I Pertes de charge dans les conduites

2016

Physique–Chimie 1

PSI

4 heures Calculatrices autorisées

Certaines questions, repérées par une barre en marge, ne sont pas guidées et demandent de l’initiative de la part du candidat. Elles sont très significativement valorisées dans le barème. Même si elles n’ont pas abouti, les pistes de recherche doivent être consignées par le candidat et seront valorisées si elles sont pertinentes. Le barème tient compte du temps nécessaire pour explorer ces pistes et élaborer un raisonnement.

Fin 2012, une société gérant la production et la distribution d’eau de l’agglomération du Grand Angoulême (110 000 habitants sur 16 communes) a décidé de substituer les deux moteurs asynchrones entrainant la pompe alimentant le château d’eau de Ruelle sur Touvre par un seul moteur synchrone à aimants permanents de puis- sance 350 W à 1500 tr⋅min⁻¹commandé par un variateur spécifique. Même s’il s’agit le plus souvent de régime continu, ce dernier participe à réduire la facture énergétique lors de variations de débit imposées. Les pertes rotoriques d’un moteur asynchrone (liées à la différence de vitesse entre le rotor et le champ statorique tournant (glissement)) représentent près du tiers des pertes totales. Les pertes dans un rotor à aimants permanents sont négligeables en comparaison et le variateur n’augmente la consommation énergétique que de 3%. La consomma- tion énergétique de l’installation est réduite de 10% par mètre cube transféré et l’installation peut assurer un débit de 115% de son régime nominal pendant les 8 h de tarif de nuit de consommation électrique. Une étude a montré que le surcoût lié à la vitesse variable serait amorti en 14 mois.

Dans ce sujet, nous nous intéresserons à une autre installation de même type. Après avoir évalué les pertes de charge dans les 8400 m de conduit reliant la pompe au château d’eau, nous proposerons une pompe centrifuge au point de fonctionnement convenable compte tenu du débit et de la hauteur manométrique totale. Une troisième partie sera consacrée à l’étude de principe d’un moteur synchrone à aimants permanents censé entrainer chacune des pompes.

I Pertes de charge dans les conduites

Hormis la question I.B.3 sur les pertes singulières, nous considérerons dans toute cette partie des conduites rectilignes à section circulaire constante.

I.A – Fluide en écoulement homogène incompressible laminaire

I.A.1) Que devient la relation de Bernoulli d’un fluide visqueux en régime laminaire station- naire ?

a) Rappeler les définitions d’un écoulement parfait de fluide, d’un écoulement homogène incompressible, d’un écoulement stationnaire.

b) Dans le cas d’unfluide parfaiten écoulement homogène incompressible stationnaire, retrouver la relation de Bernoulli à partir du premier principe de la thermodynamique exprimé relativement à un système ouvert en régime permanent. Préciser alors la grandeur volumique énergétique𝑒_u� uniforme sur une ligne de courant.

On lui associera une hauteur𝐻 appelée hauteur manométrique ou charge totale : 𝐻 = 𝑧 + 𝑝𝜌𝑔 + 𝑣²

2𝑔

où𝑧est l’altitude,𝑝la pression et𝑣la vitesse du fluide au point considéré,𝜌sa masse volumique et𝑔l’accélération de la pesanteur (𝑔 = 9,81 m⋅s^–2). Préciser la relation entre𝑒_u� et𝐻.

c) Dans quelles zones de l’écoulement laminaire d’un fluide réel, l’hypothèse d’un écoulement parfait est-elle inenvisageable ?

d) Si on tient compte de la viscosité du fluide incompressible et en postulant toujours un régime stationnaire, la grandeur volumique énergétique 𝑒_u� définie précédemment diminue de𝐴 à 𝐵 le long d’une ligne de courant.

Relier cette variation d’énergie volumique à une intégrale de circulation de 𝐴à 𝐵 de la densité volumique de force de viscosité𝑓_visc⃗ .

e) Dans un fluide incompressible visqueux, la densité volumique de force de viscosité s’écrit 𝑓_visc⃗ = 𝜂Δ ⃗𝑣, où𝜂 est la viscosité dynamique du fluide etΔ ⃗𝑣le laplacien vectoriel de la vitesse locale.

