LA (-3)-RECONSTRUCTION DES TOURNOIS A AU MOINS 14

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LA (-3)-RECONSTRUCTION DES TOURNOIS A AU MOINS 14

Mohamed Sghiar

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Mohamed Sghiar. LA (-3)-RECONSTRUCTION DES TOURNOIS A AU MOINS 14. 2010. �hal- 01169546v1�

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LA (-3)-RECONSTRUCTION DES TOURNOIS A AU MOINS 14 ELEMENTS

9 novembre 2010, Version 1

Par

MOHAMED SGHIAR msghiar21@gmail.com

9 All´ee Jean Bernard Bossu, 21240 Talant, France.

Abstract: The purpose of this article is to prove that any finite tournament with at least 14 vertex, is (-3)-reconstructible.

Résumé: Le but de cet article est de démontrer que tout tournoi à au moins 14 sommets est (-3)-reconstructible.

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PRELIMINAIRE

INTRODUCTION

On sait que la fameuse conjecture d’Ulam [14] sur la (-1)-reconstruction des graphes a ´et´e contredite dans le cas des tournois par P. K. Stockmeyer [13 ].

Suite à ce résultat, dans [1], monsieur Maurice Pouzet a donné une nouvelle formulation de la conjecture d’Ulam :

” Trouver le plus petit entier h tel que toute relation binaire de base finie est (-h)-reconstructible d´es que sa base est de cardinal suffisamment grand”. En 1987, G. Lopez et C. Rauzy, ont obtenu dans [10] et [11] : 2≤h≤4.

Le but de cette article est de démontrer la (−3)−reconstructiondes tournois finis à au moins 14 éléments.

Dans le premier chapitre, je vais d’abord démontrer dans la proposition 1 la (−1,−3)−reconstruction des tournois à au moins 9 éléments.

Pour d´emontrer la (-3)-reconstruction des tournois dans certains cas, A.

Boussairi et Y. Boudabbous, dans [2] et [4], ont démontré que tout tournoi décomposable et de cardinaln≥12 est (−1,−2,−3)−reconstructible. Leurs travaux vont me servir dans les autres chapitres pour aboutir à la preuve de la (-3)-reconstruction des tournois à au moins 14 éléments.

Dans le deuxième chapitre, je montrerai la (−3) −reconstruction des tournois fortement connexes, décomposables et de cardinal au moins égal à 12.

Dans le troisième chapitre, je montrerai la (−3)− reconstruction des tournois symétriques à au moins 12 éléments.

Dans le quatri`eme chapitre je montrerai la (−3) −reconstruction des

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tournois fortement connexes et de cardinal au moins ´egal `a 12.

Dans le cinquième chapitre je montrerai la (−3) −reconstruction des tournois non fortement connexes et de cardinal au moins égal à 14.

Enfin, dans le sixième chapitre, je conclurai à la (−3)−reconstruction des tournois à au moins 14 éléments.

Les conjectures sur la (-3)-reconstruction et la (−2)−reconstruction des relations binaires de cardinal assez grand restent ouvertes.

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NOTATIONS ET DEFINITIONS

Etant donnée une relation binaire R de base E, et quatre éléments a, b, c, et d de E, la restriction R/{a, b, c, d} est un dite un diamant si elle est un tournoi ayant un et un seul 3-cycle. Si R/{b, c, d} est ce 3-cycle, alors a est dit le sommet (ou la pointe) de ce diamant. Si en plus R/{a, b}= +, alors ce diamant est dit positif, sinon il est dit négatif.

Etant donnée une relation binaire R de base E, si x est un élément de E, on notera S⁺(x) l’ensemble des diamants positifs contenant x et dont x n’est pas sommet de son 3-cycle. De même on définit S⁻(x).

Si X est une partie de E, on note D_X⁺ l’ensemble des diamants positifs contenus dans X et D_X⁻ l’ensemble de diamants n´egatifs contenus dans X, et on pose :

µ(X) = card(D_X⁺)−card(D⁻_X).

Si D est un ensemble de diamants, on note D⁺(resp. D⁺) son sous ensemble de diamants positifs (resp. n´egatifs), et par convention on note :

µ(D) =card(D⁺)−card(D⁻).

On d´efinit l’application S(T) de E dans l’ensemble des entiers relatifs Z par : S(T)(x) =card(S⁺(x))−card(S⁻(x)).

Si X est une partie de la base E, on note D_1,X l’application de X dans Z qui à x ∈ X associe: D_1,X(x) = card(D⁺_X(x))−card(D_X⁺(x)), où D⁺_X(x) est l’ensemble des diamants positifs contenant x et dont les autres sommets sont contenus dans X, et D_X⁻(x) est l’ensemble des diamants négatifs contenant x et dont les autres sommets sont contenus dans X. On pose :

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χ² ={(x, y)∈X²/x6=y}

χ³ ={(x, y, z)∈X³/x6=y, x6=z et y6=z}

Et on d´efinit les applications D_2,X etD_3,X comme suit :

D_2,X est l’application de χ² dans Z qui `a (x, y) ∈ χ² associe D_2,X(x, y) = card D_X⁺(x, y)

−card D_X⁻(x, y)

o`uD⁺_X(x, y) est l’ensemble des diamants positifs contenant x et y et dont les autres sommets sont dans X et D_X⁻(x, y) est l’ensemble des diamants n´egatifs contenant x et y et dont les autres sommets sont dans X.

On définit de même l’application D_3,X de χ³ dans Z comme suit : D_3,X est l’application de χ³ dans Z qui à (x, y, z)∈χ³ associe :

D_3,X(x, y, z) = card D_X⁺(x, y, z)

- card D⁻_X(x, y, z) .

O`u D⁺_X(x, y, z) est l’ensemble des diamants positifs contenant x , y, et z et dont l’autre sommet est dans X et D_X⁻(x, y, z) est l’ensemble de diamants n´egatifs contenant x , y, et z et dont l’autre sommet est dans X.

Si C(E) est l’ensemble des 3-cycles de E, nous noterons D( T ) la restriction de D_3,E à C(E), les applications D_1,E, D_2,E, D_3,E et S(T) sont appelées respectivement les applications écarts de diamants de type 1, 2, 3 , et S.

Le dual T* de T est le tournoi de même base que celle de T et défini par : T*(x, y) = T(y, x). Pour tous éléments x et y de E.

Disons qu’une restriction I d’une relation binaire R de base E est un R- intervalle si pour tout élément x de E-I, chacune des valeurs R(x, i) et R(i, x) est indépendante du choix de i dans I. Les singletons, le vide et la base entière sont des intervalles dit triviaux.

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Soit R une relation binaire, A une partition de la base en intervalles propres non vides et S le quotient R/A; on dit que R est dilat´e de S. Si R n’admet aucun intervalle trivial, alors R est dite ind´ecomposable.

Un double-diamant est un tournoi à 5 éléments obtenu à partir d’un diamant en dilatant son sommet par une chaˆıne de cardinal 2. Si le diamant est positif le double-diamant est dit positif, sinon le double-diamant est dit négatif.

