Universit´e de Toulouse III, FSI - D´epartement de Math´ematiques Licence 2, module “Calcul scientifique” , 2013-2014
Projet “Calcul num´ erique d’un temps de descente”
Novembre 2013
Dans ce projet on s’int´eresse au calcul approch´e du temps de descente d’une bille sur un tobbo- gan, dont la forme est donn´ee. Diff´erentes m´ethodes du calcul num´erique d’une int´egrale sont d´ecrites et sont `a impl´ementer et `a comparer.
On consid`ere un tobbogan, dont la forme est donn´ee par la fonction suivante : y: [0,1]→R, y0(x)60 ∀x∈[0,1].
Une bille est lˆach´ee du haut du tobbogan, sans vitesse initiale. On souhaite connaˆıtre le temps Tf qu’elle met pour arriver en bas du tobbogan.
Figure 1 – Tobbogan
1. Calcul analytique du temps de descente
Supposons que la bille a la masse m et se d´eplace sans frottement sur la courbe y(x). Pour retrouver le temps finalTf de descente, on va proc´eder par ´etapes.
1. ´Etape : Longueur s(x0) parcourue par la bille jusqu’`a l’endroit (x0, y(x0)) sur la courbe.
On peut facilement comprendre, en regardant la Fig. 1, qu’on a la relation suivante ds
dx =p
1 + [y0(x)]2 ⇒s(x0) = Z x0
0
p1 + [y0(x)]2dx .
2. ´Etape : Temps de descente t(x0) jusqu’`a l’endroit (x0, y(x0)) sur la courbe.
La vitesse de d´eplacement de la bille est donn´ee par v(t) =s0(t) = ds
dt .
Afin de d´eterminer le temps de descente, on va effectuer un bilan d’´energie Ecin+Epot = 1
2mv2(t) +mgy(t) =mgy(0) =Etot, 1
o`ug = 9.81 est la constante de gravit´e. Ce bilan d’´energie nous permet de calculer la vitesse ds
dt =v(t) =p
2g[y(0)−y(t)], ce qui m`ene au temps de descente
t(x0) =
Z t(x0)
0
dt=
Z s(x0)
0
ds
p2g[y(0)−y(s)] = Z x0
0
p1 + [y0(x)]2 p2g[y(0)−y(x)]dx . Le temps final de descente que l’on recherche est finalement donn´e par la formule
Tf = Z 1
0
p1 +y0(x)2
p2g(y(0)−y(x))dx . (1)
2. Calcul approch´e de l’int´egrale
L’int´egrale (1) ne pouvant pas en g´en´eral ˆetre calcul´e de mani`ere exacte, on va devoir faire appel `a des m´ethodes num´eriques. Pour cela, on va discr´etiser le domaine de calcul [0, L], o`u L= 1 dans notre cas, en
xi = (i−1)∗∆x , i= 1,· · · , Nx, ∆x= L (Nx−1), et on va noter la fonction `a int´egrer par f(x) :=
√
1+y0(x)2
√
2g(y(0)−y(x)), ainsi que les valeurs f(xi) sim- plement par fi. Donner une explication des m´ethodes de quadrature suivantes :
1. M´ethode des rectangles `a gauche/ `a droite :
Tf,Rg := ∆x
Nx−1
X
i=1
fi, Tf,Rd := ∆x
Nx
X
i=2
fi, 2. M´ethode des trap`ezes :
Tf,T := ∆x 1 2f1+
Nx−1
X
i=2
fi+1 2fNx
! .
3. M´ethode de Simpson : On se place dans le cadre o`u Nx= 2m+ 1.
Tf,S := ∆x
6 f1+ 2
m−1
X
i=1
f2i+ 4
m−1
X
i=1
f2i+1+fNx
! .
3. Application et comparaison des diff´erentes m´ethodes
Utiliser les trois m´ethodes de quadrature d´efinies ci-dessus, pour calculer le temps de descente de la bille, Tf, pour les trois tobbogans suivants (“droit”, “raide” et “doux”) :
y1(x) := 1−x , y2(x) = 1−√
x , y3(x) = 1−1
2x3/2(5−3x).
Faˆıtes une repr´esentation des trois tobbogans, et commenter les temps de descentes trouv´es.
Comparer aussi les trois m´ethodes de quadrature, en ce qui concerne le temps de calcul et la pr´ecision.
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Difficult´e :
La fonction `a int´egrer f est singuli`ere en x= 0. Pour ´eviter les soucis d’int´egration autour de x= 0, on va d´ecomposer l’int´egrale Tf en deux parties
Tf =Tf,1+Tf,2 = Z δ
0
f(x)dx+ Z 1
δ
f(x)dx ,
et on utilisera pour le calcul de Tf,2 les formules de quadrature d´efinies plus haut, tandis que pour Tf,1, il faut avoir recours `a une autre id´ee. La valeur de δ > 0 est `a choisir de mani`ere appropri´ee.
Concernant le calcul deTf,1, essayer de trouver le comportement asymptotique de la fonctionf dans un voisinage de x= 0, c.`a.d. essayer de trouver une autre fonction g tq. f ∼g autour de x= 0 et tq.g soit simple `a int´egrer, par ex. `a int´egrer analytiquement. Int´egrer `a ce moment-l`a g au lieu de f dans l’intervalle (0, δ) et tester votre r´esultat num´erique pour Tf pour plusieurs valeurs de δ.
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