LA (-3)-RECONSTRUCTION DES TOURNOIS A AU MOINS 14

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LA (-3)-RECONSTRUCTION DES TOURNOIS A AU MOINS 14

Mohamed Sghiar

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Mohamed Sghiar. LA (-3)-RECONSTRUCTION DES TOURNOIS A AU MOINS 14. 2010. �hal- 01169546v2�

LA (-3)-RECONSTRUCTION DES TOURNOIS A AU MOINS 14 ELEMENTS

Révision du 13 Juillet 2015 Présentée à l'université :

Université Claude-Bernard-Lyon1. Département de Mathématiques. 43, boulevard du 11 novembre 1918,

F-69621-Villeurbanne, France.

Par

MOHAMED SGHIAR [email protected]

9 Allée Jean Bernard Bossu, 21240 Talant, France.

Abstract : The purpose of this work is to prove that any nite tournament with at least 14 vertex, is (-3)-reconstructible.

Résumé : Le but de cette ÷uvre est de démontrer que tout tournoi à au moins 14 sommets est (-3)-reconstructible.

Table des matières

REMERCIEMENTS 3

PRELIMINAIRE 4

INTRODUCTION . . . 4 NOTATIONS ET DEFINITIONS . . . 6

1 CHAPITRE I 9

1.1 La (-1, -3)-reconstruction des tournois à au moins 9 éléments . 9

2 CHAPITRE II 42

2.1 La (-3)-reconstruction des tournois nis, décomposables et for- tement connexes à au moins 12 éléments . . . 42

3 CHAPITRE III 47

3.1 La (-3)-reconstruction des tournois nis et symétriques à au moins 12 éléments. . . 47

4 CHAPITRE IV 49

4.1 La (-3)-reconstruction des tournois nis et fortement connexes à au moins 12 éléments . . . 49

5 CHAPITRE V 64

5.1 La(-3)-reconstruction des tournois nis et non fortement connexes à au mois 14 éléments . . . 64

6 CHAPITRE VI 68

6.1 La (-3)-reconstruction des tournois nis à au moins 14 éléments 68

REMERCIEMENTS

Je tiens d'abord à remercier sincèrement monsieur le professeur GERARD LOPEZ qui m'a fait connaître le domaine de la Théorie des Relations en me proposant de m'inscrire avec son collègue J. G. HAGENDORF, docteur d'état à l'université d'Orsay ( Paris-Sud ).

Je remercie également et surtout monsieur MAURICE POUZET, professeur à l'université Claude Bernard Lyon I, qui a donné de l'intérêt pour mon travail et qui a jugé excellent le résultat de cette Thèse et un bon aboutissement de mes recherches. Sans lui, mon travail n'aurait pas pu voir le jour. Je salue tant ses qualités humaines que scientiques.

Je remercie aussi Monsieur P. ILLE, chargé de recherches au CNRS de Mar- seille, et Y. BOUDABBOUS, professeur à l'institut préparatoire aux études d'ingénieurs de Sfax en Tunisie, pour avoir tout les deux, jugé bonne mon idée fondamentale de cette Thèse.

Je remercie également le professeur A. BOUSSAIRI de l'université Hassan II à Casablanca au Maroc, de s'être intéressé par le sujet de ma Thèse et d'avoir accepté d'en lire les diérentes versions. Je le remercie aussi pour ses correspondances avec nous.

Je n'oublie pas de remercier aussi le professeur MICHEl RAYNAUD de l'uni- versité d'Orsay ( Paris-Sud ) pour ses correspondances et ses conseils.

PRELIMINAIRE

INTRODUCTION

On sait que la fameuse conjecture d'Ulam [11] sur la (-1)-reconstruction des graphes a été contredite dans le cas des tournois par P. K. Stockmeyer [10].

Suite à ce résultat, dans [7], monsieur Maurice Pouzet a donné une nouvelle formulation de la conjecture d'Ulam :

" Trouver le plus petit entier h tel que toute relation binaire de base nie est (-h)-reconstructible dés que sa base est de cardinal susamment grand". En 1987, G. Lopez et C. Rauzy, ont obtenu dans [3] et [2] : 2≤h≤4.

Le but de cette article est de démontrer la(−3)−reconstructiondes tournois nis à au moins 14 éléments.

Dans le premier chapitre, je vais d'abord démontrer dans la proposition 1.1 la (−1,−3)−reconstruction des tournois à au moins 9 éléments. Pour démontrer la (-3)-reconstruction des tournois dans certains cas, A. Boussairi et Y. Boudabbous, dans [12] et [13], ont démontré que tout tournoi décompo- sable et de cardinaln≥12est(−1,−2,−3)−reconstructible. Leurs travaux vont me servir dans les autres chapitres pour aboutir à la preuve de la (-3)- reconstruction des tournois à au moins 14 éléments.

Dans le deuxième chapitre, je montrerai la (−3) −reconstruction des tournois fortement connexes, décomposables et de cardinal au moins égal à 12.

Dans le troisième chapitre, je montrerai la (−3)− reconstruction des tournois symétriques à au moins 12 éléments.

Dans le quatrième chapitre je montrerai la (−3) −reconstruction des

tournois fortement connexes et de cardinal au moins égal à 12.

Dans le cinquième chapitre je montrerai la (−3) −reconstruction des tournois non fortement connexes et de cardinal au moins égal à 14.

Enn, dans le sixième chapitre, je conclurai à la(−3)−reconstructiondes tournois à au moins 14 éléments.

Les conjectures sur la (-3)-reconstruction et la (−2)−reconstruction des relations binaires de cardinal assez grand restent ouvertes.

NOTATIONS ET DEFINITIONS

Etant donnée une relation binaire R de base E, et quatre éléments a, b, c, et d de E, la restriction R/{a, b, c, d} est un dite un diamant si elle est un tournoi ayant un et un seul 3-cycle. Si R/{b, c, d} est ce 3-cycle, alors a est dit le sommet (ou la pointe) de ce diamant. Si en plus R/{a, b} = +, alors ce diamant est dit positif, sinon il est dit négatif.

Etant donnée une relation binaire R de base E, si x est un élément de E, on notera S⁺(x) l'ensemble des diamants positifs contenant x et dont x n'est pas sommet de son 3-cycle. De même on dénit S⁻(x).

