Schémas en groupes et poids de Diamond-Serre

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Preprint submitted on 9 May 2007

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Schémas en groupes et poids de Diamond-Serre

Xavier Caruso

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Xavier Caruso. Schémas en groupes et poids de Diamond-Serre. 2007. �hal-00145173�

hal-00145173, version 1 - 9 May 2007

Sch´emas en groupes et poids de Diamond-Serre

Xavier Caruso Avril 2007

Table des mati` eres

1 Rappel du contexte 2

1.1 La conjecture de Buzzard, Diamond et Jarvis . . . . 2

1.2 Enonc´e (vague) de la proposition 3.3.1 . . . . ´ 2

2 La th´ eorie de Breuil 4 2.1 D´efinitions . . . . 4

2.2 Description en rang 1 . . . . 5

3 La condition B’ : sch´ emas en groupes 7 3.1 L’´equivalence de Breuil . . . . 7

3.2 Sch´emas en groupes de classe J . . . . 7

3.3 Explication de la condition B’ . . . . 8

4 La condition B : relev´ es cristallins 8 4.1 Repr´esentations cristallines . . . . 8

4.2 Description en rang 1 . . . . 9

4.3 Th´eorie de Fontaine-Laffaille . . . . 9

4.4 R´eduction modulo p . . . . 10

4.5 Explication de la condition B . . . . 10

5 Preuve de la proposition 3.3.1 de [6] 10 5.1 Modules associ´es aux relev´es cristallins . . . . 11

5.2 Modules associ´es aux E-groupes G . . . . 11

5.3 Interlude : d´efaut de pleine fid´elit´e . . . . 13

5.4 Fin de la d´emonstration . . . . 15

Cette note fait suite ` a un expos´e que j’ai donn´e pour la deuxi`eme partie du groupe de travail sur les g´en´eralisations de la conjecture de modularit´e de Serre organis´e par Christophe Breuil, Guy Henniart, Ariane M´ezard et Rachel Ollivier au printemps 2007. Le th`eme de l’expos´e est la proposition 3.3.1 de [6] : il s’agit d’abord de pr´esenter le mat´eriel de th´eorie de Hodge p-adique n´ecessaire pour comprendre l’´enonc´e de cette proposition, puis d’en donner une d´emonstration.

Nous avons jug´e utile d’´ecrire ce texte car la r´edaction de [6] est souvent lacunaire ou impr´ecise et, surtout, contient une erreur : telle qu’´enonc´ee dans [6], la proposition 3.3.1 est fausse, comme l’auteur de cette note s’en est rendu compte lors de la pr´eparation de l’expos´e. Il est en fait assez d´elicat de comprendre ce qu’il faut modifier pour rendre l’´enonc´e juste, et c’est Gee lui-mˆeme qui a propos´e la bonne correction qui consiste ` a changer la d´efinition de classe J (d´efinition 3.2) en introduisant un d´ecalage d’indice. Cela fait, il n’est pas non plus imm´ediat de saisir comment les arguments de [6] s’adaptent ` a ce nouvel ´enonc´e. Cette partie du travail a ´et´e accomplie par l’auteur de cette note.

Nous pr´esentons dans ce papier la version modifi´ee de la proposition 3.3.1 accompagn´ee de sa

d´emonstration (correcte, nous l’esp´erons). Notons pour finir que Gee affirme que c’est bien cette

version modifi´ee qu’il utilise par la suite dans son article ; ainsi, la discussion pr´ec´edente ne remet

a priori pas en cause les r´esultats de [6]. Nous esp´erons que ce texte pourra ˆetre utile `a tous ceux qui veulent apprendre la th´eorie.

1 Rappel du contexte

La proposition 3.3.1 de [6] est un r´esultat de th´eorie de Hodge p-adique pure, et peut tout

`

a fait ˆetre ´enonc´ee (et prouv´ee) sans aucune r´ef´erence ` a la conjecture de modularit´e pour les corps totalement r´eels ´enonc´ee par Buzzard, Diamond et Jarvis dans [4]. Toutefois, en proc´edant ainsi, il deviendrait difficile de comprendre l’int´erˆet de cet ´enonc´e, et c’est pourquoi nous pr´ef´erons consacrer ce premier chapitre ` a un bref rappel du contexte ¹ , ce qui permettra par l`a-mˆeme de fixer les notations ² .

1.1 La conjecture de Buzzard, Diamond et Jarvis

Fixons p un nombre premier et F un corps de nombres totalement r´eel dans lequel p est non ramifi´e. Notons O F l’anneau des entiers de F et G F son groupe de Galois absolu. Fixons ´egalement F ¯ _p une clˆ oture alg´ebrique du corps fini ` a p ´el´ements F _p . Soit ρ : G F → GL 2 (¯ F _p ) une repr´esentation que l’on supposera toujours continue, irr´eductible et totalement impaire. La g´en´eralisation naturelle de la conjecture de modularit´e de Serre est la suivante :

Conjecture 1.1. Avec les notations pr´ec´edentes, ρ est modulaire, c’est-`a-dire qu’elle est isomorphe

`a la r´eduction modulo p d’une repr´esentation associ´ee `a une forme modulaire de Hilbert.

Le travail de Buzzard, Diamond et Jarvis a consist´e ` a produire une version raffin´ee de la conjecture pr´ec´edente, dans laquelle on pr´edit en outre le poids de la forme modulaire. Pour ´enoncer cette forme plus pr´ecise, on commence par d´efinir la notion de poids utilis´ee dans ce contexte : D´ efinition 1.2. Un poids de Diamond-Serre est une (classe d’isomorphisme de) repr´esentation(s) irr´eductible(s) de GL 2 (O F /p) ` a coefficients dans ¯ F _p .

Buzzard, Diamond et Jarvis d´efinissent ³ d’une part la notion d’ˆetre modulaire de poids σ (pour une repr´esentation v´erifiant les mˆemes hypoth`eses que ρ) et d’autre part un certain ensemble de poids (de Diamond-Serre) d´ependant de ρ et not´e W (ρ). Ils ´emettent alors la conjecture :

Conjecture 1.3. La repr´esentation ρ est modulaire de poids σ si, et seulement si σ ∈ W (ρ).

Ils d´emontrent de plus que la modularit´e de poids σ (pour un σ) implique la modularit´e (tout court) et que l’ensemble W (ρ) n’est jamais vide. Ainsi la conjecture 1.3 implique-t-elle la conjecture 1.1. Le r´esultat principal de [6] en est une r´eciproque partielle : sous certaines hypoth`eses suppl´ementaires sur ρ, la conjecture 1.1 implique l’´equivalence de la conjecture 1.3 pour certains poids σ, dits r´eguliers (voir d´efinition 1.4).

1.2 Enonc´ ´ e (vague) de la proposition 3.3.1

Nous commen¸cons par donner quelques indications (celles qui seront n´ecessaires pour l’expos´e) sur la d´efinition de W (ρ). Par le lemme chinois, le groupe GL 2 (O F /p) se d´ecompose comme le produit des GL 2 (k v ) o` u v parcourt l’ensemble des id´eaux premiers au-dessus de p et o` u k v d´esigne le corps r´esiduel associ´e. Tout poids σ se d´ecompose comme un produit tensoriel de repr´esentations irr´eductibles de GL 2 (k v ). La d´efinition de W (ρ) est locale en ce sens que l’on d´efinit d’abord des ensembles W v (ρ) de repr´esentations irr´eductibles de GL 2 (k v ) et que l’on convient ensuite que σ ∈ W (ρ) si, et seulement si ses facteurs locaux appartiennent tous aux ensembles W v (ρ) respectifs.

De plus, W v (ρ) ne d´epend que de la restriction de ρ au groupe de d´ecomposition en v.

1

Qui, lors du groupe de travail, a fait l’objet d’un expos´ e complet d’Ariane M´ ezard.

2

Certaines notations de [6] diff` erent de celles de [4]. Nous employons naturellement dans cette note celles de [6].

3

On donnera dans la suite de l’expos´ e quelques morceaux de ces d´ efinitions. Pour une d´ efinition compl` ete, on

renvoie le lecteur aux sections 2 et 3 de [4].