Si R et R’ sont deux relations binaires de base E, un chemin de diff´erence liant deux points distincts x et y de E est une suite de pointsx=x₁, ..., x_n=y v´erifiant : R(x_i, x_j)6=R(x_j, x_i),R⁰(x_i, x_j)6=R⁰(x_j, x_i),∀i, j ∈ {1, ..., n}etj6=

i; et R(x_i, x_j)6=R⁰(x_i, x_j)∀i∈ {1, ..., n−1}etj=i+ 1.

S(R, R’) est la relation définie par : Deux points x et y de E sont en relation par S(R, R’) si et seulement si x = y ou si x et y sont liés par un chemin de différence.S(R, R’) est une relation d’équivalence et ses classes sont appelées les classes de différences.

Soient n et k deux entiers naturels avec k≤n. Deux relations binaires R et R’ de mˆeme base E de cardinal n sont dites (k)-hypomorphes (resp.(-k)- hypomorphes) si elles sont isomorphes sur toute partie de E de cardinal k ( resp. de cardinal n-k).

Les deux relations R et R’ sont dites (x₁, ..., x_i, ...)−hypomorphessi elles sont (x_i)−hypomorphespour tout i. R est dite (x₁, ..., x_i, ...)−reconstructible si elle est isomorphe `a toute relation qui lui est (x₁, ..., x_i, ...)−hypomorphe.

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1 CHAPITRE I

1.1 La (-1, -3)-reconstruction des tournois ` a au moins 9 ´ el´ ements

Résumé : Le but de ce premier chapitre est de démontrer que tout tournoi à au moins 9 éléments est (-1, -3)-reconstructible.

Proposition 1 : Tout tournoi sur une base de cardinal n ≥ 9 est (-1, -3)-reconstructible.

Pour la preuve on aura besoin des r´esultats qui suivent :

Lemme 1.1 (Th´eor`eme de F. Harary et E. Palmer [8] ).Tout tournoi non fortement connexe et de cardinal n ≥5 est (-1)-reconstructible.

Lemme 2.1 (C. Gnanvo et P. Ille [7] ).Tout tournoi sans diamant et de cardinal n≥7 est (-1)-reconstructible .

Lemme 3.1 (Maurice Pouzet ) [12] ).Soient R et R’ deux relation binaires de base E et de cardinal n. Si R et R’ sont (p)-hypomorphes (p≤n), alors R et R’ sont ( inf (p, n-p))-hypomorphes.

Lemme 4.1 (Boussairi A., Ille P., Lopez G., et Thomasse S.[5]) .Si T est un tournoi ind´ecomposable et si T’ est un tournoi (3)-hypomorphe `a T alors T’= T ou T’= T*.

Lemme 5.1 ( T. Gallai [6], et P. Kelly [9] ).Tout tournoi se met sous l’une des formes suivantes:

i- T = S(T₁, ..., T_k), o`u S est un tournoi ind´ecomposable. (dans ce cas, T est fortement connexe).

ii-T = S(T₁, ..., T_k), où S est une chaˆıne à au moins deux éléments.

Corollaire 1.1 (du lemme 4.1) : Si S un tournoi ind´ecomposable de

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base {1, ..., k}et T₁, ..., T_k des tournois finis de bases resp. I₁, ..., I_k, alors les tournois (3)-hypomorphes `a S(T₁, ..., T_k) se mettent sous l’une des deux formes : S(T₁⁰, ..., T_k⁰) ou S^∗(T₁⁰, ..., T_k⁰) o`uT_i⁰ est un tournoi de base I_i. Preuve :

Posons T =S(T₁, ..., T_k) et soit T’ un tournoi (3)-hypomorphe `a T.

Montrons d’abord que pour tout i ∈ {1, ..., k}, I_i est un intervalle pour T’:(

ie : Si x est un élément de E −I_i où E est la base de T, alors T’(x, y) = constante lorsque y décrit I_i).

En effet : Si x est un élément de E −I_i, alors il existe un élément j de {1, ..., k} − {i} tel que x appartient à I_j.

Posons x = x_j, et pour tout ´el´ement r de {1, ..., k} − {i, j}, choisissons un

´

el´ement x_r deI_r.

Soit m un ´el´ement de{1, ..., k} − {i, j}.

La restrictionT /{x₁, ..., x_i =y, ..., x_k}´etant fortement connexe et ind´ecomposable, donc du lemme 4.1 on a :

T⁰/{x₁, ..., x_i =y, ..., x_k} = T /{x₁..., x_i =y, ..., x_k}.

O`u T⁰/{x₁, ..., x_i =y, ..., x_k}= T^∗/{x₁, ..., x_i =y, ..., x_k}.

On a donc : T⁰(x_j, y) = T(x_j, y) si T⁰(x_j, x_m) = T(x_j, x_m), ou T⁰(x_j, y) = T^∗(x_j, y) siT⁰(x_j, x_m) =T^∗(x_j, x_m), ceci ind´ependamment de y, ce qui preuve que T’(x, y) = constante lorsque y d´ecrit I_i, et par suite I_i est un intervalle pour T’.

Il s’en suit que T⁰ = S⁰(T₁⁰, ..., T_k⁰) o`u T_i⁰ est un tournoi de base I_i et S’ un tournoi de mˆeme base B que celle de S.

Et comme on a T’/ B = T/ B ou T’/ B = T*/ B, alors on aT⁰ =S(T₁⁰, ..., T_k⁰) ou T⁰ = S^∗(T₁⁰, ..., T_k⁰) avec T_i⁰ un tournoi de base I_i. Ce qui d´emontre le

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corollaire 1.1.

Lemme 6.1 [4].Soit T un tournoi de cardinal fini. Si T admet un intervalle propre de cardinal au moins ´egal `a 4 alors T est (3,−1)−reconstructible.

Lemme 7.1 [4].Soit T un tournoi fini de cardinal n ≥ 5, et soit T’ un tournoi (3,−1)−hypomorphe`a T. Si T et T’ ne forment pas une seule classe de diff´erence, alors T et T’ sont isomorphes.

Le corollaire 2.1 qui suit va donner une caract´erisation de deux tournois (3,−1)−hypomorphes et non isomorphes.

Corollaire 2.1.Soit T un tournoi sur une base E de cardinaln≥5, Si T n’est pas (3,−1)−reconstructible, et si T’est un tournoi (3,−1)−hypomorphe mais non isomorphe `a T, alors les restrictions T’/ F et T*/ F `a toute partie F de E sont isomorphes.

Preuve.

Si T n’est pas (3,−1)−reconstructible, alors il n’est pas (−1)−reconstructible et du lemme 1.1 on déduit que T est fortement connexe. Et du lemme 5.1 on a T =S(T₁, ..., T_k) où S est un tournoi fortement connexe et indécomposable.

Et du corollaire 1.1 on a : T⁰ = S(T₁⁰, ..., T_k⁰) ou T⁰ = S^∗(T₁⁰, ..., T_k⁰) où T_i⁰ est un tournoi de base I_i. Mais comme T et T’ ne sont pas isomorphes, alors ils forment une seule classe différence d’après le lemme 7.1, et par suite T⁰ =S^∗(T₁⁰, ..., T_k⁰).

Si B est la base de S alors on a : T⁰/B =T^∗/B. Donc pour toute partie F de E on a : T⁰/F ∩B =T^∗/F ∩B.

