• Aucun résultat trouvé

Contrˆ ole actif

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Partager "Contrˆ ole actif"

Copied!
36
0
0

Texte intégral

(1)

Chapitre 4

Contrˆ ole actif

4.1 Introduction

Ce chapitre est consacr´e au contrˆole actif d’une plaque baffl´ee.

A la section 4.2, le probl`eme du contrˆole optimal du rayonnement acoustique d’une plaque baffl´ee est formul´e `a l’aide des filtres radiatifs.

La section 4.3 est consacr´ee au contrˆole `a faible autorit´e dont l’usage est r´epandu en amortissement actif des vibrations, et dont l’impl´ementation ne n´ecessite pas de mod`ele num´erique du syst`eme (par opposition au contrˆole optimal). Nous

´evoquerons les notions de colocalisation, et de capteurs et d’actionneurs duaux.

Le contrˆole `a faible autorit´e est l’objectif principal de cette th`ese.

La section 4.4 donne un bref aper¸cu du contrˆole par anticipation (feedforward control) qui est ´etroitement li´e aux premi`eres applications pratiques de contrˆole actif du bruit. Son usage est encore aujourd’hui tr`es largement r´epandu pour l’ap- plication qui nous concerne. Nous montrons ´egalement `a l’aide d’une exp´erience de contrˆole actif (pointage de pr´ecision) r´ealis´ee au laboratoire que le contrˆole feed- forward est compl´ementaire au contrˆole feedback, et que leur utilisation conjointe peut ˆetre conseill´ee pour certaines applications.

Pour terminer ce chapitre nous d´eveloppons `a la section 4.5 notre approche du contrˆole actif du rayonnement acoustique des plaques. Celle-ci est bas´ee sur l’uti- lisation d’un capteur de vitesse volum´etrique et sur l’optimisation de l’emplace- ment d’un ensemble d’actionneurs pilot´es en parall`ele de telle mani`ere `a obtenir un syst`eme `a une entr´ee et une sortie (SISO) dont la r´eponse fr´equentielle en boucle ouverte pr´esente des propri´et´es fort semblables `a celles d’un syst`eme co- localis´e.

(2)

4.2 Contrˆ ole optimal - Filtres radiatifs

Le d´eveloppement d’une fonction de coˆut bas´ee sur l’´energie acoustique rayonn´ee et utilisable dans le cadre d’un contrˆole optimal a ´et´e propos´ee dans la litt´erature [34, 56]. En opposition avec le d´eveloppement de capteurs de rayonnement acous- tique, la d´emarche consiste ici `a d´evelopper un mod`ele math´ematique du rayon- nement acoustique qui servira dans la conception du contrˆoleur. Comme c’est le cas pour beaucoup d’applications de contrˆole actif (Fig.4.1), la grandeur `a mini- miserz (rayonnement acoustique) n’est pas celle servant `a la r´etroactiony (cap- teurs structuraux divers). Les filtres radiatifs, dont nous pr´esentons ici le principe g´en´eral, permettent, une fois int´egr´es au mod`ele du syst`emeP(s), d’obtenir une estimation du rayonnement acoustique.

P(s)

H(s)

d

u y

z

Fig. 4.1 – Sch´ema bloc g´en´eral d’un probl`eme de contrˆole actif.

A la section 2.2, nous avons montr´e que la puissance acoustique rayonn´ee par une plaque baffl´ee peut s’exprimer soit en fonction des amplitudes modalesva

W(ω) =vaH(ω)M(ω)va(ω) (4.1)

soit en fonction des vitesses normales vn de la plaque discr´etis´ee en ´el´ements rayonnants ´el´ementaires

W(ω) =vnH(ω)R(ω)vn(ω) (4.2)

Les matrices M et R, respectivement la matrice des r´esistances de radiation des modes structuraux et la matrice des r´esistances de radiation des ´el´ements rayonnants ´el´ementaires sont li´ees par la relation suivante

M(ω) = ΦHR(ω)Φ (4.3)

dans laquelle Φ sont les formes modales des modes structuraux de la plaque. Ces deux formulations sont ´equivalentes mais la seconde (Equ.(4.2)) est plus g´en´erale car elle s´epare compl`etement la dynamique de la plaque du bruit rayonn´e [33].

(3)

4 Contrˆole optimal - Filtres radiatifs 57

La premi`ere formulation est cependant pr´ef´er´ee dans les ´etudes th´eoriques car on dispose d’un mod`ele math´ematique de la structure, et cette formulation bas´ee sur les vitesses modales est plus compacte. En partant de cette formulation, l’´energie totale rayonn´ee par la structure s’exprime par

W = Z

0

vaH(ω)M(ω)va(ω)dω (4.4)

Rappelons ici que M(ω) est une matrice r´eelle sym´etrique et d´efinie positive en raison de sa signification physique. Ses valeurs propres sont positives r´eelles et correspondent aux rendements radiatifs des diff´erentes modes de radiation (Sec.2.2.4). Dans le but d’obtenir une repr´esentation en variables d’´etat des m´ecanismes de radiation acoustique,M peut ˆetre factoris´ee ([55] Chap.6) :

M(ω) =GT(ω)G(ω) (4.5)

ou dans le domaine de la transform´ee de Laplace

M(s) =GT(−s)G(s) (4.6)

avec G(s) une matrice r´eelle rationnelle.

Il existe plusieurs m´ethodes pour obtenir un repr´esentation de G(s) `a partir de M(ω). On peut soit factoriserM(ω) (d´ecomposition de Cholesky p.ex.) et ensuite rechercher un mod`ele d’´etat G(s) approchant G(ω) avec la pr´ecision souhait´ee ; soit chercher directement une repr´esentation en variables d’´etatM(s) et effectuer une factorisation dans l’espace d’´etat [57].

Rempla¸cons (4.5) dans (4.4), il vient par application du th´eor`eme de Parseval : W =

Z

0

vaH(ω)GH(ω)G(ω)va(ω)dω= 2π Z

0

zT(t)z(t)dt (4.7) avec

z(t) =L−1[G(s)va(s)] (4.8) On peut donc consid´erer le vecteur z(t) comme la sortie d’un filtre G(s) dont l’entr´ee est constitu´ee du vecteurvades amplitudes modales de la plaque. Quelle que soit la technique de factorisation utilis´ee, il faut s’assurer que la r´ealisation de G(s) soit causale, donc physiquement r´ealisable. L’introduction dez(t) dans une fonction de coˆut permet donc la minimisation de l’´energie acoustique rayonn´ee.

Dans le cas o`u la matrice M(ω) est obtenue par des mesures bruit´ees, son ca- ract`ere d´efini positif n’est pas garanti et la factorisation spectrale ne peut ˆetre

(4)

effectu´ee. Des m´ethodes sp´ecifiques doivent alors ˆetre consid´er´ees [58, 59].

Le filtreG(s) repr´esent´e en variables d’´etat est ensuite int´egr´e dans une mod`ele complet de la structure. Soit le mod`ele de la plaque dont les ´etats sont les ampli- tudes et vitesses modales :

˙

x = Ax+Bu (4.9)

va = Cx (4.10)

Soit le mod`ele des filtres radiatifs dont les entr´ees sont les vitesses modales :

˙

r = AGr+BGva (4.11)

z = CGr+DGva (4.12)

on obtient comme syst`eme complet Ã

˙ r

!

=

à A 0 BGC AG

! Ã x r

! +

à B 0

! u z = ³ DGC CG ´

à x r

!

