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Pertes et gains de charge

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Pertes et gains de charge

Cours de Mécanique des fluides

Olivier LOUISNARD

(2)

Objectifs

• Comprendre l'origine et quantifier les pertes d’énergie dans un écoulement en tuyauterie

• Quantifier les échanges entre le fluide et des machines tournantes

réceptrices (turbines, éoliennes) génératrices (pompes)

On va démontrer et utiliser un outil simple :

Formule de Bernoulli généralisée

(3)

Plan du cours

Rappel de la conservation de l’énergie pour un fluide

=> premier principe en système ouvert

Théorème de l’énergie cinétique pour un fluide.

Application à une tuyauterie en présence d’une machine

Cas du fluide incompressible : formule de Bernoulli généralisée

Application : pertes de charge Régulières (le long d’un tube)

Singulière (dans un accident géométrique)

Gain de charge Pompe

(4)

Rappel: conservation de l’énergie

Energie totale transportée par le fluide rentrante - sortante Variation d’énergie totale

du fluide dans le volume V

+

Puissance du poids

Puissance des forces de

pression

Puissance des frottements

visqueux

V S

dS n v n v

w

w

Dans le

cas où S surface mobile avec une vitesse

w

=> change

v

en

v - w

dans le terme convectif

Remarque : Valable sans hypothèse sur

le fluide

(5)

Application: tuyauterie + machine

Rappel :

(démontré dans le poly)

V

n v

n v Ss

Se

Su

K énergie cinétique fluide dans V U énergie interne fluide dans V

puissance Fpression hélice/ fluide puissance Fvisqueux hélice/ fluide

(admis, cf.

cours 7)

+

(6)

Premier principe en système ouvert

On obtient :

Soit en utilisant la définition de l’enthalpie massique :

Il fait intervenir la puissance des forces extérieures (Se + Ss + Su)

Enthalpie, car on a séparé les puissances de forces de pression sur Se et Ss de la puissance des forces sur Su

Il ne dit rien sur les pertes par frottement au coeur du fluide (= puissances de forces intérieures)

C’est le premier principe de la thermo en système ouvert !

puissance totale hélice/ fluide

V n

v

n v Ss

Se

Su

(7)

Théorème de l’énergie cinétique

Lié à la compressibilité

> 0 si détente

< 0 si compression nul en incompressible

Variation d’énergie cinétique du fluide

dans le volume V

Energie cinétique transportée par le fluide

rentrante - sortante

Puissance du poids

Puissance des forces de pression externes

Puissance des frottements visqueux externes

Puissance des forces de pression internes

Puissance des frottements visqueux internes

Fonction de dissipation Fv toujours > 0

Rappel pour un système fermé :

Le premier principe dit que :

Le théorème de l’En. Cin. dit que :

(8)

Thme énergie cinétique : tuyauterie + machine

Débit d’énergie mécanique entrant

Débit d’énergie mécanique sortant Variation énergie

cinétique + potentielle de

pesanteur

Opposé de l’énergie potentielle de compression

Puissance perdue par frottement

visqueux > 0

Puissance fournie (>0) ou cédée (<0) par la machine

V

n v

n v Ss

Se

Su

(9)

Formule de Bernoulli généralisée

On suppose de plus :

Charge à l’entrée Puissance prélévée (< 0) ou cédée (> 0)

par la machine

Puissance perdue par frottement visqueux (> 0)

=> Perte de charge

• fluide incompressible :

Charge à la sortie

Remarque : c’est une généralisation de la formule de Bernoulli

Charge = Energie mécanique par unité de volume (homogène à une pression)

• on moyenne sur un cycle de la machine

=> régime périodique = « pseudo-permanent »

(10)

Formule de Bernoulli généralisée

Charge à la sortie

Ps

Charge à l’entrée

Pe

Hauteur de charge à

la sortie Hs

Hauteur de charge à

l’entrée He

En divisant par rg, on peut reformuler avec la "hauteur de charge"

On exprime tout en termes de hauteurs. C’est un artifice.

L’écoulement peut très bien être purement horizontal

> 0

> 0

< 0

Vaut 0 si

fluide parfait sans machine...

Bernoulli !

> 0

> 0

< 0

(11)

Pertes de charge linéiques

Dites aussi « régulières » ou « en ligne »

Décrivent la perte d’énergie le long d’un tuyau

D

L

En fluide parfait, Bernoulli prédirait :

p

e

p

s

La pression diminue le long de l’écoulement

Attention : ce n’est pas la vitesse qui diminue ! vS = Cte

En fluide réel, Bernoulli généralisé :

(12)

Pertes de charge linéiques (suite)

D

L

p

e

v p

s

Cette formule ne dit rien de plus !

Elle ramène le calcul de hv (hauteur) à celui de f (sans dimension) f coefficient de perte de charge = f (Re, e/D), e rugosité du tube

Hagen-Poiseuille

Exact en laminaire (Re < 2300) (on le montrera...)

Analyse dimensionnelle :

Colebrook-White. Turbulent, précis mais implicite

(e = rugosité tuyau en m)

Comment estimer ?

Haaland. Turbulent, moins précis, mais explicite.

Blasius

Turbulent tube lisse 2300 < Re < 105 Approximatif.

(13)

Diagramme de moody

Transition

laminaire/turbulent pour Re = 2300

Donne f ( Re , e/D)

f

f presque

indépendant de Re pour Re élevé

Re

Laminaire

Turbulent

e/D

Rugosité

relative

(14)

Pertes de charge singulières

Lié à un « accident » sur a tuyauterie (rétrécissement, coude, robinet ...)

Analyse dimensionnelle :

Cette formule ne dit rien de plus !

Elle ramène le calcul de hv (hauteur) à celui de ev (sans dimension) ev dépend :

de Re (peu en turbulent)

de la géométrie de la singularité

(15)

Pertes de charge singulières

Référence

vitesse amont

Référence vitesse aval

(16)

Pertes de charge : la bible

(17)

Gains de charge : pompes

Une pompe augmente l’énergie mécanique du fluide

• Dans cet exemple, la pompe augmente la pression du fluide

• Exactement l’inverse d’une perte de charge

D D

(18)

Caractéristique d’une pompe

Attention : la puissance délivrée par une pompe dépend du débit

Dépendance environ parabolique

(débit nul =>

puissance nulle)

MAIS

(19)

Application aux réseaux de fluide

Equation implicite sur le débit

Gain de charge pompe

Pertes de charge régulières

Pertes de charge singulières

(20)

Application aux réseaux de fluide

Mêmes concepts qu’en électricité :

Lois des mailles (Dcharge <=> DV) Lois des noeuds (débit = courant) MAIS

Equations non linéaires

Mêmes problèmes complexes :

Changements de topologie

Théorie des graphes

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