Solutions de la s´eance 3 - Pertes de charge

MECA 1855 Thermodynamique et Energ´etique

Solutions de la s´eance 3 - Pertes de charge

Rappel th´eorique

Les fluides en d´eplacement r´epondent `a l’´equation la plus g´en´erale du travail moteur w_m =−

Z 2 1

p dv+

Z entr´ee sortie

d(pv) + ∆²₁k+g∆²₁z+w_f qui, dans un syst`eme ouvert, se transforme en :

wm = Z 2

1

v dp+ ∆k+g∆z+w_f

Dans cette ´equation, en hydraulique, le terme de dissipations w_f est appel´e la perte de charge de l’´ecoulement. Elle correspond `a la diff´erence de charge entre l’entr´ee et la sortie du syst`eme (la charge a pour d´efinition : v p+g z+^v₂²).

On peut distinguer ces dissipations en deux termes : un terme de dissipations r´eguli`eres et des termes de dissipations singuli`eres. Le premier correspond aux pertes de charge inh´erente au d´eplacement du fluide dans une conduite ayant une certaine rugosit´e. Le second est dˆu aux ´el´ements perturbateurs de l’´ecoulement plac´es dans le syst`eme : coudes, r´etr´ecissements, ...

Les pertes de charge r´eguli`eres sont proportionnelles `a l’´energie cin´etique du fluide, `a la longueur de la conduite et invers´emenent proportionnelles au diam`etre.

w_f,reg =λL D

c² 2

Les pertes de charge singuli`eres s’expriment soit sous une forme similaire aux pertes de charges r´eguli`eres en estimant la perte d’´energie cin´etique dˆue `a la singularit´e par une longueur ´equivalente de canalisation, soit sous la forme :

w_f,sing =ξc² 2 o`u ξ est un param`etre de la singularit´e

Solution de l’exercice 1

Les pertes de charges r´eguli`eres en conduite sont donn´ees par la formule suivante : w_f =λL

D c²

2

Leur estimation n´ecessite le calcul de la vitesse du fluide : c= V˙

A =

60 3600 π×D²

4

= 0.9431 [m/s]

La valeur du param`etre λ s’obtient `a l’aide du diagramme de Moody. Ce diagramme n´ecessite le calcul de deux nombres adimensionnels : le Reynolds et le rapport entre rugosit´e et diam`etre de la conduite :

Re = ρeauc D µeau

= 1000×0.9431×0.15

1.002×10⁻³ = 1.42 ×10⁵ [−]

D = 0.1×10⁻³

0.15 = 6.67×10⁻⁴[−]

Par l’interm´ediaire du diagramme de Moody, on trouve un coefficient de pertes de charge de : 0.02, que l’on introduit dans le calcul des dissipations r´eguli`eres :

w_f =λ L D

c²

2 = 0.022000 0.15

c²

2 = 118.59 J

kg

L’´equation du travail moteur en syst`eme ouvert nous informe que : w_m =

Z

v dp+ ∆k+g∆z+w_f

Ce qui devient apr`es simplifications (conduite horizontale (g∆z = 0), ´ecoulement de liquide en section constante (∆k= 0), masse volumique constante) :

∆p=−ρ×w_f =−1.19 [bar]

La pression 2 km en aval de la pompe est de 6.81 [bar]

Solution de l’exercice 2

90 kPa

500 m

500 m 2500 m

2500 m

100 kPa 2

1 3

4 5 6

7 9 8

10 11 12

Fig. 1: Sch´ema du circuit

Les deux bassins sont ouverts `a l’atmosph`ere. Pour cette raison, la pression qui s’exerce

`

a leur surface est celle de l’atmosph`ere. Le bassin `a la pression la plus basse est simplement situ´e `a plus haute altitude. En cons´equence, le bassin A est le point bas du cycle tandis que le bassin B est son point haut.

