QUELQUES RÉFLEXIONS SUR LES PERTES DE CHARGE

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M A H S - A Y H I I . 1 9 5 1 L A H O U I L L K B L A N C H I ' : 165

Quelques réflexions sur les pertes de charge

Some reflections on head losses

P A R L . VADOT

I.NUEXIEi:it-l>Ol'.TEL"H

Happe! de l'étal actuel — et classique. —- de la question des pertes de charge. — Examen dé- taillé de l'influence de deux éléments fonda- mentaux : nature de la paroi et forme de ta section. — L'importance el l'intérêt des travaux de Nikuradse, le. parti qu'il convient d'en tirer.

-- Notion de « densité de rugosité » ; transi- tion entre le turbulent tisse et le turbulent rugueux. — Travaux de Colebrook; proposition d'une formule de perte de charge couvrant à la fois le. turbulent lisse et le. turbulent ru- gueux, et respectant les particularités du régime transitoire. — Critique de la notion de rayon hydraulique (sections de forme tourmentée;

répartition non uniforme de rugosité; les pertes de charge partielles el la loi de Dalton).

--- Considérations sur les canaux à surface libre.

Référence to présent and classic stale of the question of head losses. Detailed examina- lion of the influence of two fundamenlal éléments: nature of the wall and shape of the section. — The importance and interest of the Nikuradse works and what should be leamed from them. — Idea of " density of rougîmes»;

transition between fully turbulent flow and smooth boundary turbulent flow. The works of Colebrook; proposition for a head loss for- mula covering both fully and smooth boundary turbulent flows and respecting the character- istics of the transition régime. Criticism of the hydraulic radius idea (distorted sections;

non uniform distribution of roughness; partial head losses and the Dation law). — Remarks on free surface canals.

Il n'y a pas de p r o b l è m e de m é c a n i q u e des fluides qui ail donné naissance à un plus g r a n d n o m b r e de f o r m u l e s que celui des pertes de c h a r g e . L a m u l t i p l i c i t é des recettes relatives à ce sujet est une p r e u v e de l ' i m p o r t a n c e de la question, m a i s aussi, malheureusement, une cause de. p e r p l e x i t é p o u r celui qui doit les utiliser. Cet état de chose est dû à plusieurs raisons :

1" L e p r o b l è m e des pertes de c h a r g e fait in- t e r v e n i r de n o m b r e u x p a r a m è t r e s , dont il n'est pas toujours facile de tenir c o m p t e et que beau- coup d'auteurs ont négligé ou i g n o r é en p a r t i e ;

2" L e s résultats d'une e x p é r i e n c e faite sur un type de canalisation ne sont pas toujours direc- tement transposables à une autre c a n a l i s a t i o n ;

3" L a c o m p l e x i t é des f o r m e s de canaux et la diversité des natures de paroi ne p e r m e t t e n t pas toujours de se r a m e n e r à des schémas simples de c a l c u l ;

4" L ' é t u d e théorique du p r o b l è m e des pertes de c h a r g e esl é t r o i t e m e n t liée à l'étude d e d e u x autres p r o b l è m e s (turbulence et couche l i m i t e ) qui ne sont apparus qu'assez r é c e m m e n t dans l ' h y d r a u l i q u e e l dont on ne saurait d i r e encore maintenant q u ' i l s sont c o m p l è t e m e n t éclaircis.

A l'heure actuelle, il n'existe pas de théorie vraiment lumineuse et c o m p l è t e de la question des pertes de c h a r g e , m a i s plutôt un assemblage de résultats basés sur l'expérience et plus ou moins étayés par des raisonnements e m p r u n t é s à la théorie de la turbulence et d e la couche l i - mite. N é a n m o i n s , le plus g r a n d pas a été l'ail puisque l'on a d é n o m b r é les facteurs essentiels du p r o b l è m e et d é t e r m i n é , par l'expérience, le sens de leur influence. Ces facteurs f o n d a m e n - taux sont de deux sortes : les uns de nature g é o - m é t r i q u e ( d i m e n s i o n s et f o r m e de la section, f o r m e de la p a r o i ) , les autres de nature h y d r a u - lique (viscosité, n o m b r e de R K Y N O L D S ) .

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1954030

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Kifi L A H O U I L L K B L A N C H E M A H S - A V H U . 1954

Nous nous p r o p o s o n s Loul d'abord de rappeler à grands traits l'essentiel des connaissances clas- siques de la question, ne serait-ce q u e pour mieux situer les quelques points particuliers que nous e x a m i n e r o n s plus en détail.

L i m i t o n s tout d'abord notre d o m a i n e . Il ne sera question i c i que des pertes de c h a r g e en conduite r e c t i l i g n e à section constante en r é - g i m e établi et p e r m a n e n t , pour un fluide i n c o m - pressible.

I. — R A P P E L D E N O T I O N S C L A S S I Q U E S

F O R C E T A N G E N T I E L L E A L A P A R O I E T R A Y O N H Y D R A U L I Q U E

Découpons dans la v e i n e l i q u i d e d'une conduite le p r i s m e l i q u i d e c o m p r i s entre deux sec- lions droites séparées par la distance A l. Soit w la surface de la section droite, P son p é r i m è t r e , p ~\~ \ p la pression dans le plan de la p r e m i è r e section et p la pression dans le plan de la

F I G . 1

d e u x i è m e section. Soit enfin T la force t a n g e n - tielle créée en un point de la p a r o i p a r le f r o t - tement l i q u i d e . E c r i v o n s l ' é q u i l i b r e suivant l'axe de la conduite, du p r i s m e l i q u i d e considéré sous l'action des forces de pression et des forces tan- gentielles. O n a :

fl

[p + A p) d o ) • — / / p.d co = A l.

I

T . r f P

L a pression étant supposée constante dans une m ê m e section, on aura plus s i m p l e m e n t :

w i j i ) = A J . / t r f P

La p e r l e de c h a r g e apparaît alors :

A / w , ' p

A d m e t t o n s alors que la force tangentielle c ait la m ê m e v a l e u r en tout p o i n t du p é r i m è t r e de la section. O n obtient alors la f o r m u l e classi- q u e de p e r t e de c h a r g e :

•Vf JL

"A / ~~^T" w

P o u r une section circulaire, ceci s'écrit : _Ajo_ _2_

A / " R

R étant le r a y o n de la section. Oh d o n n e généra- l e m e n t au rapport u / P le n o m de rayon hy- draulique, q u e l'on écrit R h, d ' o ù :

A / R h

L ' a p p a r i t i o n du r a y o n h y d r a u l i q u e p e r m e t d'escamoter la f o r m e de la section et d ' a p p l i q u e r la f o r m u l e p r é c é d e n t e à un canal de section q u e l - c o n q u e . Il est bon, toutefois, de ne pas oublier q u e ce tour de passe-passe n'a de v a l e u r que dans la mesure où l ' h y p o t h è s e de la constance de l'effort tangentiel T le l o n g du p é r i m è t r e de la section est bien vérifiée. E n toute r i g u e u r , cette h y p o t h è s e n'est vérifiée q u e dans deux cas : le canal à section circulaire et le canal c o m p r i s entre deux plans p a r a l l è l e s indéfinis. N o u s v e r - rons par la suite ce qu'il faut penser de l'influence de la f o r m e de la section du canal et con- sidérons, p o u r le m o m e n t , l ' h y p o t h è s e de la cons- tance de T c o m m e v a l a b l e .