En déduire, sous forme intégrale, la variation𝐻(𝐵) − 𝐻(𝐴)de hauteur manométrique d’un point𝐴à un point 𝐵le long d’une ligne de courant allant de𝐴à𝐵. La quantitéΔ𝐻 = 𝐻(𝐴) − 𝐻(𝐵)(positive ou nulle) s’appelle la perte de charge.

I.A.2) Écoulement de Poiseuille

On étudie le cas particulier de l’écoulement laminaire d’un fluide visqueux incompressible dans une conduite rectiligne, de direction _u�⃗𝑒 horizontale, de section circulaire𝑆constante (de rayon𝑟₀). Compte tenu des symétries du problème, le champ des vitesses s’exprime sous la forme ⃗𝑣(𝑀) = 𝑣(𝑟, 𝑥) ⃗𝑒_u� où𝑟 = √𝑦²+ 𝑧² est la distance du point𝑀 à l’axe de révolution de la conduite.

a) Montrer que la vitesse𝑣(𝑟, 𝑥)ne peut dépendre de𝑥.

b) En supposant la perte de charge linéique uniforme tout au long de la conduite et en notant ∂𝐻

∂𝑥 = −𝑎(avec 𝑎 > 0), montrer que

𝑣(𝑟) = 𝑣_max(1 − ( 𝑟𝑟₀)²) avec 𝑣_max= 𝜌𝑔𝑎4𝜂 𝑟²⁰ Dans la symétrie du problème, on a

Δ ⃗𝑣 = Δ𝑣_{u� u�}⃗𝑒 = 1𝑟 ∂∂𝑟 (𝑟∂𝑣_u�

∂𝑟 ) ⃗𝑒^u�

c) La vitesse débitante 𝑈 sur une section droite est la vitesse qui, uniforme sur la section 𝑆, correspond au même débit volumique𝑄.

Exprimer cette vitesse en fonction de𝑣_max et en déduire𝑣(𝑟)en fonction du débit volumique𝑄de fluide dans la conduite.

d) On souhaite un débit d’environ 30 L⋅s⁻¹ dans une conduite de diamètre 𝐷 = 20 cm. Dans une conduite cylindrique, la transition laminaire turbulente se situe aux alentours de nombres de Reynolds de 2300 (dans l’expression du nombre de Reynolds, on choisira respectivement𝑈 et𝐷comme ordres de grandeur de la vitesse du fluide et de la dimension transversale de l’écoulement).

− Cas d’une huile (SAE-90) pour laquelle𝜂 = 0,17 Pa⋅s^–1 et𝜌 = 880 kg⋅m^–3

• Calculer la perte de charge linéique et donc la surpression nécessaire pour le transport de cette huile sur un tronçon de 50 m.

• Calculer le nombre de Reynolds de l’écoulement. Conclure.

− Cas de l’eau :𝜂 = 1,0 × 10^–3Pa⋅s^–1 et𝜌 = 1,0 × 10³kg⋅m^–3.

• Calculer le nombre de Reynolds de l’écoulement. Conclure.

I.B – Fluide visqueux homogène incompressible en régime turbulent I.B.1) Charge moyenne dans une section à symétrie de révolution

La charge𝐻, exprimée en un point 𝑀 de l’écoulement, apparait comme une fonction𝐻(𝑥, 𝑟)de𝑥et de 𝑟. On définit une charge moyenne𝐻(𝑥)¯ moyennée sur une section de conduite par

𝐻(𝑥) = ∬¯

section

𝐻(𝑥, 𝑟)d𝑄𝑄

où d𝑄 est le débit volumique traversant un élément de surfaced𝑆 de la section de la conduite et𝑄 le débit volumique total de la conduite.