Question a Le calcul de la puissance absorb´ee `a la pompe n´ecessite la connaissance du trvail moteur. En partant de sa formulation m´ecanique en syst`eme ouvert :

wm= Z 2

1

v dp+g∆z+ ∆k+w_f

on d´etermine rapidement plusieurs termes grˆace aux hypoth`eses suivantes : – l’eau est un liquide incompressible : ρ = 1000

hkg m³

i

= constante Z 2

1

vdp= p2−p1

ρ = −10000

1000 =−10J/kg

– les sections des conduites sont constantes, donc la vitesse du liquide ne varie pas entre les deux r´eservoirs (impos´e par la conservation du d´ebit massique).

˙

m1 = m˙2

ρ1A1c1 = ρ2A2c2

⇒ c1 = c2

⇒ ∆k = 0

– La diff´erence totale de hauteur est de 1000 m.

g∆z= 9.81×1000 = 9810J/kg

Il reste `a calculer les dissipations rencontr´ees par le fluide entre l’entr´ee et la sortie. Le terme des travaux dissipatifsw_f peut ˆetre subdivis´e en :

w_f = pertes r´eguli`eres en conduite + pertes filtre + pertes coudes + pertes vanne

= w_f1+w_f2+w_f3+w_f4 Pertes r´eguli`eres

Pour calculer les pertes r´eguli`eres en conduite : wf1=λl

d c²

2

Dont on peut d´eterminer tous les termes, la vitesse c ´etant ´egale `a : V˙

π ^D₄² =

30 3600 π0.06²

4

= 2.95 [m/s]

Le coefficientλse trouve dans le diagramme de Moody grˆace aux param`etresRe,µet: µ = 10⁻³

kg m s

Re = ρ D c

µ = 1000×0.06×2.95

0.001 = 1.8 10⁵ [−]

d = 50 10⁻⁶

60 10⁻³ = 8.3 10⁻⁴ [−]

⇒ λ = 2.05 10⁻²[−] (via le diagramme de Moody)

Les dissipations r´eguli`eres se calculent donc : w_f1 = 2.05 10⁻²× 6000

0.060×2.95²

2 = 8903.8 [J/kg]

Pertes singuli`eres

Les travaux dissipatifs dans le filtre sont calcul´es comme suit : wf2 =ξc²

2 = 17.37 [J/kg]

Et les travaux dissipatifs dans les coudes et la vanne sont calcul´es sur base des longueurs droites ´equivalentes :

w_f3 =λ(3×L_eq3) D

c²

2 = 18.7 [J/kg]

w_f4=λLeq4

D c²

2 = 31.16 [J/kg]

Pertes totales

Au total, on a donc :

w_f = 8971 [J/kg]

On remarque imm´ediatement que 99.25% des dissipations subies par le fluide pro- viennent de dissipations r´eguli`eres et que la pr´esence de singularit´es a un effet plutˆot n´egligeable sur l’´evolution de pression dans la conduite.

Ce qui donne un travail moteur massique de :

wm =−10 + 9810 + 8971 = 18771 [J/kg]

Cette ´equation montre de plus que la diff´erence de pression entre les deux bassins a un rˆole n´egligeable. La diff´erence de pression dˆue `a la diff´erence de hauteur de colonne d’air s’appliquant sur les deux bassins est en effet 1000 fois moins importante que la diff´erence de pression dˆue `a la mˆeme hauteur de colonne d’eau dans les conduites. Par ailleurs, on remarque que pour ce type d’installation, les dissipations r´eguli`eres ont un ordre de gran- deur similaires `a la variation d’´energie potentielle.

On note aussi que ces remarques ne sont valables que pour cette g´eom´etrie particuli`ere des conduites. En effet, pour des conduites de diam`etres doubles (D = 0.12 [m]), la vitesse du fluide ´etant beaucoup plus faible (c = 0.74 [m/s]) et le coefficient de perte de charge quasi inchang´e (Re = 0.9 10⁻⁵, λ = 2.4), les pertes de charge r´eguli`eres seraient diminu´ees de fa¸con extrˆemement importante :

wf,reg = 0.024×6000

0.12 ×0.74²

2 = 328.56 [J/kg]

Soit, pr`es de trente fois moins de pertes r´eguli`eres en doublant le diam`etre des conduites.