F O R M E H A B I T U E L L E D E L ' E X P R E S S I O N D E S P E R T E S D E C H A R G E

L ' e x p é r i e n c e ayant m o n t r é que, dans la plupart des cas, les forces t a n g e n t i e l l e s -r, c'est-à- dire en définitive les pertes de c h a r g e , étaient sensiblement p r o p o r t i o n n e l l e s au carré des v i - tesses d'écoulement, on adopte une expression mettant ce fait en é v i d e n c e . Soit :

A p __y '? u2

\ T ~~ 2 D

expression dans laquelle 1 est une constante sans d i m e n s i o n , ou coefficient de perte de c h a r g e ,

? la masse spécifique du fluide, u la vitesse

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M A R S - A V R I L 1951 L A H O U I L L E B L A N C H E 167

m o y e n n e d ' é c o u l e m e n t dans la conduite et D le d i a m è t r e de celle-ci (dans le cas d'une conduite non circulaire, D sera r e m p l a c é par 4 R / i 1 . On va v o i r tout de suite d'où v i e n t le 2 du d é n o m i - n a t e u r ; e x p r i m o n s , en effet, la perte de c h a r g e en hauteur de fluide, ce qui revient à diviser le rapport A; 1/ A , par le poids spécifique du fluide.

On aura

= JL Ajl

^u-

D 2g

L e coefficient /. ainsi défini suffit à caractéri- ser une perte de charge. P o u r une conduite el un t y p e de paroi donné, le coefficient À v a r i e avec le n o m b r e de R E Y N O L D S R , . de l ' é c o u l e m e n t . En général, trois r é g i m e s sont à considérer suivant la v a l e u r du n o m b r e de R E Y N O L D S : aux 1res fai- bles v a l e u r s de R,, j u s q u ' à 2 . 0 0 0 e n v i r o n le r é - g i m e l a m i n a i r e ; au delà de 2 . 0 0 0 , le r é g i m e turbulent qui, l u i - m ê m e , c o m p r e n d aux bas- ses valeurs de R , le r é g i m e turbulent lisse, et aux grandes valeurs de R,, le r é g i m e tur- bulent rugueux. L a transition entre ces deux r é - g i m e s s'étale sur une bande étendue de v a l e u r s de RC, v a l e u r s dépendant d'ailleurs de la r u g o - sité r e l a t i v e de la paroi.

R É G I M E L A M I N A I R E

L e r é g i m e l a m i n a i r e , d'un intérêt industriel restreint, est le seul qui soit v r a i m e n t acces- sible au calcul : les forces de viscosité étant seu- les à i n t e r v e n i r et la nature de la paroi n'ayant pas d'influence. P o u r une conduite à section circulaire, le coefficient de perte de charge à la valeur :

16 avec R,, ^D u

pour un écoulement entre deux plans parallè- les distant de h, on a :

4 8 R ,

avec R „ h u

pour un écoulement dans un canal à section car- rée de côté a, on a :

14,2 R⁽,

avec R⁽. = a n

N o u s donnons ces quelques chiffres pour bien i n d i q u e r que, en r é g i m e l a m i n a i r e , la perte de c h a r g e n'est pas indépendante de la f o r m e de la section.

N o t o n s , à ce p r o p o s , une curieuse particularité

des écoulements l a m i n a i r e s . On réprésente ha- bituellement la répartition des vitesses dans une section par un ensemble de courbes isotaches.

Or, dans le cas d'un é c o u l e m e n t l a m i n a i r e , ces courbes isotuches sont en m ê m e temps les l i - gnes de courant d'un c h a m p rotationnel à den- sité i o u r b i l l o n n a i r e constante l i m i t é au contour de la section. Considérons, en effet, une zone de la section c o m p r i s e entre deux courbes telles que

F I G . 2

A O et B O o r t h o g o n a l e s aux courbes isotaches.

E c r i v o n s l ' é q u i l i b r e de l'élément fluide corres- pondant à celte zone sous l'action de l'ensemble des forces de pression et des forces l a n g e n t i e l - les de viscosité. Soit S la surface de la zone considérée, A p le gradient de pression suivant l'axe de la conduite, T la force tangentielle el A s le segment de la paroi qui l i m i t e la zone consi- dérée. On a A p.S == T . A •">'. L a m ê m e relation s'applique si, au lieu de l i m i t e r la zone à la paroi, on la l i m i t e à une isotachc q u e l c o n q u e ; m a i s , de plus, la force tangentielle a pour expression : - = u. (du/dn), dv/dn étant le gradient de v i - tesse c o m p t é n o r m a l e m e n t aux isotaches. Con- sidérons un accroissement fini de vitesse A v cor- respondant à un espacement A n des i s o l a c h e s ; on aura encore T = ; J . ( A w / A n); par suite, en r e - portant cette v a l e u r de x dans la p r e m i è r e ex- pression, il v i e n t :

A L

A n

A p . S

[j. A v C<" S

L a relation qui lie les côtés A^S et A „ des qua- drilatères élémentaires du réseau des isotaches el de leurs o r t h o g o n a l e s est bien celle q u e d o i - vent vérifier les champs r o t a t i o n n e l s à densité I o u r b i l l o n n a i r e constante. P a r suite, le faisceau des isotaches représentatif de la répartition de vitesse dans la section d'une conduite en r é g i m e l a m i n a i r e , représente é g a l e m e n t les l i g n e s de courant d'un c h a m p rotationnel l i m i t é p a r une ligne de courant affectant la f o r m e du contour de La section d r o i t e de la conduite.

R É G I M E T U R B U L E N T

Passons m a i n t e n a n t au r é g i m e turbulent e l , tout d'abord, au turbulent lisse. Ce r é g i m e est caractérisé par le fait que la nature de la paroi est sans influence sur la perte de charge, la ban-

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1(58 L A H O U I L L E B L A N C H E M A R S - A V R I L 1951

leur des aspérités restant n e t t e m e n t i n f é r i e u r e à l'épaisseur de la couche l a m i n a i r e . L e coefficient À d i m i n u e quand le n o m b r e de R K Y . N O L U S

a u g m e n t e suivant la loi de P R A N D T L - K A R M A N :

2 l o i J L yV 2,51 expression qui, j u s q u ' à R „ = 1(F placée par l'ancienne f o r m u l e

B L A S I U S :

À = 0,31(5 R - 1 - 1

, peut être, r e m - plus s i m p l e de

L e r é g i m e turbulent rugueux est caractérisé par le fait que les aspérités de la paroi sont c o m p l è t e m e n t sorties de la couche l a m i n a i r e , ce q u i c o n d u i t à une perte de c h a r g e rigoureuse- m e n t p r o p o r t i o n n e l l e au carré de la vitesse. P o u r une conduite et un t y p e de paroi donné, le coef- ficient À d e v i e n t donc i n d é p e n d a n t du n o m b r e de R E Y N O L D S . P a r contre, il se trouve sous la d é p e n d a n c e des caractéristiques g é o m é t r i q u e s de la rugosité de p a r o i . N I K U R A D S E a établi la relation q u i l i e le coefficient À à la hauteur des as- pérités, pour un type donné de rugosité (et non pas p o u r n ' i m p o r t e quel t y p e de r u g o s i t é ) :

1

( 2 1 o g R / K + 1,74)- ou, ce qui revient au m ê m e :

1 o , . 3,7 D _ = 2 log — — —

V A ^

R étant le rayon de la conduite et K le d i a m è t r e des g r a i n s de sable qui, collés à peu près j o i n t i f s à la paroi, constituent les aspérités. On ne saurait trop insister sur cette d e r n i è r e définition du terme K trop souvent d é n o m m é « hauteur des aspérités » . E t a n t donné la disposition des grains de sable selon N I K U R A D S E , la h a u t e u r d'aspérité c o r r e s p o n d a n t e au sens habituel, c'est-à-dire la distance, de creux à p l e i n , est sensiblement égale à la m o i t i é du d i a m è t r e des g r a i n s de sable. Afin d'éviter toute a m b i g u ï t é , lorsqu'il s'agira d'une rugosité type N I K U R A D S E , on affectera la lettre K d'un indice N , soit Kx ( * ) .