Pour exprimer le terme cinétique de la charge en fonction de la vitesse débitante𝑈, on introduit le coefficient de Coriolis :𝛼 = 𝑃_{u� réelle}

𝑃u� uniforme, où𝑃_{u� réelle} est la puissance cinétique traversant la section𝑆 de conduite et𝑃u� uniforme

la puissance cinétique qui traverserait cette section pour une vitesse uniforme 𝑈 (chaque particule de fluide traverse la section𝑆 à la vitesse𝑣(𝑟), emportant avec elle son énergie cinétique volumique locale ¹₂𝜌𝑣²(𝑟)).

a) Montrer que𝛼 = 1 𝑈³𝑆 ∬

section

𝑣³(𝑟) d𝑆.

b) En déduire que la charge moyenne sur une section de l’écoulement (laminaire ou turbulent) s’écrit 𝐻 = 𝑧 + 𝑝¯ 𝜌𝑔 + 𝛼𝑈²

2𝑔

c) Calculer numériquement le coefficient de Coriolis pour l’écoulement uniforme et pour l’écoulement laminaire de Poiseuille.

d) Dans le cas de régimes turbulents courants, les valeurs du coefficient oscillent entre 1,05 et 1,20. Commenter.

I.B.2) Rugosité, diagramme de Moody

La perte de charge régulière moyenne, pour un écoulement incompressible dans une conduite circulaire rectiligne de longueur𝐿 et de diamètre𝐷, est donnée par

Δ ¯𝐻_u�= 𝑓 (𝑅_u�, 𝜀𝐷)𝐿 𝐷𝑈²

2𝑔

définissant ainsi le coefficient de perte de charge 𝑓 (𝑅_u�, 𝜀/𝐷) qui dépend du nombre de Reynolds 𝑅_u�, et par conséquent du régime d’écoulement, et de la rugosité relative 𝜀/𝐷 de la conduite. La valeur numérique de ce coefficient est donnée par le diagramme de Moody (figure 7), en fonction du nombre de Reynolds, pour différentes valeurs de la rugosité relative𝜀/𝐷(lue à droite du graphe).

La rugosité absolue𝜀a la dimension d’une hauteur sans toutefois représenter une hauteur moyenne des aspérités de la surface intérieure de la conduite : par exemple, pour des conduites métalliques rivetées, le revêtement a peu d’importance devant le nombre et l’écartement des files longitudinales et transversales de rivets.

a) Montrer que l’écoulement de Poiseuille conduit à𝑓 (𝑅_u�, 𝜀

𝐷) = 64 𝑅_u�.

Interpréter le fait que le coefficient de perte de charge ainsi obtenu ne dépend pas de la rugosité.

b) Pour relier la station de pompage au château d’eau, on installe une conduite en fonte de diamètre𝐷 = 20cm, de longueur𝐿 = 8,345 km. Dans les conditions nominales de fonctionnement, cette conduite débite𝑄 = 30 L⋅s^–1 d’eau. La rugosité de la conduite en fonte dépend de son état de surface, selon qu’elle est neuve ou plus ou moins corrodée. On distingue trois cas

− F1 « fonte neuve » :𝜀₁= 0,4 mm;

− F2 « fonte corrodée » :𝜀₂= 1,2 mm;

− F3 « fonte déposée » :𝜀₃= 1,6 mm.

En utilisant l’abaque de Moody, évaluer dans chacun de ces cas la perte de charge moyenne Δ ¯𝐻_u� de cette conduite dans ses conditions nominales d’utilisation (𝑄 = 30 L⋅s^–1).

I.B.3) Pertes singulières

Les pertes de charges singulières en régime turbulent peuvent s’écrire sous la forme Δ ¯𝐻_u�= 𝐾 𝑈2𝑔²

(pertes proportionnelles à𝐾𝑄²), ce qui présente un intérêt évident pour le cumul des pertes de charges puisque l’on a écrit

Δ ¯𝐻_u�= 𝑓 (𝑅_u�, 𝜀𝐷)𝐿 𝐷𝑈²

2𝑔

(pertes régulières proportionnelles à𝐿𝑄²). Il peut s’agir de pertes dans les rétrécissements, les entrées, les grilles, les diffuseurs, les vannes, les robinets, les clapets, les coudes, etc.