(4.13) pour lequel la fonction de coˆut peut ˆetre formul´ee :

J = Z

0

(zTz+ρuTu)dt (4.14)

Cette formulation du contrˆole de l’´energie acoustique rayonn´ee en contrˆole op- timal est appliqu´ee num´eriquement dans [34, 56] pour le cas d’une poutre. La sup´eriorit´e du contrˆole acoustique sur le contrˆole vibratoire est mise en ´evidence en basses fr´equences. Des m´ecanismes de restructuration modale exploitant le couplage acoustique entre modes structuraux entrent ici en jeux.

Dans le cadre d’applications exp´erimentales, la n´ecessit´e d’augmenter le mod`ele de la structure avec le mod`ele du rayonnement acoustique peut conduire `a un mod`ele global assez complexe et ainsi limiter les performances [35]. Le d´eveloppement de capteurs sp´ecifiques (Sec.3.2) n’est par contre pas n´ecessaire.

Comme pour le contrˆole vibratoire, le contrˆole vibroacoustique optimal peut ex- ploiter une normeH2[58, 60, 61], une norme mixteH2/H[62] ou une approche

(5)

4 Contrˆole optimal - Filtres radiatifs 59

µ-synthesis [63], entre autres.

Sans entrer dans les d´etails d’impl´ementation, les observations suivantes peuvent ˆetre faites :

1. Typiquement, l’ordre des mod`eles complets (structure+rayonnement) uti- lis´es dans la litt´erature varie de 40 `a 100 ´etats pour des syst`emes `a 4 entr´ees et 4 sorties (4I4O). Les mod`eles de rayonnement acoustique peuvent ˆetre r´eduits `a quelques ´etats en ne consid´erant qu’un ou deux modes de radia- tion.

2. En raison de la pr´ecision limit´ee des mod`eles obtenus, la bande passante se limite quasi syst´ematiquement `a quelques modes structuraux fortement rayonnants, ce qui correspond `a exploiter uniquement le premier mode de radiation [61].

3. Des att´enuations typiques de 5 `a 20 dB sur les amplitudes des pics de la puissance acoustique rayonn´ee donnent des att´enuations globales de 5 `a 10 dB sur des plages de fr´equences incluant de 5 `a 10 modes structuraux.

Pour terminer, nous illustrons cette section sur le contrˆole optimal par un r´esultat typique d’apr`es [63]. Il s’agit ici du contrˆole optimal (µ-synthesis) du bruit rayonn´e par une plaque encastr´ee en aluminium (0.35 m× 0.25 m). Celle-ci est ´equip´ee de 4 actionneurs et de 4 capteurs pi´ezo´electriques servant au contrˆole. Les filtres radiatifs sont construits d’apr`es un mod`ele identifi´e de la structure `a l’aide d’une s´erie de r´eponses fr´equentielles mesur´ees par vibrom`etre laser. Le mod`ele global incluant structure et contrˆoleur poss`ede 90 ´etats. Les r´esultats de cette exp´erience sont pr´esent´es Fig.4.2.

Ce r´esultat peut ˆetre consid´er´e comme typique pour une application de contrˆole optimal du rayonnement acoustique d’une plaque mince. Les observations faites ci-dessus sont valables pour les diverses exp´eriences qu’on trouve dans la litt´eratu- re.

(6)

Fig. 4.2 – Contrˆole robuste d’une plaque en aluminium (350 mm × 250 mm) par 4 paires d’actionneurs/capteurs pi´ezo´electriques (d’apr`es [63]).

4.3 Contrˆ ole ` a faible autorit´ e

Contrairement `a la section pr´ec´edente qui traitait du contrˆole `a haute autorit´e (High Authority Control - HAC) bas´e sur l’utilisation d’un mod`ele plus ou moins sophistiqu´e du syst`eme vibroacoustique et qui permet de modifier substantielle- ment la position des pˆoles en boucle ferm´ee, le contrˆole `a faible autorit´e (Low Authority Control - LAC) se caract´erise par le fait que la position des pˆoles du syst`eme en boucle ferm´ee n’est que l´eg`erement modifi´ee par rapport `a la position des pˆoles en boucle ouverte. Ce contrˆole consiste en fait en un amortissement ac- tif et n’est vraiment efficace qu’au voisinage des r´esonances de la structure. Pour les syst`emes faiblement amortis, c’est pr´ecisement aux alentours des r´esonances structurelles que se trouve la majorit´e de l’´energie acoustique rayonn´ee.

(7)

4 Contrˆole `a faible autorit´e 61

4.3.1 Colocalisation

Lorsqu’un actionneur et son capteur dual (c’est-`a-dire ´energ´etiquement conjugu´e comme par exemple un actionneur de force et un capteur de d´eplacement ou de vitesse) sont colocalis´es sur une structure flexible non amortie, on peut montrer que les pˆoles et les z´eros de la structure alternent sur l’axe imaginaire. Pour une structure faiblement amortie, les pˆoles sont `a gauche de l’axe imaginaire (Fig.4.3) [26, 64]. Le syst`eme est alors minimum de phase ; les courbes de Nyquist et de Bode correspondantes sont repr´esent´ees Fig.4.4. Cette propri´et´e est ´egalement obtenues avec des actionneurs et capteurs distribu´es duaux (la distribution spa- tiale de la force appliqu´ee par l’actionneur est identique `a la sensibilit´e spatiale du capteur). Dans le cas ou les deux ´el´ements sont quasi-colocalis´es, la propri´et´e d’alternance des pˆoles et des z´eros est encore maintenue en basse fr´equence, jus- qu’`a une fr´equence limite d´ependant de l’´ecart entre l’actionneur et le capteur.

Dans certaines configurations, faisant appel `a des actionneurs et capteurs non duaux, la propri´et´e d’alternance est encore observ´ee en basses fr´equences [65].

Pour de telles situations, un certain nombre de contrˆoleurs ont ´et´e propos´es, en fonction du type d’actionneurs et de capteurs utilis´es (Tab.4.1). Ces compensa- teurs fournissent une stabilit´e garantie (dans l’hypoth`ese de capteurs et d’action- neurs ayant une dynamique parfaite) et ont ´et´e valid´es exp´erimentalement dans de nombreuses applications [66, 67, 68, 69].

4.3.2 Applications

Dans le domaine du contrˆole vibroacoustique, les propri´et´es des syst`emes mi- nimum de phase ont ´et´e mises `a profit de diff´erentes mani`eres. La volont´e de simplifier autant que possible la conception du contrˆoleur conduit `a des appli- cations de contrˆole SISO ou MIMO (configuration d´ecentralis´ee), avec comme

Re(s) Re(s)

Im(s) Im(s)

x x

x x

x x

(a) (b)

oi i

jω

Fig. 4.3 – Disposition des pˆoles et des z´eros d’un syst`eme colocalis´e (a) non amorti (b) faiblement amorti (la figure est sym´etrique par rapport `a l’axe r´eel).

(8)

Im(G)

Re(G)

ω =0 G

φ

-90°

-180°

ω

ω

dB

ω ω= ω ω=

i oi

oi i ω ω

Fig. 4.4 – Courbes de Nyquist et de Bode d’une structure faiblement amortie avec actionneur et capteur colocalis´es.

gD(s) Force Strain Linear

(d31 piezo) (d33 piezo) Lead

Displacement g s

s+a Direct Velocity F.

Velocity g

DVF:g/s Acceleration

g

s2+ 2ξfωfs+ωf2

Positive Position F.

Strain −gω2f

s2+ 2ξfωfs+ωf2 (d31 piezo)

Integral Force F.