( * ) L e v é r i t a b l e i n t é r ê t des t r a v a u x d e N I K U R A D S E n'es' p a s d ' a v o i r d o n n é u n e n o u v e l l e f o r m u l e de p e r t e d^

c h a r g e p a r m i t a n t d ' a u t r e s , m a i s b i e n d ' a v o i r s y s t é m a - t i q u e m e n t é t u d i é l'influence d e l a h a u t e u r des a s p é r i t é s . Il est r e g r e t t a b l e q u e l a p l u p a r t des m a n u e l s d ' h y d r a u - l i q u e d o n n e n t cette f o r m u l e c o m m e d ' u n u s a g e c o u r a n t , s a n s p r é c i s e r les c o n d i t i o n s très s p é c i a l e s a u x q u e l l e s e l l e s ' a p p l i q u e . C'est u n e e r r e u r f r é q u e n t e de v o u l o i r l u i f a i r e d i r e ce p o u r q u o i e l l e n'est p a s f a i t e . S o n a p p l i c a - t i o n , p a r e x e m p l e , a u x r e v ê t e m e n t s b é t o n n é s n'a p a s g r a n d sens, c a r l a n a t u r e g é o m é t r i q u e de l a r u g o s i t é t y p e e n d u i t b é t o n n é est f o r t d i f f é r e n t e de l a n a t u r e

L ' e n s e m b l e des résultats de N I K U R A D S E est g é - n é r a l e m e n t représenté sur un d i a g r a m m e désor- mais classique, c o m p o r t a n t un faisceau de cour- bes avec le r a p p o r t R / K c o m m e p a r a m è t r e .

On peut, p a r une a n a m o r p h o s e , r a m e n e r ce faisceau de courbes à une seule courbe. Soil c„

l'effort tangentiel m o y e n à Ja paroi, la quantité y ~ est h o m o g è n e à une v i t e s s e ; on l'appelle

g é n é r a l e m e n t vitesse de friction et on l'écrit V * . On réalisera l ' a n a m o r p h o s e dont il est question,

log V+KN

F I G . 3

en étudiant les v a r i a t i o n s de la quantité

— i log —— en l o n c t i o n de log .

\ A ' Iv.v * v

L e d o m a i n e du turbulent lisse sera représenté par la d r o i t e :

V A

... 9 l o g J L = (),8

+

²^{l o g —}

et le d o m a i n e du turbulent rugueux par l'hori- z o n t a l e :

2 log ^R L 7 4

Ces deux droites se r a c c o r d e n t par une courbe qui représente la z o n e de transition.

L e passage du turbulent lisse au turbulent rugueux se m a n i f e s t e é g a l e m e n t par une. modification de la loi de, r é p a r t i t i o n de vitesse, suivant un d i a m è t r e d'une section c i r c u l a i r e . Si on ap- pelle u la vitesse en un p o i n t situé à une dis- tance y de la p a r o i , on a en é c o u l e m e n t turbulent lisse :

V: = 5,5 -|- 5,75 l o g et en turbulent rugueux

8,48 + 5,75 log - j L

g é o m é t r i q u e de l a r u g o s i t é N I K U I S A D S E . N O U S d i r o n s enfin q u ' e n t o u t e r i g u e u r son a p p l i c a t i o n i n d u s t r i e l l e est t r è s l i m i t é e c a r e l l e c o r r e s p o n d à u n t y p e de r u g o s i t é q u i se r e n c o n t r e r a r e m e n t d a n s l a p r a t i q u e .

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M A H S - A V I U L 1951 L A H O U I L L E B L A N C H E 100

cette d e r n i è r e expression correspond à une r u g o - sité t y p e N I K U R A D S E ; dans la zone de transition, la loi de r é p a r t i t i o n de vitesse est plus c o m p l e x e el dépend en outre du rapport K / S de la hau- teur des aspérités à l'épaisseur 3 de la couche limite l a m i n a i r e ; c e l l e dernière est d'ailleurs liée à la perte de c h a r g e par :

11,6 v

T R A N S I T I O N E N T R E L E L I S S E E T L E R U G U E U X

L a zone de transition entre le r é g i m e lisse et le r é g i m e rugueux revêt, en p r a t i q u e , une g r a n d e i m p o r t a n c e , car, d'une part, pour une conduite donnée, elle est assez étendue ( p o u r fixer les idées, elle c o u v r e une zone de l o g K, de 1,5 à 2 ) , el, d'autre part, elle c o r r e s p o n d très souvent à la g a m m e des n o m b r e s de R E Y N O L D S

les plus utilisés. Ce l'ait est très certainement la p r i n c i p a l e raison de la diversité et de l'incohé- rence de la plupart des f o r m u l e s de pertes de c h a r g e . L e s études r e l a t i v e m e n t récentes de N I -

K U R A D S E , de C O L E R R O O K , entre autres, ont per- mis de c o m m e n c e r à d é m ê l e r le p r o b l è m e , mais celui-ci est rendu p a r t i c u l i è r e m e n t ardu par la diversité des types de rugosité que l'on rencontre dans la p r a t i q u e .

N I K U R A D . S E obtient e x p é r i m e n t a l e m e n t , dans la zone de transition, une inflexion caractéristique de la courbe représentative des v a r i a t i o n s de À . Cette inflexion n'est pas générale, mais doit être considérée c o m m e liée au type assez particulier de rugosité étudié par cet auteur.

C O L E B R O O K , par contre, a étudié plusieurs types de rugosités schématiques, constitués par de grosses aspérités réparties sur un fond lisse ou

rugueux. 11 obtient ainsi des résultats plus v o i - sins de ceux obtenus sur conduites industrielles, que ceux de N I K U R A D . S E . Il d o n n e pour la zone de transition une v a l e u r de À fixée par la r e l a t i o n :

1 2 log

. 2,51 ^-f-

,7 1) K

Nous v e r r o n s plus loin ce q u ' i l faut penser de cette relation qui, d'ailleurs, ne représente que partiellement les p h é n o m è n e s .

La transition est essentiellement caractérisée par le fait que, la hauteur des aspérités étant de l'ordre de g r a n d e u r de l'épaisseur de. la couche l a m i n a i r e , on voit i n t e r v e n i r s i m u l t a n é m e n t les caractéristiques g é o m é t r i q u e s de la rugosité et le n o m b r e de R E Y N O L D S . On a c o u t u m e de dire que les aspérités c o m m e n c e n t à é m e r g e r de la couche l a m i n a i r e : ce n'est é v i d e m m e n t que très grossièrement v r a i . L a couche l a m i n a i r e n'est pas une couche d'un fluide p a r t i c u l i e r tapis- sant s i m p l e m e n t la paroi et dont les aspérités sortent à la m a n i è r e d'îlots rocheux. En fait, d'une part les aspérités réagissent sur la couche laminaire bien avant que d'en é m e r g e r (au sens hydrostatique du m o t ) el d'autre part, le mot l a m i n a i r e prête à c o n f u s i o n ; des observations m i c r o s c o p i q u e s ont, en effet, m o n t r é l'existence dans cette couche, d ' i m p o r t a n t s m o u v e m e n t s d ' a g i t a t i o n ; le m o t l a m i n a i r e s'applique au c o m - portement d'ensemble de la couche, et non au détail de l'écoulement. Q u o i qu'il en soit, on peut considérer le r é g i m e c o m m e transitoire entre les valeurs suivantes du rapport K / S de la bailleur d'aspérité, à l'épaisseur de la couche l a m i n a i r e

K / S = 0,25 à K / S = 6.

T e l est, en gros, l'aspect classique actuel de la question des perles de charge en conduite sans surface libre.

II. — I N F L U E N C E D E L A N A T U R E D E L A P A R O I

Nous allons nous attacher maintenant à une étude plus détaillée des caractéristiques de la rugosité, et d e leur influence sur la perte de c h a r g e . L ' é t a l de la paroi d e m a n d e à être exa- miné de deux points de vue différents; du point de v u e h y d r a u l i q u e et du point de v u e g é o m é - trique. H y d r a u l i q u e m e n t , on caractérisera l'étal de paroi par la loi de perte de charge. N o u s défi- nirons ainsi quatre types de « c o m p o r t e m e n t >- de paroi :

1° Le comportement lisse : qui répond à la loi de P R A N D T L - K A R M A N du r é g i m e dit turbulent- lisse. Se rencontre sur paroi lisse ou sur paroi

rugueuse, si les aspérités sont noyées dans couche l a m i n a i r e ;

109A

log Re

J-'ici.