Et comme d’apr`es le lemme 6.1 tout intervalle I_iest de cardinal au plus ´egal

`

a 3, alors T⁰/F ∩ I_i et T^∗/F ∩ I_i sont isomorphes, et comme les F ∩I_i sont des intervalles pour T’ et T*, alors T’ et T* sont isomorphes sur F par

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recollement des isomorphismes (sur les F ∩I_i).

Lemme 8.1 :Soit T un tournoi de base E de cardinal fini. Si T et T* sont isomorphes, et si f est un isomorphisme de T sur T*, alors pour tout élément x de E, l’orbiteO_f(x) ={fⁱ(x), i∈N}est soit de cardinal un, soit de cardinal pair de la forme 4h + 2, où h est un entier.

Preuve :

Soit n le plus petit entier v´erifiant fⁿ(x) =x.

Par r´ecurrence, on a : T(x, f(x)) = (−1)ⁱT(fⁱ(x), fⁱ⁺¹(x)) pour tout entier i∈ {0, ..., n}.

Donc T(x, f(x)) = (−1)ⁿT(fⁿ(x), fⁿ⁺¹(x)) = (−1)ⁿT(x, f(x)).

Si n est non nul alors il est pair. Si n est égal à 4h où h est un entier non nul, et si {x₀ =x, x₁, ..., x_4h+1} est l’orbite de x, avec fⁱ(x) = x_i, pour i ∈ {0, ...,4h−1}, alors par récurrence, on a : T(x, x_2h) = (−1)ⁱT(fⁱ(x), fⁱ(x_2h))

∀i∈0, ...,2h, donc en particulier pour i = 2h on aura : T(x, x_2h) =T(f^2h(x), f^2h(x_2h)) = T(f^2h(x), f^4h(x)) = T(x_2h, x). Ce qui est impossible, et le r´esultat s’en

d´eduit.

lemme 9.1 : (Théorème de M. Pouzet [12]) : Etant donnés deux entiers p et r, un ensemble E (d’au moins p + r éléments ) et deux ensembles F et G de parties P à p éléments de E, si pour toute partie Q à p + r éléments de E le nombre des éléments de F qui sont contenus dans Q est égal au nombre des

´

el´ements de G qui sont contenus dans Q alors pour toutes parties P’ et Q’ de E telles que P’ soit contenue dans Q’ et telles que Q’- P’ ait au moins p + r

´

eléments, le nombre des éléments de F qui contiennent P’ et sont contenues dans Q’ est égal au nombre des éléments de G qui contiennent P’ et sont contenues dans Q’. En particulier si E a au moins 2p + r éléments alors F et

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G sont ´egaux.

lemme 10.1 : Soit T un tournoi de base E de cardinal n ≥ 7. Si µ(F) = 0 pour toute partie F de E de cardinal n-3, alors µ(F) = 0 pour toute partie F de E à n-2 ou à n-1 éléments, les applications écart de diamants D_1,E, D_2,E, D_3,E, etS(T) sont toutes nulles, et T abrite autant de diamants positifs que de diamants négatifs.

Preuve du lemme 10.1 :

Montrons d’abord que µ(F) = 0 pour toute partie F de E `a n-2 et `a n-1

´

el´ements.

Soient F l’ensemble des T-diamants positifs, et G l’ensemble des T-diamants n´egatifs.

Posons p = 4 et r = n - 7. Le cardinal de E est bien supérieur ou égal à p + r = n - 3.

Si Q est une partie à p+r éléments, alors du fait que µ(F) = 0 pour toute partie F de E de cardinal n-3, Q abrite autant de T-diamants positifs que de T-diamants négatifs; et il s’en suit du lemme 9.1 ci-dessus, en posant Q’ = E et P⁰ = {x, y, z}une partie à trois éléments (puisque Q’- P’ à p + r éléments ), que le nombre des T-diamants positifs contenant {x, y, z} est

´

egal au nombre des T-diamants n´egatifs contenant cette partie, on a donc D_3,E(a, b, c) = 0. Donc D_3,E est une application nulle.

Enlevons maintenant deux points x et y de E. Dans G = E − {x, y} on a µ(G− {z}) = 0 pour tout élément z de G, et le même raisonnement ci- dessus montre que D_1,G soit D_1,E−{x,y} est une application nulle, et par suite µ(E− {x, y}) =D1,E−{x,y}(z) +µ(E− {x, y, z}= 0.

Enlevons maintenant un point x de E. Le mˆeme raisonnement montre que

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D2,E−{x}(y, z) = 0 pour tout couple de points y et z, et par suiteµ(E−{x}) = µ(E − {x, y, z}) + D_1,E−{x,z}(y) +D_1,E−{x,y}(z) +D_2,E−{x}(y, z) = 0.Ainsi on a µ(F) = 0 pour toute partie de E à n-3, à n-2 et à n-1 éléments, et D_3,E est une application nulle, et en particulier D(T) est nulle. On a donc cardD_E⁺ −cardD⁻_E = Pi=k

i=1D(T)(C_i) = 0 o`u C₁, ..., C_k sont tous les T-3- cycles.

Or si x est un ´el´ement de E, on a : cardD⁺_E−cardD⁻_E =µ(E−{x})+D_1,E(x), donc D_1,E(x) est nulle, et par suite D_1,E est une application nulle.

Si x et y sont deux éléments de E, alors on a : cardD⁺_E − cardD_E⁻ = D_2,E(x, y)+D1,E−{x}(y)+D1,E−{y}(x)+µ(E−{x, y}); et commeD1,E−{x}(y) = µ(E−{x})−µ(E−{x, y}) = 0, et que de mêmeD_1,E−{y}(x) , alorsD_2,E(x, y) = 0, ainsi D_2,E est une application nulle.

Et comme ∀x∈E on a : S(T)(x) +µ(E− {x}) +P

iD(T)(C_i(x)) =P

iD(T)(C_i) = 0. O`u les C_i(x) sont les 3-cycles passants par x, et les C_i sont les 3-cycles de T.

Et que µ(E− {x}) = 0, etP

iD(T)(C_i(x)) = 0, alorsS(T)(x) = 0. Ceci∀x, donc S(T) est nulle, et on a autant de diamants positifs que des diamants n´egatifs. D’o`u le lemme 10.1.

Lemme 11.1 :.Si T un tournoi sur une base E finie ou pas, alors il y a

´

equivalence entre :

i- T est fortement connexe.

ii- Pour tout couple (x, y) d’éléments de E, il existe une suite C₁, ..., C_n de T-3-cycles tels que C_i etC_i+1 ont un côté commun si i6=n, et tels que x est un élément de C₁ et y est un élément deC_n.

Preuve :

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ii ⇒i facile `a voir par r´ecurrence.

Montrons que i⇒ii :

Soient x et y deux ´el´ements de E. Supposons que T(x, y) = +.

Soit A= {(y₁ =y, y₂, ..., y_n =x)} tel queT(y_i, y_i+1) = + si i6= n}. Et soit (a₁ =y, y₂, ..., a_n =x) un ´el´ement de A de cardinal minimal.

