Calcul : fiche de m´ ethodes
1 R´ esolution d’´ equation du 1er degr´ e
On veut r´esoudre une ´equation du premier degr´e `a une inconnue (x). On a le droitd’ajouter ou desoustrairele mˆeme nombre `a gauche et `a droite de l’´egalit´e, et demultiplieroudiviser par le mˆeme nombre non nul `a gauche et `a droite.
Exemple : 3x+ 7 = 2(1−x).
M´ ethode :
On cherche `aisoler le terme en xdans le membre de gauche. Pour cela :
• On d´eveloppe les termes factoris´es : 3x+ 7 = 2−2x.
• On regroupe les termes enx`a gauche : 3x+ 7 + 2x= 2−2x+ 2x 5x+ 7 = 2.
• On regroupe les termes constants `a droite : 5x+ 7−7 = 2−7 5x=−5.
• On divise des deux cˆot´es par le coefficient devantx: 5x5 =−55 x=−1.
Exos
R´esoudre les ´equations :a)−(1−x) = 2,b)3(1−x) = 6,c)40+x= 2(14+x)d)4x+3 = 2−2x, e)−(3x+ 2) = 3−52x
2 Simplification de fractions
On veut r´eduire une expression comportant des sommes, produits, quotients de fractions et d’entiers. Il faut connaˆıtre les r`egles du calcul fractionnaire et les r`egles de priorit´e (×prioritaire sur + par ex.) pour faire les op´erations dans l’ordre.
Exemple : Simplifier 3+11 +34×1+81 3 + 1.
M´ ethode :
• On simplifie dans les parenth`eses (implicites ou non) 3+11 +34×1+813 + 1 =
1
4+34× 843 + 1=
• Ensuite on simplifie les quotients et produits 14+34×43×18+ 1=
1
4+18+ 1=
• On simplifie les sommes restantes 28+18+88=
11 8.
• On simplifie si n´ecessaire en une fraction irr´eductible.
Exos
Simplifier les fractions :a)1 +5472,b)−151 +25, c) 28
−3 d) 12+5+13 × 28
−3
1
3 Simplification de radicaux
On veut simplifier une ´ecriture faisant intervenir un radical (exemple :√
63 et l’´ecrire sous la formea√
bo`uaetb sont des entiers naturels,baussi petit que possible. (dans l’exemple ce sera : 3√
7).
M´ ethode :
• Premi`ere m´ethode: on v´erifie si le radicande
est divisible par un carr´e parfait (4,9,16,25,36,49,...) 63 divisible par 9
• On s´epare la racine du produit en le produit des racines √ 63 =√
7×9 =√ 7√
9
• On simplifie la racine du carr´e parfait √
63 = 3√ 7.
• On a obtenu une expression du typea√ b On recommence pourbsi n´ecessaire.
• Deuxi`eme m´ethode:
D´ecomposer le radicande en facteurs premiers 252 = 7×32×22
• S´eparer les termes d’exposant pair et impair √
252 =p
(7)×(3222)
• S´eparer la racine du produit en produit des racines : √
252 =√ 7×√
3222
• Simplifier la racine du carr´e... : √
252 =√ 7p
(3×2)2
=√ 62√
7 = 6√ 7
Exos
Simplifier les expressions :a)√
32,b)√
121,c) √
72,d) √√7298.
4 D´ eterminer la nature d’un nombre
On veut le plus petit des ensembles auquel appartient un nombre, parmiN,Z,D,Q,R. Exemple : quelle est la nature dex=√√128 ×−21 + 1. Le principe est de simplifier au maximum l’´ecriture avant de d´ecider.
M´ ethode :
• On simplifie les radicaux : x= 22√√32 ×−21 + 1
• On simplifie les fractions : x=−12√√32+ 1.
• S’il reste des racines ou desπqu’on ne peut simplifier xest un irrationnel (comme dans l’exemple)
• S’il reste un quotient pq de deux entiers :
− Si qdivisep,xest unentier relatifsi pq <0, unentier naturelsi pq ≥0.
− Sinon si la div. depparqne s’arrˆete jamaisxestrationnel.
et si la division depparqs’arrˆete :xestd´ecimal.
Exos
Exercices 18, 19, 20, 21 p. 28
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