Pour une conduite cylindrique de diamètre𝐷 = 20 cmet tournant de 90° avec un rayon du coude de 1,5 m, on aura un coefficient𝐾 de 0,2. Quelle est la longueur de conduite en « fonte neuve » équivalente à ce coude ? À titre de comparaison, une entrée saillante de ce diamètre a un coefficient 𝐾 de l’ordre de l’unité, une vanne à passage direct de 0,1, un robinet à soupape de 6 et un clapet anti-retour à soupape de 70 (soit une longueur équivalente de la conduite précédente de plus de 500 m).

II Point de fonctionnement hydraulique d’une installation

II.A – Caractéristiques hydrauliques d’une pompe centrifuge

Une pompe centrifuge est caractérisée a minima par trois paramètres : son débit volumique nominal𝑄_u�, sa hau- teur manométrique totale nominale𝐻_u�u� qui est la variation de hauteur manométrique engendrée par la pompe (usuellement exprimée en mètre de colonne d’eau : mCE) et son rendement hydraulique nominal𝑅 = 𝑃_ℎ/𝑃_u�

où𝑃_ℎ est la puissance hydraulique fournie par la pompe et 𝑃_u� la puissance mécanique fournie à la pompe. Le constructeur fournit les courbes𝐻_u�u�(𝑄_u�)et 𝑅(𝑄_u�). On dispose (figure 2) de la caractéristique hydraulique du type de pompe retenue (WDE 32). Il s’agit d’une pompe centrifuge multi-étages dont le fonctionnement ne sera pas étudié ici.

Cette pompe étant fabriquée aux USA, la documentation fournie par le constructeur utilise des unités anglo- saxonnes : on notera que, dans la figure 2, la hauteur manométrique totale𝐻_u�u�(«head») est exprimée en pieds (ft) (à gauche de la figure) et le débit volumique𝑄_u� («capacity») en gallons US par minute (USgpm). Pour convertir ces unités anglo-saxonnes, on utilisera les facteurs de conversion indiqués en bas à droite de la figure 2.

II.A.1) La puissance hydraulique d’une pompe s’écrit𝑃 = 𝜌𝑔𝐻 𝑄 . Justifier cette expression.

Figure 1 Schéma d’une pompe centrifuge

0 50 100 150

Power(hp)

0 50 100 150 200 250 300 350 400

600 800 1000 1200 1400

𝐻_u�u�(𝑄_u�) 𝐹

Capacity (USgpm)

Head(ft)

30 40 50 60 70 Efficiency (𝑅(𝑄_u�))

Efficiency(%)

Hydraulic power 63.7 hp

Pump speed 3200 rpm

Efficiency (CE=1.00) 68.3%

Rated power 93.3 hp

Maximum power 108 hp

Driver power 125 hp / 93.2 kW Point de fonctionnement envisagé

100 USgpm (gallon per minute) = 6,31 L⋅s⁻¹ 1 rpm = 1 tr⋅min⁻¹

100 ft = 30,5 m

Conversion des unités (à 3 chiffres significatifs)

Figure 2 Caractéristiques de la pompe WDE 32

II.A.2) Calculer la puissance mécanique𝑃_u�à fournir sur l’axe de la pompe pour le point de fonctionnement 𝐻_u�u�(𝑄_u�)envisagé, repéré par le point𝐹 sur la figure 2, en utilisant le rendement hydraulique en ce point.

II.B – Point de fonctionnement hydraulique et consommation électrique

L’alimentation en eau potable d’un village nécessite un volume d’eau de 2600 m³par jour. On décide de faire le traitement de l’eau directement à côté de la prise d’aspiration (altitude 502 m) et de transporter l’eau potable au château d’eau du village (altitude 767 m) par une conduite de refoulement en fonte de diamètre nominal 200 mm et de longueur 8,345 km. On négligera les pertes singulières devant les pertes linéaires ainsi que les pertes à l’aspiration devant les pertes au refoulement.

II.B.1) Montrer que deux exemplaires de la pompe WDE 32 doivent nécessairement être montés en parallèle.