Si X est une partie de E, on note D_X⁺ l'ensemble des diamants positifs conte- nus dans X et D_X⁻ l'ensemble de diamants négatifs contenus dans X, et on pose :

µ(X) = card(D_X⁺)−card(D⁻_X).

Si D est un ensemble de diamants, on noteD⁺ (resp.D⁺) son sous ensemble de diamants positifs (resp. négatifs), et par convention on note :

µ(D) =card(D⁺)−card(D⁻).

On dénit l'application S(T) de E dans l'ensemble des entiers relatifs Zpar : S(T)(x) = card(S⁺(x))−card(S⁻(x)).

Si X est une partie de la base E, on note D_1,X l'application de X dans Z qui à x ∈ X associe : D_1,X(x) =card(D⁺_X(x))−card(D_X⁺(x)), où D⁺_X(x) est l'ensemble des diamants positifs contenant x et dont les autres sommets sont contenus dans X, et D_X⁻(x)est l'ensemble des diamants négatifs contenant x et dont les autres sommets sont contenus dans X. On pose :

χ² ={(x, y)∈X²/x6=y}

χ³ ={(x, y, z)∈X³/x6=y, x6=z et y6=z}

Et on dénit les applications D_2,X et D_3,X comme suit :

D_2,X est l'application de χ² dans Z qui à (x, y) ∈ χ² associe D_2,X(x, y) = card D_X⁺(x, y)

−card D_X⁻(x, y)

oùD⁺_X(x, y)est l'ensemble des diamants positifs contenant x et y et dont les autres sommets sont dans X et D_X⁻(x, y) est l'ensemble des diamants négatifs contenant x et y et dont les autres sommets sont dans X.

On dénit de même l'application D_3,X de χ³ dans Z comme suit : D_3,X est l'application de χ³ dans Z qui à(x, y, z)∈χ³ associe :

D_3,X(x, y, z) =card D_X⁺(x, y, z)

- card D⁻_X(x, y, z) .

Où D⁺_X(x, y, z) est l'ensemble des diamants positifs contenant x , y, et z et dont l'autre sommet est dans X et D_X⁻(x, y, z) est l'ensemble de diamants négatifs contenant x , y, et z et dont l'autre sommet est dans X.

Si C(E) est l'ensemble des 3-cycles de E, nous noterons D( T ) la restriction de D_3,E à C(E), les applications D_1,E, D_2,E, D_3,E et S(T) sont appelées respectivement les applications écarts de diamants de type 1, 2, 3 , et S.

Le dual T* de T est le tournoi de même base que celle de T et déni par : T*(x, y) = T(y, x). Pour tous éléments x et y de E.

Disons qu'une restriction I d'une relation binaire R de base E est un R- intervalle si pour tout élément x de E-I, chacune des valeurs R(x, i) et R(i, x) est indépendante du choix de i dans I. Les singletons, le vide et la base entière sont des intervalles dit triviaux.

Soit R une relation binaire, A une partition de la base en intervalles propres non vides et S le quotient R/A ; on dit que R est dilaté de S. Si R n'admet aucun intervalle trivial, alors R est dite indécomposable.

Un double-diamant est un tournoi à 5 éléments obtenu à partir d'un dia- mant en dilatant son sommet par une chaîne de cardinal 2. Si le diamant est positif le double-diamant est dit positif, sinon le double-diamant est dit négatif.

Si R et R' sont deux relations binaires de base E, un chemin de diérence liant deux points distincts x et y de E est une suite de pointsx=x₁, ..., x_n=y vériant :R(x_i, x_j)6=R(x_j, x_i),R⁰(x_i, x_j)6=R⁰(x_j, x_i),∀i, j ∈ {1, ..., n}etj6=

i; et R(x_i, x_j)6=R⁰(x_i, x_j)∀i∈ {1, ..., n−1}etj=i+ 1.

S(R, R') est la relation dénie par : Deux points x et y de E sont en relation par S(R, R') si et seulement si x = y ou si x et y sont liés par un chemin de diérence.S(R, R') est une relation d'équivalence et ses classes sont appelées les classes de diérences.

Soient n et k deux entiers naturels avec k ≤n. Deux relations binaires R et R' de même base E de cardinal n sont dites (k)-hypomorphes (resp.(-k)- hypomorphes) si elles sont isomorphes sur toute partie de E de cardinal k ( resp. de cardinal n-k).

Les deux relations R et R' sont dites(x₁, ..., x_i, ...)−hypomorphessi elles sont (x_i)−hypomorphes pour tout i. R est dite (x₁, ..., x_i, ...)−reconstructible si elle est isomorphe à toute relation qui lui est (x₁, ..., x_i, ...)−hypomorphe.

1 CHAPITRE I

1.1 La (-1, -3)-reconstruction des tournois à au moins 9 éléments

Résumé : Le but de ce premier chapitre est de démontrer que tout tournoi à au moins 9 éléments est (-1, -3)-reconstructible.

Proposition 1.1 Tout tournoi sur une base de cardinal n ≥ 9 est (-1, -3)- reconstructible.

Pour la preuve on aura besoin des résultats qui suivent :

Lemme 1.1 (Théorème de F. Harary et E. Palmer [5]) Tout tournoi non fortement connexe et de cardinal n≥5 est (-1)-reconstructible.

Lemme 1.2 (C. Gnanvo et P. Ille [1]) Tout tournoi sans diamant et de cardinal n≥7 est (-1)-reconstructible .

Lemme 1.3 (Maurice Pouzet [9]) Soient R et R' deux relation binaires de base E et de cardinal n. Si R et R' sont (p)-hypomorphes (p ≤ n), alors R et R' sont ( inf (p, n-p))-hypomorphes.

Lemme 1.4 ((Boussairi A., Ille P., Lopez G., et Thomasse S.[4]) Si T est un tournoi indécomposable et si T' est un tournoi (3)-hypomorphe à T alors T'= T ou T'= T*.

Lemme 1.5 (T. Gallai [6], et P. Kelly [8]) Tout tournoi se met sous l'une des formes suivantes :

i- T = S(T₁, ..., T_k), où S est un tournoi indécomposable. (dans ce cas, T est fortement connexe).

ii-T = S(T₁, ..., T_k), où S est une chaîne à au moins deux éléments.