Force −g/s

Tab. 4.1 – Compensateurs pour contrˆole colocalis´e jouissant d’une stabilit´e ga- rantie. La colonne indique le type d’actionneur, et la ligne le type de capteur [26].

(9)

4 Contrˆole `a faible autorit´e 63

Fig. 4.5 – Plaque ´equip´ee d’un capteur de vitesse volum´etrique distribu´e en PVDF et de son actionneur dual [70].

objectif le contrˆole de la vitesse volum´etrique ou le contrˆole vibratoire ciblant les modes fortement rayonnants.

Lorsque le capteur de vitesse volum´etriqueQWSISpr´esent´e au chapitre 3 est com- bin´e avec un actionneur distribu´e dual, le syst`eme r´esultant est, en th´eorie, mini- mum de phase et b´en´eficie d’une stabilit´e garantie et de l’absence de tout spillover quel que soit le gain de r´etroaction. Ce principe, ainsi que sa r´ealisation pratique sont illustr´es `a la figure 4.5 [41, 53, 71] ; l’actionneur et le capteur QWSIS sont coll´es de part et d’autre d’une plaque en aluminium. Bien qu’en basse fr´equence la FRF du syst`eme est domin´ee par la flexion de la plaque, les d´eformations mem- branaires (dans le plan de la plaque) deviennent dominantes en haute fr´equence.

Il en r´esulte une amplification de la composante d’action directe (feedthrough) qui, d’une part, fait perdre de l’autorit´e en r´eduisant la distance entre les pˆoles et les z´eros, et d’autre part, ne contribue pas au bruit rayonn´e [70, 72, 73, 74, 75].

Ceci est illustr´e `a la figure 4.6.

Une solution possible `a ce probl`eme de couplage entre capteurs et actionneurs distribu´es est de remplacer l’un ou l’autre (ou les deux) par des ´el´ements dis- crets. Diff´erentes combinaisons ont ´et´e propos´ees et sont repr´esent´ees Fig.4.7 [76].

Lorsque plusieurs ´el´ements discrets sont pilot´es en parall`ele afin d’approcher le comportement d’un ´el´ement distribu´e, l’aliasing spatial doit alors ˆetre consid´er´e avec attention. La nature discr`ete de ces diff´erentes configurations influe sur le caract`ere minimum de phase du syst`eme ; l’alternance des pˆoles et des z´eros n’est pr´esente qu’en dessous d’une fr´equence limite, rendant le syst`eme conditionnel- lement stable et sensible au spillover.

Les avantages de la colocalisation des capteurs et des actionneurs peuvent ´egale-

(10)

Fig. 4.6 – FRF entre le l’actionneur et le capteur QWSIS (simulations) ; trait gras, flexions et d´eformations membranaires ; trait pointill´e, effets membranaires seuls ; trait fin, flexion seule (d’apr`es [70]).

Fig.4.7 – (a) capteur de vitesse volum´etrique discret (acc´el´erom`etres) et son ac- tionneur dual distribu´e (film PVDF) (b) idem avec actionneur discret (c´eramiques PZT).

(11)

4 Contrˆole `a faible autorit´e 65

ment ˆetre utilis´es dans des syt`emes MIMOo`u les paires d’´el´ements discrets sont r´epartis uniform´ement sur la structure comme repr´esent´e Fig.4.8 [76, 77]. Le contrˆole, qui est ici purement vibratoire, est d´ecentralis´e et chaque couple action- neur/capteur b´en´eficie des propri´et´es d’un syst`eme minimum de phase `a condition qu’ils soient ´energ´etiquement conjugu´es. L’ind´ependance des boucles de contrˆole entre elles favorise la modularit´e (ajout de paires suppl´ementaires sans refaire le design du contrˆoleur) et la fiabilit´e (faible d´egradation des performances lors de la panne d’une des boucles de contrˆole).

Fig. 4.8 – Contrˆole MIMO d´ecentralis´e (a) actionneurs de force ponc- tuel et acc´el´erom`etres (b) actionneurs piezo´electriques (c´eramiques PZT) et acc´el´erom`etres.

Des ´etudes exp´erimentales sur le contrˆole vibroacoustique `a l’int´erieur d’un fuse- lage `a l’aide duPositive Position Feedback (Tab 4.1) ont montr´e des r´eductions appr´eciables de la pression acoustique (10 dB) aux r´esonances en ´equipant moins de 10% de la surface de la structure [78, 79]. Les performances sont cependant li- mit´ees par le faible couplage entre la structure et les actionneurs pi´ezo´electriques lorsque ceux-ci sont de petite taille par rapport aux dimensions de la structure [80].

4.3.3 Optimisation en boucle ouverte

Lors de la conception d’un asservissement, l’optimisation est une ´etape indis- pensable afin d’obtenir les performances maximum d’une application donn´ee.

L’optimisation en boucle ferm´ee consiste `a maximiser un index de performance (l’att´enuation de l’´energie acoustique rayonn´ee par exemple) en choisissant si- multan´ement l’emplacement des capteurs et actionneurs et la loi de contrˆole.

La contribution individuelle de chaque capteur et actionneur `a cet index est en g´en´eral non lin´eaire et les techniques utilis´ees sont ´egalement non lin´eaires et

(12)

it´eratives. Une revue des m´ethodes d’optimisation a ´et´e pr´esent´ee dans [81].

L’optimisation en boucle ouverte, que nous exploitons dans ce travail, consiste

`a s´electionner l’emplacement des capteurs et actionneurs sur base de propri´et´es telles la contrˆolabilit´e et l’observabilit´e, la pr´esence ou non de roll-off dans la r´eponse fr´equentielle, l’alternance des pˆoles et des z´eros sur l’axe imaginaire (ca- ract´eristique des syst`emes minimum de phase), etc... Elle n’est pas r´eserv´ee aux contrˆoleurs `a faible autorit´e mais les performances de ceux-ci leur sont ´etroitement li´ees car il s’agit de l’´etape ultime d’optimisation.

4.4 Le contrˆ ole feedforward

4.4.1 G´en´eralit´es

Le contrˆolefeedforwardou contrˆole par anticipation est bas´e sur la disponibilit´e d’une information sur la perturbation appliqu´ee au syst`eme. Cette information est disponible quand l’excitation est d´eterministe (signal synchronis´e sur une machine tournante) ou lorsqu’on se trouve en pr´esence d’un ph´enom`ene de propagation (un capteur de d´etection est alors plac´e en amont du syst`eme). Le contrˆole par anticipation est fr´equemment utilis´e en laboratoire car il est facile `a r´ealiser et donne une borne sup´erieure des performances atteignables dans le cas de pertur- bations harmoniques.

Soit le dispositif de contrˆole indiqu´e Fig.4.9. La perturbationXagit sur la struc- tureG(s) par l’interm´ediaire d’une fonction de transfertP(s). La force de contrˆole Fs(s) est obtenue en filtrant l’excitation X(s) par H(s) (X est commun´ement appel´e signal de r´ef´erence). Le signalE(s) appel´e capteur d’erreur donne des in- dications sur l’efficacit´e du contrˆole et sert en g´en´eral dans l’adaptation deH(s).