II.B.2) En utilisant les valeurs des pertes régulièresΔ ¯𝐻_u� calculées à la question I.B.2, ainsi que les figures 2 et 7, déterminer le point de fonctionnement (𝑄et 𝐻_u�u�) suivant l’état de rugosité de la fonte (neuve, corrodée ou déposée).

II.B.3) Dans un premier temps, les pompes sont entrainées par des moteurs asynchrones dont le rendement électromagnétique est de 80%. Calculer, dans les trois situations précédentes, la puissance électrique consommée.

Commenter l’effet du « vieillissement » de la surface intérieure de la canalisation sur la puissance électrique demandée et sur le rendement énergétique global.

II.B.4) Compte tenu de la vitesse de rotation des pompes, estimer le couple moteur mécanique de chaque moteur entrainant la pompe. Choisir le moteur synchrone à aimants permanents le plus approprié parmi les quatre décrits en figure 3 et utiliser son rendement à la vitesse de rotation de la pompe pour déterminer la puissance électrique consommée. Comparer à la puissance électrique consommée par un moteur asynchrone.

0 1000 2000 3000 4000

100 150 200 250 300 350

9

10 11

12

Vitesse de rotation (tr⋅min⁻¹)

Couple(N⋅m)

0 1000 2000 3000 4000

88 90 92 94 96 98

910 1112

Vitesse de rotation (tr⋅min⁻¹)

Rendement(%)

109 1112

LSRPM 200 LU2 : 3600 tr⋅min⁻¹/ 115 kW / 213 A LSRPM 200 L1 : 3600 tr⋅min⁻¹/ 85 kW / 158 A LSRPM 200 L1 : 3600 tr⋅min⁻¹/ 70 kW / 130 A LSRPM 200 L1 : 3600 tr⋅min⁻¹/ 50 kW / 97 A

Figure 3 Caractéristiques de 4 moteurs

III Remplacement des moteurs asynchrones par des moteurs syn- chrones à aimants permanents. Évaluation du couple

Les moteurs synchrones à aimants permanents d’assez forte puissance (comme le modèle choisi précédemment) sont en général alimentés par des variateurs produisant un signal de tension et donc des courants sinusoïdaux triphasés. Par souci de simplification, nous étudierons ici un système de courants statoriques diphasés.

III.A – Champ magnétique rotorique

Le rotor sera assimilé à un bloc cylindrique homogène d’axe𝑧^′𝑧, d’aimantation permanente uniforme d’axe𝑦^′𝑦.

L’axe𝑥^′𝑥est un axe fixe dans le référentiel du stator permettant de repérer les angles dans le plan perpendiculaire à𝑧^′𝑧(figure 4) :

• 𝛼repère la direction de l’axe𝑦^′𝑦;

• 𝜃 repère la position angulaire d’un point𝑀 quelconque.

Dans la suite, on s’intéressera surtout aux points𝑀 situés dans l’entrefer entre la culasse statorique (de rayon intérieur𝑎) et le rotor (de rayon extérieur𝑎 − 𝑒), soit tels que𝑎 − 𝑒 < 𝑟 < 𝑎.

III.A.1) Rappeler la relation entre⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐵_u�,𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗_u�et𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗_u�représentant respectivement le vecteur champ magnétique, le vecteur excitation magnétique et le vecteur aimantation du milieu magnétique constitutif du rotor.

III.A.2) Au sein des aimants permanents, la relation peut s’écrire ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐵 = 𝜇₀𝜇_u�𝐻 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐽, où𝜇_u� est la perméabilité relative de « recul » de l’aimant (légèrement supérieure à l’unité pour les aimants performants) et 𝐽⃗⃗⃗⃗⃗le champ magnétique rémanent de l’aimant. Au passage du milieu aimanté constituant le rotor à l’entrefer, les continuités aboutissent à l’expression suivante des composantes du champ magnétique rotorique

⎧{

⎨{

⎩

𝐵_u�(𝑟, 𝜃) = 12(1 − 𝑥^u�)²(1 + (𝑎𝑟)²) 𝐽 cos(𝜃 − 𝛼) 𝐵_u�(𝑟, 𝜃) = −12(1 − 𝑥^u�)²(1 − (𝑎𝑟)²) 𝐽 sin(𝜃 − 𝛼) pour𝑎 − 𝑒 < 𝑟 < 𝑎et 𝑥_u�= 𝑒

𝑎.