Notations A partir de maintenant, et jusqu’` ` a la fin de cette note, nous fixons une place v au- dessus de p. Ainsi nous pourrons nous affranchir des indices v. Par exemple, nous notons plus simplement k `a la place de k v : c’est une extension finie de F <sub>p</sub> dont nous d´esignons par la lettre r le degr´e. Introduisons encore quelques notations. Soit K 0 le compl´et´e de F en la place v, c’est une extension finie non ramifi´ee de Q <sub>p</sub> de corps r´esiduel k. Soit K = K 0 (π) o` u π est une racine (p ^r − 1)-i`eme de (−p), c’est une extension galoisienne ⁴ totalement ramifi´ee de K 0 . On note G le groupe de Galois de cette extension, et e son degr´e, i.e. e = p ^r − 1. Soit O K

(resp O K ) l’anneau des entiers de K 0 (resp. de K). Soient G K

(resp. G K ) le groupe de Galois absolu de K 0 (resp.

de K) et I K

(resp. I K ) son sous-groupe d’inertie. On remarque que ρ induit par restriction une repr´esentation de G K

(qui peut ˆetre, elle, non irr´eductible). Dans la suite, on notera simplement ρ pour ρ

et on ne consid`erera plus la repr´esentation globale.

D´efinissons le caract`ere galoisien ⁵ ω : G K

→ k ^⋆ , g 7→ ^g(π) _π o` u le calcul est effectu´e dans K puis r´eduit modulo π. Nous consid´ererons souvent ω comme un caract`ere de I K

(par restriction) ou de G (par passage au quotient). Soit S = Z /r Z . Fixons un plongement τ 0 : k → F ¯ _p et pour tout i ∈ S, notons τ i = τ 0 ◦ Frob

o` u Frob : x 7→ x ^p est le Frobenius arithm´etique. Pour finir, posons ω i = τ i ◦ ω pour tout i ∈ S. On a les relations τ _i+1 ^p = τ i et ω _i+1 ^p = ω i .

D´ efinition de l’ensemble W v (ρ) On rappelle que les repr´esentations irr´eductibles de GL 2 (k) s’´ecrivent comme suit :

O

i∈S

det ^a

Sym ^b

k ² ⊗ τ

F ¯ p

o` u les a i et les b i sont des entiers avec 1 6 b i 6 p. On peut ´egalement choisir les a i dans l’intervalle [0, p − 1] de telle sorte que tous ne soient pas ´egaux ` a p − 1. Avec cette condition suppl´ementaire, les repr´esentations ´ecrites pr´ec´edemment sont deux ` a deux non isomorphes.

D´ efinition 1.4. Un poids de Diamond-Serre est dit r´egulier en v si, sur la description pr´ec´edente, on a 2 6 b i 6 p − 2 pour tout i ∈ S.

Il est dit r´egulier s’il est r´egulier en toutes les places v.

On suppose `a partir de maintenant de ρ est r´eductible de la forme ρ ≃

ψ

⋆ 0 ψ

pour des caract`eres ψ

et ψ

de G K

.

D´ efinition 1.5. L’ensemble W (ρ) est constitu´e des repr´esentations irr´eductibles σ de GL 2 (k) (dont on note a i et b i les entiers associ´es), telles qu’il existe J un sous-ensemble de S pour lequel les deux conditions suivantes sont satisfaites :

Condition A : ψ

0

≃ Y

i∈S

ω _i ^a

Y

i∈J

ω ^b _i

et ψ

0

≃ Y

i∈S

ω ^a _i

Y

i6∈J

ω _i ^b

Condition B : « ρ admet un relev´e cristallin d’un certain type. »

Pour des raisons de commodit´e qui apparaitront plus clairement vers la fin de cette note, on introduit

J et ¯

J les fonctions indicatrices respectives des ensembles J et S\J . Ainsi, par exemple, la condition A se r´e´ecrit sous la forme suivante :

ψ

0

≃ Y

i∈S

ω _i ^a

^+b

⁽ⁱ⁾ et ψ

0

≃ Y

i∈S

ω ^a _i

^+b

^¯

⁽ⁱ⁾ .

But de l’expos´ e L’objet de la proposition 3.3.1 de [6] est de donner, dans le cas des poids r´eguliers, une expression de la condition B en termes de sch´emas en groupes. Sch´ematiquement, cette proposition prend la forme qui suit :

Proposition 1.6. On consid`ere un poids σ pour lequel a i = 0 et 2 6 b i 6 p − 2 pour tout i. On fixe un sous-ensemble J ⊂ S et on suppose que la condition A est satisfaite. Alors la condition B est ´equivalente ` a la :

4

En effet, k ≃ F

contient les racines (p

− 1)-i` eme de l’unit´ e et donc K

aussi.

5

Il n’est pas paru clair ` a l’auteur de cette note, si dans [6], le caract` ere ω et les ω

qui en d´ ecoulent sont ceux

d´ efinis ici ou leurs inverses : Gee semble dire qu’il s’agit des inverses, mais certaines utilisations qu’il en fait laisse

croire le contraire. Nous choisissons cette d´ efinition ici, car elle est plus adapt´ ee pour notre propos, et en plus en

accord avec l’expos´ e pr´ ec´ edent et les notations de [4].

Condition B’ : « ρ

est la fibre g´en´erique d’un sch´ema en groupes sur O K muni d’une donn´ee de descente de K ` a K 0 , d’un certain type. »

Evidemment, il reste ` ´ a pr´eciser le sens des deux occurrences de l’expression « un certain type » . Pour cela, on a besoin d’introduire certaines notions de th´eorie de Hodge p-adique, et notamment la th´eorie de Breuil. C’est l’objet de la section suivante. Les sections 3 et 4 sont consacr´ees respec- tivement `a l’explication des conditions B’ et B, et la proposition 1.6 est finalement prouv´ee dans la section 5.

2 La th´ eorie de Breuil

2.1 D´ efinitions

Objets d’alg` ebre lin´ eaire On fixe κ un entier compris ⁶ entre 2 et p − 1, ainsi que E une extension finie de F _p contenue dans ¯ F _p . Posons ˜ S = (k ⊗

E)[u]/u ^ep (o` u, rappelons-le, e = p ^r − 1).

Pour tout g ∈ G, on note ˆ g : ˜ S → S ˜ l’unique endomorphisme de (k ⊗

E)-alg`ebres qui envoie u sur (ω(g) ⊗ 1)u. Finalement, soit φ : ˜ S → S ˜ d´efini par l’´el´evation ` a la puissance p sur k[u]/u ^ep et l’identit´e sur E.

D´ efinition 2.1. On note E-BrMod ^κ−1 _dd la cat´egorie dont les objets sont la donn´ee : i) d’un ˜ S-module libre M ;

ii) d’un sous-module Fil ^κ−1 M de M contenant u ^e(κ−1) M ;

iii) d’un op´erateur φ-semi-lin´eaire φ κ−1 : Fil ^κ−1 M → M dont l’image engendre M ;

iv) d’un op´erateur (k ⊗

E)-lin´eaire N : M → uM v´erifiant N(ux) = uN(x) − ux pour tout x ∈ M (condition de Leibniz), u ^e N (Fil ^κ−1 M) ⊂ Fil ^κ−1 M et φ κ−1 (u ^e N (x)) = N (φ κ−1 (x)) pour tout x ∈ Fil ^κ−1 M ;

v) de morphismes ˆ g-semi-lin´eaires [g] : M → M (g parcourant G) v´erifiant [id] = id et [gh] = [g] ◦ [h] pour tous g et h.

Les morphismes de cette cat´egorie sont les applications ˜ S-lin´eaires commutant `a toutes les struc- tures suppl´ementaires.

Faisons tout de suite deux remarques importantes. Primo, lorsque κ = 2, la donn´ee du N est automatique : on entend par l`a que si M est un ˜ S-module libre muni d’un Fil ¹ M, d’un φ 1 et de [g] v´erifiant les conditions de la d´efinition, alors il existe un et un unique N d´efini sur ce module qui en fait un objet de E-BrMod ¹ _dd .

Secundo, si κ 6 κ

, on peut voir E-BrMod ^κ−1 _dd comme une sous-cat´egorie pleine de E-BrMod ^κ _dd

grˆace au foncteur pleinement fid`ele ι : E-BrMod ^κ−1 _dd → E-BrMod ^κ _dd

d´efini comme suit. ` A M ∈ E-BrMod ^κ−1 _dd , on associe ι(M) = M (en tant que ˜ S-module) muni de Fil ^κ

ι(M) = u ^e(κ

Fil ^κ−1 M, de φ κ

d´efini par φ κ

(u ^e(κ

x) = φ _κ−1 (x) et des morphismes N et [g] qui restent inchang´es.

On remarque en particulier, que seules les structures qui ont chang´e de nom ont aussi chang´e de d´efinition ; ceci l´egitime le l´eger abus qui consiste ` a noter simplement M pour ι(M), ce que nous ferons par la suite. Signalons finalement que ι commute au foncteur T <sub>st</sub> <sup>⋆</sup> , que nous d´efinissons ci-apr`es.