Corollaire 1.1 (du lemme 1.4) Si S un tournoi indécomposable de base {1, ..., k}et T₁, ..., T_k des tournois nis de bases resp.I₁, ..., I_k, alors les tour- nois (3)-hypomorphes à S(T₁, ..., T_k)se mettent sous l'une des deux formes : S(T₁⁰, ..., T_k⁰) ou S^∗(T₁⁰, ..., T_k⁰) où T_i⁰ est un tournoi de base I_i.

Preuve :

Posons T =S(T₁, ..., T_k)et soit T' un tournoi (3)-hypomorphe à T.

Montrons d'abord que pour tout i∈ {1, ..., k},I_i est un intervalle pour T' :(

ie : Si x est un élément de E −I_i où E est la base de T, alors T'(x, y) = constante lorsque y décrit I_i).

En eet : Si x est un élément de E − I_i, alors il existe un élément j de {1, ..., k} − {i} tel que x appartient à I_j.

Posons x = x_j, et pour tout élément r de {1, ..., k} − {i, j}, choisissons un élément x_r deI_r.

Soit m un élément de{1, ..., k} − {i, j}.

La restriction T /{x₁, ..., x_i =y, ..., x_k} étant fortement connexe et indécom- posable, donc du lemme 4.1 on a :

T⁰/{x₁, ..., x_i =y, ..., x_k} = T /{x₁..., x_i =y, ..., x_k}. Où T⁰/{x₁, ..., x_i =y, ..., x_k}= T^∗/{x₁, ..., x_i =y, ..., x_k}.

On a donc : T⁰(x_j, y) = T(x_j, y) si T⁰(x_j, x_m) = T(x_j, x_m), ou T⁰(x_j, y) = T^∗(x_j, y)siT⁰(x_j, x_m) =T^∗(x_j, x_m), ceci indépendamment de y, ce qui preuve que T'(x, y) = constante lorsque y décrit I_i, et par suite I_i est un intervalle

Il s'en suit que T⁰ = S⁰(T₁⁰, ..., T_k⁰) où T_i⁰ est un tournoi de base I_i et S' un tournoi de même base B que celle de S.

Et comme on a T'/ B = T/ B ou T'/ B = T*/ B, alors on aT⁰ =S(T₁⁰, ..., T_k⁰) ou T⁰ = S^∗(T₁⁰, ..., T_k⁰) avec T_i⁰ un tournoi de base I_i. Ce qui démontre le corollaire 1.1

Lemme 1.6 [13] Soit T un tournoi de cardinal ni. Si T admet un intervalle propre de cardinal au moins égal à 4 alors T est (3,−1)−reconstructible. Lemme 1.7 [13] Soit T un tournoi ni de cardinal n ≥ 5, et soit T' un tournoi (3,−1)−hypomorphe à T. Si T et T' ne forment pas une seule classe de diérence, alors T et T' sont isomorphes.

Le corollaire 1.2 qui suit va donner une caractérisation de deux tournois (3,−1)−hypomorphes et non isomorphes.

Corollaire 1.2 Soit T un tournoi sur une base E de cardinal n ≥ 5, Si T n'est pas(3,−1)−reconstructible, et si T'est un tournoi(3,−1)−hypomorphe mais non isomorphe à T, alors les restrictions T'/ F et T*/ F à toute partie F de E sont isomorphes.

Preuve.

Si T n'est pas(3,−1)−reconstructible, alors il n'est pas(−1)−reconstructible et du lemme 1.1 on déduit que T est fortement connexe. Et du lemme 1.5 on a T =S(T₁, ..., T_k) où S est un tournoi fortement connexe et indécompo- sable. Et du corollaire 1.1 on a : T⁰ =S(T₁⁰, ..., T_k⁰) ou T⁰ =S^∗(T₁⁰, ..., T_k⁰) où T_i⁰ est un tournoi de base I_i. Mais comme T et T' ne sont pas isomorphes, alors ils forment une seule classe diérence d'après le lemme 1.7, et par suite T⁰ =S^∗(T₁⁰, ..., T_k⁰).

Si B est la base de S alors on a :T⁰/B =T^∗/B. Donc pour toute partie F de E on a : T⁰/F ∩B =T^∗/F ∩B.

Et comme d'après le lemme 1.6 tout intervalle I_iest de cardinal au plus égal à 3, alorsT⁰/F∩I_i etT^∗/F∩I_i sont isomorphes, et comme lesF∩I_i sont des intervalles pour T' et T*, alors T' et T* sont isomorphes sur F par recollement des isomorphismes (sur les F ∩I_i).

Lemme 1.8 Soit T un tournoi de base E de cardinal ni. Si T et T* sont isomorphes, et si f est un isomorphisme de T sur T*, alors pour tout élément x de E, l'orbiteO_f(x) ={fⁱ(x), i∈N}est soit de cardinal un, soit de cardinal pair de la forme 4h + 2, où h est un entier.

Preuve :

Soit n le plus petit entier vériant fⁿ(x) =x.

Par récurrence, on a : T(x, f(x)) = (−1)ⁱT(fⁱ(x), fⁱ⁺¹(x)) pour tout entier i∈ {0, ..., n}.

Donc T(x, f(x)) = (−1)ⁿT(fⁿ(x), fⁿ⁺¹(x)) = (−1)ⁿT(x, f(x)).

Si n est non nul alors il est pair. Si n est égal à 4h où h est un entier non nul, et si {x₀ =x, x₁, ..., x_4h+1} est l'orbite de x, avec fⁱ(x) = x_i, pour i ∈ {0, ...,4h−1}, alors par récurrence, on a :T(x, x_2h) = (−1)ⁱT(fⁱ(x), fⁱ(x_2h))

∀i∈0, ...,2h, donc en particulier pour i = 2h on aura :T(x, x2h) =T(f^2h(x), f^2h(x2h)) = T(f^2h(x), f^4h(x)) = T(x_2h, x). Ce qui est impossible, et le résultat s'en dé-

duit.

Lemme 1.9 (Théorème de M. Pouzet ) [9] Etant donnés deux entiers p et r, un ensemble E (d'au moins p + r éléments ) et deux ensembles F et G de parties P à p éléments de E, si pour toute partie Q à p + r éléments de E

le nombre des éléments de F qui sont contenus dans Q est égal au nombre des éléments de G qui sont contenus dans Q alors pour toutes parties P' et Q' de E telles que P' soit contenue dans Q' et telles que Q'- P' ait au moins p + r éléments, le nombre des éléments de F qui contiennent P' et sont contenues dans Q' est égal au nombre des éléments de G qui contiennent P' et sont contenues dans Q'. En particulier si E a au moins 2p + r éléments alors F et G sont égaux.