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170 L A H O U I L L E B L A N C H E M A R S - A V R I L 1951

2° Le comportement ondulé : apparenté au lisse et représenté par une loi de v a r i a t i o n de À identique à celle du c o m p o r t e m e n t lisse à une facture près.

AomluK' Ct ( A j js s 0

se r e n c o n t r e sur paroi lisse m a i s ondulée avec ondulation de faible a m p l i t u d e (par e x e m p l e avec certains enduits g o u d r o n n é s ) . T o u t se passe c o m m e si les ondulations n ' a p p o r t a i e n t aucune modification au r é g i m e turbulent lisse, mais en- traînaient seulement un accroissement de la surface des p a r o i s .

3° Le comportement rugueux : caractérisé par une p r o p o r t i o n n a l i t é rigoureuse des pertes de charge au carré des vitesses, c'est-à-dire une i n - dépendance de 1 vis-à-vis de R⁽,.

4° Le comportement semi-rugueux : représen- tant toute la g a m m e des lois i n t e r m é d i a i r e s entre le lisse et le rugueux. Se r e n c o n t r e c h a q u e fois q u e la paroi c o m p o r t e , en p r o p o r t i o n s v a r i a - bles, des p l a g e s rugueuses à côté de plages lis-

ses. Ce c o m p o r t e m e n t est i n d u s t r i e l l e m e n t assez fréquent.

P A R A M È T R E S C A R A C T É R I S A N T L A R U G O S I T É

Du p o i n t de vue g é o m é t r i q u e , nous e n v i s a g e - rons deux types de rugosité. T o u t d'abord, les rugosités à f o r m e d'aspérité et distribution aléa-

toires dont la rugosité N I K U R A D S E est le t y p e p a r - fait. C'est dans cette c a t é g o r i e que se r a n g e n t la plupart des rugosités industrielles. P u i s v i e n n e n t les rugosités à f o r m e d'aspérité définie et distribution p é r i o d i q u e , qui p e r m e t t e n t l'étude de l'influence des difficultés caractéristiques et p e u v e n t servir de base de c o m p a r a i s o n ou de rugosité étalon.

Jusqu'à présent, c'est la rugosité N I K U R A D S E

qui semble a v o i r j o u é ce r ô l e de r u g o s i t é éta- lon, car les essais de N I K U R A D S E étaient les seuls à présenter un caractère suffisant de r i g u e u r et de g é n é r a l i t é . Si la distribution aléatoire des as- pérités est, c o m m e nous le v e r r o n s , un é l é m e n t favorable, p a r contre, le c h o i x du grain de sable (d'un certain grain de sable) c o m m e aspérité est m o i n s heureux, car plus difficile à r e p r o d u i r e avec rigueur. Ce dernier p o i n t e x p l i q u e , sans doute, la difficulté que certains e x p é r i m e n t a t e u r s é p r o u v e n t à r e t r o u v e r les résultats de N I K U R A D S E ,

p r i n c i p a l e m e n t dans la zone de transition.

Considérons une rugosité artificielle réalisée en disposant, suivant un schéma d o n n é , des as- pérités toutes semblables, sur un fond lisse. Cette disposition fait i n t e r v e n i r un certain n o m b r e de paramètres :

1 ) F o r m e g é o m é t r i q u e de l ' a s p é r i t é ;

2) O r i e n t a t i o n de l'aspérité par r a p p o r t à la

p a r o i ;

3) O r i e n t a t i o n de l'aspérité p a r r a p p o r t au cou- r a n t ;

4) D i m e n s i o n de l'aspérité ( c h o i x d'une d i m e n - sion c a r a c t é r i s t i q u e K de l'aspérité, par e x e m p l e sa h a u t e u r ) ;

5 ) F o r m e du dessin d ' i m p l a n t a t i o n des aspérités sur le f o n d ;

(')') O r i e n t a t i o n de ce dessin p a r r a p p o r t au cou- r a n t ;

7) D i m e n s i o n du dessin d ' i m p l a n t a t i o n , r e p r é - sentée par une g r a n d e u r c a r a c t é r i s t i q u e K ' de ce dessin, ou m i e u x , par le r a p p o r t K ' / K .

On v o i t ainsi la g r a n d e d i v e r s i t é des solutions possibles, m ê m e en p a r t a n t d ' é l é m e n t s s i m p l e s . Si on se p r o p o s e de réaliser une rugosité artificielle destinée à j o u e r le r ô l e de r u g o s i t é étalon, il y a é v i d e m m e n t intérêt à r é d u i r e le n o m b r e des d e g r é s de liberté. On s'efforcera, en particulier, d ' é l i m i n e r les degrés de liberté d ' o r i e n t a t i o n . A ce p o i n t de v u e , l ' a d o p t i o n d'une aspérité consti- tuée p a r une sphère serait i n d i q u é e si, toutefois, il n ' y a v a i t pas lieu de c r a i n d r e q u e la d i v e r s i t é de r é g i m e s d ' é c o u l e m e n t autour d'une sphère ne soit cause de difficulté. Il est au c o n t r a i r e p r é f é - rable d ' a d o p t e r des aspérités à arêtes v i v e s pour lesquelles cet i n c o n v é n i e n t n'est pas à redouter, cube, p y r a m i d e , par e x e m p l e . On fera d i s p a r a î t r e l'effet d ' o r i e n t a t i o n en choisissant p o u r chaque aspérité une orientation au hasard. D e m ê m e , en dispersant les aspérités au hasard, on fera dis- p a r a î t r e l'effet de l ' o r i e n t a t i o n du schéma d ' i m - plantation (c'est ce q u e fait N I K I F R A D . S E ) . F i n a l e - ment, pour un t y p e d'aspérité d o n n é , il ne sub- sistera plus q u e deux p a r a m è t r e s caractéristi- ques : la hauteur K de l'aspérité et la distance moyenne. K ' entre deux aspérités ou, ce qui r e - v i e n t au m ê m e , le n o m b r e d'aspérités par unité de surface, c'est-à-dire la densité des aspérités.

I N F L U E N C E D E L A D E N S I T É D E S A S P É R I T É S

L e s travaux de N I K U R A D S E ont m o n t r é q u e l l e était l'influence du facteur K . On a vu, en particulier, que le coefficient ) , était sous la dépen- dance du r a p p o r t R / K . E x a m i n o n s maintenant l'influence du facteur K ' , c'est-à-dire du n o m b r e d'aspérités par unité de surface. L e s essais de

N I K U R A D S E , par suite du m o d e de réalisation de la rugosité, n'ont pu m e t t r e en é v i d e n c e l'influence de ce facteur. D'autres auteurs, et p r i n c i - p a l e m e n t S C H L I C H T I N G , ont étudié ce p r o b l è m e .

(7)

M A R S - A V R I L 195-1 L A H O U I L L E B L A N C H E 171

L e s essais relatifs à cette question ne sont malheureusement pas assez complets, en sorte qu'il n'est guère possible que d ' i n d i q u e r l'allure des p h é n o m è n e s .

L a v a r i a t i o n du facteur K ' correspond à la va- r i a t i o n du n o m b r e d'aspérités par unité de surface de la p a r o i . P o u r une aspérité et une conduite données, on peut, pour chaque valeur de K ' , d é t e r m i n e r une courbe r e p r é s e n t a t i v e des va- riations de X en fonction de R „ . O n obtiendra ainsi un faisceau de courbes ayant K ' p o u r pa- r a m è t r e . T o u t e s ces courbes ont une p a r t i e c o m - m u n e qui c o r r e s p o n d au r é g i m e turbulent lisse.