Foncteur vers Galois La cat´egorie E-BrMod ^κ−1 _dd est munie d’un foncteur contravariant T _st ^⋆ vers la cat´egorie des E-repr´esentations galoisiennes de G K

not´ee Rep _E (G K

). Il est construit `a partir d’un certain anneau de p´eriodes. Contrairement ` a l’usage, la d´efinition de ce dernier n’est ici pas vraiment technique, puisqu’il s’agit simplement de ˆ A = O K ¯ /p hX i o` u la notation h·i fait r´ef´erence `a l’alg`ebre polynˆ omiale ` a puissances divis´ees. Cet anneau est une k[u]/u ^ep -alg`ebre grˆace au morphisme k[u]/u ^ep → A, ˆ u 7→ _1+X ^π

o` u π 1 est une racine p-i`eme de π fix´ee. Il est muni d’un id´eal Fil ¹ A ˆ d´efini comme celui engendr´e par une racine p-i`eme de p, not´ee p 1 , et les puissances divis´ees γ i (X) pour i > 1. On d´efinit un op´erateur φ 1 : Fil ¹ A ˆ → A ˆ semi-lin´eaire par rapport au Frobenius sur ˆ A par :

φ 1 (p 1 ) = −1 ; φ 1 (X) = (1 + X) ^p − 1

p ; φ 1 (γ i (X)) = 0, i > 2

6

Dans la suite de l’expos´ e, on n’utilisera que les valeurs particuli` eres κ = 2 et κ = p − 1.

o` u, bien entendu, la fraction est calcul´ee dans Z <sub>p</sub> [X] avant d’ˆetre r´eduite dans ˆ A. Pour 1 6 t 6 p−2, on note Fil <sup>t</sup> A ˆ la t-i`eme puissance de Fil ¹ A ˆ et on d´efinit un morphisme additif φ t : Fil ^t A ˆ → A ˆ en posant φ t (x 1 · · · x t ) = φ 1 (x 1 ) · · · φ 1 (x t ) pour x i des ´el´ements de Fil ¹ A. En outre, ˆ ˆ A est muni d’un op´erateur de monodromie N qui est l’unique morphisme O K ¯ -lin´eaire qui envoie γ i (X) sur (1 + X )γ _i−1 (X ) pour tout i > 1. Finalement, ˆ A est muni d’une action de G K via la formule g(X ) = ω(g)(1 + X ) − 1 valable pour tout g ∈ G K

. Le foncteur T _st ^⋆ s’obtient alors comme suit :

T _st ^⋆ (M) = Hom _k[u]/u

,Fil

,φ

,N (M, A) ˆ

o` u la notation signifie que l’on consid`ere les morphismes k[u]/u ^ep -lin´eaires compatibles `a Fil <sup>κ−1</sup> , `a φ κ−1 et ` a N. Le groupe G K

agit sur ce module par la formule :

g · f : x 7→ g · f ([¯ g

](x)) (1)

o` u g ∈ G K

et ¯ g d´esigne son image dans G. L’action de E sur T _st ^⋆ (M) se fait, quant `a elle, par l’interm´ediaire de son action sur M.

Le foncteur ainsi d´efini T _st ^⋆ est fid`ele. Il est aussi exact dans le sens o` u il transforme les suites exactes courtes dans la cat´egorie E-BrMod ^κ−1 _dd (c’est-` a-dire les suites exactes courtes sur les ˜ S- modules sous-jacents qui induisent des suites encore exactes sur les Fil ^κ−1 ) en suites exactes courtes de repr´esentations galoisiennes. De plus, on a l’´egalit´e de dimension suivante :

dim E T _st ^⋆ (M) = dim S ˜ M valable pour tout objet M ∈ E-BrMod ^κ−1 _dd .

2.2 Description en rang 1

On suppose d´esormais que E contient un sous-corps isomorphe (non canoniquement) `a k. Il en r´esulte un isomorphisme d’anneaux k⊗

E ≃ E ^S donn´e par x⊗y 7→ (τ i (x)y) i∈S . En consid´erant les idempotents associ´es ` a cette d´ecomposition, on d´eduit que tout module sur k ⊗

E se d´ecompose de fa¸con canonique comme une somme directe de r espaces vectoriels sur E, k agissant sur cette

´ecriture diagonalement via ses divers plongements dans E.

En particulier, si M un objet de E-BrMod ^κ−1 _dd , on peut ´ecrire : M = M 1 ⊕ M 2 ⊕ · · · ⊕ M r

o` u les M i sont des E[u]/u ^ep -modules libres. De mˆeme :

Fil ^κ−1 M = Fil ^κ−1 M 1 ⊕ Fil ^κ−1 M 2 ⊕ · · · ⊕ Fil ^κ−1 M r

avec u ^e(κ−1) M i ⊂ Fil ^κ−1 M i ⊂ M i . L’action de Frobenius sur k ⊗

E correspond au d´ecalage vers la droite sur E ^S ; on en d´eduit que l’op´erateur φ κ−1 induit pour tout i ∈ S des applications φ κ−1 : Fil ^κ−1 M i → M i+1 dont l’image engendre tout M i+1 . Du fait que les op´erateurs N et [g]

commutent `a l’action de E, il suit qu’ils stabilisent chacun des M i .

Soit maintenant M un objet de E-BrMod ^κ−1 _dd qui est de rang 1 comme ˜ S-module. Dans la d´ecomposition M = L

i∈S M i , chacun des M i est libre de rang 1 sur E[u]/u ^ep . Ainsi, pour tout i, il existe un unique entier m i ∈ [0, e(κ − 1)] tel que Fil ^κ−1 M i = u ^m

M i .

Notons e 1 une base de M 1 . Posons e 2 = φ κ−1 (u ⁿ

e 1 ). Comme φ κ−1 : Fil ^κ−1 M 1 → M 2

engendre son image, e 2 forme n´ecessairement une base de M 2 . D´efinissons plus g´en´eralement par r´ecurrence e i+1 = φ κ−1 (u ^m

e i ). Chacun des e i est une base de M i et par cons´equent, on a une

´egalit´e de la forme e r+1 = ae 1 pour un certain a inversible dans E[u]/u ^ep .

Par ailleurs, si λ est un ´el´ement inversible de E[u]/u ^ep , on constate que modifier e 1 en λe 1

modifie e r+1 en φ ^r (λ) e r+1 et donc a en a ^φ

_λ ^(λ) (o` u, rappelons-le, φ agit sur E[u]/u ^ep en laissant

fixe E et en envoyant u sur u ^p ). En ajustant correctement λ, on peut donc s’arranger pour avoir

a ∈ E ^⋆ .

Examinons maintenant l’action de la donn´ee de descente. Fixons i ∈ S. Pour tout g ∈ G, [g]

induit un automorphisme de M i . Ainsi, on peut ´ecrire [g]e i = α(g)e i pour une certaine fonction α : Gal(K/K 0 ) → (E[u]/u ^ep )

. La compatibilit´e au produit assure que α est un caract`ere. Il prend ainsi ses valeurs parmi les racines (p <sup>r</sup> − 1)-i`emes de l’unit´e dans (E[u]/u ^ep )

, dont on v´erifie facilement qu’elle sont toutes dans E ^⋆ . Ainsi α est un caract`ere de G ` a valeurs dans ¯ F ^⋆ _p et, en tant que tel, il s’´ecrit comme une puissance de ω i , disons ω ^µ _i

o` u µ i est d´efini modulo (p ^r − 1).

En ´ecrivant ` a pr´esent la commutation de [g] ` a φ 1 , on obtient la relation µ i+1 ≡ p(µ i + m i ) (mod p ^r − 1). Une combinaison lin´eaire judicieuse de ces relations permet d’´eliminer les µ i et conduit ` a la congruence :

p ^r m i + p ^r−1 m i+1 + · · · + p ² m i+r−2 + pm i+r−1 ≡ 0 (mod p ^r − 1). (2) D´eterminons finalement l’op´erateur de monodromie. La relation de Leibniz montre que u ^m

divise N (u ^m

e i ). Comme ce dernier est ´el´ement de M i , il appartient n´ecessairement `a Fil ^κ−1 M i . Ainsi φ κ−1 (u ^e N (u ^m

e i )) = u ^ep φ κ−1 (N (u ^m

e i )) = 0, et donc N(e i+1 ) = 0. En r´esum´e, on vient de prouver la proposition suivante :

Proposition 2.2. Soit M un objet de E-BrMod dd de rang 1. Alors il existe des ´el´ements e i ∈ M i , des entiers m i compris entre 0 et e(κ − 1), des entiers µ i d´efinis modulo (p ^r − 1) et un ´el´ement a ∈ E ^⋆ tels que :

i) l’´el´ement e i forme une base de M i ; ii) l’´el´ement u ^m

e i engendre Fil ^κ−1 M i ;

iii) φ κ−1 (u ^m

e i ) = e i+1 pour 1 6 i 6 r − 1 et φ κ−1 (u ^m

e r ) = ae 1 ; iv) µ i+1 ≡ p(µ i + m i ) (mod p ^r − 1) ;

v) pour tout g ∈ G, [g](e i ) = ω _i ^µ

(g)e i ; vi) N (e i ) = 0.