Lemme 1.10 Soit T un tournoi de base E de cardinal n ≥ 7. Si µ(F) = 0 pour toute partie F de E de cardinal n-3, alors µ(F) = 0 pour toute par- tie F de E à n-2 ou à n-1 éléments, les applications écart de diamants D_1,E, D_2,E, D_3,E, et S(T) sont toutes nulles, et T abrite autant de diamants positifs que de diamants négatifs.

Preuve du lemme 1.10 :

Montrons d'abord que µ(F) = 0 pour toute partie F de E à n-2 et à n-1 éléments.

Soient F l'ensemble des T-diamants positifs, et G l'ensemble des T-diamants négatifs.

Posons p = 4 et r = n - 7. Le cardinal de E est bien supérieur ou égal à p + r = n - 3.

Si Q est une partie à p+r éléments, alors du fait que µ(F) = 0 pour toute partie F de E de cardinal n-3, Q abrite autant de T-diamants positifs que de T-diamants négatifs ; et il s'en suit du lemme 1.9 ci-dessus, en posant Q' = E et P⁰ = {x, y, z}une partie à trois éléments (puisque Q'- P' à p + r éléments ), que le nombre des T-diamants positifs contenant {x, y, z} est

égal au nombre des T-diamants négatifs contenant cette partie, on a donc D_3,E(a, b, c) = 0. Donc D_3,E est une application nulle.

Enlevons maintenant deux points x et y de E. Dans G = E − {x, y} on a µ(G− {z}) = 0 pour tout élément z de G, et le même raisonnement ci- dessus montre que D_1,G soit D_1,E−{x,y} est une application nulle, et par suite µ(E− {x, y}) =D1,E−{x,y}(z) +µ(E− {x, y, z}= 0.

Enlevons maintenant un point x de E. Le même raisonnement montre que D_2,E−{x}(y, z) = 0pour tout couple de points y et z, et par suiteµ(E−{x}) = µ(E − {x, y, z}) + D1,E−{x,z}(y) +D1,E−{x,y}(z) +D2,E−{x}(y, z) = 0.Ainsi on a µ(F) = 0 pour toute partie de E à n-3, à n-2 et à n-1 éléments, et D_3,E est une application nulle, et en particulier D(T) est nulle. On a donc cardD_E⁺ −cardD⁻_E = Pi=k

i=1D(T)(C_i) = 0 où C₁, ..., C_k sont tous les T-3- cycles.

Or si x est un élément de E, on a :cardD_E⁺−cardD_E⁻=µ(E−{x})+D_1,E(x), donc D_1,E(x) est nulle, et par suiteD_1,E est une application nulle.

Si x et y sont deux éléments de E, alors on a :cardD⁺_E−cardD⁻_E =D_2,E(x, y)+

D_1,E−{x}(y) +D_1,E−{y}(x) +µ(E− {x, y}); et comme D_1,E−{x}(y) = µ(E− {x})−µ(E− {x, y}) = 0, et que de mêmeD1,E−{y}(x), alors D_2,E(x, y) = 0, ainsi D_2,E est une application nulle.

Et comme ∀x∈E on a : S(T)(x) +µ(E− {x}) +P

iD(T)(C_i(x)) = P

iD(T)(C_i) = 0. Où les C_i(x) sont les 3-cycles passants par x, et les C_i sont les 3-cycles de T.

Et que µ(E− {x}) = 0, et P

iD(T)(C_i(x)) = 0, alorsS(T)(x) = 0. Ceci∀x, donc S(T) est nulle, et on a autant de diamants positifs que des diamants négatifs. D'où le lemme 1.10.

Lemme 1.11 Si T un tournoi sur une base E nie ou pas, alors il y a équivalence entre :

i- T est fortement connexe.

ii- Pour tout couple (x, y) d'éléments de E, il existe une suite C₁, ..., C_n de T-3-cycles tels que C_i et C_i+1 ont un côté commun si i6=n, et tels que x est un élément de C₁ et y est un élément de C_n.

Preuve :

ii⇒i facile à voir par récurrence.

Montrons que i⇒ii :

Soient x et y deux éléments de E. Supposons que T(x, y) = +.

Soit A ={(y₁ = y, y₂, ..., y_n =x)} tel que T(y_i, y_i+1) = + si i 6=n}. Et soit (a₁ =y, y₂, ..., a_n =x) un élément de A de cardinal minimal.

Il est clair, par minimalité, qu'on a : T(a_i, a_j) =− si i≤j et (i, j)6= (1, n), et il s'en suit que si n ≥ 4, les restrictions de T aux ensembles (a₁, a₂, a₃) ,(a₂, a₃, a₄),...,(a_n−2, a_n−1, a_n−1)sont des 3-cycles qui répondent à la question, et si n=3, la restriction de T à (a₁ =y, y₂, a₃ =x)est un 3-cycle qui répond à la question.

Dans la suite on utilisera les notations suivantes : Si T est un tournoi de base E, notons pour x ∈ E, E⁺(x) = {y ∈ E − {x}/T(x, y) = +} et E⁻(x) ={y∈E− {x}/T(x, y) =−}.

En utilisant le lemme 1.5 de décomposition de T. Gallai et en regroupant les chaînes qui se suivent, on note :

J_i(x),i∈ {1, ..., p} (resp. I_i(x), i∈ {1, ..., n}), les intervalles de E⁺(x)(resp.

DeE⁻(x)) qui sont soit des intervalles chaînes maximaux parmi les intervalles chaînes de E⁺(x) (resp. de E⁻(x)), soit des intervalles fortement connexes maximaux parmi les intervalles fortement connexes deE⁺(x)(resp. deE⁻(x)) , avec T(J_i(x), J_j(x)) = +si i+ 1≤j, et T(I_i(x), I_j(x)) = + sii+ 1 ≤j. Par convention, si la restriction T /E⁺(x) est une chaîne, je pose p =1. De même si la restrictionT /E⁻(x)est une chaîne je pose n=1. Ce qui permet de supposer queI₁(x), I_n(x), J₁(x)etJ_p(x)sont des intervalles chaînes (pouvant être vides) que j'appellerai les T-chaînes extrêmes de x ou tout simplement les chaînes extrêmes de x.

