₁

, . . . , b

_p−1

rationnels avec b

_i

6∈ Z

_≤0

et z ∈ Q avec |z | < 1,

p

F

_p−1

a

₁

, . . . , a

_p

b

₁

, . . . , b

_p−1

z

∈ 1

π

^p−1

P .

D´ emonstration: par r´ ecurrence sur p ` a partir de p = 2.

(94)

Mesure de Mahler de polynˆ omes en plusieurs variables Soit P ∈ C[z

₁

, . . . , z

_n

, z

₁⁻¹

, . . . , z

_n⁻¹

] un polynˆ ome de Laurent non nul en n variables. On d´ efinit M(P ) par

log M(P ) =

Z

1

0

· · ·

Z

1

0

log

P (e

^2iπt¹

, . . . , e

^2iπtⁿ

)

dt

₁

· · · dt

_n

. Exemple: (n = 1) quand P (z ) = a

₀

d

Y

i=1

(z − α

_i

) ∈ C[z ] on a

M(P ) = |a

₀

|

d

Y

i=1

max{1, |α

_i

|}

et donc log M(P ) ∈ P .

(95)

Fait: pour P ∈ Q[z

₁

, . . . , z

_n

, z

₁⁻¹

, . . . , z

_n⁻¹

] on a log M(P ) ∈ 1

π

ⁿ

P .

Exemple:

log M(1 + z

₁

+ z

₂

+ z

₃

) = 7

2π

²

ζ (3).

(96)

Conjecture (Kontsevich et Zagier). Les nombres 1/π, e, e

^π

, e

^π²

ne sont pas des p´ eriodes.

On connaˆıt la transcendance de e

^π

(A.O. Gel’fond, 1929).

On ne connaˆıt pas la transcendance de e

^π²

.

(97)

Conjecture. Soient α

₁

, α

₂

, α

₃

des nombres alg´ ebriques non nuls. Pour j = 1, 2, 3 soit λ

_j

∈ C \ {0} v´ erifiant e

^λ^j

= α

_j

. Alors

(log α

₁

) log α

₂

) 6= log α

₃

.

Exemple: avec log α

₁

= log α

₂

= iπ on d´ eduit la transcendance du nombre e

^π²

.

Autre exemple: transcendance du nombre 2

^{log 2}

.

(98)

Ind´ ependance alg´ ebrique de logarithmes de nombres alg´ ebriques

Conjecture. Soient α

₁

, . . . , α

_n

des nombres alg´ ebriques non nuls. Pour 1 ≤ j ≤ n soit log α

_j

∈ C v´ erifiant e

^log ^α^j

= α

_j

. On suppose log α

₁

, . . . , log α

_n

Q-lin´ eairement ind´ ependants. Alors log α

₁

, . . . , log α

_n

sont alg´ ebriquement ind´ ependants.

(99)

Conjecture de Schanuel. Soient x

₁

, . . . , x

_n

des nombres complexes lin´ eairement ind´ ependants sur Q. Alors au moins n parmi les 2n nombres

x

₁

, . . . , x

_n

, e

^x¹

, . . . , e

^xⁿ

sont alg´ ebriquement ind´ ependants.

(100)

P´ eriodes exponentielles

D´ efinition. Une p´ eriode exponentielle est une int´ egrale absolument convergente du produit d’une fonction alg´ ebrique avec l’exponentielle d’une fonction alg´ ebrique, sur un ensemble semi-alg´ ebrique, o` u tous les polynˆ omes intervenant dans la d´ efinition ont des coefficients alg´ ebriques.