Dans ces conditions, les entiers m i v´erifient automatiquement la congruence (2) et nous notons : µ fil,i = p ^r m i + p ^r−1 m i+1 + · · · + p ² m i+r−2 + pm i+r−1

p ^r − 1 .

R´eciproquement, l’objet d´efini pr´ec´edemment est dans la cat´egorie E-BrMod dd .

Remarque. Dans la proposition pr´ec´edente, les entiers m i , les classes de congruence des µ i et l’´el´ement a sont uniquement determin´es. Ce n’est par contre pas le cas des e i qui peuvent ˆetre chang´es en e

_i = λe i pour n’importe quel λ ∈ E ^⋆ (le mˆeme pour chaque e i ). On peut v´erifier de surcroˆıt qu’il s’agit l`a du seul degr´e de libert´e autoris´e.

Proposition 2.3. Avec les notations de la proposition 2.2, l’action de G K

sur T _st ^⋆ (M) se fait par l’interm´ediaire du caract`ere :

λ a · ω (κ−1)(1+p+p

+···+p

)−(µ

+µ

) i

pour tout i ∈ S. Ici, λ a est le caract`ere non ramifi´e qui envoie un Frobenius g´eom´etique sur a.

Remarque. En particulier, ω _i ^µ

^+µ

ne d´epend pas du choix de i, ce qui signifie que l’on a la congruence p(µ i + µ fil,i ) ≡ µ i+1 + µ fil,i+1 (mod p ^r − 1) pour tout i. Ceci peut se v´erifier ais´ement par ailleurs.

D´emonstration. Nous donnons simplement quelques id´ees de la preuve. On utilise bien entendu la formule T _st ^⋆ (M) = Hom _k[u]/u

,Fil

,φ

,N (M, A). ˆ

Notons n le degr´e de E sur k et supposons pour simplifier a engendre cette extension. Alors la famille des a ^j e i (0 6 j 6 n − 1, i ∈ S) est une (k[u]/u ^ep )-base de M et un ´el´ement de T _st ^⋆ (M) est enti`erement d´etermin´e par les images de ces vecteurs, images qui sont soumises `a certaines relations. La premi`ere de celle-ci est N(x ij ) = 0 (puisque f doit ˆetre compatible `a l’action de N ), c’est-` a-dire x ij ∈ O K ¯ /p. Les autres relations s’obtiennent en ´ecrivant la compatibilit´e `a Fil ^κ−1 et φ κ−1 .

Par ailleurs, on sait que T _st ^⋆ (M) est un E-espace vectoriel de dimension 1 et donc qu’il a mˆeme cardinal que E, c’est-` a-dire p ^nr . Il suffit donc, pour d´eterminer T _st ^⋆ (M), de trouver p ^nr solutions distinctes pour les x ij qui s’intuitent en fait assez facilement une fois que les ´equations sur les x ij

ont ´et´e ´ecrites.

Il ne reste alors plus qu’`a comprendre l’action de Galois.

3 La condition B’ : sch´ emas en groupes

3.1 L’´ equivalence de Breuil

Appelons E-groupe sur O K un sch´ema en E-vectoriels fini et plat sur O K . Une donn´ee de descente (de K `a K 0 ) sur un E-groupe G sur O K est la donn´ee, pour tout ´el´ement g ∈ G, d’un morphisme [g] : G → G rendant le diagramme suivant commutatif :

G

[g] // G

Spec(O K )

Spec(g) // Spec(O K )

et tel que le morphisme d´eduit G → ^g G (o` u ^g G est d´eduit de G par le changement de base Spec(g)) soit un morphisme de E-groupes, le tout ´etant soumis aux relations [id] = id et [gh] = [g] ◦ [h] pour g et h dans G.

Notons E-Gr dd la cat´egorie des E-groupes sur O K munis d’une donn´ee de descente. Le th´eor`eme fondamental suivant (voir [2], [3] et ´eventuellement [7]) permet de comprendre comment les cat´egories introduites dans la section 2 interviennent dans notre propos.

Theor` eme 3.1 (Breuil). Supposons p > 2. Il existe une anti-´equivalence ⁷ de cat´egories Gr ^⋆ : E-BrMod dd → E-Gr dd qui rend le diagramme suivant commutatif :

E-BrMod ¹ _dd

Gr

T

++

W W W W W W W W W W W

Rep _E (G K

) E-Gr dd

33

g g g g g g g g g g g g g

o` u le foncteur E-Gr dd → Rep _E (G K

) est celui donn´e par les K-points. ¯

Remarque. Dans le th´eor`eme pr´ec´edent, la cat´egorie de modules consid´er´ee correspond `a κ = 2. En particulier, on est dans la situation o` u l’op´erateur N est d´efini de fa¸con automatique.

3.2 Sch´ emas en groupes de classe J

Soit G un E-groupe sur O K avec donn´ee de descente et M son module associ´e. On suppose que M est de rang 1, et donc qu’il a la forme donn´ee par la proposition 2.2. Appelons m i , µ et a les invariants num´eriques qui interviennent. La donn´ee des m i permet de caract´eriser les groupes

´etales et ceux de type multiplication : exactement G est ´etale (resp. de type multiplicatif) si, et seulement si tous les m i sont ´egaux ` a e (resp. sont nuls). Pour J un sous-ensemble de S, nous introduisons suivant Gee, une notion interm´ediaire entre ces deux extrˆemes.

D´ efinition 3.2. Soit J ⊂ S. Avec les notations pr´ec´edentes, on dit que G est de classe J si ⁸ m i = e

¯ J (i + 1).

Remarque. Comme e = p ^r − 1, les m i donn´es par la d´efinition v´erifient toujours la congruence (2).

Proposition 3.3. Fixons J un sous-ensemble de S ainsi qu’un caract`ere ψ : G K

→ E ^⋆ trivial sur I K . Alors, il existe un unique E-groupe de classe J sur O K (avec donn´ee de descente) dont la repr´esentation galoisienne associ´ee correspond ` a ψ.

7

Dans [6], Gee travaille plutˆ ot avec le foncteur covariant Gr d´ efini par Gr( M ) = Gr

( M )

o` u « ∨ » d´ esigne le dual de Cartier. Cependant, dans (la preuve de) la proposition 3.3.1, il est contraint d’utiliser la version contravariante, et c’est pourquoi nous pr´ esentons celle-ci dans cette note.

8

La formule que nous donnons diff` ere en deux endroits de celle que l’on peut lire dans [6]. Tout d’abord, nous

´ ecrivons ¯

` a la place

, mais cela est simplement dˆ u au fait que nous utilisons le foncteur Gr

(et pas Gr). Le

second ´ ecart est que nous appliquons cette fonction non pas ` a i, mais ` a i + 1 : cela fait par contre une diff´ erence

consid´ erable et c’est ici que r´ eside l’erreur dans [6] que nous mentionnions au d´ ebut de cette note.

D´emonstration. Comme ψ est trivial sur I K , il s’´ecrit sous la forme λ b ω ⁿ ₀ o` u λ b est le caract`ere non ramifi´e qui envoie un Frobenius g´eom´etique sur b. Le r´esultat d´ecoule alors des propositions 2.2 et 2.3 : avec leurs notations, il suffit de choisir :

µ i ≡ −p ⁱ n +

r

X

j=1

p ^r−j

J (i + j + 1) (mod p ^r − 1)

et a = b.

Remarque. D’apr`es la th´eorie du corps de classe, l’hypoth`ese de trivialit´e sur I K est en fait au- tomatique.