Remarque :

De la convention ci-dessus on a :

- Si p ≥ 3 alors la restriction T /E⁺(x) possède une composante fortement connexe. Et inversement si la restriction T /E⁺(x) possède une composante fortement connexe alors p≥3.

- Si n ≥ 3 alors la restriction T /E⁻(x) possède une composante fortement connexe. Et inversement si la restriction T /E⁻(x) possède une composante fortement connexe alors n ≥3.

- Si l'un de I₁(x) et I_n(x) est vide et l'autre non, alors n ≥ 3 . De même si l'un de J_i(x) et J_p(x) est vide et l'autre non, alors p≥3.

Lemme 1.12 Soit T un tournoi de base E de cardinal c ≥ 7. Si µ(F) = 0 pour toute partie F de E de cardinal c-3, et si T abrite des diamants alors tout point appartient à un diamant.

Preuve : Du lemme 1.10 on a S(T) est nulle. Si donc x est le sommet d'un diamant, alors x est le sommet d'un diamant positif et d'un diamant négatif.

Notons J_i^c(x) l'intervalle Ji(x) si il est fortement connexe et non vide, sinon J_i^c(x)est l'ensemble vide etI_i^c(x)l'intervalleI_i(x)si il est fortement connexe et non vide, sinon I_i^c(x)est l'ensemble vide.

Par le choix de x, il existe un I_i^c(x)et un J_i^c(x) non vides.

Il est clair, en appliquant lemme 1.11, que tout point de I_i^c(x) (resp. J_i^c(x)) forme un diamant avec x. Et il est clair que tout point de E⁺(x)− ∪^p_i=1J_i^c(x) forme un diamant avec tout point de J_i^c(x) , et que tout point de E⁻(x)−

∪ⁿ_i=1I_i^c(x) forme un diamant avec tout point de I_i^c(x). Ce qui démontre le lemme 1.12

Lemme 1.13 Soit T un tournoi de base E de cardinal c ≥ 7. S'il existe dans E un point n'appartenant à aucun diamant , alors T est (−1,−3)− reconstructible.

Preuve :

- Si T n'est pas fortement connexe, alors T est(−1)−reconstructibled'après le lemme 1.1

- Si T est fortement connexe :

Si T est sans diamant, alors T est (−1)−reconstructible d'après le lemme 1.2 Si T abrite des diamants :

Si T n'est pas(−3,−1)−reconstructible, alors il existe un tournoi T'(−3,−1)−

hypomorphe mais non isomorphe à T. Du lemme 1.3 de M. Pouzet T' est

(3) −hypomorphe à T, donc T n'est pas (3,−1)− reconstructible, et du corollaire 1.2, T' et T* sont (−3,−1)−hypomorphes, donc T et T* sont (−1,−3)−hypomorphes. Ainsi µ(F) = 0 pour toute partie de cardinal n-3, et du lemme1.12, tout point appartient à un diamant, ce qui est absurde, et par suite T est (−1,−3)−reconstructible. D'où le lemme1.13

NotonsD_x(E, y)ou tout simplementD_x(y), l'ensemble des diamants passant par x et y et dont x est le sommet, et notons D₃(E, x, y)ou tout simplement D₃(x, y), l'ensemble des diamants passant par x et y et dont le 3-cycle passe par x et y.

Lemme 1.14 (Lemme des équivalences) Soit T un tournoi de base E de cardinal n ≥ 7. Si µ(F) = 0 pour toute partie F de E de cardinal n-3, alors il y a équivalence entre les propriétés suivantes :

i- D_x(y) est non vide.

ii-D_y(x) est non vide.

iii- D₃(x, y) est non vide.

iv- x et y appartiennent à un même diamant : Preuve :

Du lemme 1.10, on sait que toutes les applications écart de diamants D_1,E, D_2,E, etD_3,E sont nulles, et µ(F) = 0 pour toute partie F de E de cardinal n-1, n-2, ou n-3 .

Montrons que i⇔ii :

D'abord on a µ(D_x(E, y)) = −µ(D_y(E, x)) : car : D_2,E(x, y) = 0 d'après le lemme 1.10, et comme D_x(E, y), D_y(E, x) etD₃(x, y) forment une partition de l'ensemble des diamants passant simultanément par x et y, on a donc D_2,E(x, y) = µ(D_x(E, y)) +µ(D_y(E, x)) +µ(D₃(x, y)).

Or µ(D₃(x, y)) = P

i∈ID(T)(C_i), où {C_i, i ∈ I}est l'ensemble des T-3- cycles C_i passant par x et y et qui sont la base d'un diamant. On a donc µ(D₃(x, y)) = 0, et par suite µ(D_x(E, y)) =−µ(D_y(E, x)).

Or siT(x, y) = +, alorsµ(D_x(E, y))=card(D_x(E, y)): car tout les diamants de D_x(E, y) sont positifs ; et µ(D_y(E, x)) =−card(D_y(E, x)) : car tout dia-

mant de D_y(E, x) est négatif.

Et si T(x, y) = −, alors µ(D_x(E, y)) =−card(D_x(E, y)) : car tout les dia- mants de D_x(E, y)sont négatifs ; etµ(D_y(E, x))=card(D_y(E, x)): car tout diamant de D_y(E, x) est positif.

Dans tout les cas on a : card(D_x(E, y)) =card(D_y(E, x)) , ce qui démontre l'équivalence entre i et ii.

Montrons que iii⇒i etiii⇒ii :

Si D₃(x, y) est non vide, alors il existe un diamant D = {x, y, z, s} dont le T-3-cycle est {x, y, z}.

Supposons, ce qui ne change en rien la suite de la démonstration, que le diamant D est positif ie : D(s, x) =D(s, y) =D(s, z) = + , et queT(x, y) = + .

En enlevant s, alors dans E − {s} , T abrite plus de diamants n (n pour négatifs) dont le 3-cycle passe par x et y, que de diamants positifs p (p pour positifs) dont le 3-cycle passe par x et y.

OrD2,E−{s}(x, y) = 0: carµ(F) = 0pour toute partie F de E de cardinal n-3.