La fonction de transfert du syst`eme s’exprime par :

E(s) =G(s)[P(s)−H(s)]X(s) (4.15) Dans le cas d’une excitation sinuso¨ıdaleX(jω0) =e0t, il est possible d’annuler compl`etement l’effet de l’excitation sur la structure si la r´eponse du filtreH(jω0) est ´egale en amplitude et en phase `aP(jω0). En pratique, le filtrage num´erique as- soci´e `a des filtres anti-aliasing introduit des d´elais qui limitent l’att´enuation que l’on obtient. Un faible ´ecart d’amplitude ou de phase entre H(jω0) et P(jω0) r´eduit fortement les performances ; ceci a ´et´e illustr´e Fig.1.1 dans le cas du contrˆole acoustique et explique pourquoi le contrˆole par anticipation est pra- tiquement toujours r´ealis´e de mani`ere adaptative.

(13)

4 Le contrˆole feedforward 67

X(s)

P(s)

H(s) E(s)

G(s)

Fs(s)

Fig. 4.9 – Sch´ema de principe du contrˆole par anticipation.

Pour l’´etude de signaux al´eatoires, transformons la Fig.4.9 en la Fig.4.10.a, dans laquelle D(jω) repr´esente la contribution de la source primaire au signal d’er- reur E(jω) en l’absence de contrˆole, ainsi que la contribution d’autre sources non corr´el´ees. Le signal de r´ef´erence X(jω) est ´egalement suppos´e ˆetre conta- min´e par du bruit de mesure. En faisant l’hypoth`ese que G(jω) et H(jω) sont lin´eaires et invariants dans le temps, on peut les permuter et obtenir la dispo- sition de la Fig.4.10.b ([82] Chap.6) dans laquelle on d´efinit la r´ef´erence filtr´ee R(jω) =G(jω)X(jω) . Calculons maintenant le filtre optimalHopt(jω) qui mini- mise l’esp´erance math´ematique deE(jω) . Avec les notations de la figure 4.10.b on obtient [83, 84] :

Hopt(jω) =−Srd(ω)

Srr(ω) (4.16)

avecSrd(ω) =E[R(jω)D(jω)] la densit´e spectrale crois´ee entreR(jω) et D(jω), etSrr(ω) =E[R(jω)R(jω)] la densit´e de puissance spectrale (PSD) deR(jω). On peut ´egalement montrer que la performance du contrˆole exprim´ee comme ´etant le rapport entre la PSD du signal d’erreur E(jω) et la PSD de la r´eponse de la structure `a la perturbation D(jω) vaut

See(ω)

Sdd(ω) = 1− |Sxd(ω)|2

Sxx(ω)Sdd(ω) (4.17)

et d´epend directement de lacoh´erence entre la r´ef´erence et la perturbation. Une estimation des performances peut donc ˆetre obtenue sans devoir calculer le filtre optimal Hopt(jω) et mˆeme sans la pr´esence physique d’une source secondaire.

Ce r´esultat repr´esente une borne sup´erieure car, en pratique, diff´erents facteurs

(14)

(a)

Référence

Contrôleur Système

Référence Référence

filtrée

(b)

+ +

+ + X(j!)

H(j!)

G(j!)

G(j!) U(j!)

R(j!)

H(j!)

E(j!) D(j!)

D(j!)

E(j!)

X(j!)

Fig. 4.10 – Sch´ema de principe du contrˆole par anticipation - repr´esentation

´equivalente [82].

peuvent d´egrader les performances : bruit de mesure, faisabilit´e deHopt(jω), non stationnarit´e des signaux, ondes ´evanescentes produites par la source secondaire ([28] Chap.6).

D’un point de vue pratique, le contrˆole par anticipation est r´ealis´e `a l’aide de filtres num´eriques qui sont adapt´es en temps r´eel pour tenir compte des varia- tions ´eventuelles du signal d’excitation. La figure 4.11 montre le sch´ema bloc d’un contrˆole par anticipation `a une voie tel que r´ealis´e en pratique. L’algo- rithme d’adaptation des coefficients du filtre discret H(n) est de type de la plus forte pente, et l’approximation du gradient n´ecessaire `a cette m´ethode est de type moindre carr´e. Cette impl´ementation du contrˆole par anticipation est connue sous le nom defiltered-x LMS[82, 85]. Les propri´et´es principales de cet algorithme se r´esument comme suit :

– Une estimation de la FRF du syst`eme G(n) sous la forme d’un filtre FIR est n´ecessaire `a la convergence de l’algorithme.G(n) peut ˆetre facilement identifi´ed exp´erimentalement sous la forme d’une r´eponse impulsionnelle. La convergence est relativement robuste par rapport `a l’estimation de G(n) [86], cependant pour des syst`emes faiblement amortis, la troncature plus ou moins s´ev`ere de G(n) peut fortement ralentir la convergence ou mener `a l’instabilit´e.d

– Le coefficient de convergence α influence la vitesse de convergence de l’algo- rithme. Sa valeur maximum vaut approximativementαmax1

r2I o`u r2 est le

(15)

4 Le contrˆole feedforward 69

x(n)

G(n)

G(n)^

u(n) e(n)

r(n)

Filtre FIR Structure

Estimation de G(n) algorithme LMS

h (n+1)=h (n)-i i ae(n) r(n-i) d(n)

+ H(n) +

Fig.4.11 – Sch´ema de principe du contrˆole feedforward filtered-x LMS.

carr´e moyen de r, et I est le nombre de coefficients du filtre H. Le coefficient de convergence est donc optimal pour une excitation donn´ee.

– Le contrˆolefeedforwardsous la forme pr´esent´ee ici est peu adapt´e aux structures flexibles (forte densit´e modale, amortissement faible) ; l’estimation deG(n) par un filtre FIR de longueur raisonnable est difficile. Il faut alors recourir `a des filtres IIR dont la stabilit´e intrins`eque doit ˆetre v´erif´ee [87].

Pour les raisons que nous venons d’´evoquer, le filtered-x LMS est mieux adapt´e au contrˆole acoustique actif qu’au contrˆole vibroacoustique faisant intervenir des r´eponses impulsionnelle plus longues (voir [88] pp.108-109 pour des r´eponses im- pulsionnelles typiques de ces deux types de syst`emes). Il est cependant fr´equem- ment utilis´e pour des exp´eriences de laboratoire en vibroacoustique afin de d´etermi- ner les performances maximum en r´egime harmonique.

Pour du contrˆole large bande de structures flexibles il peut ˆetre judicieux d’y ad- joindre une boucle d’amortissement actif afin de r´eduire la longueur des r´eponses impulsionnelles. Cette approche du contrˆole actif visant `a combiner les contrˆoles feedbacketfeedforwarda ´et´e ´etudi´ee dans notre laboratoire sous la d´enomination de contrˆole hybride. Nous en pr´esentons une application exp´erimentale type `a la section suivante.

4.4.2 Contrˆole hybride feedback-feedforward

Les avantages et inconv´enients des contrˆoles feedback et feedforward ont ´et´e pr´esent´ees Chap.1 Tab.1.1. Nous pr´esentons ici une application vibratoire de contrˆole hybride, que nous avons r´ealis´ee au laboratoire afin d’illustrer la compl´e- mentarit´e des deux types de contrˆole. Deux autres applications sont ´egalement

(16)

publi´es dans [29, 89].

L’application consid´er´ee ici et repr´esent´ee Fig.4.12 est un dispositif de pointage de pr´ecision d’une structure flexible en treillis [90] (structure spatiale par exemple).

