Pertes et gains de charge
Cours de Mécanique des fluides
Olivier LOUISNARD
Objectifs
• Comprendre l'origine et quantifier les pertes d’énergie dans un écoulement en tuyauterie
• Quantifier les échanges entre le fluide et des machines tournantes
réceptrices (turbines, éoliennes) génératrices (pompes)
On va démontrer et utiliser un outil simple :
Formule de Bernoulli généralisée
Plan du cours
Rappel de la conservation de l’énergie pour un fluide
=> premier principe en système ouvert
Théorème de l’énergie cinétique pour un fluide.
Application à une tuyauterie en présence d’une machine
Cas du fluide incompressible : formule de Bernoulli généralisée
Application : pertes de charge Régulières (le long d’un tube)
Singulière (dans un accident géométrique)
Gain de charge Pompe
Rappel: conservation de l’énergie
Energie totale transportée par le fluide rentrante - sortante Variation d’énergie totale
du fluide dans le volume V
+
Puissance du poids
Puissance des forces de
pression
Puissance des frottements
visqueux
V S
dS n v n v
w
w
Dans le
cas où S surface mobile avec une vitessew
=> change
v
env - w
dans le terme convectifRemarque : Valable sans hypothèse sur
le fluide
Application: tuyauterie + machine
Rappel :
(démontré dans le poly)
V
n v
n v Ss
Se
Su
K énergie cinétique fluide dans V U énergie interne fluide dans V
puissance Fpression hélice/ fluide puissance Fvisqueux hélice/ fluide
(admis, cf.
cours 7)
+
Premier principe en système ouvert
On obtient :
Soit en utilisant la définition de l’enthalpie massique :
• Il fait intervenir la puissance des forces extérieures (Se + Ss + Su)
• Enthalpie, car on a séparé les puissances de forces de pression sur Se et Ss de la puissance des forces sur Su
• Il ne dit rien sur les pertes par frottement au coeur du fluide (= puissances de forces intérieures)
C’est le premier principe de la thermo en système ouvert !
puissance totale hélice/ fluide
V n
v
n v Ss
Se
Su
Théorème de l’énergie cinétique
Lié à la compressibilité
> 0 si détente
< 0 si compression nul en incompressible
Variation d’énergie cinétique du fluide
dans le volume V
Energie cinétique transportée par le fluide
rentrante - sortante
Puissance du poids
Puissance des forces de pression externes
Puissance des frottements visqueux externes
Puissance des forces de pression internes
Puissance des frottements visqueux internes
Fonction de dissipation Fv toujours > 0
Rappel pour un système fermé :
Le premier principe dit que :
Le théorème de l’En. Cin. dit que :
Thme énergie cinétique : tuyauterie + machine
Débit d’énergie mécanique entrant
Débit d’énergie mécanique sortant Variation énergie
cinétique + potentielle de
pesanteur
Opposé de l’énergie potentielle de compression
Puissance perdue par frottement
visqueux > 0
Puissance fournie (>0) ou cédée (<0) par la machine
V
n v
n v Ss
Se
Su
Formule de Bernoulli généralisée
On suppose de plus :
Charge à l’entrée Puissance prélévée (< 0) ou cédée (> 0)
par la machine
Puissance perdue par frottement visqueux (> 0)
=> Perte de charge
• fluide incompressible :
Charge à la sortie
Remarque : c’est une généralisation de la formule de Bernoulli
Charge = Energie mécanique par unité de volume (homogène à une pression)
• on moyenne sur un cycle de la machine
=> régime périodique = « pseudo-permanent »
Formule de Bernoulli généralisée
Charge à la sortie
Ps
Charge à l’entrée
Pe
Hauteur de charge à
la sortie Hs
Hauteur de charge à
l’entrée He
En divisant par rg, on peut reformuler avec la "hauteur de charge"
On exprime tout en termes de hauteurs. C’est un artifice.
L’écoulement peut très bien être purement horizontal
> 0
> 0
< 0
Vaut 0 si
fluide parfait sans machine...
Bernoulli !
> 0
> 0
< 0
Pertes de charge linéiques
Dites aussi « régulières » ou « en ligne »
Décrivent la perte d’énergie le long d’un tuyau
D
L
En fluide parfait, Bernoulli prédirait :
p
ep
sLa pression diminue le long de l’écoulement
Attention : ce n’est pas la vitesse qui diminue ! vS = Cte
En fluide réel, Bernoulli généralisé :
Pertes de charge linéiques (suite)
D
L
p
ev p
sCette formule ne dit rien de plus !
Elle ramène le calcul de hv (hauteur) à celui de f (sans dimension) f coefficient de perte de charge = f (Re, e/D), e rugosité du tube
Hagen-Poiseuille
Exact en laminaire (Re < 2300) (on le montrera...)
Analyse dimensionnelle :
Colebrook-White. Turbulent, précis mais implicite
(e = rugosité tuyau en m)
Comment estimer ?
Haaland. Turbulent, moins précis, mais explicite.
Blasius
Turbulent tube lisse 2300 < Re < 105 Approximatif.
Diagramme de moody
Transition
laminaire/turbulent pour Re = 2300
Donne f ( Re , e/D)
f
f presque
indépendant de Re pour Re élevé
Re
Laminaire
Turbulent
e/D
Rugosité
relative
Pertes de charge singulières
Lié à un « accident » sur a tuyauterie (rétrécissement, coude, robinet ...)
Analyse dimensionnelle :
Cette formule ne dit rien de plus !
Elle ramène le calcul de hv (hauteur) à celui de ev (sans dimension) ev dépend :
de Re (peu en turbulent)
de la géométrie de la singularité
Pertes de charge singulières
Référence
vitesse amont
Référence vitesse aval
Pertes de charge : la bible
Gains de charge : pompes
Une pompe augmente l’énergie mécanique du fluide
• Dans cet exemple, la pompe augmente la pression du fluide
• Exactement l’inverse d’une perte de charge
D D
Caractéristique d’une pompe
Attention : la puissance délivrée par une pompe dépend du débit
Dépendance environ parabolique
(débit nul =>
puissance nulle)
MAIS
Application aux réseaux de fluide
Equation implicite sur le débit
Gain de charge pompe
Pertes de charge régulières
Pertes de charge singulières