(voir preuve du lemme 1.10), Et comme D_x(E− {s}, y), D_y(E− {s}, x) , et D₃(E− {s}, x, y) forment une partition de l'ensemble des diamants passant simultanément par x et y, alors on a :

0 = D_2,E−{s}(x, y) = µ(D_x(E − {s}, y)) + µ(D_y(E − {s}, x)) +µ(D₃(E − {s}, x, y)) , donc : 0 =D2,E−{s}(x, y) =card(D_x(E− {s}, y)−card(D_y(E− {s}, x) +p−n , avec p distinct de n , donc l'un des deux ensembles D_x(E− {s}, y)ouD_y(E− {s}, x)est non vide, et par suiteD_x(E, y)ouD_y(E, x) est non vide.

Mais comme D(T) etD_2,E sont nulles, alors on a :

0 = D_2,E(x, y) =card(D_x(E, y))−card(D_y(E, x)), doncD_x(E, y)etD_y(E, x) sont tous non vides.

Montrons que i⇒iii :

SoitD = (x, y, z, t)un diamant dont le sommet est x. Supposons queT(x, y) = + etT(y, z) = +.

Commecard(D_x(E, y))=card(D_y(E, x)-car :0 =D_2,E(x, y)=card(D_x(E, y)) - card(D_y(E, x))-, alors il est facile de voir que dans E− {z}, on a plus de diamants n de D_y(E− {z}, x)que de diamants p de D_x(E− {z}, y)(avec p distinct de n ).

Et comme0 =D2,E−{x}(x, y),etD2,E−{x}(x, y) =µ(D_x(E−{z}, y))+µ(D_y(E−

{z}, x)) +µ(D₃(E− {z}, x, y)) =p−n+µ(D₃(E− {z}, x, y)). Alors, on en déduit que µ(D₃(E− {z}, x, y)) est non nulle.

Et par suite D₃(E− {z}, x, y) est non vide. Donc aussi D₃(E, x, y) est non vide.

Ainsi i, ii et iii, sont équivalents.

Et comme iv ⇒i, ii ou iii, on en conclut que i , ii, iii, et iv sont équivalents, et le lemme 1.14 est donc démontré.

Corollaire 1.3 Soit T un tournoi de base E de cardinal c≥7. Si µ(F) = 0 pour toute partie F de E de cardinal c-3, et si T abrite des diamants alors tout point est le sommet d'au moins un diamant positif et d'au moins un diamant négatif.

Preuve :

Si x est un point de E, alors x appartient à un diamant D(x) d'après le lemme 1.12.

Soit y un élément de D(x)− {x}. x et y appartiennent à un même diamant, on a donc le point iv- du lemme1.14, et d'après le point i- du même lemme, D_x(y)est non vide, donc il existe un diamant dont x est le sommet, et comme, d'après le lemme 1.10, S(T) est nulle, alors x est le sommet d'un diamant positif et d'un diamant négatif.

Lemme 1.15 Soit T un tournoi de base E de cardinal c ≥ 7, abritant des diamants et tel que µ(F) est nulle pour toute partie F de E à c-3 éléments.

Si x est un élément de E, alors on a : I- T(I₁(x), J_j(x)) =− ∀j 6= 1.

II- T(I_n(x), J_j(x)) = + ∀j 6=p.

III- T(J₁(x), I_i(x)) =− ∀i6= 1 , et T(J_p(x), I_i(x)) = +∀i6=n.

IV-Aucun point de I_n(x)ne forme un diamant avec un point de J_p(x), aucun point de I₁(x) ne forme un diamant avec un point de J₁(x), et si C est un 3-cycle de T, alors C est un 3-cycle formant un diamant avec un élément y d'une chaîne extrême de x si et seulement ci C est un 3-cycle formant un diamant avec x.

Preuve du lemme 1.15 :

D'abord du corollaire 1.3, tout point est le sommet d'au moins un diamant positif et d'un diamant négatif.

Montrons d'abord le point I- : Soit y un élément de I₁(x):

Puisque µ(F) est nulle pour toute partie F à n-3 éléments, alors d'après le lemme 1.10, S(T) est nulle, donc S(T)(y) et S(T)(x) sont nulles.

S'il existe unJ_j(x)fortement connexe tel qu'on a pas T(y, J_j(x)) =−, alors,

des I_i(x), et que, du fait que S(T)(x) est nulle, on a autant de 3-cycles dans E⁺(x) que dans E⁻(x), alors y est le sommet de plus diamants positifs que de diamants négatifs dont le 3-cycle appartient à unI_i(x)ou à unJ_i(x). Mais du fait que S(T)(y) est nulle, alors y est sommet d'un diamant négatif dont le 3-cycle n'appartient à aucune composante fortement connexe I_i(x) ou J_i(x) , or on va montrer que ceci est impossible :

En eet :

Soit (a, b, c) un 3-cycle formant un diamant négatif avec y, avec T(a, b) = T(b, c) = T (c, a) = +.

Supposons que a est un élément de E⁻(x), et b et c deux éléments deE⁺(x). (le cas où a et b sont deux éléments de E⁻(x) et c est un élément de E⁺(x) se traite de la même manière).

On a T(y, a) = T(y, b) = T(y, c) = -, et comme T(y, x) = T(x, b) = T(b, y) = +, et que T(a, b) = T(a, x) = T(a, y) = +, alors (a, y, x, b) est un diamant ayant (y, x, b ) pour 3-cycle, et il passe donc par x et y un diamant, et d'après le lemme1.14, il existe un diamant ayant x pour sommet et dont le 3-cycle contient y, ce 3-cycle doit être contenu dans I₁(x)qui est une chaîne, ce qui est impossible.

De même si (a, b, c) est un 3-cycle formant un diamant positif avec y, on aboutit à une impossibilité.

Donc on a T(I₁(x), J_j(x)) =− pour toutJ_j(x)fortement connexe.

Soit J_j(x) un intervalle non fortement connexe avec j 6= 1.