La position du sommet de la structure est contrˆol´ee par un controleur `a haute autorit´e (HAC) combin´ee `a une amortissement actif (LAC). La bande-passante de ce contrˆole de position est d’une dizaine de Hz et inclut les deux premiers modes flexibles de la structure. Pour que cet exemple soit repr´esentatif d’une situation concrete, une perturbation est appliqu´ee en un point de la structure `a l’aide d’un excitateur ´electrodynamique. Cette perturbation consiste en la somme d’un bruit large bande et d’un signal harmonique. Le signal harmonique est ca- ract´eristique d’une perturbation provenant du contrˆole d’attitude d’un satellite et sa fr´equence (≈ 20 Hz) est localis´ee express´ement en dehors de la bande pas- sante du contrˆole de position. La perturbation harmonique est suppos´ee connue et est utilis´ee comme r´ef´erence du contrˆole feedforward. La densit´e de puissance spectrale du d´eplacement du sommet du treillis en r´eponse `a la perturbation est repr´esent´ee Fig.4.13. En (a), le contrˆoleHAC/LACseul att´enue correctement la perturbation dans sa bande passante et introduit un amortissement substantiel des modes flexibles. La perturbation harmonique est, quant-`a-elle, amplifi´ee, car situ´ee au-del`a de la fr´equence de coupure (fc ≈ 10 Hz). En (b), le contrˆole hybride feedback-feedforward r´ealise les mˆemes performances mais est ´egalement capable d’att´enuer la perturbation harmonique. Le contrˆole hybride n’a pas d’effet sur le bruit large bande pour lequel nous ne disposons pas de signal de r´ef´erence (par hypoth`ese).

Notons que ce r´esultat est obtenu sans connaissance pr´ealable de la fr´equence de la perturbation harmonique, et que le dispositif est capable de s’adapter aux variations de celle-ci. La convergence de l’algorithmex-filtered LMSet sa rapidit´e de r´eponse aux variations de la fr´equence de perturbation est d’autant plus rapide que le contrˆole feedback r´eduit la r´eponse transitoire de la structure flexible.

(17)

4 Le contrˆole feedforward 71

Laser Interferometer

Position Control

Active Damping Active

Damping

+ +

+ +

y

Pure Tone Band-limited white noise

+ +

Disturbance Shaker

HAC

LAC

Feedforward Control Reference

Error

+

Fig. 4.12 – Sch´ema de principe du contrˆole de position d’une structure flexible et d’application d’un contrˆole hybride.

(18)

Fig.4.13 – PSD du d´eplacement du sommet de la structure (a) effet du contrˆole feedback(b) effet du contrˆole hybridefeedback-feedforward.

(19)

4 Optimisation d’un syst`emeSISO 73

4.5 Optimisation d’un syst` eme SISO

Lors de notre introduction du contrˆole `a faible autorit´e `a la section 4.3, nous avons pr´esent´e diff´erentes impl´ementations possibles de contrˆole vibroacoustique faisant usage de capteurs de vitesse volum´etrique et d’actionneurs duaux, ainsi que d’approximations de ceux-ci par combinaisons d’´el´ements discrets. La pro- pri´et´e d’alternance des pˆoles et des z´eros du syst`eme, typique des syst`emes mini- mum de phase, est obtenue jusqu’`a une fr´equence limite d´ependant de la nature des capteurs et actionneurs, et de leur nombre.

La strat´egie de contrˆole que nous avons ´etudi´ee est ´egalement bas´ee sur l’utilisa- tion d’un capteur de vitesse volum´etrique dont deux prototypes ont ´et´e d´evelopp´es et pr´esent´es pr´ec´edemment. Ce qui fait la particularit´e de notre m´ethode est l’usage d’un nombre limit´e d’actionneurs discrets dont l’emplacement sur la struc- ture est optimis´e de telle mani`ere `a forcer l’alternance des pˆoles et des z´eros. Cette strat´egie est d´evelopp´ee plus en d´etails ci-apr`es et appliqu´ee `a une plaque de verre simplement appuy´ee.

4.5.1 Objectifs de l’optimisation

L’objectif de l’optimisation est de ramener la fonction de transfert en boucle ou- verte `a celle d’un probl`eme `a une entr´ee et une sortie (SISO) tout en for¸cant les propri´et´es d’un syst`eme minimum de phase, afin de pouvoir r´ealiser un contrˆole

`a faible autorit´e.

Le choix du capteur ´etant fix´e, c’est au niveau du nombre d’actionneurs et de leur emplacement que nous pouvons agir. Un ensemble d’actionneurs discrets (force ponctuelle ou c´eramique pi´ezo´electrique) sont utilis´es en parall`ele. Pilot´es par la mˆeme commande, ils r´eduisent le syst`eme `a une seule entr´ee. Il ne reste plus qu’`a optimiser la localisation de ces actionneurs sur la structure, afin d’obtenir les pro- pri´et´es d´esir´ees pour la fonction de transfert en boucle ouverte. Ces propri´et´es, illustr´ees `a la figure 4.14, sont les suivantes :

1. une alternance de pˆoles et de z´eros est souhait´ee dans la bande passante fix´ee, afin de pouvoir utiliser un contrˆoleur `a faible autorit´e (LAC)

2. l’amplitude des pics de r´esonance est maximis´ee dans la bande passanteωc

pour augmenter l’autorit´e de contrˆole sur ces modes

3. l’amplitude des pics de r´esonance est minimis´ee `a proximit´e et au-del`a de la fr´equence de coupure afin d’augmenter la marge de gain et de limiter la

(20)

Fig.4.14 – Forme souhait´ee de la fonction de transfert (SISO) en boucle ouverte entre l’entr´ee des actionneurs (mont´es en parall`ele) et la vitesse volum´etrique.

d´estabilisation des modes dans cette zone (spillover)

L’optimisation de la fonction de transfert en boucle ouverte comme d´ecrite ci- dessus est r´ealis´ee par algorithme g´en´etique (MATLAB toolbox GAOT [91]).

Cette m´ethode d’optimisation est parfaitement adapt´ee `a notre probl`eme ´etant donn´e que la fonction `a optimiser (appel´ee fonction d’´evaluation oufitness func- tion) pr´esente de nombreux extr´ema locaux, ainsi que des discontinuit´es intro- duites par le crit`ere d’alternance des pˆoles et des z´eros. En effet, ce crit`ere est li´e aux signes des formes modales, signe qui change lorsqu’un actionneur franchit une ligne nodale (voir Fig.4.15 pour une fonction d’´evaluation typique). Pour ce genre de probl`eme, les m´ethodes classiques d’optimisation, susceptibles de conver- ger vers des extremum locaux, ont fait place aux algorithmes g´en´etiques qui se

(21)

4 Optimisation d’un syst`emeSISO 75

sont r´ev´el´es efficaces pour des applications en contrˆole acoustique actif [81, 92, 93], et en contrˆole vibroacoustique [94, 95, 96, 97, 98].

La tˆache principale lorsqu’on met en oeuvre un algorithme g´en´etique est la formu- lation de la fonction d’´evaluation d’un individu. Cette fonction doit ˆetre simple

`a calculer car elle est ´evalu´ee un grand nombre de fois `a chaque it´eration de l’algorithme. D’autre part, elle doit refl´eter de mani`ere ad´equate les contraintes impos´ees `a la fonction de transfert souhait´ee. Cette fonction d’´evaluation sera maximis´ee par l’algorithme g´en´etique.

La fonction d’´evaluation utilis´ee ici est bas´ee sur l’expansion modale de la fonc- tion de transfert entre le capteur de vitesse volum´etrique et la commande des actionneurs :

G(ω) = X i=1

φi(a)Vi

µii2−ω2+ 2jξiωωi) (4.18) o`u µi, ωi et ξi sont la masse modale, la fr´equence naturelle et l’amortissement modal du modei,Vi est le d´eplacement volum´etrique modal etφi(a) est l’ampli- tude modale `a l’emplacement de l’actionneur. Quand plusieurs actionneurs sont utilis´es en parall`ele, φi(a) est simplement la somme des amplitudes modales des diff´erents actionneurs `a leurs emplacements respectifs.

