4.1 La (-3)-reconstruction des tournois finis et forte-ment connexes ` a au moins 12 ´ el´ ements
R´esum´e: Le but de cet chapitre est de d´emontrer que tout tournoi fortement connexe `a au moins 12 ´el´ements est (-3)-reconstructible.
Proposition 4. : Tout tournoi fortement connexe et de cardinal ≥ 12 est (-3)-reconstructible.
Notations et d´efinitions :
Les notations et d´efinitions qui ne sont pas cit´ees ici sont dans les chapitres pr´ec´edentes.
Soit T un tournoi de base E , non fortement connexe et ayant un point x tel que : E−(x) = φ et J1(x) = Jp(x) = φ, avec p ≥ 3 ou E+(x) = φ , et I1(x) =In(x) = φ, avec n≥3.
Un tel tournoi est dit un G-diamant ( G pour grand) positif de sommet x (ou de pointe x) dans le premier cas et est dit un G-diamant n´egatif de sommet x (ou de pointe x) dans le deuxi`eme cas.
Un G-diamant T est dit de type * si * est un G-diamant tel que T ou le dual T* de T est isomorphe `a *.
Si T est un tournoi de base E, et si F est une partie de E tel que T/F est un G-diamant, alors T/F est dit un G-diamant de T ou que T abrite le G-diamant T/F.
Etant donn´e un tournoi T de base E, si x est un ´el´ement de E, on notera : S∗+(x) l’ensemble des G-diamants positifs de type * et dont x le sommet. Et on notera S∗−(x) l’ensemble des G-diamants n´egatifs de type * et dont x est
le sommet.
Si X est une partie de E, on note D∗+X l’ensemble des G-diamants positifs de type * et d’´el´ements de X. Et on noteD∗−X l’ensemble des G-diamants n´egatifs de type * et d’´el´ements de X. Et on pose : µ∗(X) =card(D∗+X )−card(D∗−X ) etS∗(T /X)(x) =card(SX∗+(x))−card(SX∗−(x)), o`uSX∗+(x) est l’ensemble des G-diamants positifs, d’´el´ements de X, de type * et dont x la pointe.
Et SX∗−(x) est l’ensemble des G-diamants n´egatifs d’´el´ements de X, de type
* et dont x est la pointe.
Si D est un ensemble de G-diamants, on poseµ∗G(D) = card(D∗+)−card(D∗−) o`u D∗+ (resp. D∗− ) est l’ensemble des G-diamants positifs (resp. n´egatifs) de D et de type *.
Si X est une partie de E, on noteD∗1(T /X) l’application de X dans Z(Z est l’ensemble des entiers relatifs) qui `a un ´el´ement x de X associe :
D∗1(T /X)(x) =card(DX∗+(x))−card(DX∗−(x)) , o`uD∗+X (x) (resp.D∗−X (x) ) est l’ensemble des G-diamants positifs (resp. n´egatifs) de type * contenant x et d’´el´ements de X.
Posons :
χ2 ={(x, y)∈X2/x6=y}
χ3 ={(x, y, z)∈X3/x6=y, x6=z et y6=z}
On d´efinit les applicationsD∗2(T /X) et D3∗(T /X) comme suit : D2∗(T /X) est l’application de χ2 dans Z qui `a (x, y)∈χ2 associe :
D∗2(T /X)((x, y)) =card(D∗+X (x, y))−card(D∗−X (x, y)).o`u (DX∗+(x, y) , (resp.
(D∗−X (x, y) est l’ensemble des G-diamants positifs (resp. n´egatifs) de type *, contenant x et y et d’´el´ements de X.
D∗3(T /X)((x, y, z)) =card(D∗+X (x, y, z))−card(DX∗−(x, y, z)) , o`uDX∗+(x, y, z), (resp. D∗−X (x, y, z) est l’ensemble des G-diamants positifs (resp. n´egatifs) de type *, contenant x, y, z et d’´el´ements de X.
