permanents et pertes de charge

(1)

Viscosité d’un fluide

Observations - Conclusions

Formalisation

Régimes d’écoulement

Pertes de charge régulières

Notion de pertes de charge régulières

Pertes de charges linéaires dans une canalisation à section constante

Coefficient de pertes de charges linéaires

Abaques de Nikuradze

Pertes de charge singulières

Equation de Bernoulli généralisée

Fluides réels, écoulements

permanents et pertes de charge

(2)

Formalisation

Fluides réels, écoulements

permanents et pertes de charge

(3)

Formalisation

Fluides réels, écoulements

permanents et pertes de charge

(4)

Formalisation

Fluides réels, écoulements

permanents et pertes de charge

(5)

Formalisation

Fluides réels, écoulements

permanents et pertes de charge

(6)

Formalisation

Fluides réels, écoulements

permanents et pertes de charge

(7)

Observations – conclusions.

• L'eau, l'huile, le miel coulent différemment : l'eau coule vite, mais avec des tourbillons ; le miel coule lentement, mais de façon bien régulière.

observations

•La chute d'un parachutiste se fait à vitesse constante, contrairement à la loi de la chute libre.

•La pression d'un liquide réel diminue tout au long d'une canalisation dans laquelle il s'écoule, même si elle est horizontale et de section uniforme, contrairement au théorème de Bernoulli.

(8)

• Dans un fluide réel, les forces de contact ne sont pas perpendiculaires aux éléments de surface sur lesquelles elles s'exercent. La viscosité est due à ces frottements qui s'opposent au glissement des couches fluides les unes sur les autres.

conclusions

•Les phénomènes dus à la viscosité des fluides ne se produisent que lorsque ces fluides sont en mouvement

(9)

Formalisation.

La viscosité correspond à la résistance du fluide vis-à-vis de sa mise en mouvement. C’est une réponse à une contrainte de cisaillement.

v r

F A

y

x

h

(10)

A

F

est une contrainte

h v r

est une gradient de vitesse

A F

h v r

plastique

newtonien

épaississant

parfait

(11)

On généralise cette notion au niveau infinitésimal

A

xy

F → τ

y v h

v

∂

→ ∂ r

On définit ainsi la viscosité dynamique, ou absolue

y y v

v

xy

∂

= ∂

∂ ⇔

= ∂ τ

µ µ

τ

C’est une sorte de module d’Young ou de module de Coulomb [rappelez vous les milieux continus].

(12)

Pour un fluide parfait, µ=?

O₂(20 °C) H₂ (20 °C) glycérol (20 °C) huile d'olive (20 °C)

eau (100 °C) eau (20 °C)

eau (0 °C) Fluide

1,95·x 10^–5 0,860·x 10^–5

≅ 1,0

≅ 100·x 10^–3 0,2818·x 10^–3

1,002·x 10^–3 1,787 x 10^–3

µ (Pa·s)

L’unité de µ est le Pa.s ou le Poiseuille []=Pl.

Elle dépend de la température et de la pression.

La viscosité des liquides diminue beaucoup quand T augmente.

(13)

On définit aussi la viscosité cinématique

( ^∂ ^v

^xy

^∂ ^y )

=

= ρ /

τ ρ

ν µ

Alors [ν]=m²/s

(14)

Formalisation

Fluides réels, écoulements

permanents et pertes de charge

(15)

On visualise un filet coloré dans un tube de verre.

[expériences de Reynolds]

1 – le filet reste net et régulier, parallèle à l’axe du tube : l’écoulement est laminaire.

(16)

2 – le filet devient irrégulier, mais ne se rompt pas : l’écoulement est intermédiaire.

(17)

3 – le filet oscille, vibre, se rompt : l’écoulement est turbulent.

(18)

Aspects quantitatifs

On définit le nombre de Reynolds par

µ ρ ν

D

D v

Re = v =

L’expérience montre qu’on peut séparer les différents régimes d’écoulement par :

Re < 2000 : le régime est laminaire

2000 < Re < 3000 : le régime est intermédiaire Re > 3000 : le régime est turbulent

La transition entre ces régimes est progressive.

vitesse moyenne viscosité cinématique

diamètre de la conduite

(19)

Un exemple : les écoulements industriels de l’eau.

Pour l’eau, à 20°C, µ = 1,002·x 10^–3

Que vaut la viscosité cinématique?