3.3 Explication de la condition B’

Prenons pour E un corps suffisamment grand pour que ρ se factorise par GL 2 (E). On suppose qu’il existe un sous-ensemble J de S pour lequel la condition A est satisfaite avec a i = 0 et 2 6 b i 6 p − 2 pour tout i. D’apr`es la proposition 3.3, il existe un unique E-groupe G

(resp. G

) avec donn´ee de descente de classe J (resp. de classe S\J ) dont la repr´esentation galoisienne associ´ee s’identifie ` a E(ψ

) (resp. E(ψ

)) via un isomorphisme f

(resp. f

). La condition B’ s’exprime alors comme suit :

Condition B’ : Il existe un E-groupe G avec donn´ee de descente qui s’ins`ere dans une suite exacte courte 0 → G

→ G → G

→ 0 et un isomorphisme G K

-´equivariant f : G( ¯ K) → E ² (ρ) (o` u E ² (ρ) est la repr´esentation de dimension 2 donn´ee par ρ) s’ins´erant dans un diagramme commutatif :

0 // G

( ¯ K) //

f

G( ¯ K) //

f

G

( ¯ K) //

f

0

0 // E(ψ

) // E ² (ρ) // E(ψ

) // 0

4 La condition B : relev´ es cristallins

4.1 Repr´ esentations cristallines

Posons O L = W (E) et L = O L [1/p]. Consid´erons le produit tensoriel K 0 ⊗

L et munissons-le d’un endomorphisme φ agissant comme le Frobenius sur K 0 et comme l’identit´e sur L. Comme pr´ec´edemment, on a un isomorphisme d’anneaux K 0 ⊗

L ≃ L ^S et l’op´erateur φ correspond par cet isomorphisme au d´ecalage vers la droite.

D´ efinition 4.1. Un L-module filtr´e est un (K 0 ⊗

L)-module libre D muni d’un op´erateur φ- semi-lin´eaire φ : D → D et d’une filtration par des (K 0 ⊗

L)-sous-modules (pas n´ecessairement libres) Fil ^t D exhaustive et s´epar´ee.

Soit D un L-module filtr´e. Il lui est associ´e deux invariants num´eriques. Le premier est son nombre de Newton, not´e t N (D), et est d´efini comme la pente de φ sur la puissance ext´erieure maximale de D consid´er´e comme K 0 -espace vectoriel. Le second est son nombre de Hodge, not´e t H (D), et est d´efini comme l’unique saut de la filtration sur la mˆeme puissance ext´erieure maximale.

On dit que D est faiblement admissible si t H (D) = t N (D) et si pour tout D

⊂ D stable par φ et muni de la filtration « intersection » , on a t H (D

) 6 t N (D

). Fontaine construit un foncteur pleinement fid`ele :

V _cris ^⋆ : {L-module filtr´es faiblement admissibles} → Rep _L (G K

)

d´efini par V _cris ^⋆ (D) = Hom K

,Fil

,φ (D, B cris ) o` u B cris est un anneau de p´eriodes dont la d´efinition

est par exemple donn´ee dans [5]. Le foncteur V _cris ^⋆ est de plus exact dans le sens o` u il transforme

suites exactes courtes en suites exactes courtes, une suite de L-modules filtr´es ´etant dite exacte si

elle induit pour tout t une suite exacte sur les Fil ^t . Finalement, l’image essentielle de V _cris ^⋆ constitue

par d´efinition ce que l’on appelle les repr´esentations cristallines.

4.2 Description en rang 1

De l’isomorphisme K 0 ⊗

L ≃ L ^S , il r´esulte que tout module sur cet anneau s’´ecrit canonique- ment comme une somme directe de r espaces vectoriels sur L. En particulier, si D est un L-module filtr´e, on peut ´ecrire :

D = D 1 ⊕ D 2 ⊕ · · · ⊕ D r et Fil ^t D = Fil ^t D 1 ⊕ Fil ^t D 2 ⊕ · · · ⊕ Fil ^t D r (3) pour tout t. Les Fil ^t D i forment alors une filtration d´ecroissante exhaustive et s´epar´ee de D i . De plus le Frobenius induit par restriction des applications φ : D i → D i+1 .

Supposons ` a pr´esent que D est de rang 1. Les D i qui interviennent dans la d´ecomposition pr´ec´edente sont des L-espaces vectoriels de dimension 1. Soient e

₁ une base de D 1 , e

₂ = φ(e

₁ ), e

₃ = φ(e

₂ ), etc. Comme e

₁ et e

_r+1 sont tous les deux des bases de D 1 , on a e

_r+1 = λe

₁ pour un certain λ ∈ L ^⋆ . Par ailleurs comme D i ´etant de dimension 1, il existe un unique entier m i tel que Fil ^t D i = D i si t 6 m i et Fil ^t D i = 0 sinon. La condition de faible admissibilit´e se traduit ici simplement par l’´egalit´e :

v(λ) = m 1 + m 2 + · · · + m r

o` u v est la valuation sur L normalis´ee par v(p) = 1. Ainsi, on peut ´ecrire λ = p ^m

^+···+m

x o` u x est un ´el´ement inversible de O L . On a ainsi obtenu une description compl`ete de D. On peut la rendre un peu plus sym´etrique comme le r´esume la proposition suivante :

Proposition 4.2. Soit D un L-module filtr´e faiblement admissible de rang 1 sur K 0 ⊗

L. Alors, il existe des entiers m i , un ´el´ement x inversible dans O L et des e i ∈ D tels que :

i) pour tout i ∈ S, e i forme une base de D i ;

ii) pour tout i ∈ S , Fil ^t D i = D i si t 6 m i et Fil ^t D i = 0 sinon ; iii) pour 1 6 i 6 r − 1, φ(e i ) = p ^m

e i+1 et φ(e r ) = xp ^m

e 1 . D´emonstration. Il suffit de poser e i = p ^m

^+m

^+···+m

e

_i .

Remarque. Les entiers m i et l’´el´ement a sont uniquement d´etermin´es. De plus, les m i sont reli´es `a des invariants plus usuels, puisque ce sont les oppos´es des poids de Hodge-Tate de la Q <sub>p</sub> -repr´esentation associ´ee `a D par le foncteur V _cris ^⋆ .

4.3 Th´ eorie de Fontaine-Laffaille

L’un des buts de la th´eorie de Fontaine-Laffaille est de d´ecrire les r´eseaux stables par l’action de Galois dans les repr´esentations cristallines en terme de modules filtr´es. Pour y parvenir, la m´ethode consiste `a d´efinir des ´equivalents de ces r´eseaux dans les modules filtr´es faiblement admissibles dis- cut´es pr´ec´edemment. On aura cependant besoin d’une hypoth`ese suppl´ementaire sur la filtration : on demande qu’elle soit concentr´ee en bas degr´e. Plus pr´ecis´ement, Fontaine et Laffaille posent la d´efinition suivante :

D´ efinition 4.3. Soit D un L-module filtr´e. On suppose Fil ⁰ D = D et Fil ^p−1 D = 0. Un O L -r´eseau de D est la donn´ee d’un sous-(O K

⊗

O L )-module M de D v´erifiant :

i) M [1/p] = D ;

ii) pour tout t, l’application φ t = _p ^φ

envoie Fil ^t M = M ∩ Fil ^t D dans M ; iii) P p−2

t=0 φ t (Fil ^t M ) = M .

Remarques. On n’a fait aucun hypoth`ese de faible admissibilit´e dans la d´efinition pr´ec´edente. En r´ealit´e, l’existence d’un r´eseau poss´edant ces propri´et´es est ´equivalente `a la faible admissibilit´e de D.

Le prototype de modules filtr´es de rang 1 donn´e par la proposition 4.2 admet le r´eseau ´evident M = P r

i=1 O L e i .

Par ailleurs, B cris contient lui aussi une structure enti`ere qui consiste en un sous-anneau A cris

(voir [5] pour une d´efinition) qui permet de relier les r´eseaux d´efinis pr´ec´edemment aux r´eseaux galoisiens. Pr´ecis´ement, consid´erons D un L-module filtr´e faiblement admissible tel que Fil ⁰ D = D et Fil ^p−1 D = 0 et notons V = V _cris ^⋆ (D). On associe alors ` a tout O L -r´eseau M ⊂ D la repr´esentation :

T _cris ^⋆ (M ) = Hom

,Fil

,φ (M, A cris )

qui est un r´eseau (au sens usuel) dans V . Fontaine et Laffaille montre que cette recette ´etablit une bijection entre les r´eseaux de D et les r´eseaux de V stables par Galois. De plus, ils prouvent que le foncteur T _cris ^⋆ est lui aussi exact.

4.4 R´ eduction modulo p

Consid´erons D un L-module filtr´e. ` A un O L -r´eseau M ⊂ D, il est possible d’associer un objet de E-BrMod ^p−2 _dd qui calcule la r´eduction modulo p de T _cris ^⋆ (M ). Ceci se fait par les formules suivantes :

M = ˜ S ⊗

0⊗_ZpOL

M ; Fil ^p−2 M =

p−2

X

t=0

u ^et S ˜ ⊗

0⊗_ZpOL

Fil ^p−2−t M φ _p−2 = P φ t ⊗ φ _p−2−t ; N = N ⊗ id ; [g] = ˆ g ⊗ id pour tout g ∈ G

o` u par d´efinition φ t : u ^et S ˜ → S ˜ est l’unique application φ-semi-lin´eaire qui envoie u ^et sur 1. Le fait que M calcule la r´eduction modulo p de T _cris ^⋆ (M ) signifie que l’on a une identification canonique T _cris ^⋆ (M )/pT _cris ^⋆ (M ) ≃ T _st ^⋆ (M).