On d´efinit l’applicationD0∗(T /X) deχ2dansZcomme suit : D0∗(T /X)((a, b)) = card(D0∗+(a, b))−card(D0∗−(a, b)).
o`uD∗+0 (a, b) est l’ensemble des G-diamants positifs, d’´el´ement de X, de type
* et dont la pointe est diff´erent de a et b, et D∗−0 (a, b) est l’ensemble des G-diamants n´egatifs, d’´el´ements de X, de type * et dont la pointe est diff´erent de a et b.
On d´efinit l’application D0,3∗ (T /X) de χ3 dans Z comme suit : D∗0,3(T /X)((a, b, c)) =card(D0,3∗+(a, b, c))−card(D∗−0,3(a, b, c))
o`u D∗+0,3(a, b, c) est l’ensemble des G-diamants positifs, d’´el´ements de X, de type * et dont la pointe est diff´erent de a, b, et c etD0,3∗−(a, b, c) est l’ensemble des G-diamants n´egatifs, d’´el´ements de X, de type * et dont la pointe est diff´erent de a, b, et c.
Les applications D∗1(T /X) , D∗2(T /X) , D3∗(T /X) , D∗0(T /X),D∗0,3(T /X), µ∗(X),S∗(T /X), etµ∗G(D) sont dites des applications ´ecarts de G-diamants de type *.
Si T est un tournoi de base X, l’Hamiltonien H(T) ou tout simplement H est l’application de χ2 dans Z/2Z d´efinie par : H(x, y) est le nombre (mod 2 ) des 3-cycles passant par x et y.
Proposition 4. : Tout tournoi fortement connexe et de cardinal ≥ 12 est (-3)-reconstructible.
Pour la preuve de cette proposition 4 on aura besoin des r´esultas qui suivent :
Lemme 1.4.
Soit T un tournoi de base E de cardinal c≥7 et abritant des G-diamants de type *.
i- Si ∀x ∈ E, cardE−(x)≥ 3 et cardE+(x) ≥3; et si µ∗(F) = 0 pour toute partie F de E `a c-3 ´el´ements, alors µ∗(F) = 0 pour toute partie F de E `a c-1 ou `a c-2 ´el´ements, les applications ´ecarts de G-diamants D1∗(T), D2∗(T), D∗3(T) sont toutes nulles. De plus D1∗(T /F) et D∗2(T /F) sont nulles pour toute partie F de E `a c-1 ´el´ements. D∗1(T /F) est nulle pour toute partie F de E `a c-2 ´el´ements et T abrite autant de G-diamants positifs de type * que de G-diamants n´egatifs de type *.
ii- Si ∀x∈ E, cardE−(x) ≥2 et cardE+(x) ≥2; et si µ∗(F) = 0 pour toute partie F de E `a c- 2 ´el´ements, alors µ∗(F) = 0 pour toute partie F de E `a c-1, les applications ´ecarts de G-diamants D1∗(T), et D∗2(T), sont toutes nulles.
De plus D∗1(T /F), est nulle pour toute partie F de E `a c-1 ´el´ements. Et T abrite autant de G-diamants positifs de type * que de G-diamants n´egatifs de type *.
En particulier si T et T* sont (-3)-hypomorphes, alors on a i-, et ii- pour tout type * et S(T) est nulle.
Preuve :
La preuve s’inspire de celle du lemme 10.1 du chapitre 1. Dans i- et ii-, les conditions ∀x ∈ E, cardE−(x) ≥ 2, et cardE−(x) ≥ 3 sont rajout´ees pour pouvoir appliquer le lemme 10.1 de M. Pouzet. Si T et T* sont (-3)-hypomorphes, alors d’apr`es le lemme 10.1 , S(T) = 0 et µ(F) = 0 toute partie F de E de cardinal c-3. Donc ducorollaire 3.1tout point est le sommet (la pointe ) d’au moins un diamant positif et d’ au moins un diamant
n´egatif, il en r´esulte que ∀x ∈ E, cardE−(x) ≥ 3 et cardE+(x) ≥ 3; et par suite on a i- et ii-.