A u point A , les différentes courbes d i v e r g e n t , Ja position du p o i n t A dépend u n i q u e m e n t de la d i m e n s i o n de l'aspérité par r a p p o r t à l'épaisseur du film l a m i n a i r e . P o u r les grands n o m b r e s de

log a

0 Nombre d'aspérités par unité K'2

de surface FIG. 5

R E Y N O L D S , au-delà de la transition, X est donnée par une expression de la f o r m e :

1 „ . ~ N .

R , \ A " .

3,7 1 ) 1

- ^ = 2 log + 9 - y - _ expression dans l a q u e l l e 9 est une fonction du

n o m b r e d'aspérité par unité de surface, ou fonction de densité. Cette fonction s'annule pour K ' / K = 00 (pas d ' a s p é r i t é ) , et pour K ' / K = 0 aspérités i n f i n i m e n t r a p p r o c h é e s ) , elle p r e n d la v a l e u r 1 p o u r une v a l e u r de K ' / K qui c o r r e s p o n d à la disposition de N I K U R A D S E . En dehors de ces q u e l q u e s points, la fonction 9 n'est pas connue. Il serait très intéressant de faire des essais systé- m a t i q u e s en vue de sa d é t e r m i n a t i o n .

P h y s i q u e m e n t , on conçoit f a c i l e m e n t l'allure de la v a r i a t i o n pour les grands n o m b r e s de R E Y - N O L D S de X en f o n c t i o n de la distance m o y e n n e K ' qui sépare deux aspérités. L o r s q u e K ' est in- fini, les aspérités sont infiniment espacées et on r e t o m b e sur le cas d'une paroi lisse; K ' d i m i -

nuant m a i s restant très g r a n d , la p e r t e de charge a u g m e n t e et X v a r i e d ' a b o r d p r o p o r t i o n n e l l e m e n t à l / K ' - ' tant q u e les aspérités sont très espacées les unes des autres, K ' d i m i n u a n t encore, les as- pérités se resserrent et réagissent les unes sui- tes autres, la croissance de X est m o i n s r a p i d e . P o u r une certaine valeur de K ' , X sera m a x i - m u m , puis les aspérités se r a p p r o c h a n t se trou- v e n t dans le sillage les unes des autres el X dé- croît j u s q u ' à ce q u e toutes les aspérités soient au contact les unes des autres, d i s p o s i t i o n qui donne la l i m i t e p r a t i q u e de X. Si on suppose que les aspérités p e u v e n t s ' i m b r i q u e r les unes dans les autres, leur hauteur ei'iicace d i m i n u e el finalement p o u r K ' = 0 on r e t o m b e sur le cas d'une p a r o i lisse. O n r e m a r q u e , en p a r t i c u l i e r , que p o u r une v a l e u r d o n n é e du n o m b r e d e R E Y - N O L D S , i l y a 2 v a l e u r s de K ' qui d o n n e n t Je m ê m e X. L a valeur d e K ' q u i c o r r e s p o n d à la d i s - p o s i t i o n de N I K U R A D S E se t r o u v e sur la b r a n c h e c o m p r i s e entre le m a x i m u m et K ' = 0; il existe d o n c une d e u x i è m e v a l e u r de K ' qui donne la m ê m e p e r t e de c h a r g e q u e la disposition de

N I K U R A D S E .

N o u s a v o n s vu plus naul que dans l e d o m a i n e de l ' é c o u l e m e n t turbulent rugueux, la loi de ré- p a r t i t i o n des vitesses suivant un d i a m è t r e de la section peut s'écrire u/v* = A -f- B l o g y / K , A el

B étant des constantes que N I K U R A D S E a déter- m i n é p o u r son type p a r t i c u l i e r de rugosité et trouvé r e s p e c t i v e m e n t égales à 8.48 e l 5.75. L e s essais de S C H L I C H T I N G ( E x p e r i m e n l e l l e U n l e r s ù - c h ù n g e n z ù m R a ù h i g k e i l s p r o b l e m I n g . A r e h . F é v . 1936) nous ont p e r m i s de calculer Ja v a l e u r de A pour les aspérités étudiées en p r e n a n t pour K la hauteur de l'aspérité. L e s valeurs obtenues diffèrent g é n é r a l e m e n t de celle de N I K U R A D S E .

L e s valeurs de A > 8,48 correspondent à des ru- gosités qui se situent entre la rugosité N I K U R A D S E

et le p a r f a i t e m e n t lisse, les valeurs de A < 8,48 c o r r e s p o n d e n t au c o n t r a i r e à des rugosités plus fortes q u e celle de N I K U R A D S E .

P o r t o n s les valeurs de K ainsi calculées dans un d i a g r a m m e , avec A en ordonnée, e l log V* K / v en abscisse. Dans un tel d i a g r a m m e , tous les points relatifs à une rugosité type N I K U R A D S E se situent sur une m ê m e horizontale d ' o r d o n n é e 8,48. Si nous portons maintenant sur ce dia- g r a m m e les différents points relatifs à une, m ê m e aspérité ( K c o n s t a n t ) , mais à des densités diffé- rentes ( K ' v a r i a b l e ) , on constate que ces points s'alignent sur une m ê m e d r o i t e . Si on fait c h o i x d'une hauteur d'aspérité différente, ou d'un autre t y p e d'aspérité, on obtiendra encore, en fonction de Ja densité des points qui s'aligneront sur une d r o i t e différente de la p r é c é d e n t e , m a i s présentant la m ê m e p e n l e , soit :

A = « - - 3 1 l o g - X * _K

(8)

172 L A H O U I L L E B L A N C H E M A R S - A V R I L 195-1

a étant une constante i n d é p e n d a n t e de la den- sité, mais variant avec la f o r m e et la hauteur de l'aspérité.

P o u r un type d'aspérité donné ( p a r e x e m p l e la f o r m e sphère ou la f o r m e grain de s a b l e ) , à chaque point du d i a g r a m m e c o r r e s p o n d une ru- rugosité caractérisée par une hauteur d'aspé- rité K et une v a l e u r de la densité. O n peut é g a -

K„=Cte

Nikuradse

F I G . (i

lement caractériser chaque rugosité, c'est-à-dire c h a q u e point du d i a g r a m m e , par la hauteur d'as- périté KN de la rugosité N I K U R A D S E qui d o n n e la m ê m e p e r t e de c h a r g e . Il sera ainsi possible de tracer sur le d i a g r a m m e un réseau c o m p o r -

tant des droites à K = C-" et des d r o i t e s à KN = Ct c ou à K ' = Cu: Sur le d i a g r a m m e représenté, on a tracé le réseau des droites à K == Cl e et Kx = C'1' pour le type d'aspérité

« sable N I K U R A D S F . » . N a t u r e l l e m e n t , la d r o i t e K •- K^x est l ' h o r i z o n t a l e d ' o r d o n n é e <S,48 qui cor- r e s p o n d à la densité N I K U R A D S E . L e s droites K^N- = C"' sont toutes parallèles à la d r o i t e du turbulent lisse qui c o r r e s p o n d à la v a l e u r Kx= 0 . Ces résultats ont été obtenus p o u r le d o m a i n e r e l a t i v e m e n t restreint que les essais de S C H L I C H - T I N G ont p e r m i s d ' e x p l o r e r ; i l serait i n é r e s s a n l de v o i r dans q u e l l e m e s u r e il est possible d'ex- trapoler. P o u r un autre t y p e de rugosité que le grain de sable, l ' h o r i z o n t a l e N I K U R A D S E s'obtiendra pour un rapport K / Kx différent de 1 et ca- ractérisant la hauteur efficace des aspérités en prenant l'aspérité N I K U R A D S E pour étalon.

L a v a l e u r de A donne une idée assez exacte de l ' i m p o r t a n c e de la perte de c h a r g e . Si, dans le d i a g r a m m e précédent, on fait une coupe le long d'une d r o i t e A — a 31 l o g V * K / v , on ob- tient une représentation assez analogue à celle que nous a v i o n s i n d i q u é p o u r les v a r i a t i o n s du coefficient X à Rc = Ct < ! en f o n c t i o n de la densité des aspérités. P o u r une aspérité donnée, partant de A lisse p o u r la densité 0, la v a l e u r de A d i m i - nue q u a n d la densité a u g m e n t e , atteint un m i n i - m u m g é n é r a l e m e n t plus petit que 8,48, puis croît à nouveau l o r s q u e la densité d e v i e n t infinie.