La contrainte des pˆoles et z´eros altern´es peut ˆetre ais´ement formul´ee en utilisant une propri´et´e des syst`emes SISO non amortis : si deux modes voisins ont des r´esidus de mˆeme signe dans l’expansion modale de la fonction de transfert en boucle ouverte, alors il y a toujours un z´ero imaginaire entre eux[99]. On d´efinit donc la fonction suivante qui doit ˆetre maximis´ee par l’algorithme g´en´etique :

F1=X

i

sign[φi(a)Vi] (4.19) o`usign(.) = 1,0,−1 selon le signe de l’argument. La somme suris’´etend `a tous les modes appartenant `a la bande fr´equentielle dans laquelle l’alternance est sou- hait´ee. MaximiserF1 est tout `a fait ´equivalent `a forcer des r´esidus positifs dans l’expansion modale (4.18).

Ensuite, une bonne contrˆolabilit´e des modes dans la bande passante requiert une amplitude modale ´elev´ee `a l’emplacement des actionneurs, pour tous les modes dans la bande passante. Ce r´esultat peut ˆetre obtenu en d´efinissant une deuxi`eme contribution `a la fonction d’´evaluation :

F2 =X

i

αii(a)| (4.20)

(22)

o`u lesαi sont des facteurs de pond´eration (positifs).

Pour terminer, afin de minimiser la contrˆolabilit´e dans la r´egion de la fr´equence de coupure (ωc) et l´eg`erement au del`a, une troisi`eme contribution est ajout´ee :

F3 =−X

j

βjj(a)| (4.21)

ce terme est n´egatif parce que la fonction d’´evaluation est maximis´ee ; lesβi sont

´egalement des facteurs de pond´eration. La fonction d’´evaluation globale s’exprime donc par :

F =F1+F2+F3 (4.22)

Notons que la fonction d’´evaluation ainsi ´etablie peut ˆetre calcul´ee directement

`a partir de la connaissance des formes modales ; on ´evite ainsi de recalculer les r´eponses fr´equentielles `a chaque it´eration. La limite entre les modes inclus dans les diff´erentes contributions de la fonction d’´evaluation est flexible ; certains modes pr`es de la fr´equence de coupure peuvent ˆetre inclus dansF1 pour guarantir l’al- ternance pˆoles/z´eros (stabilisation de phase), mais ´egalement dans F3, pour mi- nimiser leur effet sur la fonction de transfert en boucle ouverte.

0 5

10 15

20 25

y 300 10 20 30 40 50 60 70

x

−20

−18

−16

−14

−12

−10

−8

−6

−4

−2 0

F(x,y)

Fig.4.15 – Fonction d’´evaluationF (Equ.(4.22)) pour l’optimisation de l’empla- cement d’un actionneur ponctuel selon les conditions du paragraphe 4.5.2.2.

(23)

4 Optimisation d’un syst`emeSISO 77

4.5.2 Application `a une plaque simplement appuy´ee

La strat´egie d’optimisation d´ecrite ci-dessus a ´et´e appliqu´e au cas d’une vitre de 4 mm d’´epaisseur et de dimensions 1.28 m × 0.58 m (L×l). Il s’agit des dimensions standard d’un simple vitrage. L’´etude num´erique est r´ealis´ee ici avec un mod`ele analytique de la vitre simplement appuy´ee, et on suppose que nous disposons d’un capteur de d´eplacement volum´etrique parfait. La proc´edure d’op- timisation a ´et´e utilis´ee en consid´erant soit des actionneurs de force ponctuels, soit des c´eramiques piezo´electriques. Le nombre d’actionneurs envisag´e est de 1, 2 ou 4. L’objectif est de chercher une fonction de transfert respectant au mieux les crit`eres de la Fig.4.14.

4.5.2.1 Caract´erisation du vitrage

Le tableau 4.2 contient les fr´equences naturelles de la vitre. Les lignes gris´ees correspondent aux modes qui contribuent `a la vitesse volum´etrique. Les autres modes ne sont pas observables par le capteur.

Afin de d´efinir les objectifs, la Fig.4.16 montre la r´eponse du vitrage `a une ex- citation ponctuelle unitaire (balayage harmonique) localis´ee arbitrairement en x/L = 0.65 et y/l = 0.15. Dans une plage fr´equentielle de 250 Hz, que nous d´efinissons comme l’objectif du contrˆole actif, la vitesse volum´etrique (Fig.4.16.a) pr´esente trois pics, correspondant `a trois modes de vibration d’indices impairs- impairs qui appartiennent au premier mode radiatif. Si on se r´ef`ere au tableau 4.2, le nombre de modes structuraux dans cette mˆeme plage de fr´equence est de 9. Ceci se v´erifie dans l’´energie acoustique rayonn´ee Fig.4.16.b. Cette figure montre clairement que tous les modes structuraux contribuent au rayonnement acoustique, en fonction de leur rendement radiatif (Chap.2) et de la nature de l’excitation.

(24)

#1 mode F req Hz 1 (1,1) 36 Hz 2 (1,2) 54 Hz 3 (1,3) 85 Hz 4 (2,1) 125 Hz 5 (1,4) 127 Hz 6 (2,2) 143 Hz 7 (2,3) 173 Hz 8 (1,5) 182 Hz 9 (2,4) 216 Hz 10 (1,6) 249 Hz 11 (2,5) 271 Hz 12 (3,1) 273 Hz 13 (3,2) 291 Hz 14 (3,3) 322 Hz 15 (1,7) 328 Hz 16 (2,6) 338 Hz 17 (3,4) 364 Hz 18 (2,7) 417 Hz 19 (3,5) 419 Hz 20 (1,8) 420 Hz 21 (4,1) 481 Hz 22 (3,6) 486 Hz 23 (4,2) 499 Hz 24 (2,8) 508 Hz 25 (1,9) 523 Hz 26 (4,3) 529 Hz 27 (3,7) 565 Hz 28 (4,4) 572 Hz 29 (2,9) 612 Hz 30 (4,5) 627 Hz

Tab.4.2 – Fr´equences propres du vitrage.

(25)

4 Optimisation d’un syst`emeSISO 79

(a) (1,1)

Localisation actionneur

(1,3) (1,5)

(b)

Fig. 4.16 – R´eponse du vitrage `a une excitation ponctuelle (a) vitesse vo- lum´etrique (b) Puissance acoustique rayonn´ee.

(26)

4.5.2.2 Actionneurs de force ponctuels

La figure 4.17 montre la fonction de transfert en boucle ouverte pour un action- neur plac´e arbitrairement. L’allure de la fonction de transfert souhait´ee est celle de la Fig.4.14.

La bande de fr´equence des modes `a inclure dans F1 est choisie proche de 250 Hz de telle sorte `a inclure les trois premiers modes contribuant `a la vitesse vo- lum´etrique (mode 1 `a 36 Hz, 3 `a 85 Hz et 8 `a 182 Hz). On requiert une bonne contrˆolabilit´e des modes 1,3 et 8, et une contrˆolabilit´e minimale des modes 12, 14, 15, 19, 25, et 27.