Lemme 2.4.
Soit T un tournoi abritant des G-diamants et de cardinal c≥7. Si T et T*
sont (-3)-hypomorphes et si a et b sont deux ´el´ements de E n’appartenant `a aucun diamant, alors b∈I1(a)∪In(a)∪J1(a)∪Jp(a). Autrement dit, b est un ´el´ement d’une chaˆıne extrˆeme de a.
Preuve :
Le fait que T abrite des G-diamants, assure par le corollaire 3.1, que tout point de E est la pointe d’au moins un diamant positif et d’un diamant n´egatif. Et par suite ∀x∈E, T /E+(x) et T /E−(x) abrite des 3-cycles.
Si b /∈I1(a)∪In(a)∪J1(a)∪Jp(a). `a une dualit´e pr`es de T, supposons que b ∈E+(a).
Du lemme 14.1 on a donc b ∈ Ji(a) avec i /∈ {1, p}, et T /Ji(a) est une chaˆıne. Et en remarquant que si T/C est un 3-cycle de T /Ji+1(a), alors T /{a, b} ∪C est un double-diamant. De plus, si un double-diamant con-tient a et b, alors n´ecessairement a et b sont ses sommets. Car sinon a et b appartiendraient `a un mˆeme diamant et du lemme 14.1 (lemme des
´
equivalences), il doit existe un diamant contenant b et dont la pointe est a. Et T /Ji(a) serait fortement connexe, ce qui est absurde. En appliquant le lemme 9.1 (le th´eor`eme des multicouleurs de M. Pouzet), on voit que
∀x ∈ E− {a, b}, T /E− {x} abrite autant de double-diamants positifs con-tenant {a, b} que de double-diamants n´egatifs contenant {a, b}. Et T/E abrite autant de double-diamants positifs contenant {a, b} que de doubles diamants n´egatifs contenant {a, b}.
En particulier si x appartient au 3-cycle d’un double-diamant n´egatif con-tenant {a, b}.
Notons :
D+ le nombre de double-diamants positifs de T/E contenant{a, b}.
D− le nombre de double-diamants n´egatifs de T/E contenant {a, b}.
d+ le nombre de double-diamants positifs de T /E− {x} contenant {a, b}.
d− le nombre de double-diamants n´egatifs deT /E − {x} contenant {a, b}.
On a :
D+−D−=d+−d−−α, o`u α est le nombre de double-diamants contenant {a, b, x}.
Or 0 = D+−D− = d+−d−, et α est non nul, ce qui est absurde. D’o`u le lemme 2.4.
D´efinitions :
Si T est un tournoi de base E tel que tout point y de E admet au plus un unique point sym´etrique y’. Et soient a, b et c trois ´el´ements de E deux `a deux non sym´etriques.
Notons a◦b ={x ∈E− {a, b, a0, b0}/T(x, a) =T(x, b)}. Et a◦b◦c={x∈ E− {a, b, c, a0, b0, c0}/T(x, a) =T(x, b) = T(x, c)}.
Si F est une partie de E `a ´el´ements deux `a deux non sym´etriques. Notons Spin F le nombre des ´el´ements de F qui ont un point sym´etrique dans E.
Lemme 3.4.
Soit T un tournoi de base E de cardinal c≥7 et abritant des diamants.
Si T et T* sont (-3)-hypomorphes et si a, b, et c sont trois points de E deux
`
a deux non sym´etriques, alors les ensembles a◦b eta◦b◦csont de cardinal pair.
Preuve : Supposons que T(a, b) = +.
* Si le G-diamant positif dont a est la pointe, et le G-diamant n´egatif dont b est la pointe sont de mˆeme type *0.