Il est clair, par minimalité, qu’on a : T(a_i, a_j) =− si i≤j et (i, j)6= (1, n), et il s’en suit que si n ≥ 4, les restrictions de T aux ensembles (a₁, a₂, a₃) ,(a₂, a₃, a₄),...,(a_n−2, a_n−1, a_n−1) sont des 3-cycles qui répondent à la question, et si n=3, la restriction de T à (a₁ =y, y₂, a₃ =x) est un 3-cycle qui répond

`

a la question.

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Dans la suite on utilisera les notations suivantes : Si T est un tournoi de base E, notons pour x ∈ E, E⁺(x) = {y ∈ E − {x}/T(x, y) = +} et E⁻(x) ={y∈E− {x}/T(x, y) =−}.

En utilisant le lemme 5.1 de d´ecomposition de T. Gallai et en regroupant les chaˆınes qui se suivent, on note :

J_i(x), i ∈ {1, ..., p} (resp. I_i(x), i ∈ {1, ..., n}), les intervalles de E⁺(x) (resp. De E⁻(x)) qui sont soit des intervalles chaˆınes maximaux parmi les intervalles chaˆınes de E⁺(x) (resp. de E⁻(x)), soit des intervalles fortement connexes maximaux parmi les intervalles fortement connexes de E⁺(x)(resp.

de E⁻(x)) , avec T(J_i(x), J_j(x)) = +si i+ 1 ≤ j, et T(I_i(x), I_j(x)) = + si i+ 1 ≤j.

Par convention, si la restriction T /E⁺(x) est une chaˆıne, je pose p =1. De mˆeme si la restrictionT /E⁻(x) est une chaˆıne je pose n=1. Ce qui permet de supposer queI₁(x), I_n(x), J₁(x) etJ_p(x) sont des intervalles chaˆınes (pouvant ˆ

etre vides) que j’appellerai lesT-chaˆınes extrˆemesde x ou tout simplement les chaˆınes extrˆemes de x.

Remarque :

De la convention ci-dessus on a :

- Si p ≥ 3 alors la restriction T /E⁺(x) poss`ede une composante fortement connexe. Et inversement si la restriction T /E⁺(x) poss`ede une composante fortement connexe alors p≥3.

- Si n ≥ 3 alors la restriction T /E⁻(x) poss`ede une composante fortement connexe. Et inversement si la restriction T /E⁻(x) poss`ede une composante fortement connexe alors n ≥3.

- Si l’un de I₁(x) et I_n(x) est vide et l’autre non, alors n ≥3 . De mˆeme si

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l’un de J_i(x) et J_p(x) est vide et l’autre non, alors p≥3 .

Lemme 12.1: Soit T un tournoi de base E de cardinal c≥7. Si µ(F) = 0 pour toute partie F de E de cardinal c-3, et si T abrite des diamants alors tout point appartient `a un diamant.

Preuve :Du lemme 10.1on a S(T) est nulle. Si donc x est le sommet d’un diamant, alors x est le sommet d’un diamant positif et d’un diamant n´egatif.

Notons J_i^c(x) l’intervalle J_i(x) si il est fortement connexe et non vide, sinon J_i^c(x) est l’ensemble vide etI_i^c(x) l’intervalleI_i(x) si il est fortement connexe et non vide, sinon I_i^c(x) est l’ensemble vide.

Par le choix de x, il existe un I_i^c(x) et unJ_i^c(x) non vides.

Il est clair, en appliquantlemme 11.1, que tout point de I_i^c(x) (resp. J_i^c(x)) forme un diamant avec x. Et il est clair que tout point de E⁺(x)− ∪^p_i=1J_i^c(x) forme un diamant avec tout point de J_i^c(x) , et que tout point de E⁻(x)−

∪ⁿ_i=1I_i^c(x) forme un diamant avec tout point de I_i^c(x). Ce qui d´emontre le lemme.

Lemme 13.1 :Soit T un tournoi de base E de cardinal c ≥ 7. S’il existe dans E un point n’appartenant `a aucun diamant , alors T est (−1,−3)− reconstructible.

Preuve:

- Si T n’est pas fortement connexe, alors T est (−1)−reconstructibled’apr`es le lemme 1.1.

- Si T est fortement connexe :

Si T est sans diamant, alors T est (−1)−reconstructible d’apr`es le lemme 2.1. Si T abrite des diamants :

Si T n’est pas (−3,−1) − reconstructible, alors il existe un tournoi T’

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(−3,−1)−hypomorphe mais non isomorphe `a T. Du lemme 3.1 de M.

Pouzet T’ est (3)−hypomorphe`a T, donc T n’est pas (3,−1)−reconstructible, et du corollaire 2.1, T’ et T* sont (−3,−1)−hypomorphes, donc T et T*

sont (−1,−3)−hypomorphes. Ainsi µ(F) = 0 pour toute partie de cardinal n-3, et du lemme 12.1, tout point appartient `a un diamant, ce qui est absurde, et par suite T est (−1,−3)−reconstructible. D’o`u lelemme 13.1.

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NotonsD_x(E, y) ou tout simplementD_x(y), l’ensemble des diamants passant par x et y et dont x est le sommet, et notons D₃(E, x, y) ou tout simplement D₃(x, y), l’ensemble des diamants passant par x et y et dont le 3-cycle passe par x et y.

Lemme 14.1. (Lemme des équivalences):Soit T un tournoi de base E de cardinal n ≥ 7. Si µ(F) = 0 pour toute partie F de E de cardinal n-3, alors il y a équivalence entre les propriétés suivantes :

i- D_x(y) est non vide.

ii-D_y(x) est non vide.

iii- D₃(x, y) est non vide.

iv- x et y appartiennent `a un mˆeme diamant:

Preuve:

Du lemme 10.1, on sait que toutes les applications ´ecart de diamantsD_1,E, D_2,E, etD_3,E sont nulles, et µ(F) = 0 pour toute partie F de E de cardinal n-1, n-2, ou n-3 .

Montrons que i⇔ii :

D’abord on a µ(D_x(E, y)) =−µ(D_y(E, x)) : car : D_2,E(x, y) = 0 d’apr`es le lemme 10.1, et commeD_x(E, y), D_y(E, x) etD₃(x, y) forment une partition de l’ensemble des diamants passant simultan´ement par x et y, on a donc D_2,E(x, y) = µ(D_x(E, y)) +µ(D_y(E, x)) +µ(D₃(x, y)).

Or µ(D₃(x, y)) = P

i∈ID(T)(C_i), o`u {C_i, i ∈ I}est l’ensemble des T-3- cycles C_i passant par x et y et qui sont la base d’un diamant. On a donc µ(D₃(x, y)) = 0, et par suite µ(D_x(E, y)) =−µ(D_y(E, x)).

Or si T(x, y) = +, alors µ(D_x(E, y)) = card(D_x(E, y)) : car tout les diamants deD_x(E, y) sont positifs; etµ(D_y(E, x)) =−card(D_y(E, x)) : car tout

(20)

diamant de D_y(E, x) est n´egatif.

Et si T(x, y) = −, alors µ(D_x(E, y)) =−card(D_x(E, y)) : car tout les diamants de D_x(E, y) sont n´egatifs; etµ(D_y(E, x)) =card(D_y(E, x)) : car tout diamant de D_y(E, x) est positif.