La figure 4.18 montre la fonction de transfert en boucle ouverte apr`es optimisa- tion ainsi que la position optimale des actionneurs sur la vitre. Lorsque plus d’un actionneur sont utilis´es, une contrainte suppl´ementaire est ajout´ee `a la fonction d’´evaluation : comme le mod`ele analytique donne des formes modales parfaite- ment sym´etriques, il existe plusieurs solutions pour le mˆeme probl`eme d’opti- misation ; afin d’´eviter que plusieurs actionneurs se retrouvent `a la mˆeme place, on force la solution `a respecter une certaine sym´etrie (par exemple, dans le cas de 4 actionneurs, chaque actionneur doit ˆetre localis´e dans 1 quadrant). Le fait d’´eliminer un certain nombre de solutions pr´ealablement `a l’ex´ecution de l’al- gorithme g´en´etique afin d’acc´el´erer le processus d’optimisation est une r`egle de bonne pratique [100]. L’avantage d’imposer une r´epartition quasi-sym´etrique est que la participation modale des modes non observables est en quelque sorte mi- nimis´ee, limitant ainsi un possible spillover de contrˆole.

Dans chacun des cas ´etudi´es, une alternance pˆoles/z´eros est facilement obtenue, mais l’utilisation d’un plus grand nombre d’actionneurs tend `a am´eliorer le com- portement de la fonction de transfert au-del`a de la fr´equence de coupure, autori- sant ´eventuellement des gains plus ´elev´es pour le contrˆole. On se limite toutefois

`a 4 actionneurs pour des raisons pratiques.

Une id´ee de l’efficacit´e modale d’une configuration d’actionneurs pour les diff´erents modes peut ˆetre obtenue en calculant le rapport

ei= Pna

j=1φi(j)

naφimax (4.23)

o`uφi(j) est l’amplitude du modei`a l’actionneurj,naest le nombre d’actionneurs fonctionnant en parall`ele etφimax est l’amplitude maximum pour le modei. Les valeurs deei pour les configurations optimales sont r´esum´ees dans le tableau 4.3.

On constate que l’efficacit´e modale des configurations optimales sont faibles pour

(27)

4 Optimisation d’un syst`emeSISO 81

-180 -160 -140 -120 -100 -80

10 100 1000

dB

Amplitude

-720 -540 -360 -180 0

10 100 1000

degrees

Hz

Phase

Fig. 4.17 – Fonction de transfert en boucle ouverte pour 1 actionneur de force localis´e arbitrairement.

les modes dont on a minimis´e la contrˆolabilit´e (le mode 35 n’a volontairement pas ´et´e inclus dans le processus d’optimisation).

4.5.2.3 Actionneurs piezo´electriques

Le mˆeme probl`eme a ´et´e ´etudi´e en utilisant des actionneurs piezo´electriques rec- tangulaires, et le mˆeme ensemble de modes a ´et´e s´electionn´e pour le calcul deF1, F2 etF3. Les dimensions des c´eramiques piezo´electriques sont 25 x 13.75mm, et l’orientation est fixe par rapport `a l’orientation de la plaque. La figure 4.19 montre la fonction de transfert en boucle ouverte apr`es optimisation ainsi que la position optimale des actionneurs sur la vitre pour 1, 2 et 4 actionneurs. Une alternance pˆoles/z´eros est obtenue jusqu’`a 500 Hz dans tous les cas. On remarque que les actionneurs piezo´electriques fournissent moins deroll-offau del`a de la fr´equence de coupure ; nous verrons plus loin quelles en sont les cons´equences au niveau des performances en boucle ferm´ee. Les valeurs deeipour les configurations optimales sont r´esum´ees au tableau 4.4.

(28)

actionneur(s)

mode Hz 1 2 4

1 36 0.33 0.37 0.40 3 85 0.80 0.73 0.70 8 182 0.80 0.44 0.33

12 273 0 0 0

14 322 0 0 0.02

15 328 0.33 0 0.02

19 419 0 0 0.02

25 523 0.33 0 0.02

27 565 0 0 0.02

35 748 0.33 0.33 0.15

Tab.4.3 – Efficacit´e modaleeides configurations optimales (actionneurs de force ponctuels).

actionneur(s)

mode Hz 1 2 4

1 36 0.33 0.20 0.35 3 85 0.79 0.49 0.71 8 182 0.82 0.50 0.48

12 273 0 0.04 0

14 322 0 0.10 0.20

15 328 0.39 0.23 0.07

19 419 0 0.08 0.03

25 523 0.26 0.01 0.05

27 565 0 0.02 0.03

35 748 0.33 0.07 0.16

Tab. 4.4 – Efficacit´e modale ei des configurations optimales (actionneurs piezo´electriques).

(29)

4 Optimisation d’un syst`emeSISO 83

-180 -160 -140 -120 -100 -80

10 100 1000

dB

Amplitude

-360 -270 -180 -90 0

10 100 1000

degrees

Hz

Phase

(a)

-180 -160 -140 -120 -100 -80

10 100 1000

dB

Amplitude

-360 -270 -180 -90 0

10 100 1000

degrees

Hz

Phase

(b)

-170 -150 -130 -110 -90 -70

10 100 1000

dB

Amplitude

-360 -270 -180 -90 0

10 100 1000

degrees

Hz

Phase

(c)

Fig. 4.18 – R´eponses fr´equentielles en boucle ouverte et positions optimales des actionneurs pour 1, 2 et 4 actionneurs de force.

(30)

-230 -210 -190 -170 -150

10 100 1000

dB

Amplitude

-360 -270 -180 -90 0

10 100 1000

degrees

Hz

Phase

(a)

-230 -210 -190 -170 -150

10 100 1000

dB

Amplitude

-360 -270 -180 -90 0

10 100 1000

degrees

Hz

Phase

(b)

-210 -190 -170 -150 -130

10 100 1000

dB

Amplitude

-360 -270 -180 -90 0

10 100 1000

degrees

Hz

Phase

(c)

Fig.4.19 – R´eponses fr´equentielles en boucle ouverte et positions optimales des actionneurs pour 1, 2 et 4 actionneurs piezo´electriques.

(31)

4 Optimisation d’un syst`emeSISO 85

4.5.3 Contrˆoleur `a faible autorit´e

Jusqu’ici, en utilisant un capteur de d´eplacement volum´etrique ainsi que la proc´e- dure d’optimisation pour placer les diff´erents actionneurs fonctionnant en pa- rall`ele, nous avons obtenu une syst`emeSISOavec alternance de pˆoles et de z´eros dans une certaine bande passante, une bonne contrˆolabilit´e et un roll-offraison- nable en hautes fr´equences. Cette situation est typique des syst`emes dont les actionneurs et capteurs sont colocalis´es, et pour lesquels des contrˆoleurs `a faible autorit´e fonctionnent bien (voir [26], Chap.5).

Nous allons illustrer notre strat´egie de contrˆole avec un compensateur Lead qui est insensible aux variations des fr´equences naturelles des modes de la struc- ture se situant dans la bande passante (c’est la cause premi`ere d’incertitude en contrˆole des structures). Ce compensateur s’applique lorsque nous mesurons un d´eplacement volum´etrique. Dans le cas o`u on mesure la vitesse volum´etrique, une r´etroaction directe de vitesse est sensiblement ´equivalente.

Les trois param`etresg,T etα du compensateur H(s) =g T s+ 1

αT s+ 1 α <1 (4.24) sont d´etermin´es comme suit.T etα sont fix´es pour obtenir une avance de phase sur la bande passante ; le gain est d´etermin´e pour avoir une marge de gain sup´erieur `a 10 dB. La fonction de transfert en boucle ouverte du syst`eme et du compensateur en s´erie (GH) est repr´esent´ee `a la figure 4.21. La marge de phase est de 65 degr´es.