Comme d’apr`es lelemme 1.4: 0 =D2∗0(a, b) = D0,2∗0(a, b)(a, b)+cardDa∗0(b)−
cardDb∗0(a) = D0,2∗0(a, b).
Alors on a autant de G-diamants positifs de type *0, contenant a et b et dont la pointe est un ´el´ement de E − {a, b} que de G-diamants n´egatifs de type
*0, contenant a et b et dont la pointe est un ´el´ement de E− {a, b}. Notons x∗01 , ..., x∗0n,0 les pointes de ces G-diamants.
Si x est un ´el´ement dea◦b qui est la pointe d’un G-diamant contenant a et b et de type *1 distinct de *0 , alors comme 0 = D2∗1(a, b) =D∗10,2(a, b), on a donc autant de G-diamants positifs de type *1, contenant a et b et dont la
pointe est un ´el´ement de E− {a, b} que de G-diamants n´egatifs de type *1, contenant a et b et dont la pointe est un ´el´ement deE− {a, b}.
Notons x∗11 , ..., x∗1n,1 les pointes de ces G-diamants.
En poursuivant ce proc´ed´e, on auraa◦b=∪pi=1{x∗i1, ..., x∗in,i}(car du lemme 17.1on d´eduit que tout point dea◦best la pointe d’un G-diamant contenant a et b) et par suite a◦b est de cardinal pair.
*Si le G-diamant positif dont a est la pointe est de type *0, et le G-diamant n´egatif dont b est la pointe est de type *1. Comme 0 = D2∗0(a, b) = D∗00,2(a, b) +cardD∗0a (b) =D∗00,2(a, b) + 1, alorsD∗00,2(a, b) = −1,
Et le nombre des G-diamants de type *0, contenant a et b et dont la pointe est un ´el´ement deE− {a, b} est de cardinal impair. De mˆeme le nombre de G-diamants de type *1, contenant a et b et dont la pointe est un ´el´ement de E− {a, b} est de cardinal impair.
Comme ci-dessus, on aura a◦b=∪pi=1{x∗i1 , ..., x∗in,i} avec{x∗i1 , ..., x∗in,i}est de cardinal impair si et seulement si i = 0 ou 1. Et a◦b est donc de cardinal pair.
De mˆeme, en consid´erant D3∗i et D∗i0,3, on voit que a◦b◦c est de cardinal pair.
D’o`u le lemme 3.4.
Lemme 4. 4 : Soit T un tournoi abritant des diamants, de cardinal ≥ 7, et tel que T et T* sont (-3)-hypomorphes.
Soient a, b, et c trois ´el´ements distincts de E deux `a deux non sym´etriques.
i- si T /{a, b, c} est une chaˆıne, alors H(a, b) + H(b, c) + H(a, c) = 0 (mod 2 dans Z/2Z).
ii- si T /a, b, c est un 3-cycle, alors : H(a, b) + H(b, c) + H(c, a) + Spin{a,
b, c}= 1 (mod 2 dans Z/2Z).
Preuve :
Remarquons d’abord que Spin est bien d´efini, car en appliquant les lemmes 15.1 et 17.1, on voit que tout point `a au plus un point sym´etrique.
Supposons que T(a, b) = T(b, c) = +. Et Notons : Xb,c ={y∈E− {b, c}/T(y, b) = −T(y, c)}.
Xa,b={y∈E− {a, b}/T(y, a) = −T(y, b)}.
Xa,c={y∈E− {a, c}/T(y, a) = −T(y, c)}.
Posons : Yb,c =Xb,c− {a}, Ya,b =Xa,b− {c}, et Ya,c =Xa,c− {b}.
Et posons Y =Yb,c∩Ya,b.
Remarquons que pour tout ´el´ement z de Y on a : T(z, a) = T(z, c).
Posons :
F =E− {{a, b, c} ∪Yb,c∪Ya,b}.