E N C O M B R E M E N T D E S A S P É R I T É S

L a p r é s e n c e d'aspérités sur la p a r o i d'une conduite, surtout si ces aspérités sont i m p o r t a n t e s , pose un p r o b l è m e pour le c h o i x du d i a m è t r e de la section el de son r a y o n h y d r a u l i q u e . O r , re- m a r q u o n s que dans la f o r m u l e f o n d a m e n t a l e de la p e r t e de c h a r g e :

a r D 2 g

le d i a m è t r e intervient en fait avec la puissance 5.

En effet, la vitesse m o y e n n e u n'étant pas direc- tement mesurable, on fait a p p a r a î t r e » — - ~ ~ •

1 1 i r D - 7 4 Dès lors, une petite erreur sur la valeur de D

entraîne une erreur cinq fois plus g r a n d e sur la v a l e u r de A h. L ' e n c o m b r e m e n t des rugosités ne saurait être n é g l i g é dès q u e les aspérités sont grandes, p o u r fixer les idées, à p a r t i r de K / R = 0,05. Il faut v o i r là l'une des raisons pour lesquelles il est difficile d ' e x t r a p o l e r aux grosses rugosités relatives les résultats de mesures faites sur «le faibles rugosités r e l a t i v e s . C'est ainsi que la f o r m u l e classique de N I K U R A D S E : :

1

(2 log R / K + 1,74)2

ne doit pas être c o n s i d é r é e c o m m e v a l a b l e poul- ies fortes rugosités r e l a t i v e s . P o u r les fortes pertes de c h a r g e , c e l t e f o r m u l e conduit, en effet, à des hauteurs d'aspérités e x a g é r é e s . P o u r R / K = l , la section est c o m p l è t e m e n t e n c o m b r é e par les aspérités; or, pour ce cas e x t r ê m e , on obtient seulement X = 0,33, ce qui est absurde. Cet e x e m - ple est bien p r o p r e à m o n t r e r à quel point il faut se méfier de l ' e x t r a p o l a t i o n de relations dont la f o r m e m a f h é m a t i q n e ne fait que cacher le carac- tère e m p i r i q u e .

E C O U L E M E N T D A N S L A Z O N E D E T R A N S I T I O N

1" Cas d'une rugosité N I K U R A D S E . — On a vu que les r é g i m e s e x t r ê m e s du turbulent lisse et du turbulent rugueux étaient caractérisés res- p e c t i v e m e n t par les lois de p e r t e de c h a r g e suivantes :

1

V X = 2 lot R„ V X

et

2,51 • - V X P o s o n s plus g é n é r a l e m e n t :

2 l o e 3.7 D

1

V T

^{= 2 log}

-, R , v*>. _ L « !

2,51

a et 3 étant deux fonctions de V* K

(9)

M A R S - A V R I L 1951 — L A H O U I L L E B L A N C H E — 173

C O L E B R O O K a supposé q u e dans la zone de tran- sition on p o u v a i t p r e n d r e « = (J = 1, ce q u i n'est guère admissible q u e pour une bande assez l i - m i t é e de valeurs d e RC. Cherchons plutôt q u e l l e peut être l'allure d e la v a r i a t i o n des fonctions de a et p. P o u r cela, nous nous appuierons sur les résultats d e N I K I ' R A D S K d'une part, et, d'autre part, nous nous fixerons une relation e n t r e a et soit a = 1 — p.

On obtient ainsi, pour la v a r i a t i o n d e x et de 3 en fonction d e V * K / v , des courbes avant l'allure

F i g . 7

i n d i q u é e p a r la figure rappelant assez fidèlement les v a r i a t i o n s d'une tangente h y p e r b o l i q u e . N o u s basant sur cette ressemblance toute p h y s i q u e , posons :

1 lh„- i log Y * K b

et

3 =

^{_ 1 -} ¹ + I n - (' log X ' K H

En remarquant q u e Y * V X U , ,.

, on oblien- ViS

dra, en reportant a et f} dans l'expression de 1 / n / T :

u D

et n K

Cette, expression f o u r n i t les v a l e u r s d e X en bonne c o n c o r d a n c e avec les résultats de N I K U - R A D S E . Y o i c i , p a r e x e m p l e , les résultats obtenus pour une rugosité r e l a t i v e K / R — 1 / 1 2 6 et pour différents r é g i m e s :

T u r b u l e n t lisse :

RR = 1 0 . 4 0 0 N I K U R A D S E X

T r a n s i t i o n :

R , = 2 6 . 7 0 0 N I K U R A D S E X

Turbulent rugueux :

R , = 1 4 6 . 0 0 0 N I K U R A D S E X :

= 0 , 0 3 1 Calcul X = 0 , 0 3 0 4

0 , 0 2 6 Calcul X = 0 . 0 2 4 8

= 0 , 0 2 7 Calcul X = 0 , 0 2 0 7

2" Cas d'une rugosité de de mi lé vanable far fond parfaitement lisse. Dans un tel cas, on sait q u ' a u x grands n o m b r e s de R E Y N O L D S une partie de la paroi se c o m p o r t e c o m m e lisse e l l'autre c o m m e rugueuse, en sorte q u e les fonc- tions I. et 3 ne v a r i e n t pas entre 0 e l 1 c o m m e dans le cas précédent, mais r e s p e c t i v e m e n t entre 1 et 1 — ? d'une part, et e n t r e 0 et © d'autre part, 9 étant une quantité fonction d e la densité des

ispérités. On posera alors :

1

\ ; = 2 log '

-I

\ / > . 2 I

U V A K

lb„-^; l o g r r = b V 8^V

R,. \ / /L

2.51

1 , , , • > ' , u V X K , \ ~ | 3,7 I )

1

-f

lh„- « Ion b

K

L a base a de la tangente h y p e r b o l i q u e et la constante / ) sont choisies pour serrer de près les résultats de N I K U R A D S E ; on trouve ainsi « = 3 , 2 et b = 1,115. T o u t e s réductions faites, on obtient l'expression générale de X pour la rugosité N I K U - R A D S E :

t b „2 log

1 -f tli,,- log Y, k

V . K - b

La quantité o esl nulle lorsque la densité est n u l l e ; elle croit d'abord p r o p o r t i o n n e l l e m e n t à la densité, atteint la valeur m a x i m u m 1 pour une

F i g . H

1_

VX

2 log 1.350)-' R^P V X 3,7 D

_

²^,⁵¹ — -

X² R¹ densité voisine de celle de N I K U R A D S E , puis dé- croît el tend vers 0 pour une densité infinie.

En portant ces nouvelles valeurs d e % el fi dans

(10)

174 L A H O U I L L E B L A N C H E M A R S - A V R I L 1954

l'expression g é n é r a l e en 1 / V X , on o b t i e n d r a la relation suivante :

1 _^{t )}. r A² R\,^k

V F

^~~~~ ⁰ ^G ^L ⁹ ^ R *^r^t+

, 3,7 D RE \ / r \ A RR

V F ' V

^{K 2,51}^J '" 2,51

nient r e n c o n t r é e peut se r e p r é s e n t e r schémati- q u e m e n t p a r d e grosses aspérités r e l a t i v e m e n t espacées sur un f o n d lisse au r u g u e u x . C O L E - B R O O K , q u i est parti d'un tel schéma, obtient effectivement dans la z o n e de t r a n s i t i o n une expression de X qui cadre bien avec les f a i t s ; m a l h e u r e u s e m e n t , son e x p r e s s i o n n'est v a l a b l e que p o u r la z o n e de t r a n s i t i o n .

dans l a q u e l l e R^E et R^{P F C} ont les m ê m e s v a l e u r s que p r é c é d e m m e n t . P o u r les g r a n d s n o m b r e s de

R E Y N O L D S , cette e x p r e s s i o n tend v e r s la r e l a t i o n plus s i m p l e :

1

v y ² ¹ ^o ^g

[

( 1 — * ) R „

2,51 ^{+ 9}

3,7 D K

L a f o n c t i o n 9, qui d é p e n d de la densité des aspérités, doit être d é t e r m i n é e e x p é r i m e n t a l e - m e n t p o u r chaque type d'aspérité.