Quelle doit être le diamètre des conduites et la vitesse du fluide pour que les écoulements soient laminaires?

1 2

6 3

3

s . m 10 10

10

⁻ ₋ ₋

=

= ρ ν µ

3 6

-

2 . 10 10

2000 vD

v 2000

Re = < ⇔ < × =

⁻

ν

D

(20)

5 m 1 m 100 mm

10 mm

Diamètre de la canalisation

0,0004<1 mm/s !...

0,002 m/s 0,02 m/s

0,2 m/s

Vitesse d’écoulement

Ce régime d’écoulement est très rare. Ce n’est le cas que si le fluide est très visqueux.

(21)

Formalisation

Fluides réels, écoulements

permanents et pertes de charge

(22)

Bilan d’énergie mécanique entre deux points d’une canalisation

1 2

1 1

2 1

2 z

g p g

v + +

ρ

² ²

2 2

2 z

g p g

v + +

ρ

Si Bernoulli : ² ₂

2 2 1

1 2

1

2 2 z

g p g

z v g

p g

v + + = + +

ρ

(23)

On tient compte de la viscosité, l’énergie mécanique diminue

12 2

2 2

2 1

1 2

1

2 2 z H

g p g

z v g

p g

v + + = + + + ∆

ρ ρ

A priori, les pertes de charges sont des fonctions de z.

Peu satisfaisant en pratique → on globalise.

Notion de vitesse moyenne ou vitesse débitante

S v

_m

= Q

12 2

2 2

2 2 1

1 2

1

2 2 z H

g p g

z v g

p g

v

_m _m

∆ + +

+

= +

+ α ρ

α ρ

et on écrira

(24)

12 2

2 2

2 2 1

1 2

1

2 2 z H

g p g

z v g

p g

v

_m _m

∆ + +

+

= +

+ α ρ

α ρ

Sens de α?

dx

) ( z v r

2

2 1 dmv E

_c

=

dtds z

v dx

ds dV

dm = ρ = ρ × = ρ ( )

( ) ^ds ^v ^dsdt

E

_c ³

2 1 ρ

=

( ) ∫∫

∫∫ ⁼

=

S S

c

E ds v dsdt

E

³

2 1 ρ

(25)

dt Sv

Vv mv

E

_c _m² _m² _m³

2 1 2

1 2

1 α ρ α ρ

α = =

=

( ) ∫∫

∫∫ ⁼

=

S S

c

E ds v dsdt

E

³

2 1 ρ

∫∫ ^⎜⎜ _⎝ ^⎛ ^⎟⎟ _⎠ ^⎞

=

S m

v ds v S

1

3

α

Pour un fluide parfait, α=1

Pour un écoulement laminaire, α=2 [on fera le calcul explicite]

Pour un écoulement turbulent, α≅1.

(26)

Ces résultats sont-ils étonnants, prévisibles?

parfait [α=1] laminaire [α=2] turbulent [α≅1]

couche limite On fera le calcul explicite

un peu plus loin.

(27)

12 2

2 2

2 2 1

1 2

1

2 2 z H

g p g

z v g

p g

v

_m _m

∆ + +

+

= +

+ α ρ

α ρ

Pour conclure, on peut commencer à

généraliser l’Equation de Bernoulli pour les fluides réels, avec pertes de charge

régulières.

Peut on être quantitatif dans des cas particuliers?

[c’est-à-dire, peut on calculer ∆H?]

(28)

Pertes de charge régulières dans une canalisation à section droite.

L

S χ

On considère que l’effet de la viscosité est un effet d’entraînement de la canalisation par le fluide.

pression frottement

F

F =

Régime permanent

pression

frottements visqueux

(29)

Forces de frottement :

L F

_frottement

= τ × χ ×

Forces de pression :

2 1

pression

F F

F = −

ds F

1

d d F

₂

( ^p ^z ^p ^z ) ^ds ^p ^z ^ds

F d F

d

₁

−

₂

=

₁

( ) −

₂

( ) = δ ( )

[τ=contrainte le long de la paroi]

(30)

12 2

2 2

2 2 1

1 2

1

2 2 z H

g p g

z v g

p g

v

_m _m

∆ + +

+

= +

+ α ρ

α ρ

La géométrie de la canalisation implique

* débit constant, donc vitesse moyenne aussi

* α constant le long de la canalisation.