Yb,c+ ={z ∈Yb,c −Y /T(z, a) =T(z, b) = +}
Yb,c− ={z ∈Yb,c −Y /T(z, a) =T(z, b) = −}
Ya,b+ ={z∈Ya,b−Y /T(z, b) =T(z, c) = +}
Ya,b− ={z∈Ya,b−Y /T(z, b) =T(z, c) = −}
On a :
Yb,c−Y =Yb,c+ ∪Yb,c−, et Ya,b−Y =Ya,b+ ∪Ya,b− Posons :
Y+ ={z ∈Yb,c∩Ya,b/T(z, a) =T(z, c) = +}
et
Y− ={z ∈Yb,c∩Ya,b/T(z, a) =T(z, c) = −}
Premier cas : Si T /{a, b, c} est un 3-cycle : alors comme :
H(a, b) = 1 +cardYa,b− +cardY+. H(b, c) = 1 +cardYb,c++cardY−.
Et H(a, c) = 1 +cardYb,c− +cardYa,b+. (Le 1 provient du fait que T /{a, b, c}
est un 3-cycle).
AlorsH(a, b) +H(b, c) +H(a, c) = 3 +card(Yb,c−Y) +card(Ya,b−Y) +cardY Or a’, b’, et c’ n’appartiennent pas `a F, donc appartiennent `a Yb,c∪Ya,b∪Y. Ainsi :
card(b◦c) = card{a}+card(Yb,c)−card(Yb,c∩ {b0, c0}).mod 2 card(a◦b) = card{c}+card(Ya,b)−card(Ya,b∩ {a0, b0}). mod 2
Et par suite card(a◦b) + card(b◦c) = −Spin{a, b, c}+card(Yb,c −Y) + card(Ya,b−Y) + 2cardY.
DoncH(a, b)+H(b, c)+H(a, c) = 3+card(a◦b)+card(b◦c)+Spin{a, b, c}+
cardY
Or F =a◦b◦cdonc cardF = 0 mod 2.
Et comme a’ et c’ n’appartiennent pas `a Y, alors Y ∪ F = a ◦ c, donc cardY +cardF = 0 mod 2, et par suite cardY = 0 mod 2.
Ainsi H(a, b) +H(b, c) +H(c, a) +Spin{a, b, c}= 1 (mod 2 dans Z/2Z).
Deuxi`eme cas : Si T /{a, b, c} est une chaˆıne : alors comme :
H(a, b) =cardYa,b− +cardY+. H(b, c) =cardYb,c++cardY−. Et H(a, c) = cardYa,b− +cardYb,c+.
Alors H(a, b) +H(b, c) +H(a, c) =cardY++cardY− =cardY.
Il est clair que b’ n’appartient pas `a F.(car sinon on aura T(b’, a) = T’b’, c), donc T(b, a) = T(b, c) par sym´etrie, ce qui est absurde).
Or F − {a0, c0}=a◦b◦cdonc card(F − {a0, c0}) = 0 mod 2.
Et comme a’ et c’ n’appartiennent pas `a Y, alors Y ∪(F − {a0, c0}) =a◦c, donc cardY +card(F − {a0, c0}) = 0 mod 2, et par suite card Y = 0 mod 2.
Donc H(a, b) + H(b, c) + H(a, c) = 0 mod 2.D’o`u le lemme 4.4.
Lemme 5.4 : Soit T un tournoi abritant des diamants et de base E de cardinal ≥7.
Si T et T* sont (-3)-hypomorphes. Et si {a, b, c, d} est une partie de E tel que T /{d, a, b, c} est un diamant de pointe d, alors Spin{a, b, c} ∈ {1,3}.
Preuve : En effet, si Spin{a, b, c} ∈ {0,2}.
Alors du lemme 4.4, on doit avoir H(a, b) + H(b, c) + H(a, c) = 1 mod 2.