Si on a pas T(I₁(x), J_j(x)) = −, alors il existe un élément y de I₁(x) et z de J_j(x) tel que T(y, z) = +. Et comme on a : T(I₁(x), J₂(x)) = −, T(J₂(x), J_j(x)) = +, et T(x, J_i(x)) = +∀i, alors on a : T(y, c) = -, T(c, z) =

+, et T(x, z) = T(x, c) = +, si c∈J₂(x). Et comme T(y, x) = +, alors on a T(y, x) = T(x, c) = T(c, y) = +, et T(z, y) = T(z, x) = T(z, c) = -, et (z, y, x, c) est un diamant passant par x et y, et du lemme 1.14, il doit exister un diamant de sommet x et dont le 3-cycle passe par y, ce qui est impossible car T /I₁(x) est une chaîne. Les points II- à III- se démontrent de la même manière.

Preuve du point IV- :

- Soit y un élément d'une chaîne extrême de x, supposons que y est un élément deI₁(x)-la preuve se fait de la même façon si y est un élément deJ₁(x),I_n(x), ou J_p(x)-.

Si y forme un diamant avec un T-3-cycle (a, b, c) qui n'est contenu ni dans E⁺(x) ni dans E⁻(x), alors un des trois points a, b et c est dans Eⁱ(x) et les deux autres sont dans E^j(x) avec i et j distincts et sont deux éléments de {+,−}.

Supposons par exemple que a est dans E⁺(x) et b et c sont dans E⁻(x). -la preuve se fait de la même façon dans les autres cas-.

le diamant étant positif, on a alors T(y, a) = T(y, b) = T(y, c) = +. Supposons que T(a, b) = T(b, c) = T(c, a ) = +, comme T(b, x) = T(x, a) = T(a, b)

= T(y, x) = +, alors (y, a, b, x ) est bien un diamant de sommet y et de 3-cycle (a, b, x), et d'après le lemme1.14, x est sommet d'un diamant dont le 3-cycle contient y, et y doit appartenir à une composante fortement connexe de E⁻(x) ce qui est impossible car y est un élément d'une chaîne extrême.

-Si y forme un diamant avec un élément de J₁(x), alors du lemme1.14, y est le sommet d'un diamant dont le 3-cycle contient cet élément de J1(x), et ce 3-cycle, d'après ce qu'on vient de démontrer, doit appartenir soit à E⁻(x),

soit à E⁺(x). Or il ne peut pas appartenir àE⁻(x)car il contient un élément de J₁(x) donc de E⁺(x), de même que ce 3-cycle ne peut pas appartenir à E⁺(x) car sinon l'élément de J₁(x) doit appartenir à une composante forte- ment connexe de E⁺(x), ce qui est impossible car y appartient à une chaîne extrême, et le point IV- est démontré. D'où le lemme 1.15.

Lemme 1.16 Soit T un tournoi de base E de cardinal c ≥ 7 et tel que µ(F) est nulle pour toute partie F de E de cardinal c-3. Si un élément x de E est le sommet d'un diamant, et si f_x est un isomorphisme entre les restrictions de T et de T^∗ àE− {x}, alors on a n = p,f_x(J_i(x)) =I_p+1−i(x), et f_x(Ip+1−i(x)) =J_i(x)∀i∈ {2, ..., p−1}; f_x(I₁(x)∪J_p(x)) =I₁(x)∪J_p(x), et f_x(I_n(x)∪J₁(x)) = I_n(x)∪J₁(x).

Preuve :

Remarquons que D3,E =D(T)et S(T) sont nulles d'après lemme 1.10.

Si J_i(x) est fortement connexe, et si C est un 3-cycle de J_i(x), alors on a : D3,E−{x}(T /E− {x})(C) =−1, doncD3,E−{x}(T^∗/E− {x})(f_x(C)) = −1, et par suite D3,E−{x}(T /E− {x})(fx(C)) = +1.

Et comme D_3,E(T)(f_x(C)) = 0, alors on a T(x, f_x(C)) = −, et il existe I_j(x) fortement connexe tel quef_x(C)est contenu dansI_j(x), on en déduit - puisque d'après le lemme1.11tout point deJi(x)est contenu dans un 3-cycle- que f_x(J_i(x)) est contenu dans I_j(x). De même on montre que pour toute composante connexeI_i(x)il existeJ_j(x)fortement connexe tel quef_x(I_i)est contenu dans Ij(x).

Notons J₁^c(x), ..., J_j^c(x), les composantes fortement connexes et maximales de E⁺(x)avec T(J_k^c(x), J_l^c(x)) = + si k+ 1 ≤l.

Et Notons I₁^c(x), ..., I_i^c(x), les composantes fortement connexes et maximales de E⁻(x) avecT(I_k^c(x), I_l^c(x)) = + si k+ 1 ≤l.

Supposons que f_x(J_j^c(x))⊆I_l^c(x)avecl ≥2.

Comme T(J_k^c(x), J_j^c(x)) = +∀k≤j −1, alors on doit avoir : T^∗(f_x(J_k^c(x)), f_x(J_j^c(x))) = +.

Soit T(f_x(J_k^c(x)), f_x(J_j^c(x))) =−, ainsi f_x(J_k^c(x))⊆I_l^c

k(x), avec l_k≥2. On en déduit que f_x(Sj

i=1J_i^c(x)) ⊆ Si

k=2I_k^c(x) , ainsi la restriction de T à E⁺(x) abrite un nombre de 3-cycles strictement inférieur au nombre de 3- cycles deE⁻(x), ce qui contredit le fait que S(T)(x) est nulle. Doncf_x(J_j^c(x))⊆ I_l^c(x). De même on montre quef_x(I₁^c(x))⊆J_j^c(x), doncI₁^c(x)etJ_j^c(x)ont un même cardinal et f_x(I₁^c(x)) =J_j^c(x), etf_x(J_j^c(x)) =I₁^c(x). Supposons main- tenant que f_x(J_j−1^c (x)) ⊆ I_l^c(x), avec l ≥ 3. Alors comme ci-dessus on doit avoir f_x(Sj

i=1J_i^c(x)) ⊆ I₁^c(x)S (Si

k=3I_k^c(x)), et par suite la restriction de T à E⁺(x) abrite un nombre de 3-cycles strictement inférieur au nombre de 3-cycles de E⁻(x), ce qui contredit le fait que S(T)(x) est nulle.

Ainsi f_x(J_j−1^c (x)) ⊆ I₂^c(x), et on montre de même que f_x(I₂^c(x)) ⊆ J_j−1^c (x), et par suite f_x(J_j−1^c (x)) =I₂^c(x) car J_j−1^c (x) et I₂^c(x) ont un même cardinal.