Sachant que l’entrefer avoisine𝑒 = 3 mm et l’alésage𝑎 = 15 cm, on considère un champ magnétique d’entrefer indépendant de𝑟. En déduire l’expression approchée du champ magnétique rotorique.

III.A.3) On noteΩla vitesse angulaire constante du rotor dans le référentiel fixe du stator et on prend𝛼 = 𝛼_u�u�

nul à l’instant initial. Réécrire l’expression simplifiée du champ magnétique rotorique à un instant𝑡en un point 𝑀 de position angulaire𝜃dans l’entrefer.

Donner l’allure de la composante radiale du champ rotorique ressenti à l’instant𝑡dans l’entrefer dans la direction 𝜃 = 𝜋/2.

Culasse magnétique de grande perméabilité (𝜇 → ∞ ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐻 = ⃗0dans le volume de la culasse)

Aimant de champ magnétique rémanent𝐽⃗⃗⃗⃗⃗uniforme

𝑥^′ 𝑥

𝑦^′

𝑦

𝑂

𝛼 𝑧

𝑀

⃗𝑢u�

⃗𝑢u� 𝜃

⃗⃗⃗⃗⃗

𝐽 𝑒 𝑎

𝑎𝑒 𝑂𝑥𝑂𝑧 𝑀, ⃗𝑢_u�, ⃗𝑢𝑂𝑦_u�

rayon d’alésage du stator épaisseur de l’entrefer axe de révolution

axe polaire de référence (fixe) axe de polarisation magnétique repère local

Figure 4 III.B – Champ magnétique statorique

On cherche alors à réaliser un champ magnétique statorique𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗_u�tournant à vitesse angulaire constante 𝜔_u�> 0 (donc dans le sens direct) grâce à une implantation particulière de spires dans les encoches du stator. Pour cela, nous utiliserons deux enroulements porteurs de courants déphasés de𝜋/2:

{ 𝑖¹(𝑡) = 𝐼 cos(𝜔_u�𝑡 + 𝛽_u�) 𝑖₂(𝑡) = 𝐼 cos(𝜔_u�𝑡 + 𝛽_u�+ 𝜋/2)

Dans un premier temps, une seule paire d’encoches, située sur l’axe perpendiculaire à𝑥^′𝑥(figure 5) est bobinée et parcourue par le courant d’intensité𝑖₁(𝑡). On cherche à déterminer le champ𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗_u�1en tout point𝑀 de l’entrefer.

𝑥^′ 𝑥

𝑀 𝑟

𝜃

Figure 5

III.B.1) En utilisant le schéma de la figure 5, les symétries et la circulation du vecteur excitation magnétique, montrer que

⎧{

⎨{

⎩

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝐵_u�1(𝑟, 𝜃, 𝑡) = 𝜇₀𝑖₁(𝑡)

2𝑒 ⃗𝑢_u� pour 𝜃 ∈ ]−𝜋/2, 𝜋/2[

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝐵_u�1(𝑟, 𝜃, 𝑡) = −𝜇₀𝑖₁(𝑡)

2𝑒 ⃗𝑢_u� pour 𝜃 ∈ ]𝜋/2, 3𝜋/2[

III.B.2) Justifier qu’une répartition judicieuse des brins dans des encoches régulièrement réparties autour du stator puisse fournir un champ dont l’allure théorique est de la forme donnée figure 6.

Combien d’encoches réparties correspondent à la courbe de la figure 6 ? Précisez les repères angulaires sur l’axe des abscisses.