Or :
H(d, a) + H(d, b) + H(a, b) = 0 mod 2 H(d, b) + H(d, c) + H(b, c) = 0 mod 2 H(d, a) + H(d, c) + H(a, c) = 0 mod 2
Et en additionnant ces trois derni`eres lignes, on voit que que H(a, b) + H(b, c) + H(a, c) = 0 mod 2, ce qui est absurde. D’o`u le lemme 5.4.
Lemme 6.4 : Soit T un tournoi abritant des diamants et de base E de cardinal impair≥7. Si T et T* sont (-3)-hypomorphes. Et si{a, b, c}est une partie de E telle queT /{a, b, c}est un 3-cycle, alorsSpin{a, b, c}∈ {1,/ 3}.On en d´eduit que si T est un tournoi abritant des diamants et de cardinal impair
≥7 ´el´ements, alors T et T* ne sont pas (-3)-hypomorphes.
Preuve :
On a vu ci-dessus que card Y = 0 mod 2. Et que :
card(b◦c) = card{a}+card(Yb,c)−card(Yb,c∩ {b0, c0}). mod 2 card(a◦b) = card{c}+card(Ya,b)−card(Ya,b∩ {a0, b0}). mod 2
Et par suite card(a◦b) + card(b◦c) = −Spin{a, b, c}+card(Yb,c −Y) + card(Ya,b−Y) + 2cardY
Or cardE =card{a, b, c}+card(Yb,c−Y) +card(Ya,b−Y) +cardY +card(a◦ b◦c).
Donc cardE = card{a, b, c}+card(a◦b) +card(b ◦c) +card(a◦ b◦c) + Spin{a, b, c}+ 3cardY.
Soit cardE = card{a, b, c} +card(a ◦b) +card(b ◦ c) + card(a ◦b ◦ c) + Spin{a, b, c}.
Ainsi, en appliquant le lemme 3.4, card E = 0 mod 2 si Spin{a, b, c} ∈ {1,3}, et E sera de cardinal pair, ce qui est absurde. Donc Spin{a, b, c} ∈/ {1,3}.
Soit T un tournoi `a au moins 7 ´el´ements et abritant des diamants. Si T et T* sont (-3)-hypomorphes, et si T /{d, a, b, c} est un diamant de pointe d, alors du lemme 5.4 on doit avoir Spin{a, b, c} ∈ {1,3}, ce qui est absurde.
D’o`u le lemme 6.4.
Lemme 7.4 :
Soit T un tournoi abritant des diamants et de base E de cardinal pair ≥8.
Si T et T* sont (-3)-hypomorphes. Et si{a, b, c}est une partie de E telle que T /{a, b, c} est un 3-cycle, alors Spin{a, b, c} 6= 2. Et T est sym´etrique.
Preuve :
SiSpin{a, b, c}= 2. De ce qui pr´ec`ede, on doit avoir : cardE =card{a, b, c}+
card(a◦b◦c) +card(a◦c) +card(b◦c) +card(a◦b) +Spin{a, b, c}= 1mod 2, et E sera de cardinal impair, ce qui est absurde, donc Spin{a, b, c} 6= 2.
Montrons maintenant que T est sym´etrique :
SiT /{d, a, b, c}est un diamant de pointe d, alors du lemme 5.4, on doit avoir Spin{a, b, c} ∈ {1,3}, donc au moins un des points a, b, ou c admet un point sym´etrique.
Soit donc x un ´el´ement de E ayant un point sym´etrique x’. Et supposons, `a une dualit´e pr`es, que T(x, x’) = +.
On sait, des lemmes 15.1, 17.1 et 2.4 que Jp(x) = x0, J1(x) = I1(x) = In(x) = φ, et queT /Ji(x) etT /Ii(x) est fortement connexe∀i{1, ...., sup(n, p)}.