En particulier, consid´erons χ : G K

→ L ^⋆ le caract`ere qui correspond via V <sub>cris</sub> <sup>⋆</sup> `a l’objet D de la proposition 4.2. Comme G K

est un groupe compact, il prend ses valeurs dans O _L

, et on peut consid´erer ψ sa r´eduction modulo p ; c’est un caract`ere ` a valeurs dans E ^⋆ et un calcul direct `a partir de ce qui pr´ec`ede montre qu’il s’exprime comme suit :

ψ = λ ¯ x · ω ₁ ^m

ω ₂ ^m

· · · ω ^m _r

(4) o` u λ x ¯ est le caract`ere non ramifi´e de G K

qui envoie un Frobenius g´eom´etrique sur l’image de x ∈ O

_L dans E ^⋆ .

4.5 Explication de la condition B

On consid`ere E suffisamment grand pour que ρ se factorise par GL 2 (E). On suppose qu’il existe un sous-ensemble J de S pour lequel la condition A est satisfaite avec a i = 0 et 2 6 b i 6 p − 2 pour tout i ∈ S . D’apr`es la formule (4), il existe un unique L-module filtr´e D

(resp. D

) de rang 1 tel que :

• la r´eduction modulo p d’un r´eseau galoisien ` a l’int´erieur de V <sub>cris</sub> <sup>⋆</sup> (D) est isomorphe `a E(ψ

) (resp. E(ψ

)) par un morphisme not´e f

(resp f

) ;

• les invariants associ´es ` a D

(resp. D

) par la proposition 4.2 sont tels m i = b i

J (i) (resp.

m i = b i ¯

J (i)) et x est un repr´esentant de Teichm¨ uller.

La condition B s’exprime alors comme suit :

Condition B : Il existe un O L -r´eseau M (inclus dans un L-module filtr´e D) qui s’ins`ere dans une suite exacte courte 0 → M

→ M → M → 0 et un isomorphisme G K

-´equivariant f : T _cris ^⋆ (M ) → E ² (ρ) (o` u E ² (ρ) est la repr´esentation de dimension 2 donn´ee par ρ) s’ins´erant dans un diagramme commutatif :

0 // T _cris ^⋆ (M

) //

f

T _cris ^⋆ (M ) //

f

T _cris ^⋆ (M

) //

f

0

0 // E(ψ

) // E ² (ρ) // E(ψ

) // 0

Remarque. Il est ´evidemment possible d’utiliser l’´equivalence de cat´egories V _cris ^⋆ (ou T _cris ^⋆ ) pour exprimer la condition B simplement en termes de repr´esentations cristallines.

5 Preuve de la proposition 3.3.1 de [6]

On conserve l’extension E/ F _p suffisamment grande pour que ρ se factorise par GL 2 (E). On fixe

des entiers b i compris entre 2 et p − 2 (en particulier, on notera que cela implique p > 5), et un

sous-ensemble J de S. On suppose que ρ v´erifie la condition A avec a i = 0 pour tout i ∈ S (et les b i pr´ec´edents). Le but est donc de prouver que les conditions B et B’ expliqu´ees dans les sections pr´ec´edentes sont ´equivalentes. Notons pour cela M

et M

les O L -r´eseaux qui apparaissent dans la d´efinition de la condition B’. Notons ´egalement G

et G

les E-groupes avec donn´ee de descente qui apparaissent dans la d´efinition de la condition B et M

et M

les objets de E-BrMod ¹ _dd associ´es.

Si x est un ´el´ement de E, d´esignons par ˜ x ∈ O L son repr´esentant de Teichm¨ uller, et si x est un

´el´ement, appelons x la fonction de domaine S qui associe x ` a r et 1 aux autres ´el´ements. Avec ces notations, il existe a et b dans E tels que l’on ait les descriptions explicites qui suivent :



 



 



M

_i = E[u]/u ^ep · f ¯ i

Fil ¹ M

_i = u ^e

^¯

⁽ⁱ⁺¹⁾ M

_i φ 1 (u ^{e ¯}

⁽ⁱ⁺¹⁾ f ¯ i ) = a(i) ¯ f i+1

[g]( ¯ f i ) = ω ^µ

′ i

i (g) ¯ f i



 



 



M

_i = E[u]/u ^ep · e i

Fil ¹ M

_i = u ^e

⁽ⁱ⁺¹⁾ M

_i φ 1 (u ^e

⁽ⁱ⁺¹⁾ e i ) = b(i)e i+1

[g](e i ) = ω ^µ

′′

i

(g)e i

o` u : µ

_i =

r

X

j=1

p ^r−j

1

J (i + j + 1) − b i+j

J (i + j)

µ

_i =

r

X

j=1

p ^r−j

¯ J (i + j + 1) − b i+j

¯ J (i + j)

et : 

 



 



M _i

= O L · F ¯ i

Fil ^t D

_i = D

_i pour t 6 b i

J (i) Fil ^t D

_i = 0 pour t > b i

J (i) φ( ¯ F i ) = ˜ a(i)p ^b

⁽ⁱ⁾ F ¯ i+1



 



 



M _i

= O L · E i

Fil ^t D _i

= D

_i pour t 6 b i ¯

J (i) Fil ^t D _i

= 0 pour t > b i ¯

J (i) φ(E i ) = ˜ b(i)p ^b

^¯

⁽ⁱ⁾ E i+1

5.1 Modules associ´ es aux relev´ es cristallins

La proposition suivante donne la forme g´en´erale d’un M qui intervient dans la condition B : Proposition 5.1. Il existe, pour tout i, une O L -base (E i , F i ) de M i et des Λ i ∈ O L avec Λ i = 0 si i 6∈ J et

i) Pour tout i ∈ S, Fil ^t M i = M i pour t 6 0 et Fil ^t M i = 0 pour t > b i . ii) Si i ∈ J , Fil ^t M i = O L F i pour 0 < t 6 b i .

Si i 6∈ J , Fil ^t M i = O L E i pour 0 < t 6 b i .

iii) φ(E i ) = ˜ b(i)p ^b

^¯

⁽ⁱ⁾ E i+1 et φ(F i ) = ˜ a(i)p ^b

⁽ⁱ⁾ (F i+1 − Λ i+1 E i+1 ).

De plus, le morphisme N

→ N (resp. N → N

) est donn´e sur cette description par E i 7→ E i

(resp. E i 7→ 0, F i 7→ F ¯ i ).

D´emonstration. Bien sˆ ur, les E i sont ceux qui proviennent de M

. La condition sur la filtration d´etermine les F i lorsque i ∈ J. Par ailleurs, la condition sur φ, coupl´ee au fait que Λ i s’annule pour i 6∈ J , d´etermine la valeur de F i en fonction de F i−1 lorsque i 6∈ J. Ainsi lorsque J 6= ∅, tous les F i

sont d´etermin´es et il est imm´ediat de v´erifier qu’ils satisfont toutes les propri´et´es de la proposition.

Supposons J vide. Soit F ₁

un relev´e quelconque de ¯ F 1 . D´efinissons F ₂

= φ(F ₁

), F ₃

= φ(F ₂

) et ainsi de suite. H´elas, on n’a pas n´ecessairement comme cela F _r+1

= ˜ aF ₁

. Toutefois, la r´eduction de cette ´egalit´e dans N

est v´erifi´ee et donc on a F _r+1

= ˜ aF ₁

+ βE 1 pour un certain β ∈ O L . Les

´el´ements :

F 1 = F ₁

+ β

˜

a − ˜ b p ^b

^+···+b

E 1 ,

F 2 = φ(F 1 ), etc. r´epondent alors ` a la question (notez que le d´enominateur est bien inversible car b 1 + · · · + b r > 2r > 1).

5.2 Modules associ´ es aux E-groupes G

On souhaite maintenant parvenir ` a une description explicite analogue pour les objets qui inter-

viennent dans la condition B’. La donn´ee d’un E-groupe (avec donn´ee de descente) qui s’ins`ere dans

une suite exacte 0 → G

→ G → G

→ 0 est ´equivalente ` a la donn´ee d’un objet M ∈ E-BrMod ¹ _dd

s’ins´erant dans la suite exacte 0 → M

→ M → M

→ 0. Cherchons ` a d´eterminer la forme de ces

M.

Choix d’un relev´ e compatible ` a la donn´ ee de descente Fixons g un g´en´erateur de G.