H

f

1

T 1aT

90°

wc

g

1 aT

Fig. 4.20 – R´eponse fr´equentielle duLead.

(32)

-30 -20 -10 0 10 20 30 40

10 100 1000

12 dB

65°

dB

module

-250 -200 -150 -100 -50 0 50

10 100 1000

degrees

Hz

phase amplitude

Fig.4.21 – R´eponse fr´equentielle de GH en boucle ouverte (compensateur Lead - 4 actionneurs de force ponctuels).

4.5.3.1 Actionneurs de force ponctuels

Les performances du contrˆoleur sont ´evalu´ees par rapport `a une perturbation en onde plane agissant sur une portion de la vitre, de telle mani`ere `a exciter tous les modes.

La fonction de transfert entre la perturbation acoustique et le d´eplacement vo- lum´etrique est repr´esent´ee `a la figure 4.22 pour le cas avec 4 actionneurs de force ponctuels. On y trouve ´egalement la puissance acoustique rayonn´ee cal- cul´ee en discr´etisant la plaque en 288 (12×24) petits ´el´ements rayonnants (voir section 2.2.3). Comme attendu, l’att´enuation acoustique est limit´ee aux modes participant au d´eplacement volum´etrique ; certains modes ne contribuant pas au d´eplacement volum´etrique contribuent par contre au rayonnemment acoustique ; ces modes peuvent ˆetre excit´es par la perturbation mais ´egalement par les action- neurs (selon la configuration de ceux-ci). Cependant, `a la figure 4.22, on constate peu de spillover dans la bande de fr´equence 500 Hz - 1000 Hz. La figure 4.23 montre l’att´enuation en bandes de 1/3 d’octave en dB.

Ces r´esultats semblent confirmer la bonne corr´elation entre l’att´enuation du d´eplacement volum´etrique et de la puissance acoustique rayonn´ee, aux basses fr´equences.

(33)

4 Optimisation d’un syst`emeSISO 87

-240 -220 -200 -180 -160 -140 -120

10 100 1000

dB

Hz

(a) disturbance to volume displacement FRF

without control with lead control

-10 0 10 20 30 40 50 60

10 100 1000

dB

Hz

(b) disturbance to radiated sound power FRF

without control with lead control

Fig. 4.22 – R´eponse `a une perturbation (4 actionneurs de force ponctuels).

-5 5 15 25

16 50 100 200 500 1000

dB

Hz

Volume displacement Sound power

Fig.4.23 – Att´enuation en bandes de 1/3 d’octave en dB (4 actionneurs de force ponctuels).

(34)

4.5.3.2 Actionneurs piezo´electriques

La figure 4.24 montre les mˆemes informations que la figure 4.22 pour une confi- guration optimale de 4 actionneurs piezo´electriques. On note que ces actionneurs pr´esentent un couplage fort avec les modes d’indice ´elev´e. La figure 4.25 montre les att´enuations en bandes de 1/3 d’octave. Lespilloverau del`a de la bande pas- sante est plus important qu’avec les actionneurs ponctuels.

Le tableau 4.5 donne les att´enuation obtenues pour diff´erentes bandes fr´equen- tielles et configurations d’actionneurs. On remarque que les performances sont meilleures avec des actionneurs de force ponctuels et qu’elles augmentent avec le nombre d’actionneurs utilis´es.

-240 -220 -200 -180 -160 -140 -120

10 100 1000

dB

Hz

(a) disturbance to volume displacement FRF

without control with lead control

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

10 100 1000

dB

Hz

(b) disturbance to radiated sound power FRF

without control with lead control

Fig.4.24 – R´eponse `a une perturbation (4 actionneurs piezo´electriques).

(35)

4 Conclusions 89

-5 5 15 25

16 50 100 200 500 1000

dB

Hz

Volume displacement Sound power

Fig. 4.25 – Att´enuation en bandes de 1/3 d’octave en dB (4 actionneurs piezo´electriques).

13-56 Hz 13-224 Hz 13-1120 Hz Vol. Puiss Vol. Puiss Vol. Puiss

1 14.5 17 12 4.5 11.2 0.9

force 2 18 21 14 7.5 12.9 2

4 26 30 19 9 13.9 2.4

1 5 7 4 4 3.9 0.7

piezo 2 8 10 7 5 5.6 1.1

4 10.5 12.5 8.5 6 7.8 1.2

Tab. 4.5 – Att´enuation globale de la vitesse volum´etrique et de la puissance acoustique rayonn´ee (en dB) pour diff´erentes bandes fr´equentielles et configura- tions d’actionneurs (contrˆoleur Lead).

4.6 Conclusions

Le contrˆole `a faible autorit´e bas´e sur des notions de colocalisation des actionneurs et des capteurs, de contrˆole d´ecentralis´e et de stabilit´e garantie, constitue une al- ternative au contrˆole optimal n´ecessitant des filtres radiatifs et un mod`ele plus ou moins sophistiqu´e de la structure. Pour ces deux approches fondamentalement diff´erentes, une synth`ese de la litt´erature a ´et´e pr´esent´ee.

Les propri´et´es du contrˆole par anticipation (feedforward contrˆole) ont ´egalement

´et´e pr´esent´ees en raison de son usage fr´equent en laboratoire et de sa simplicit´e d’impl´ementation. Nous avons montr´e par une exp´erience la compl´ementarit´e des contrˆolesfeedforward etfeedback.

(36)

La strat´egie de contrˆoleSISO sur laquelle est centr´ee cette th`ese allie une notion bien connue qu’est la vitesse volum´etrique au principe du contrˆole `a faible auto- rit´e. Bien que le syst`eme de contrˆole ne soit pas constitu´e de capteurs et d’action- neurs colocalis´es, on en force le comportement par une proc´edure d’optimisation de la position des actionneurs pilot´es en parall`ele. Les simulation num´eriques r´ealis´ees ont montr´e que dans l’hypoth`ese d’un syst`eme id´eal, le contrˆole de la vitesse volum´etrique d’un vitrage m`ene effectivement `a une r´eduction du bruit rayonn´e aux basses fr´equences. Cette r´eduction du rayonnement acoustique reste cependant confin´ee `a une plage fr´equentielle assez ´etroite, et son influence dans le calcul d’un niveau d’att´enuation global sur une plage fr´equentielle plus large se r´eduit `a peu de choses (la situation serait encore moins favorable si le calcul

´etait effectu´e en dBA).

Au chapitre suivant nous allons ´evaluer les possibilit´es exp´erimentales de cette strat´egie de contrˆole.

Références

Documents relatifs

On suppose que f n’est pas major´ ee.. On suppose maintenant que f est

En d´ eduire que (a n ) est major´ ee et que (b n ) est minor´ ee (on donnera des bornes les plus

Montrer que f est uniform´ ement continue sur

Si la suite n(k) tend vers +∞, les arguments de la question pr´ ec´ edente montre que x k doit tendre vers ±15. Comme A est non vide et major´ e, sup

Montrons que U ∪ {0} est un ferm´ e, ce qui montrera qu’il est l’adh´ erence de U puisqu’on ne peut pas faire de plus petit ferm´ e contenant U.. Consid´ erons une suite qui

On va raisonner par analyse-synth` ese en supposant qu’on dispose d’une fonction f v´ erifiant ces propri´ et´ es.. Montrer qu’une fonction circulaire continue est uniform´

Dans cette question, on se restreint aux polynˆ omes de degr´ e au

[r]