0 𝜃

𝐵_u�1

Figure 6

III.B.3) Le champ statorique radial𝐵_u�1s’approche d’une fonction sinusoïdale de la forme𝐵_u�1(𝜃, 𝑡) ≈ 𝐾_u�𝑖₁(𝑡) cos 𝜃 que l’on prendra désormais comme la contribution réelle du courant𝑖₁(𝑡)dans l’enroulement.

De quoi dépend la constante𝐾_u�?

III.B.4) On rajoute le second enroulement décalé spatialement de l’angle+𝜋/2(donc sur l’axe𝑥^′𝑥). Le courant 𝑖₂(𝑡)de cet enroulement est en quadrature retard sur le courant𝑖₁(𝑡).

Montrer que sa participation au champ radial statorique s’écrira𝐵_u�2(𝜃, 𝑡) = 𝐾_u�𝐼 sin(𝜔_u�𝑡 + 𝛽_u�) sin 𝜃.

III.B.5) Montrer que le champ magnétique statorique résultant est un champ tournant dans le sens trigono- métrique à la vitesse angulaire 𝜔_u�dont on donnera l’amplitude.

III.C – Énergie magnétique dans l’entrefer

III.C.1) Rappeler l’expression de la densité volumique d’énergie magnétique dans un milieu de perméabilité relative𝜇_u�.

III.C.2) Calculer l’énergie magnétique dans l’entrefer (siège des champs rotorique et statorique) en négligeant les effets de bord et en notant𝑙la longueur du rotor.

On pourra alléger l’expression finale en faisant apparaitre le volume d’entrefer𝑉 = 2𝜋𝑎𝑒𝑙.

III.D – Moment électromagnétique s’exerçant sur le rotor

III.D.1) Rappeler l’expression du couple des forces électromagnétiques exercées sur le rotor, à partir de l’énergie magnétique.

En déduire l’expression de ce couple en utilisant le résultat de la question III.C.2.

III.D.2) Quelles conditions sont nécessaires à l’obtention d’un couple moteur moyen positif ?

III.D.3) Discuter le rôle de𝛽_u�(angle de « calage » des courants) et la stabilité de deux points de fonctionnement associés à deux valeurs de𝛽_u�.

10 310 410 510 610 710 8 10 −2 10 −18 9 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 7 8 9

67823456782345678234567823456782345678 1e−005 2e−005 5e−005 0.0001 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.001 0.0015 0.002 0.003 0.004 0.006 0.008 0.01 0.0125 0.015 0.0175 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.06 0.07 Laminarflow Criticalzone Transition zoneComplete turbulence, rough pipes, R > 3500/r, 1/√f = 1.14 − 2 log r→→←←

Darcy−Weisbach friction factor f ! """"2hDg

LV ²

Moody Diagram

r = 1e−006 Smooth pipes, r = 01/√f = 2 log(R√f ) − 0.8 Material""""""""""""""Riveted steelConcreteWood staveCast ironGalvanized ironAsphalted cast ironCommercial steelDrawn tubing Reynolds number R !"" (V in m/s, D in m, ν in m 2/s) VD ν

Relative roughness r ! " (ε in mm, D in mm) ε

D

Hagen−Poisseuille equationR ≤ 2300, f = 64/R

Colebrook equation, R ≥ 23001/√f = −2 log(r /3.7 + 2.51/(R√f ))

Acceleration at sea levellatitude 45°, g = 9.80665 m/s2 VD for water at 20°C (V in m/s, D in cm)0.06|| 0.1| 0.2| 0.4| 0.6| 0.8| 1| 2| 4| 6| 8| 10| 20| 40| 60|| 100| 200| 400| 600|| 1000| 2000| 4000| 6000|| 10000|____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________VD for atmospheric air at 20°C1| 2| 4| 6| 8| 10| 20| 40| 60|| 100| 200| 400| 600|| 1000| 2000| 4000| 6000|| 10000| 20000| 40000| 60000|| 100000|

ε (mm)"""""""""0.9−90.3−30.18−0.90.250.150.120.0460.0015

Fluid at 20°C""""""""""""""WaterAir (101.325 kPa) ν (m2/s) """""""""1.003e−0061.511e−005

Figure 7 Diagramme de Moody

• • •FIN • • •