Choisissons f 1 ∈ M un relev´e de ¯ f 1 appartenant ` a l’image de φ 1 . On a une ´ecriture de la forme : [g](f 1 ) = ω ^µ

′ 1

1 (g)f 1 + se 1

pour un certain s ∈ E[u ^p ]/u ^ep . Remplacer f 1 par f 1 + δu ^pn e 1 modifie s en s + δ[ω ^µ

′′

1

+pn

1 (g) −

ω ^µ

′

1

(g)]u ^pn . Ainsi d`es que pn 6≡ µ

₁ −µ

₁ (mod p ^r − 1), on peut choisir α de sorte `a ´eliminer le terme en u <sup>pn</sup> dans s. Par cons´equent, si l’on d´esigne par n l’unique entier de [0, p <sup>r</sup> − 1[ congru `a ^µ

′ 1−µ^′′₁

p

modulo (p ^r − 1), on peut choisir f 1 de sorte ` a avoir : [g](f 1 ) = ω ^µ

′ 1

1 (g)f 1 + α(g)u ^pn e 1 (5)

avec α(g) ∈ E. Lib´erons g. Utilisant la relation [gh] = [g] ◦ [h], on s’assure que l’´egalit´e (5) est valable pour tout g ∈ G pour une certain fonction α : G → E soumise `a la relation :

α(gh) = ω ^µ

′ 1

1 (g)α(h) + ω ^µ

′ 1

1 (h)α(g) pour tous g et h dans G. Autrement dit la fonction β = αω

′ 1

i v´erifie β(gh) = β(g)+β(h). Comme G est d’exposant p ^r − 1 premier ` a p et que E est de caract´eristique p, la seule solution est d’avoir β = 0, et par suite α = 0.

Au final, on a prouv´e le lemme suivant :

Lemme 5.2. Il existe f 1 ∈ φ 1 (Fil ¹ M) relevant f ¯ 1 et v´erifiant : [g](f 1 ) = ω ^µ

′

1

f 1

pour tout g ∈ G. De plus, f 1 est d´efini ` a addition pr`es d’un ´el´ement de la forme αu ^pn e 1 pour α ∈ E et n l’unique entier de [0, p ^r − 1[ congru ` a ^µ

_p

modulo (p ^r − 1).

Forme de la filtration Rappelons que la suite 0 → Fil ¹ M

→ Fil ¹ M → Fil ¹ M

→ 0 est exacte.

Ainsi Fil ¹ M 1 est engendr´e par u ^e

⁽²⁾ e 1 et par un relev´e de u ^{e ¯}

⁽²⁾ f ¯ 1 qui appartient `a Fil <sup>1</sup> M 1 . Supposons dans un premier temps que 2 6∈ J. Un relev´e de u <sup>e</sup> f ¯ 1 est alors par exemple u <sup>e</sup> f 1 : c’est bien un ´el´ement de Fil <sup>1</sup> M 1 puisque u <sup>e</sup> M ⊂ Fil <sup>1</sup> M. Ainsi Fil <sup>1</sup> M 1 est engendr´e par e 1 et u <sup>e</sup> f 1 . Supposons maintenant que 2 ∈ J. Un relev´e dans Fil <sup>1</sup> M 1 de ¯ f 1 s’´ecrit f 1 +se 1 avec s ∈ E[u]/u <sup>ep</sup> . Ainsi Fil <sup>1</sup> M 1 est engendr´e par f 1 + se 1 et u <sup>e</sup> e 1 . On peut ´evidemment choisir s de degr´e strictement inf´erieur `a e. Calculons :

[g](f 1 + se 1 ) = ω ^µ

′

1

(g)f 1 + ˆ g(s)ω ^µ

′′

1

(g)e 1 = ω ^µ

′

1

(g)(f 1 + se 1 ) + h ˆ g(s)ω ^µ

′′

1

(g) − ω ^µ

′

1

(g)s i e 1 . Comme Fil ¹ M 1 est stable par l’action de G, cet ´el´ement doit ˆetre dans Fil ¹ M 1 , ce qui implique que le facteur entre crochets est nul (puisque l’on a suppos´e s de degr´e strictement inf´erieur `a e).

Cette condition se r´e´ecrit ˆ g(s) = ω ^µ

′ 1−µ^′′₁

1 (g)s. Ainsi si n 2 est l’unique entier de [0, p ^r − 1[ congru `a µ

₁ − µ

₁ modulo (p ^r − 1) (on rappelle que e = p ^r − 1), on a n´ecessairement s = λ 2 u ⁿ

avec λ 2 ∈ E.

Donc :

Lemme 5.3. Si 2 6∈ J, le sous-module Fil ¹ M 1 est engendr´e par les deux ´el´ements e 1 et u ^e f 1 . Si 2 ∈ J , il existe λ 2 ∈ E tel que Fil ¹ M 1 soit engendr´e par les deux ´el´ements u ^e e 1 et f 1 +λ 2 u ⁿ

e 1

o` u n 2 est l’unique entier de [0, p <sup>r</sup> − 1[ congru ` a µ

₁ − µ

₁ modulo (p ^r − 1).

Pour les M

, i > 1 Posons ` a pr´esent f 2 = φ 1 (u ^e f 1 ) si 2 6∈ J et f 2 = φ 1 (f 1 + λ 2 u ⁿ

e 1 ) sinon. Il est clair que f 2 se r´eduit sur ¯ f 2 dans M

. De plus, en utilisant la commutation de [g] et φ 1 , on obtient :

[g](f 2 ) = ω ^µ

′

2

(g)f 2

(notez que ω ^µ

′

i

ne d´epend pas de i). En r´eappliquant l’argument de la preuve du lemme 5.3, on voit

que Fil ¹ M 2 est engendr´e par e 2 et u ^e f 2 si 3 6∈ J , ou sinon par u ^e e 2 et f 2 + λ 3 u ⁿ

e 1 avec λ 3 ∈ E,

0 6 n 3 < p ^r − 1 et n 3 ≡ µ

₂ − µ

₂ (mod p ^r − 1).

Ainsi de suite, on construit f 3 , f 4 , etc., jusqu’` a arriver ` a f r+1 . Malheureusement, rien ne nous dit que celui-ci est ´egal ` a af 1 . Cependant l’image de f r+1 dans M

est bien a f ¯ 1 , d’o` u f r+1 = af 1 + se 1

pour un certain s ∈ E[u]/u ^ep . On doit par ailleurs avoir : [g](f r+1 ) = ω ^µ

′ 1

1 (g)f r+1

d’o` u l’on d´eduit que s = βu <sup>pn</sup> (β ∈ E) o` u n est celui du lemme 5.2. Ce mˆeme lemme nous pr´ecise que l’on peut modifier f 1 en lui ajoutant une quantit´e de la forme αu ^pn . Voyons comment cela modifie f 2 .

Si 2 6∈ J , il est facile de voir que f 2 n’est pas modifi´e. Ainsi en rempla¸cant f 1 par ^f

_a , on peut supposer que β = 0, c’est-` a-dire que f r+1 = af 1 . De mˆeme, si J 6= S, on peut reprendre tout le raisonnement pr´ec´edent en commen¸cant non pas ` a 1 mais ` a un entier i 0 tel que i 0 + 1 6∈ J .

Supposons donc J = S. Dans ce cas, µ

₁ = P r

j=1 p ^r−j (1 − b j+1 ) et µ

₁ = 0. On en d´eduit la valeur de n 2 :

n 2 = p ^r − 1 −

r

X

j=1

p ^r−j (b j+1 − 1)

ce qui donne en particulier n 2 ≡ −b 1 (mod p). D’autre part, pn ≡ n 2 (mod p ^r − 1) (puisqu’ils sont tous les deux congrus ` a µ

₁ − µ

₁ ). ´ Ecrivons pn = n 2 + q(p ^r − 1) avec q > 0. R´eduisant cette ´egalit´e modulo p, il reste q ≡ n 2 ≡ −b 1 (mod p) et donc en particulier q ne peut valoir ni 0, ni 1. Ainsi q > 2, ce qui implique que f 2 n’est pas modifi´e lorsque l’on ajoute ` a f 1 une quantit´e de la forme αu ^pn . On conclut comme pr´ec´edemment.

Conclusion Au final, la structure de M est donn´ee par la proposition suivante :

Proposition 5.4. Avec les notations pr´ec´edentes, il existe, pour tout i une (E[u]/u ^ep )-base (e i , f i ) de M i et des ´el´ements λ i ∈ E tels que λ i = 0 si i 6∈ J et :

i) [g](e i ) = ω ^µ

′′

i

(g)e i et [g](f i ) = ω ^µ

′

i

(g)f i pour tout i ∈ S ;

ii) Fil ¹ M i est engendr´e par e

_i = u ^e

⁽ⁱ⁺¹⁾ e i et f _i

= u ^e

^¯

⁽ⁱ⁺¹⁾ f i + λ i+1 u ⁿ

e i o` u n i+1 est le reste de la division euclidienne de µ

_i − µ

_i par p ^r − 1 ;

iii) φ 1 (e

_i ) = b(i)e i+1 , φ 1 (f _i

) = a(i)f i+1 ; iv) N (e i ) = 0, N(f i ) = − ^b(i−1) _a(i−1) n i λ i u ^pn

e i .