Calcul des puissances

La puissance utile est le produit du d´ebit massique et du travail moteur hkg

s

i

×h

J kg

i . Elle vaut donc :

Pu =wmm˙ = 156kW

Et la puissance absorb´ee (puisque la machine est r´eceptrice, la puissance consomm´ee par la pompe est plus importante que celle qui est r´eellement transmise au fluide en raison des pertes internes `a la pompe) :

P = Pu

η = 223kW

Question b Dans cette partie de l’exercice, on isole la pompe pour la consid´erer comme un syst`eme complet auquel on va appliquer les lois de conservation. La pression d’aspira- tion est la pression `a l’entr´ee de la pompe, la pression de refoulement celle `a sa sortie.

Ces deux pressions (d’aspiration et de refoulement) d´ependent donc fortement de l’en- droit o`u est plac´e la pompe. L’analyse du circuit montre que la pression ne va faire que d´ecroˆıtre lorsqu’on passera du bassin bas au bassin haut. Il est donc important de placer la pompe de fa¸con `a ce qu’en aucun point du circuit la pression n’atteigne le vide ab- solu (pression nulle) ou mˆeme devienne th´eoriquement n´egative (ce qui est impossible). La pression dans le premier bassin n’´etant pas tr`es importante (simplement ´egal `a la pres- sion atmosph´erique), la pompe est id´ealement plac´ee `a sa sortie. Il est en effet n´ecessaire qu’elle soit plac´ee au point le plus bas du circuit pour pouvoir fonctionner correctement.

La pression d’aspiration vaut donc :

p_aspiration= 100kP a

NB : On verra dans les tp suivants que ce placement (pourtant id´eal) ne permettrait pas de faire fonctionner la pompe. En effet, le NPSH ne sera pas suffisant pour ´eviter la cavitation (`a peine 0.95 m dans ce cas). Pour ´eviter ce probl`eme, il faudrait introduire la profondeur du bassin A et pr´eciser que l’aspiration du circuit et la pompe sont bien plac´es au plus bas de ce bassin (ce qui augmenterait le NPSH de la hauteur de colonne d’eau dˆue

`

a la profondeur du bassin).

La pression de refoulement est la pression n´ecessaire pour supporter toutes les pertes de charge qui suivent dans le circuit et r´ealiser ainsi l’objectif de la pompe. La diff´erence de pression peut ˆetre ´evalu´ee sur base de l’´equation du travail moteur, appliqu´ee entre l’entr´ee et la sortie de la pompe (syst`eme ouvert) :

wm= Z

v dp+ ∆k+g∆z+wf

Ce qui nous permet d’estimer la diff´erence de pression que doit appliquer la pompe :

∆p=w_mρ

Et donc au final, permet le calcul de la pression de refoulement : prefoulement = 100 + 18771 = 18871 [kP a] = 189 [bar]

Question c La r´esolution qui suit est bas´ee sur la configuration du circuit repr´esent´ee `a la figure 1.

Pour chaque tron¸con ou ´el´ement, la chute de pression est calcul´ee sur base de l’´equa- tion suivante, ais´ement d´eduite de l’´equation du travail moteur (dans aucun des tron¸cons

repr´esent´es, il n’y a d’organes moteurs) :

∆p=−w_fρ−ρ g∆z

On note directement que les pertes de pression auront des allures diff´erentes entre les conduites horizontales et les conduites verticales. Le tableau 1 donne les pressions en tous les points du circuit, et la figure 2 montre cette ´evolution le long du circuit.

Position Pertes Pression

1 - Sortie pompe - 188,71bar

2 Longueur droite (2500m) 151,61bar

3 Coude 151,55bar

4 Longueur droite et colonne d’eau (250m) 123,31bar

5 Filtre 123,14bar

6 Longueur droite et colonne d’eau (250m) 94,91bar

7 Coude 94,84bar

8 Longueur droite (1250m) 76,30bar

9 vanne 75,98bar

10 Longueur droite (1250m) 57,43bar

11 Coude 57,37bar

12 Longueur droite et colonne d’eau (500m) 0,9bar Tab. 1:Evolution de la pression

Fig. 2:Evolution de la pression le long du circuit

On note clairement sur le tableau 1 que les singularit´es ont un effet n´egligeables sur les variations de pressions (entre 0.06 bar et 0.17 bar seulement) et qu’elles n’apparaissent donc pas clairement sur la repr´esentation des variations de pression 2.