Dans tout les cas on a : card(D_x(E, y)) = card(D_y(E, x)) , ce qui d´emontre l’´equivalence entre i et ii.

Montrons que iii⇒i etiii⇒ii:

Si D₃(x, y) est non vide, alors il existe un diamant D = {x, y, z, s} dont le T-3-cycle est {x, y, z}.

Supposons, ce qui ne change en rien la suite de la d´emonstration, que le diamant D est positif ie : D(s, x) =D(s, y) = D(s, z) = + , et queT(x, y) = + .

En enlevant s, alors dans E − {s} , T abrite plus de diamants n (n pour n´egatifs) dont le 3-cycle passe par x et y, que de diamants positifs p (p pour positifs) dont le 3-cycle passe par x et y.

Or D2,E−{s}(x, y) = 0 : carµ(F) = 0 pour toute partie F de E de cardinal n- 3. (voir preuve dulemme 10.1), Et commeD_x(E− {s}, y), D_y(E− {s}, x) , etD₃(E−{s}, x, y) forment une partition de l’ensemble des diamants passant simultan´ement par x et y, alors on a :

0 = D_2,E−{s}(x, y) = µ(D_x(E − {s}, y)) + µ(D_y(E − {s}, x)) +µ(D₃(E − {s}, x, y)) , donc : 0 = D2,E−{s}(x, y) = card(D_x(E− {s}, y)−card(D_y(E− {s}, x) +p−n , avec p distinct de n , donc l’un des deux ensembles D_x(E− {s}, y) ouD_y(E− {s}, x) est non vide, et par suiteD_x(E, y) ouD_y(E, x) est non vide.

Mais comme D(T) et D_2,E sont nulles, alors on a :

(21)

0 = D_2,E(x, y) =card(D_x(E, y))−card(D_y(E, x)) , doncD_x(E, y) etD_y(E, x) sont tous non vides.

Montrons que i⇒iii :

Soit D = (x, y, z, t) un diamant dont le sommet est x. Supposons que T(x, y) = + etT(y, z) = +.

Commecard(D_x(E, y)) =card(D_y(E, x) -car : 0 =D_2,E(x, y) =card(D_x(E, y)) - card(D_y(E, x))-, alors il est facile de voir que dans E− {z}, on a plus de diamants n de D_y(E− {z}, x) que de diamants p de D_x(E− {z}, y) (avec p distinct de n ).

Et comme 0 =D2,E−{x}(x, y),etD2,E−{x}(x, y) =µ(D_x(E−{z}, y))+µ(D_y(E− {z}, x)) +µ(D₃(E− {z}, x, y)) =p−n+µ(D₃(E− {z}, x, y)).

Alors, on en d´eduit que µ(D₃(E− {z}, x, y)) est non nulle.

Et par suite D₃(E− {z}, x, y) est non vide. Donc aussi D₃(E, x, y) est non vide.

Ainsi i, ii et iii, sont ´equivalents.

Et comme iv ⇒i, ii ou iii, on en conclut que i , ii, iii, et iv sont équivalents, et le lemme 14.1 est donc démontré.

Corollaire 3.1 :Soit T un tournoi de base E de cardinal c≥7. Si µ(F) = 0 pour toute partie F de E de cardinal c-3, et si T abrite des diamants alors tout point est le sommet d’au moins un diamant positif et d’au moins un diamant n´egatif.

Preuve :

Si x est un point de E, alors x appartient `a un diamant D(x) d’apr`es le lemme 12.1.

Soit y un élément de D(x)− {x}. x et y appartiennent à un même diamant,

(22)

on a donc le point iv- dulemme 14.1, et d’après le point i- du même lemme, D_x(y) est non vide, donc il existe un diamant dont x est le sommet, et comme, d’après le lemme 10.1, S(T) est nulle, alors x est le sommet d’un diamant positif et d’un diamant négatif.

Lemme 15.1 : Soit T un tournoi de base E de cardinal c≥7, abritant des diamants et tel que µ(F) est nulle pour toute partie F de E à c-3 éléments.

Si x est un ´el´ement de E, alors on a : I- T(I₁(x), J_j(x)) = − ∀j 6= 1.

II- T(I_n(x), J_j(x)) = +∀j 6=p.

III- T(J₁(x), I_i(x)) = − ∀i6= 1 , etT(J_p(x), I_i(x)) = +∀i6=n.

IV-Aucun point de I_n(x) ne forme un diamant avec un point deJ_p(x), aucun point de I₁(x) ne forme un diamant avec un point de J₁(x), et si C est un 3-cycle de T, alors C est un 3-cycle formant un diamant avec un élément y d’une chaˆıne extrême de x si et seulement ci C est un 3-cycle formant un diamant avec x.

Preuve du lemme 15.1:

D’abord du corollaire 3.1, tout point est le sommet d’au moins un diamant positif et d’un diamant n´egatif.

Montrons d’abord le point I- : Soit y un ´el´ement deI₁(x) :

Puisque µ(F) est nulle pour toute partie F à n-3 éléments, alors d’après le lemme 10.1, S(T) est nulle, donc S(T)(y) et S(T)(x) sont nulles.

S’il existe unJ_j(x) fortement connexe tel qu’on a pas T(y, J_j(x)) =−, alors, puisque y forme un diamant (positif) avec tout 3-cycle appartenant `a l’un des I_i(x), et que, du fait que S(T)(x) est nulle, on a autant de 3-cycles dans

(23)

E⁺(x) que dans E⁻(x), alors y est le sommet de plus diamants positifs que de diamants négatifs dont le 3-cycle appartient à un I_i(x) ou à un J_i(x).

Mais du fait que S(T)(y) est nulle, alors y est sommet d’un diamant n´egatif dont le 3-cycle n’appartient `a aucune composante fortement connexe I_i(x) ou J_i(x) , or on va montrer que ceci est impossible :

En effet :

Soit (a, b, c) un 3-cycle formant un diamant n´egatif avec y, avec T(a, b) = T(b, c) = T (c, a) = +.

Supposons que a est un élément deE⁻(x), et b et c deux éléments deE⁺(x).

(le cas où a et b sont deux éléments deE⁻(x) et c est un élément de E⁺(x) se traite de la même manière).

On a T(y, a) = T(y, b) = T(y, c) = -, et comme T(y, x) = T(x, b) = T(b, y) = +, et que T(a, b) = T(a, x) = T(a, y) = +, alors (a, y, x, b) est un diamant ayant (y, x, b ) pour 3-cycle, et il passe donc par x et y un diamant, et d’apr`es le lemme 14.1, il existe un diamant ayant x pour sommet et dont le 3-cycle contient y, ce 3-cycle doit ˆetre contenu dans I₁(x) qui est une chaˆıne, ce qui est impossible.

De même si (a, b, c) est un 3-cycle formant un diamant positif avec y, on aboutit à une impossibilité.

Donc on a T(I₁(x), J_j(x)) =− pour tout J_j(x) fortement connexe.

Soit J_j(x) un intervalle non fortement connexe avecj 6= 1.