Il serait possible, d'une m a n i è r e a n a l o g u e , de traiter le cas d'une rugosité constituée par de grosses aspérités de densité v a r i a b l e sur un fond rugueux c o m p o r t a n t des aspérités de plus petite d i m e n s i o n . L ' e x p r e s s i o n g é n é r a l e de À que l'on obtiendrait dans ce cas serait assez c o m p l i q u é e . P o u r les g r a n d s n o m b r e s de R E Y N O L D S , cette expression d e v i e n t :

V X

= 2 I ° g P i

3,7 D K ,

3,7 I ) K „

K^t et Ko étant r e s p e c t i v e m e n t les hauteurs des grandes et petites aspérités (3, et p2 des quanti- tés f o n c t i o n r e s p e c t i v e m e n t de la densité de cha- cun des t y p e s d'aspérités. Si les grandes et petites aspérités sont d'un m ê m e t y p e , avec une m ê m e densité r e l a t i v e , on a :

1 et ^{1 1}

K² K .

K^c étant la hauteur d'aspérité unique é q u i v a l e n t e à l'ensemble.

Dans la p r a t i q u e industrielle, le t y p e de r u g o - sité N I K U R A D S E se rencontre assez r a r e m e n t . En particulier, la plupart des mesures industrielles portant sur des conduites p o u r la z o n e de tran- sition d o n n e une courbe de v a r i a t i o n de X en fonction de R,, qui ne présente pas l'inflexion caractéristique des courbes de N I K U R A D S E . Ceci est dû au fait q u e la rugosité la plus f r é q u e m -

109 X

Courbe pratique

Nikuradse

log Re

F I G . 9

L e s expressions que nous a v o n s i n d i q u é e s plus haut sont é v i d e m m e n t d'un m a n i e m e n t un peu l o u r d . N o u s a v o n s cherché à les simplifier, en faisant a p p a r a î t r e n o n pas d i r e c t e m e n t la hauteur des aspérités de la p a r o i et leur fonction d e densité, ce q u i n'est pas c o m m o d e , m a i s la hauteur d'aspérité d'une rugosité N I K U R A D S E é q u i - v a l e n t e aux très g r a n d s n o m b r e s de R E Y N O L D S

( d o m a i n e q u a d r a t i q u e ) . Il suffit, p o u r d é t e r m i - ner cette rugosité é q u i v a l e n t e , d'une seule m e - sure de perte de c h a r g e faite à une v a l e u r éle- vée du n o m b r e de R E Y N O L D S . L e coefficient de p e r t e de c h a r g e est alors d o n n é par l ' e x p r e s s i o n suivante :

1 V X -

= 2 log I L V X R t*N V X

~3?7 + 2,51

D a n s cette expression, R^E a la v a l e u r habi- tuelle et R , est le n o m b r e de R E Y N O L D S r e l a t i f à la hauteur KN de l'aspérité t y p e N I K U R A D S E

qui, dans le d o m a i n e du turbulent r u g u e u x , d o n n e la m ê m e p e r t e de c h a r g e q u e la conduite considérée. Cette f o r m u l e a l ' a v a n t a g e d'être v a - lable pour tout le d o m a i n e de l ' é c o u l e m e n t turbulent, du lisse p a r f a i t au r u g u e u x p a r f a i t et de donner, dans la z o n e de transition, une loi de v a r i a t i o n de X q u i c o n c o r d e avec la p l u p a r t des essais industriels.

(11)

M A R S - A V R I L 1954 L A H O U I L L E B L A N C H E 17.'.

I I I . — I N F L U E N C E D E L A F O R M E D E L A S E C T I O N

L E S S I N G U L A R I T É S nr R A Y O N H Y D R A U L I Q U E

N o u s a v o n s v u , au début de cet exposé, que si on a d m e t que la force tangentielle exercée par le fluide sur la paroi a la m ê m e v a l e u r en c h a q u e point de celle-ci, on v o i t apparaître dans l'expression de la p e r t e de c h a r g e le r a p p o r t de la section de la v e i n e au p é r i m è t r e de cette section. Ce rapport, appelé r a y o n h y d r a u l i q u e , suffit à caractériser la section si l'hypothèse de la constance de la force tangentielle T est bien vérifiée. Ce sera le cas n a t u r e l l e m e n t pour une section circulaire. On a l'habitude de traiter les sections non circulaires c o m m e des sections circulaires, en i n t r o d u i s a n t s i m p l e m e n t , dans l'expression de la perte de charge, la v a l e u r du r a y o n h y d r a u l i q u e q u i c o r r e s p o n d à la section considérée. Celte façon de p r o c é d e r a besoin d'être justifiée. O n sait, en effet, p a r f a i t e m e n t que, m i s à part le cas de la section circulaire, la force tangentielle à la p a r o i n'est générale- ment pas constante. Des mesures de répartition de vitesse p e r m e t t e n t de d é t e r m i n e r le gradient de vitesse à la paroi et par suite la force tangentielle. L e s résultats de ces mesures appliqués à différentes sections carrées, rectangulaires, trian- gulaires, etc., m e t t e n t toujours en évidence des v a r i a t i o n s importantes de T le l o n g des parois.

Mais, chose curieuse, en dépit de ces v a r i a t i o n s de T , on constate que tout se passe c o m m e si l'hypothèse de la constance de T était vérifiée. Il existe donc bien des variations locales de la v a l e u r de t, mais la valeur m o y e n n e pour tout le p é r i m è t r e de la section est telle que, en géné- ral, la perte de charge calculée brutalement en assimilant la section considérée à une section c i r c u l a i r e de m ê m e rayon h y d r a u l i q u e donne un résultat correct. Ceci, toutefois, n'est v a l a b l e que pour des sections pas trop anormales, c o m m e

le carré, le triangle, etc., mais ne s'applique- rait pas du tout à une section a n o r m a l e dans le g e n r e de celle figurée ci-dessus. En effet, pour une telle section, l ' e x p é r i e n c e m o n t r e que tout se passe c o m m e si seule la section circulaire i n t e r v e n a i t ; par contre, l'application brutale de

— O

F I G . 1 0

la règle du r a y o n h y d r a u l i q u e conduirait à une perte de c h a r g e e x a g é r é e par suite du d é v e l o p - p e m e n t excessif du p é r i m è t r e . Quand donc di- rons-nous q u ' u n e section est n o r m a l e ou anor- m a l e ? Affaire de bon sens? Dans tous les cas, toute section qui peut se d é c o m p o s e r aisément

en é l é m e n t s différents, c o m m e l ' e x e m p l e i n d i q u é ci-dessus, doit être effectivement d é c o m p o s é et non pas traité d'un seul bloc.

A v a n t de p o u r s u i v r e dans cette v o i e , il nous faut d'abord e x a m i n e r un aspect particulier de la notion de r a y o n h y d r a u l i q u e . Jusqu'ici, le r a y o n h y d r a u l i q u e tel que nous l ' a v o n s défini n;e s t q u ' u n e caractéristique g é o m é t r i q u e de la section c o n s i d é r é e .