De plus, le morphisme M

→ M (resp. M → M

) est donn´e sur cette description par e i 7→ e i

(resp. e i 7→ 0, f i 7→ f ¯ i ).

D´emonstration. On a d´ej` a tout prouv´e sauf la forme de l’op´erateur de monodromie. Comme κ = 2, il suffit de v´erifier que le N de la proposition prolong´e par la relation de Leibniz v´erifie N (M) ⊂ uM et commute `a φ 1 . La premi`ere condition est ´equivalente ` a n i > 0 pour tout i ∈ S, et en ´ecrivant explicitement la relation de commutation, on montre que la seconde condition est impliqu´ee par les in´egalit´es pn i > e pour tout i ∈ S.

Nous reportons la preuve de ce deuxi`eme ´enonc´e combinatoire (qui implique `a l’´evidence le premier) `a une sous-section ult´erieure (lemme 5.10).

5.3 Interlude : d´ efaut de pleine fid´ elit´ e

Oublions un instant le fil de la d´emonstration pour nous concentrer sur une question diff´erente.

Soient A et B deux objets de E-BrMod ^κ−1 _dd de rang 1. On note a i , α i et α fil,i (resp. b i , β i et β fil,i ) les invariants num´eriques associ´es ` a A et B par la proposition 2.2, et A i (resp. B i ) une base correspondant `a ces invariants. En particulier, tout au long de cet interlude, les a i et les b i n’ont aucun rapport avec ceux que l’on manipulait jusqu’` a pr´esent.

Proposition 5.5. On conserve les notations pr´ec´edentes et on suppose donn´e un isomorphisme f : T _st ^⋆ (B) → T _st ^⋆ (A). Alors, il existe un morphisme non nul (dans la cat´egorie E-BrMod ^κ−1 _dd ) A → B si, et seulement si β fil,i > α fil,i pour tout i ∈ S.

Le cas ´ech´eant, il existe λ ∈ E ^⋆ tel que le morphisme f ˆ : A → B d´efini par A i 7→ λu ^β

B i

satisfasse T _st ^⋆ ( ˆ f ) = f .

D´emonstration. Le fait que T _st ^⋆ (A) soit isomorphe ` a T <sub>st</sub> <sup>⋆</sup> (B) entraˆıne, grˆace `a la proposition 2.3, d’une part que les ´el´ements de E ^⋆ associ´es ` a A et B par la proposition 2.2 co¨ıncident, et d’autre part que la congruence α i + α fil,i ≡ β i + β fil,i (mod p ^r − 1) est satisfaite.

Soit ˆ f : A → B un morphisme non nul dans la cat´egorie E-BrMod ^κ−1 _dd . L’image de A i est n´ecessairement de la forme s i B i avec s i ∈ E[u]/u ^ep . Si l’un des s i est nul, la condition de commu- tation `a φ κ−1 implique que s i+1 l’est ´egalement, et par r´ecurrence que ˆ f est lui aussi nul. Comme ce cas a ´et´e exclu, tous les s i sont non nuls. Notons v i la « valuation u-adique » de s i : c’est un entier compris entre 0 et ep − 1. En utilisant ` a nouveau, la commutation `a φ κ−1 , on obtient les relations v i+1 = pv i + pa i − pb i . Celles-ci forment un syst`eme qui se r´esout ais´ement et conduit `a v i = β fil,i − α fil,i . Ceci d´emontre le sens direct de l’´equivalence de la proposition.

Pour la r´eciproque, on consid`ere le morphisme d´efini ˆ f

par A i 7→ u ^β

B i . Pour tout i, on a par hypoth`ese 0 6 a i 6 e(κ − 1) 6 e(p − 2). On en d´eduit :

α fil,i 6 e(p − 2)(p ^r + p ^r−1 + · · · + p)

p ^r − 1 = ep(p − 2) p − 1 < ep

pour tout i. De mˆeme β fil,i < ep, d’o` u il suit que la diff´erence β fil,i − α fil,i est elle aussi strictement inf´erieure ` a ep. Ainsi le morphisme ˆ f

est non nul. Il reste ` a v´erifier qu’il commute aux structures suppl´ementaires, mais cela ne pose plus aucune difficult´e particuli`ere. (Pour la donn´ee de descente, il faut utiliser la congruence α i + α fil,i ≡ β i + β fil,i (mod p ^r − 1).)

Reste ` a prouver la derni`ere assertion. La preuve de la proposition 2.3 (dont nous avons seulement expliqu´e les id´ees) montre en fait que T _st ^⋆ ( ˆ f

) est un isomorphisme. Comme T _st ^⋆ (A) et T _st ^⋆ (B) sont des E-espaces vectoriels de dimension 1, on a n´ecessairement f = λT st ^⋆ ( ˆ f

) pour un λ ∈ E ^⋆ . Il suffit donc de poser ˆ f = λ f ˆ

.

Remarque. Quitte ` a modifier la base A i , on peut supposer dans l’´enonc´e de la proposition que λ = 1. C’est ce que nous ferons par la suite.

L’´enonc´e suivant montre mˆeme que dans le « mauvais » cas de la proposition, la situation n’est pas d´esesp´er´ee :

Proposition 5.6. On conserve les notations pr´ec´edentes et on suppose toujours donn´e un iso- morphisme f : T _st ^⋆ (B) → T _st ^⋆ (A). Alors il existe un objet C de E-BrMod ^κ−1 _dd et des morphismes f ˆ

: A → C et f ˆ

: B → C induisant des isomorphismes via T _st ^⋆ et tels que T _st ^⋆ ( ˆ f

) ◦ T _st ^⋆ ( ˆ f

)

= f . D´emonstration. Evidemment si ´ β fil,i > α fil,i pour tout i ∈ S, il suffit de prendre C = B, ˆ f

= id et d’appliquer la proposition 5.5 pour obtenir ˆ f

. De mˆeme, si α fil,i > β fil,i pour tout i ∈ S, on peut conclure avec C = A.

Lorsque les r-uplets (α fil,i ) et (β fil,i ) ne sont pas comparables, c’est plus compliqu´e. L’id´ee consiste `a construire un C dont les invariants associ´ees γ fil,i v´erifient γ fil,i = max(α fil,i , β fil,i ). Pour y parvenir, on pose n i = <sup>1</sup> <sub>p</sub> max(β fil,i −α fil,i , 0) et c i = a i +pn i −n i+1 . Ces nombres sont toujours des entiers, car on voit directement sur la d´efinition que α fil,i et β fil,i sont des multiples de p. Montrons que c i est positif ou nul. Cela ne pose pas de probl`eme si n i+1 = 0. Si par contre n i+1 > 0, on a n i+1 = ^β

_p

puis :

a i + pn i > a i + β fil,i − α fil,i = b i + β fil,i+1 − α fil,i+1

p = b i + n i+1 > n i+1

la premi`ere ´egalit´e se v´erifiant simplement en rempla¸cant α fil,i , etc. par leurs d´efinitions. De mˆeme, on prouve c i 6 e(κ − 1) : si n i = 0, le r´esulat est imm´ediat et sinon on ´ecrit :

a i + pn i = a i + β fil,i − α fil,i = b i + β fil,i+1 − α fil,i+1

p 6 b i + n i+1 6 e(κ − 1) + n i+1 .

(En r´ealit´e, on a mˆeme obtenu min(a i , b i ) 6 c i 6 max(a i , b i ).) Un calcul simple montre par ailleurs que les γ fil,i associ´es aux c i v´erifient γ fil,i = α fil,i + pn i = max(α fil,i , β fil,i ), c’est-`a-dire la condition rechech´ee. D´efinissons ` a pr´esent γ i = α i + α fil,i − γ fil,i ∈ Z /(p ^r − 1) Z et C l’objet de E-BrMod ^κ−1 _dd associ´e aux nombres c i , γ i et ` a l’´el´ement de E <sup>⋆</sup> correspondant ` a A (ou ce qui revient au mˆeme,

`

a B). La proposition 2.3 montre que T _st ^⋆ (A) et T _st ^⋆ (C) sont isomorphes et il ne reste plus, pour

conclure la preuve, qu’`a appliquer deux fois la proposition 5.5.