Si on a pas T(I₁(x), J_j(x)) = −, alors il existe un ´el´ement y de I₁(x) et z de J_j(x) tel que T(y, z) = +. Et comme on a : T(I₁(x), J₂(x)) = −, T(J₂(x), J_j(x)) = +, etT(x, J_i(x)) = +∀i, alors on a : T(y, c) = -, T(c, z) = +, et T(x, z) = T(x, c) = +, si c∈J₂(x). Et comme T(y, x) = +, alors on

(24)

a T(y, x) = T(x, c) = T(c, y) = +, et T(z, y) = T(z, x) = T(z, c) = -, et (z, y, x, c) est un diamant passant par x et y, et du lemme 14.1, il doit exister un diamant de sommet x et dont le 3-cycle passe par y, ce qui est impossible car T /I₁(x) est une chaˆıne. Les points II- à III- se démontrent de la même manière.

Preuve du point IV-:

- Soit y un élément d’une chaˆıne extrême de x, supposons que y est un

´

elément de I₁(x)-la preuve se fait de la même fa¸con si y est un élément de J₁(x),I_n(x), ouJ_p(x)-.

Si y forme un diamant avec un T-3-cycle (a, b, c) qui n’est contenu ni dans E⁺(x) ni dans E⁻(x), alors un des trois points a, b et c est dans Eⁱ(x) et les deux autres sont dans E^j(x) avec i et j distincts et sont deux ´el´ements de {+,−}.

Supposons par exemple que a est dans E⁺(x) et b et c sont dans E⁻(x). -la preuve se fait de la mˆeme fa¸con dans les autres cas-.

le diamant étant positif, on a alors T(y, a) = T(y, b) = T(y, c) = +. Sup- posons que T(a, b) = T(b, c) = T(c, a ) = +, comme T(b, x) = T(x, a) = T(a, b) = T(y, x) = +, alors (y, a, b, x ) est bien un diamant de sommet y et de 3-cycle (a, b, x), et d’après le lemme 14.1, x est sommet d’un diamant dont le 3-cycle contient y, et y doit appartenir à une composante fortement connexe de E⁻(x) ce qui est impossible car y est un élément d’une chaˆıne extrême.

-Si y forme un diamant avec un élément deJ₁(x), alors du lemme 14.1, y est le sommet d’un diamant dont le 3-cycle contient cet élément de J₁(x), et ce 3- cycle, d’après ce qu’on vient de démontrer, doit appartenir soit àE⁻(x), soit

(25)

`

a E⁺(x). Or il ne peut pas appartenir àE⁻(x) car il contient un élément de J₁(x) donc deE⁺(x), de même que ce 3-cycle ne peut pas appartenir àE⁺(x) car sinon l’élément de J₁(x) doit appartenir à une composante fortement connexe de E⁺(x), ce qui est impossible car y est appartient à une chaˆıne extrême, et le point IV- est démontré.

Lemme 16.1 :Soit T un tournoi de base E de cardinal c ≥ 7 et tel que µ(F) est nulle pour toute partie F de E de cardinal c-3. Si un élément x de E est le sommet d’un diamant, et si f_x est un isomorphisme entre les restrictions de T et de T^∗ àE− {x}, alors on a n = p,f_x(J_i(x)) =Ip+1−i(x), et f_x(Ip+1−i(x)) = J_i(x)∀i∈ {2, ..., p−1}; f_x(I₁(x)∪J_p(x)) = I₁(x)∪J_p(x), et f_x(I_n(x)∪J₁(x)) =I_n(x)∪J₁(x).

Preuve :

Remarquons que D_3,E =D(T) et S(T) sont nulles d’apr`eslemme 10.1.

Si J_i(x) est fortement connexe, et si C est un 3-cycle de J_i(x), alors on a : D3,E−{x}(T /E− {x})(C) =−1, doncD3,E−{x}(T^∗/E− {x})(f_x(C)) = −1, et par suite D3,E−{x}(T /E− {x})(f_x(C)) = +1.

Et comme D_3,E(T)(f_x(C)) = 0, alors on a T(x, f_x(C)) = −, et il existe I_j(x) fortement connexe tel que f_x(C) est contenu dans I_j(x), on en déduit - puisque d’après le lemme 11.1 tout point de J_i(x) est contenu dans un 3-cycle- que f_x(J_i(x)) est contenu dans I_j(x). De même on montre que pour toute composante connexe I_i(x) il existe J_j(x) fortement connexe tel que f_x(I_i) est contenu dansI_j(x).

NotonsJ₁^c(x), ..., J_j^c(x), les composantes fortement connexes et maximales de E⁺(x) avec T(J_k^c(x), J_l^c(x)) = + si k+ 1 ≤l.

Et Notons I₁^c(x), ..., I_i^c(x), les composantes fortement connexes et maximales

(26)

de E⁻(x) avec T(I_k^c(x), I_l^c(x)) = + si k+ 1 ≤l.

Supposons que f_x(J_j^c(x))⊆I_l^c(x)avecl ≥2.

Comme T(J_k^c(x), J_j^c(x)) = +∀k≤j −1, alors on doit avoir : T^∗(f_x(J_k^c(x)), f_x(J_j^c(x))) = +.

Soit T(f_x(J_k^c(x)), f_x(J_j^c(x))) =−, ainsi f_x(J_k^c(x))⊆I_l^c

k(x), avec l_k≥2.

On en d´eduit que f_x(Sj

i=1J_i^c(x)) ⊆ Si

k=2I_k^c(x) , ainsi la restriction de T

`

a E⁺(x) abrite un nombre de 3-cycles strictement inférieur au nombre de 3-cycles de E⁻(x), ce qui contredit le fait que S(T)(x) est nulle. Donc f_x(J_j^c(x)) ⊆ I_l^c(x). De même on montre que f_x(I₁^c(x)) ⊆ J_j^c(x), donc I₁^c(x) et J_j^c(x) ont un même cardinal et f_x(I₁^c(x)) = J_j^c(x), etf_x(J_j^c(x)) = I₁^c(x).

Supposons maintenant que f_x(J_j−1^c (x)) ⊆ I_l^c(x), avec l ≥ 3. Alors comme ci-dessus on doit avoir f_x(Sj

i=1J_i^c(x))⊆ I₁^c(x)S (Si

k=3I_k^c(x)), et par suite la restriction de T `a E⁺(x) abrite un nombre de 3-cycles strictement inf´erieur au nombre de 3-cycles deE⁻(x), ce qui contredit le fait que S(T)(x) est nulle.

Ainsi f_x(J_j−1^c (x)) ⊆ I₂^c(x), et on montre de mˆeme que f_x(I₂^c(x)) ⊆ J_j−1^c (x), et par suite f_x(J_j−1^c (x)) =I₂^c(x) car J_j−1^c (x) et I₂^c(x) ont un mˆeme cardinal.

En poursuivant ce proc´ed´e de raisonnement on a donc :

f_x(J_k^c(x)) =I_j−k+1^c (x)∀k ∈ {1, ..., j}, f_x(I_k^c(x)) =J_j−k+1^c (x)∀k ∈ {1, ..., i}, et i=j.