U n é c o u l e m e n t avec perte de c h a r g e n'est pas autre chose qu'un p h é n o m è n e de t r a n s f o r m a - tion et de dissipation d ' é n e r g i e . L ' é c o u l e m e n t ayant lieu en r é g i m e u n i f o r m e , l ' é n e r g i e p o - tentielle de l'eau (pesanteur, p r e s s i o n ) est trans- f o r m é e à la p a r o i en é n e r g i e c i n é t i q u e de turbulence, cette dernière é n e r g i e diffusée dans toute la masse se t r a n s f o r m e ensuite en chaleur par f r o t t e m e n t v i s q u e u x . Considérons un tron- çon de conduite de section co, de p é r i m è t r e P et de longueur A /. Soil E, l'énergie p r o d u i t e à la paroi dans ce tronçon et EL> l'énergie dissi- pée en chaleur dans la masse. Si c, est l'éner- gie p r o d u i t e par unité de surface de la p a r o i , E, = e, P . A / , de m ê m e si c² est l ' é n e r g i e dis- sipée en chaleur par unité de v o l u m e , on aura E2 = « j ( i i i /. Dès lors, c o m m e E, = K2, on voit i m m é d i a t e m e n t q u e :

e¹P = e²o ) = e^{1 !}P . R / i c'est-à-dire :

IL, IV,

le rayon h y d r a u l i q u e apparaît alors c o m m e ie rapport de l ' é n e r g i e produite par unité de surface de paroi à l'énergie dissipée par unité de v o l u m e de la v e i n e fluide. Ceci en admettant, naturellement, que la production d ' é n e r g i e est u n i f o r m e sur toute la paroi el que la dissipation est u n i f o r m e dans loute la veine, ce qui nous r a m è n e à l'hypothèse initiale de l ' u n i f o r m i t é de l'effort langentiel à la paroi. Mais si on possède un m o y e n pour d é t e r m i n e r le v o l u m e dans le- quel se dissipe l ' é n e r g i e p r o d u i t e sur un élément donné de la paroi, il sera possible d'étendre les considérations précédentes au cas où l'effort langentiel ne sera pas u n i f o r m é m e n t réparti à la paroi. E v i d e m m e n t , il nous faut, pour cela, in- troduire d'autres éléments que les éléments g é o - m é t r i q u e s définissant la section. Supposons connue la répartition des vitesses dans la section sous la f o r m e de l'ensemble des courbes isola- ches. Si la turbulence est isotrope, le flux à tra- vers les courbes o r t h o g o n a l e s aux isotaches est nul et l'énergie dissipée dans la zone c o m p r i s e

c

(12)

17G L A H O U I L L E B L A N C H E M A R S - A V R I L 1954

entre la p a r o i el deux o r t h o g o n a l e s telles que A O et B O sera égale à l ' é n e r g i e p r o d u i t e sur l'élément de p a r o i A B , O n a donc le m o y e n de

F i e i l

d é l i m i t e r la z o n e de la v e i n e q u i c o r r e s p o n d à chaque é l é m e n t de la p a r o i .

L E S S E C T I O N S D E F O R M E C O M P L E X E

R e v e n o n s m a i n t e n a n t au p r o b l è m e de la d i v i - sion d'une section de f o r m e c o m p l e x e en sections é l é m e n t a i r e s . D ' a p r è s ce q u e nous v e n o n s de d i r e , si la r é p a r t i t i o n des vitesses est connue, le p r o b l è m e est i m m é d i a t e m e n t résolu, m a l h e u - reusement, ce ne sera g é n é r a l e m e n t pas le cas.

Il faudra donc adopter une d i v i s i o n approchée, en se guidant, par e x e m p l e , sur les n o r m a l e s à la p a r o i et sur les bissectrices des angles q u e for- m e n t entre eux les s e g m e n t s v o i s i n s constituant le p é r i m è t r e de la section. L a perte de c h a r g e pour une section é l é m e n t a i r e sera :

/ A h \ À ; llf 1/A

77,

"" - l i t ; 2 y

F i e . 12

chaque section é l é m e n t a i r e étant caractérisée par un coefficient de p e r l e de c h a r g e À ; , une vitesse m o y e n n e u^t et un r a y o n h y d r a u l i q u e R,,;. O n a ainsi autant d'expression de. la p e r t e de c h a r g e que de sections é l é m e n t a i r e s . Ces différentes e x - pressions sont liées par les r e l a t i o n s qui e x p r i - m e n t que la p e r l e de c h a r g e est la m ê m e p o u r toutes les sections é l é m e n t a i r e s , soit :

A h A h _ / A / i \ A /) .'A

Tji ~~ K'ïTji ~ ~ ~ ~

^!, T T ;^!j ~ ~ " " A T '

relations auxquelles il faut j o i n d r e l'expression de débit total :

Q = O), 1/, -f- 1 0² I I » + . f- 0>; U j - )

Si on se donne les valeurs de R / i;, u>£ ( d é d u i t e

du mode de d i v i s i o n de la section en sections é l é m e n t a i r e s ) de À qui sera le m ê m e p o u r tou- tes les sections, si la rugosité est Ja m ê m e , e l de Q on aura Ja perte de c h a r g e , ou au c o n - traire, on d é t e r m i n e r a le débit si on c o n n a î t la p e r t e de c h a r g e . Ce m o d e de d é t e r m i n a t i o n de la perte de c h a r g e p o u r une section de f o r m e q u e l c o n q u e est é v i d e m m e n t c r i t i c a b l e p a r suite de la façon a r b i t r a i r e dont sont d é t e r m i n é e s les sections é l é m e n t a i r e s et par suite des h y p o t h è - ses faites sur la r é p a r t i t i o n dans la v e i n e du t a u x de dissipation d ' é n e r g i e p a r unité du v o - l u m e du fluide, mais nous pensons q u ' e l l e est applicable dans de bonnes c o n d i t i o n s s'il n ' y a pas d ' a m b i g u ï t é sur la d é t e r m i n a t i o n des sections é l é m e n t a i r e s .

C A S ou L A P A R O I C O M P O R T E P L U S I E U R S T Y P E S D E R U G O S I T É

N o u s v e n o n s d ' e x a m i n e r le p r o b l è m e posé par l ' e m p l o i de sections non c i r c u l a i r e s p o u r l e s q u e l - les la n o t i o n de r a y o n h y d r a u l i q u e global s'avère insuffisante. E n v i s a g e o n s m a i n t e n a n t le p r o b l è m e posé par une c o n d u i t e q u e nous supposons à section c i r c u l a i r e p o u r simplifier, m a i s dont le p é - r i m è t r e c o m p o r t e des zones de rugosité différen- tes. U n tel p r o b l è m e se pose assez souvent dans la p r a t i q u e a v e c deux types de rugosité, par e x e m p l e une g a l e r i e dans le r o c h e r dont seul le r a d i e r est r e v ê t u d'un enduit lisse. O n peut penser tout d'abord à utiliser la m é t h o d e que nous v e n o n s d ' i n d i q u e r par la d i v i s i o n de Ja section en sections é l é m e n t a i r e s et cette m é t h o d e serait tout i n d i q u é e si on connaissait la répar- tition des vitesses dans la section. Cette r é p a r t i - tion n'étant pas connue, on effectuera Ja d i v i s i o n en sections é l é m e n t a i r e s d'après une r é p a r t i t i o n de vitesse d o n n é e à p r i o r i . A ce sujet, il faut noter que dans un canal dont la p a r o i c o m p r e n d plusieurs types de rugosité, la r é p a r t i t i o n des vitesses s'organise en sorte que les vitesses d i - m i n u e n t dans le v o i s i n a g e des r é g i o n s les plus rugueuses et a u g m e n t e n t dans le v o i s i n a g e des régions les plus lisses, ceci afin d'assurer l ' é g a l i t é des pertes de c h a r g e pour les différents canaux é l é m e n t a i r e s constituant la v e i n e . T e n a n t c o m p t e de cette r e m a r q u e , on pourra établir une d i v i - sion en sections é l é m e n t a i r e s aussi v r a i s e m b l a - ble que possible. P u i s on o p é r e r a c o m m e il a été i n d i q u é p r é c é d e m m e n t . D a n s le cas de deux ru- gosités, on aura par e x e m p l e :

F i e . 13