Solution de l’exercice 3

Question a Les travaux dissipatifs dans l’´elargissement brusque sont calcul´es comme suit :

w_f = c²₁

2(1−β²)²

La vitesse c1 `a l’entr´ee de l’´elargissement est calcul´ee sur base du d´ebit massique, de la masse volumique, et de la section annulaire d’entr´ee :

˙

m = ρ A c

→ c₁ = m˙ ρ

1 π(r_1e² −r_1i²)

→ c₁ = 660 0,376

1

π(2,2²−1,5²) = 215.7m/s

Le facteur β² ´etant le rapport des aires d’entr´ee et de sortie, on calcule :

β² = A_e

A_s = π(r_1e² −r_1i²) π(r₂²)

→ W_f = c²₁

2(1−r_1e² −r_1i² r₂² )²

→ W_f = 215.7²

2 (1−2.2²−1,5²

2.5² )²= 7978J/kg

Sous l’hypoth`ese ∆z= 0, on peut donc calculer la perte de pression totale (la pression totale est la somme de la pression statique et de la pression dynamique) :

w_m = Z

v dp+g∆z+ ∆k+w_f

→ ∆ptot = (p2−p1) +ρc²₂−c²₁

2 =−ρW_f

→ ∆p_tot = 3000P a Question b Sur base de la r´ef´erence, on trouve :

k₁= 1.2 ϕ_d= 0.25 On a donc :

∆p_tot = 0.376×215.7²

2 ×1.2×0.25×(1−0.4144)²

∆p_tot = −900P a

Question c Sur base des chutes de pressions totales, et connaissant l’´evolution de la pression dynamique, on peut calculer les variations de pression statique. La variation de pression dynamique vaut dans les deux cas :

∆pdyn = ρc²₂−c²₁ 2

∆p_dyn = −7247P a La pression statique en sortie de turbine vaut donc : p1 =p2+ ∆pdyn−∆ptot

Dans le cas de l’´elargissement brusque, on obtient :

p1 = 101300−7247 + 3000 = 97053P a Et dans le cas du diffuseur :

p1 = 101300−7247 + 900 = 94953P a

Question d Les faibles diff´erences de pression statique justifient l’hypoth`ese selon laquelle la masse volumique est constante.

Solution de l’exercice 4 - Diaphragme

De l’´equation m´ecanique du premier principe de la thermodynamique : w_m =

Z ₂

1

v dp+ ∆k+g∆z+w_f

On simplifie l’´equation en conduite horizontale sans organe moteur (d’un fluide incom- pressible) avec les indices suivants :

1 Prise de mesure en amont du diaphragme 2 Prise de mesure en aval du diaphragme 3 Plan de vitesse maximale (vena contracta)

p₂ ρ +c²₂

2 = p₁ ρ +c²₁

2 −w_f

Ce qui nous donne une ´equation `a trois inconnues (w_f,c₂ etc₁). Deux relations suppl´e- mentaires sont n´ecessaires. Par conservation du d´ebit, on peut estimer une relation liant les vitesses :

c₁ρ A₁ = c₂ρ A₂ =c₃ρ A₃

⇒ c1 = c3

c2 = A1

A2

c1

Un diaphragme est un organe d´eprimog`ene (par cr´eation d’une diff´erence de pression) de mesure de d´ebit.