Si maintenant J_i(x) est un T-intervalle chaˆıne tel que J_i−1(x) et J_i+1(x) sont fortement connexes, et si y est un ´el´ement de J_i(x), alors : f_x(y) est dansE⁻(x) : En effet, sif_x(y) est dansE⁺(x), comme on a : T(Ji−1(x), y) =

T(y, J_i+1(x)) = +, alors on doit avoir : T(f_x(J_i−1(x)), f_x(y)) =T(f_x(y), f_x(J_i+1(x))) =

− . Et si f_x(b) est un élément de f_x(Ji−1(x)), et f_x(a) est un élément de f_x(J_i+1(x)), alors on a : T(f_x(b), f_x(y)) = −, et T(f_x(y), f_x(a)) =−.

(27)

Or T(f_x(J_i+1(x)), f_x(Ji−1(x))) = +, donc T(f_x(a), f_x(b)) = +.

Et comme T(f_x(a), x) = +, alors on a : T(f_x(a), f_x(y)) =T(f_x(a), f_x(b)) = T(f_x(a), x) = +, et T(f_x(y), f_x(b)) =T(f_x(b), x) =T(x, f_x(y)) = +.

Ainsi (f_x(a), f_x(y), f_x(b), x) est un diamant, et il en résulte d’après lelemme 14.1. qu’il existe un diamant ayant x pour sommet et dont le 3-cycle passe parf_x(y), et par suitef_x(y) doit appartenir à une composante connexeJ_i(x), et y doit appartenir à une composante connexe J_k(x), ce qui est impossible, doncf_x(y)∈E⁻(x), et vérifieT(f_x(y), f_x(J_i−1(x))) =T(f_x(J_i+1(x), f_x(y)) = +.

On en d´eduit que f_x(J_i(x)) = Ip+1−i(x)∀i ∈ {2, ..., p −1}. De mˆeme on montre que f_x(I_i(x)) =J_p+1−i(x)∀i∈ {2, ..., n−1}, et par suite n=p.

Commef_x(I₂(x)) =Jp−1(x), si y est un élément deJ_p(x) tel quef_x(y) appartient àE⁺(x), alors on doit avoirT^∗(f_x(y), Jp−1(x)) = +: carT(y, I₂(x)) = + (points I à III dulemme 15.1), on doit donc avoirf_x(J_p(x))∩E⁺(x)⊆J_p(x).

De mˆeme comme f_x(Jp−1(x)) = I₂(x), on montre que f_x(J_p(x))∩E⁻(x) ⊆ I₁(x). Ainsi on a f_x(J_p(x))⊆I₁(x)∪J_p(x).

De même on montre que f_x(I₁(x)) ⊆ I₁(x)∪J_p(x), on a donc f_x(I₁(x)∪ J_p(x))⊆I₁(x)∪J_p(x), d’où l’égalité.

De même on montre que f_x(I_n(x)∪J₁(x)) =I_n(x)∪J₁(x) et lelemme 16.1 est démontré.

(28)

Lemme 17.1 : Soit T un tournoi de base E, abritant des diamants et de cardinal c au moins ´egal `a 8.

Si T et T^∗ sont (-3)-hypomorphes, alors∀x∈E on a : - Soit cardI₁(x) = 1 et I_n(x) =J₁(x) =J_p(x) =φ.

- Soit cardJ_p(x) = 1, et J₁(x) = I₁(x) = I_n(x) =φ.

- Soit I₁(x) =I_n(x) = J₁(x) = J_p(x) = φ.

Preuve :

i- Montrons d’abord que ∀x∈E, I_n(x) = J₁(x) = φ.

D’abord µ(F) est nulle pour toute partie F de E à c-3 éléments car T etT^∗ sont (-3)-hypomorphes. Ce qui permet d’appliquer leslemmes 14.1 et15.1 et le corollaire 3.1.

Par dualit´e, il suffit de d´emontrer que I_n(x) est vide.

Supposons qu’il n’est pas vide. Et soit a un de ses ´el´ements.

Le fait que T abrite des diamants, assure par le corollaire 3.1, que tout point de E est la pointe d’au moins un diamant positif et d’au moins un diamant n´egatif. Et par suite ∀x ∈ E, T /E⁺(x) et T /E⁺(x) abritent des 3-cycles.

Et en remarquant que T abrite des double-diamants (car si T/C est un 3- cycle de T /Ii−1(x), alors T /{x, a} ∪C est un double-diamant ). De plus, si un double-diamant contient x et a, alors nécessairement a et x sont ses sommets car sinon x et a appartiendront à un même diamant et du lemme 14.1 (lemme des équivalences) il doit exister un diamant dont x est la pointe et dont le 3-cycle contient a, et a doit appartenir à un I_i tel queT /I_i est fortement connexe, soit donc i6=n , ce qui est absurde.

En appliquant le lemme 9.1 (le th´eor`eme des multicouleurs de M. Pouzet

(29)

est applicable car c ≥ 8 et un double-diamant est de cardinal 5 ), on voit que ∀y ∈ E − {x, a}, T /E − {y} abrite autant de double-diamants positifs contenant {x, a} que de double-diamants n´egatifs contenant {x, a}. Et T/E abrite autant de double-diamants positifs contenant {x, a} que de double- diamants n´egatifs contenant {x, a}. En particulier si y appartient au 3-cycle d’un double-diamant positif contenant {x, a}.

Notons :

D⁺ le nombre de double-diamants positifs de T/E contenant{x, a}.

D⁻ le nombre de double-diamants n´egatifs de T/E contenant {x, a}.

d⁺ le nombre de double-diamants positifs de T /E− {y} contenant {x, a}.

d⁻ le nombre de double-diamants n´egatifs deT /E − {y}contenant {x, a}.

On a :

D⁺−D⁻=d⁺−d⁻+α , o`uα est le nombre de double-diamants contenant {x, a, y}.

Or 0 = D⁺−D⁻ = d⁺−d⁻, et α est non nul, ce qui est absurde. D’o`u le r´esultat.

ii- Montrons qu’on ne peut pas avoir simultan´ementI₁(x) etJ_p(x) non vides :

En effet, sinon et si a ∈ I₁(x) et b ∈ J_p(x), alors, comme d’après le point IV- du lemme 15.1, si y est un élément d’une chaˆıne extrême de x, y forme un diamant avec un 3-cycle C si et seulement si x forme un diamant avec C;

on en d´eduit que a forme un diamant avec un 3-cycle C si et seulement si b forme un diamant avec C; et comme des points I- `a III- du lemme 15.1 T(a, b) = −, alorsb∈I_n(a), or du point i- ci-dessus on doit avoir I_n(a) vide, ce qui est absurde.

(30)

iii- Montrons que l’un desI₁(x) etJ_p(x) est vide et l’autre est de cardinal un :

D’après ii-, et à une dualité près, supposons queJ_p(x) est vide et I₁(x) est de cardinal supérieur à 2 et soit a et b deux éléments deI₁(x), avecT(a, b) = +, comme ci-dessus, on doit avoir b ∈J₁(a), ce qui est absurde, car on a J₁(a) vide d’après i-

Des points i-, ii-, iii- on d´eduit le lemme 17.1.

(31)

Notations et d´efinitions :

Si T est un tournoi de base E, et si x et x’ sont deux éléments de E tels que T(x, z) = T(z, x’) pour tout élément z deE− {x, x⁰}, alors x et x’ sont dits symétriques et x’ est dit unsymétriquede x.