Si T /{x, a, b, c} est un diamant de pointe x, alors du lemme 5.4, on doit avoirSpin{a, b, c} ∈ {1,3}, donc au moins un des points a, b, et c admet un point sym´etrique. Supposons que c’est a. Et que T(a, b) = -.
D’abord il existe un point y deE−(x), tel que T(a, y) = + car si T(a, y) = -pour tout point y deE−(x), alors comme S(T)(x) = 0,T /E+(x) et T /E−(x) abrite un mˆeme nombre de 3-cycles, et comme du lemme 14.1, il existe un diamant de pointe a et contenant b, alors T /E−(a) abrite un nombre de 3-cycles strictement sup´erieur `a celui deT /E+(a) si il n’existe pas un diamant de pointe a et contenant x’ et dans ce cas on aura S(T)(a) 6= 0, ce qui
impossible, car on a S(T)(a) = 0 par le lemme 10.1. (oulemme 1.4). Ainsi a est la pointe d’un diamant (positif ) et contenant x’, et un des sommets du 3-cycles de ce diamant appartient `a E−(x). Notons z cet ´el´ement.
T /{x, a, z}est un 3-cycle, et commeSpin{x, a, z} 6= 2 alors z est sym´etrique.
Soit g un ´el´ement de E+(x). Si g n’est pas sym´etrique, alors T /{z, x, g} ne peut pas ˆetre un 3-cycle, car sinon, comme Spin{g, x, z} 6= 2, et que x et z sont sym´etriques, alors g doit ˆetre sym´etrique, ce qui est absurde, donc T /{z, x, g} n’est pas un 3-cycle et par suite T(g, z) = -, mais dans ce cas T /{g, x0, z} est un 3-cycle car T(g, x’) = + et T(x’, z) = + (lemme 15.1).
Et comme Spin{g, x0, z} 6= 2, alors g est sym´etrique, ce qui est absurde.
Donc tout point de E+(x) est sym´etrique.
Si un point h de E−(x) n’est pas sym´etrique, alors, pour les mˆemes raisons que ci-dessus,T /{h, x, k}n’est pas un 3-cycle pour tout ´el´ement k deE+(x)−
{x0}, soit donc T(h, k) = +, pour tout ´el´ement k deE+(x)− {x0}, et comme expliqu´e ci-dessus, on auraS(T)(k)6= 0, ce qui est absurde. Donc tout point h de E−(x) est sym´etrique. D’o`u le lemme 7.4.
Proposition 1.4. Tout tournoi fortement connexe et de cardinal pair ≥12 est (-3)-reconstructible.
Preuve :
D’apr`es le lemme 2.1 et laproposition 2 il suffit de d´emontrer le r´esultat dans le cas o`u T est ind´ecomposable et abritant des diamants.
Si T n’est pas (-3)-reconstructible, alors il existe un tournoi T’ (-3)-hypomorphe mais non isomorphe `a T, et des lemmes 3.1 et 4.1, on a T’= T*. T et T*
sont (-3)-hypomorphes et T est de cardinal pair, alors, du lemme 7.4T est sym´etrique , et T est (-3)-reconstructible d’apr`es la proposition 3, ce qui
est absurde, d’o`u la proposition 1.4.
Proposition 2.4 : Tout tournoi fortement connexe et de cardinal impair
≥13 est (-3)-reconstructible.
Preuve :
De la proposition 2, et du lemme 2.1 , il suffit de d´emontrer le r´esultat dans le cas o`u T est ind´ecomposable et abritant des diamants.
Si T n’est pas (-3)-reconstructible, alors il existe un tournoi T’ (-3)-hypomorphe mais non isomorphe `a T. Et des lemmes3.1 et 4.1, T’ = T*.
T et T* sont donc (-3)-hypomorphes, or ceci est impossible d’apr`es lemme 6.4. D’o`ula proposition 2.4.
Preuve de la proposition 4.
Se d´eduit des propositions 1.4 et 2.4.