c²₂ 2

1−A²₂

A²₁

= p₁−p₂ ρ −Wf

Les sections A₁ et A₂ correspondent aux sections amont et avals du diaphragme o`u l’on peut consid´erer que le champ de vitesse est uniforme. On pose l’hypoth`ese que les pertes de charge entre l’amont du diaphragme et le col sont n´egligeables. Il s’agit d’une hypoth`ese acceptable car les dissipations relatives `a la partie convergente de l’´ecoulement sont tr`es nettement inf´erieurs `a celles lors d’un ´epanouissement (c’est dˆu au fait que dans un convergent, le fluide acc´el`ere et ralentit dans un divergent). On se ram`ene donc `a une

´egalit´e de type Bernoulli :

c₂ = v u u u t

2^p1−p_ρ ²

1−^A22

A²₁

Pour calculer la vitesse du fluide, il est maintenant n´ecessaire de calculer les diam`etres de la veine fluide aux sections de passage 1 et 2. La simplification usuelle consiste `a ´ecrire la relation suivante :

A²₂ A²₁

∼= A²_d A²_D

o`u la section Ad repr´esente la section de passage au col du diaphragme et AD la section de la conduite. On en d´eduit donc que :

Ad

AD

= πd² πD² =β²

o`u β repr´esente le rapport des diam`etres (c’est une caract´eristique donn´ee par le fabri- quant).

Ce qui permet de r´e´ecrire la vitesse :

c_2,approx. = v u u u t

2^p1−p_ρ ²

1− _A^A2^2d D

= s

2^p1−p_ρ ²

(1−β⁴) = 2.0261 [m/s]

Ceci dit, l’hypoth`ese qui est faite l`a entraine une certaine d´eviation par rapport `a la r´ealit´e. Ces d´eviations sont prises en compte dans la litt´erature par l’utilisation d’un

coefficient de d´echarge : C_D = 0.5959 + 0.0312β^2.1 −0.1840β⁸ + 0.029β^2.5

10⁶ ReD

0.75

qui prend en compte d’une part la d´eviation due `a la diff´erence de rapport de sections et d’autre part les quelques pertes de charge entre les prises de mesure en 1 et 2. La formule de la litt´erature est donc la suivante :

c_2,CD = C_D p1−β⁴

r

2p₁−p₂ ρ

Le calcul de la vitesse en 1 s’obtient alors ais´ement c₁= A_d

A_D c_2,approx.= 0.8104 [m/s]

c1 = A2

A₁ c_2,CD Pertes de charge en sortie de conduite

Les pertes de charge dans cette conduite peuvent ˆetre provoqu´ees par quatre obstacles

`

a l’´ecoulement diff´erents :

– Une perte de charge r´eguli`ere intervient le long de la conduite amenant au dia- phragme. Cette perte ne peut ˆetre mod´elis´ee car aucune information n’est donn´ee sur la longueur de conduite en amont du diaphragme.

– Une perte de charge singuli`ere due au r´etr´ecissement de la veine fluide au passage vers le diaphragme. Cette perte de charge est consid´er´ee comme n´egligeable. En effet, le fait que le fluide est en pleine acc´el´eration renvoie les variations de pressions au second ordre.

– Une seconde perte de charge singuli`ere due `a l’´elargissement brusque de la veine fluide en sortie du diaphragme.

– Une perte de charge r´eguli`ere le long de la conduite reliant le diaphragme `a l’´el´ement suivant de l’installation (situ´e `a 9 fois le diam`etre de l`a)

L’expression des pertes de charge en ´elargissement brusque s’exprime simplement :

w_f,el.br.= 1−β²2c²₂

2 = (1−0.16)² 2.0261²

2 = 0.2315 [J/kg]

La vitesse utilis´ee dans cette expression correspond `a la vitesse de passage dans le diaphragme. Car une perte de charge r´eguli`ere est au final une mesure de la dissipation de l’´energie cin´etique de l’´ecoulement avant l’obstacle.

Tandis que l’expression des pertes de charge en conduite s’exprime de fa¸con habituelle (o`u l’on n’oublie pas que la vitesse apr`es et avant diaphragme est identique en raison de l’incompressibilit´e de l’eau et de la constance de la section) :

w_f,reg.=λL D

c²₁

2 = 0.07×9×0.81²

2 = 1.4483 [J/kg]