Lemme 18.1 :

Si x’ est le symétrique de x et y’ est le symétrique de y tels que {y, y⁰} ⊆ E − {x, x⁰}, alors il n’existe aucun isomorphisme f entre T et T^∗ vérifiant f({x, x⁰}) ={x, x⁰} etf({y, y⁰}) = {y, y⁰}.

Preuve :

En effet : Sinon, remarquons d’abord que f(x) = x’ et f(y) = y’, et comme T(x’, y’) = - T(x’, y) = T(x, y), alors on doit avoir T^∗(x, y) = T^∗(x⁰, y⁰) = T^∗(f(x), f(y)) =T(x, y), ce qui est absurde.

Lemme 19.1 :

Soit T est un tournoi de base E et de cardinal fini. Et soit f un isomorphisme entre T et T^∗, tel que pour tout élément x de E, il existe un élément y de E tel que f({x, x⁰}) = {y, y⁰}. Si pour tout x et y, (y 6= x), les pairs d’éléments {x, x⁰} et {y, y⁰} ne se chevauchent pas, alors, si O_f({x, x⁰}) = {fⁱ({x, x⁰}), i∈N}est l’orbite de{x, x⁰},O_f({x, x⁰}) est soit de cardinal un, soit de cardinal pair de la forme 4h + 2 où h est un entier.

Preuve :

Supposons que O_f({x, x⁰}) est de cardinal impair 2h+1 avec h≥ 1. Posons x_i =fⁱ(x₀) avec x=x₀ et i∈ {0, ...,2h}. D’abord on a :

T(x₀, x₁) = T(x⁰₀, x⁰₁) (1) Car : T(x₀, x₁) =−T(x⁰₀, x₁) =T(x⁰₀, x⁰₁).

(32)

D’une part, par r´ecurrence, on a : T(x₀, x⁰₀) = (−1)ⁱT(x_i, x⁰_i), donc on a : T(x₀, x⁰₀) = T(x_2h, x⁰_2h) = T^∗(f(x_2h), f(x⁰_2h)), et par suite f(x_2h) = x⁰₀, et f(x⁰_2h) = x₀.

D’autre part, par r´ecurrence on a : T(x₀, x₁) = (−1)ⁱT(x_i, x_i+1)∀i∈ {0, ...,2h}.

Donc : T(x₀, x₁) = −T(x_2h−1, x_2h) = −T^∗(f(x_2h−1), f(x_2h)) = T(x_2h, x⁰₀) = T^∗(f(x_2h), f(x⁰₀)) = T^∗(x⁰₀, x⁰₁). soit T(x₀, x₁) =T^∗(x⁰₀, x⁰₁). Ce qui contredit (1).

Et par suite O_f({x, x⁰}) est de cardinal pair.

Si ce cardinal est de la forme 4h, alors, comme T(x₀, x⁰₀) = (−1)ⁱT(x_i, x⁰_i) , pouri∈ {0, ...,4h−1}, alors pour i = 4h-1, on aT(x₀, x⁰₀) =−T(x4h−1, x⁰_4h−1), ce qui montre qu’on doit avoirf(x_4h−1) = x₀. (car on a : f({x_4h−1, x⁰_4h−1}) = {x₀, x⁰₀}). Et par suite l’orbite O_f(x₀) ={fⁱ(x₀), i∈N}, est de cardinal 4h, ce qui est impossible d’apr`es le lemme 8.1. D’o`u le lemme 19.1.

Lemme 20.1 :

Soit T un tournoi de base E de cardinal c≥10 et tel que pour tout ´el´ement x de E on a :

Soit : I₁(x), I_n(x), J₁(x) sont vides, et J_p(x) est de cardinal un.

Soit: I₁(x) est de cardinal un et I_n(x), J₁(x), et J_p(x) sont vides.

Soit a est un élément de E⁻(x)− {x⁰} et b est un élément deE⁺(x)− {x⁰}.

Supposons que T(x, x’) = + et que T et T^∗ sont (-3)-hypomorphes.

Si T(a, b) = +, et si f_x,a,b est un isomorphisme entre les restrictions T /E− {x, a, b} etT^∗/E− {x, a, b}, alors on a :

f_x,a,b(x⁰) = x⁰ et∀z ∈E− {x, x⁰, a, a⁰, b, b⁰},∃t∈E− {x, x⁰, a, a⁰, b, b⁰}tel que f_x,a,b((z, z⁰)) = (t, t⁰).

Et si b6=a⁰ alors on a en plus : f_x,a,b(a⁰) = b⁰ et f_x,a,b(b⁰) =a⁰.

(33)

Et on a un r´esultat analogue pour f_x⁰_,a,b si T(a, b) = -.(en changeant x par x’).

Preuve du lemme 20.1 : Posons J_p(x) = {x⁰} dans le premier cas, et I₁(x) = {x⁰} dans le deuxième cas . Et remarquons que, des points I- à III- du lemme 15.1, x’ est l’unique point symétrique de x. Donc T est de cardinal pair.

E − {x, a, b} ´etant de cardinal impair. Donc du lemme 8.1 on d´eduit que f_x,a,b admet un point fixe f.

I- Si b6=a⁰ :

Montrons que f_x,a,b(x⁰) =x⁰ :

Supposons que f⁰ ∈ E⁺(f), le raisonnement est analogue si f ∈ E⁻(f). Si f /∈ {x⁰, a⁰, b⁰}: posons f_x,a,b(f⁰) = f”. (f” 6= f⁰ car on ne peut pas avoir deux points fixes).

D’abord f”∈ {x⁰, a⁰, b⁰}, car sinon f⁰ ∈ {x, a, b}/ et on aura :

T(f, z) = −T(f”, z)∀z ∈E − {f, f”}, Or ceci est impossible car des points I- à III- du lemme 15.1, qui est applicable car µ(F) = 0 pour toute partie F de E de cardinal c-3 : Puisque T et T^∗ sont (-3)-hypomorphes, on a soit f⁰⁰ ∈ Jp−1(f) soit f” ∈ I₂(f), or les restrictions T /Jp−1(f) et T /I₂(f) sont fortement connexes, et il doit exister un élément αdeJp−1(f) ou deI₂(f) tel que T(α, f) = T(α, f⁰⁰) ce qui est absurde car α∈E− {f, f”}.

Supposons par exemple que f” = x’, les autres cas se traitent de la mˆeme fa¸con.

On aura alors T(f, z) =−T(f”, z)∀z ∈E− {f, f”, x}, et comme justifié ci- dessus, on a soit f⁰⁰ ∈Jp−1(f) soit f”∈I₂(f). Or les restrictions T /Jp−1(f) et T /I₂(f) sont fortement connexes, donc f et f” appartiennent à un même

LA (-3)-RECONSTRUCTION DES TOURNOIS A AU MOINS 14

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LA (-3)-RECONSTRUCTION DES TOURNOIS A AU MOINS 14

Mohamed Sghiar

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Contents

PRELIMINAIRE

INTRODUCTION

NOTATIONS ET DEFINITIONS

1 CHAPITRE I

1.1 La (-1, -3)-reconstruction des tournois ` a au moins 9 ´ el´ ements