On en déduit :

)

12

( z g H p = ρ ∆ δ

12

pression

p ( z ) gS H

F

S

∆

=

= ∫∫ ^δ ^ρ

H

12

gS

L = ρ ∆

τχ

(31)

Expérimentalement, on observe que

2

2 m f

C v ρ τ =

où C_f est un coefficient sans dimension. On obtient pour la perte de charge :

12 2

2 L gS H C

_f

v

^m

χ = ρ ∆ ρ

S L g

C v

H

_f ^m

χ

2

2 12

=

∆

En hydraulique, on appelle S/χ le rayon hydraulique R_H et par définition, on note D_H=4R_H le diamètre hydraulique.

(32)

Remarque : pour une canalisation circulaire, R_H=R/2 et D_H=D.

g v D C L

S L g

C v

H

_f ^m _f ^m

4 2 2

2 2

12

= =

∆ χ

Coefficient de pertes de charge linéaires.

Il est d’usage de noter pour les pertes

de charge.

g

v D H L

2

2 12

= Λ

∆

v=Q/S est la vitesse moyenne, L la longueur de l’écoulement. Λ s’appelle le coefficient de pertes de charge régulières; il est fonction du régime de l’écoulement.

Généralement, seule une détermination expérimentale de Λ est possible.

(33)

réservoir

∆p

L

∅=k

∅=D

Expérience de Nikuradze : Reynolds + modification de l’état de la canalisation en collant des grains de sable.

Abaques de Nikuradze.

(34)

• In general, friction factor

– Function of Reand roughness

• Laminar region

– Independent of roughness

• Turbulent region – Smooth pipe curve

• All curves coincide @

~Re=2300

– Rough pipe zone

• All rough pipe curves flatten out and become independent of Re

Re

= 64 f

( )^Re¹^/⁴ ^Blausius

f = k Rough

Smooth

Laminar Transition Turbulent

Blausius OK for smooth pipe )

(Re,D F e f =

Re

= 64 f

2 9 . 10 0

Re 74 . 5 7 . log 3

25 . 0

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

D e f

(35)

Abaques de Nikuradze [diagramme de Moody]

(36)

(37)

Formalisation

Fluides réels, écoulements

permanents et pertes de charge

(38)

La géométrie des écoulements peut être singulière

g K v

H

^m

2 =

2

∆

K est sans dimension

Il se rapporte à l’endroit où on mesure la vitesse moyenne!

1 2

g K v

H 2

2 1 1 12

=

∆ g

K v

H 2

2 2 2 12

=

∆

(39)

Formalisation

Fluides réels, écoulements

permanents et pertes de charge

(40)

∑

∑ ^Λ ⁺

+ +

+

= +

+

j

j j i

i i i i m

m

g K v

g v D z L

g p g

z v g

p g

v

2 2

2 2 2

2 2

2 2 1

1 2

1

α ρ

Généralisation de l’équation de Bernoulli, avec pertes de charges régulières et singulières.

permanents et pertes de charge

Fluides réels, écoulements

permanents et pertes de charge

Fluides réels, écoulements

permanents et pertes de charge

Fluides réels, écoulements

permanents et pertes de charge

Fluides réels, écoulements

permanents et pertes de charge

Fluides réels, écoulements

permanents et pertes de charge

Fluides réels, écoulements

permanents et pertes de charge

v r

F A

y

x

h

A

F

h v r

A F

h v r

A

F → τ

y v h

v

∂

→ ∂ r

y y v

v

∂

= ∂

∂ ⇔

= ∂ τ

µ µ

τ

( ∂ v

∂ y )

=

= ρ /

τ ρ

ν µ

Fluides réels, écoulements

permanents et pertes de charge

µ ρ ν

D

D v

Re = v =

s . m 10 10

10

=

=

= ρ ν µ

2 . 10 10

2000 vD

v 2000

Re = < ⇔ < × =

ν

D

Fluides réels, écoulements

permanents et pertes de charge

2 z

g p g

v + +

ρ

2 z

g p g

v + +

ρ

2

2 z

g p g

z v g

p g

v + + = + +

ρ

ρ

2

2 z H

( ^∂ ^v

^∂ ^y )

( ) ^ds ^v ^dsdt

∫∫ ⁼

∫∫ ⁼

∫∫ ^⎜⎜ _⎝ ^⎛ ^⎟⎟ _⎠ ^⎞