En poursuivant ce procédé de raisonnement on a donc :

f_x(J_k^c(x)) =I_j−k+1^c (x)∀k ∈ {1, ..., j}, f_x(I_k^c(x)) =J_j−k+1^c (x)∀k ∈ {1, ..., i}, et i=j.

Si maintenant J_i(x) est un T-intervalle chaîne tel que Ji−1(x) et J_i+1(x) sont fortement connexes, et si y est un élément de J_i(x), alors : f_x(y) est dans E⁻(x): En eet, sif_x(y)est dansE⁺(x), comme on a :T(J_i−1(x), y) =

T(y, J_i+1(x)) = +, alors on doit avoir :T(f_x(Ji−1(x)), f_x(y)) = T(f_x(y), f_x(J_i+1(x))) =

− . Et si f_x(b) est un élément de f_x(Ji−1(x)), et f_x(a) est un élément de

f_x(J_i+1(x)), alors on a : T(f_x(b), f_x(y)) = −, et T(f_x(y), f_x(a)) = −. Or T(f_x(J_i+1(x)), f_x(J_i−1(x))) = +, donc T(f_x(a), f_x(b)) = +.

Et comme T(f_x(a), x) = +, alors on a : T(f_x(a), f_x(y)) = T(f_x(a), f_x(b)) = T(f_x(a), x) = +, et T(f_x(y), f_x(b)) =T(f_x(b), x) =T(x, f_x(y)) = +.

Ainsi(f_x(a), f_x(y), f_x(b), x) est un diamant, et il en résulte d'après le lemme 1.14. qu'il existe un diamant ayant x pour sommet et dont le 3-cycle passe par f_x(y), et par suitef_x(y)doit appartenir à une composante connexeJ_i(x), et y doit appartenir à une composante connexe J_k(x), ce qui est impossible, donc f_x(y)∈E⁻(x), et vérie T(f_x(y), f_x(Ji−1(x))) =T(f_x(J_i+1(x), f_x(y)) = +. On en déduit quef_x(J_i(x)) =Ip+1−i(x)∀i∈ {2, ..., p−1}. De même on montre que f_x(I_i(x)) =J_p+1−i(x)∀i∈ {2, ..., n−1}, et par suite n=p.

Commef_x(I₂(x)) =Jp−1(x), si y est un élément deJ_p(x)tel quef_x(y)appar- tient àE⁺(x), alors on doit avoirT^∗(f_x(y), Jp−1(x)) = +: carT(y, I₂(x)) = + (points I à III du lemme1.15), on doit donc avoirf_x(J_p(x))∩E⁺(x)⊆J_p(x). De même comme f_x(Jp−1(x)) = I₂(x), on montre que f_x(J_p(x))∩E⁻(x) ⊆ I₁(x). Ainsi on a f_x(J_p(x))⊆I₁(x)∪J_p(x).

De même on montre que f_x(I₁(x)) ⊆ I₁(x)∪J_p(x), on a donc f_x(I₁(x)∪ J_p(x))⊆I₁(x)∪J_p(x), d'où l'égalité.

De même on montre que f_x(I_n(x)∪J₁(x)) =I_n(x)∪J₁(x) et le lemme 1.16 est démontré.

Lemme 1.17 Soit T un tournoi de base E, abritant des diamants et de car- dinal c au moins égal à 8.

Si T et T^∗ sont (-3)-hypomorphes, alors ∀x∈E on a : - Soit cardI₁(x) = 1 et I_n(x) =J₁(x) =J_p(x) =φ. - Soit cardJ_p(x) = 1, et J₁(x) =I₁(x) =I_n(x) = φ. - Soit I₁(x) =I_n(x) = J₁(x) = J_p(x) = φ.

Preuve :

i- Montrons d'abord que ∀x∈E, I_n(x) = J₁(x) = φ.

D'abord µ(F) est nulle pour toute partie F de E à c-3 éléments car T etT^∗ sont (-3)-hypomorphes. Ce qui permet d'appliquer les lemmes 1.14et1.15 et le corollaire 1.3.

Par dualité, il sut de démontrer que I_n(x)est vide.

Supposons qu'il n'est pas vide. Et soit a un de ses éléments.

Le fait que T abrite des diamants, assure par le corollaire1.3, que tout point de E est la pointe d'au moins un diamant positif et d'au moins un diamant négatif. Et par suite ∀x∈E, T /E⁺(x) et T /E⁺(x) abritent des 3-cycles.

Et en remarquant que T abrite des double-diamants (car si T/C est un 3- cycle deT /I_i−1(x), alorsT /{x, a} ∪C est un double-diamant ). De plus, si un double-diamant contient x et a, alors nécessairement a et x sont ses sommets car sinon x et a appartiendront à un même diamant et du lemme1.14(lemme des équivalences) il doit exister un diamant dont x est la pointe et dont le 3-cycle contient a, et a doit appartenir à un I_i tel que T /I_i est fortement connexe, soit donc i6=n , ce qui est absurde.

En appliquant le lemme 1.9 (le théorème des multicouleurs de M. Pouzet est applicable car c ≥ 8 et un double-diamant est de cardinal 5 ), on voit

que ∀y ∈ E − {x, a}, T /E − {y} abrite autant de double-diamants positifs contenant {x, a} que de double-diamants négatifs contenant {x, a}. Et T/E abrite autant de double-diamants positifs contenant {x, a} que de double- diamants négatifs contenant {x, a}. En particulier si y appartient au 3-cycle d'un double-diamant positif contenant {x, a}.

Notons :

D⁺ le nombre de double-diamants positifs de T/E contenant{x, a}. D⁻ le nombre de double-diamants négatifs de T/E contenant {x, a}. d⁺ le nombre de double-diamants positifs de T /E− {y} contenant {x, a}. d⁻ le nombre de double-diamants négatifs deT /E− {y}contenant {x, a}. On a :

D⁺−D⁻=d⁺−d⁻+α , oùα est le nombre de double-diamants contenant {x, a, y}.

Or 0 = D⁺−D⁻ = d⁺−d⁻, et α est non nul, ce qui est absurde. D'où le résultat.

ii- Montrons qu'on ne peut pas avoir simultanémentI₁(x)etJ_p(x)non vides : En eet, sinon et si a ∈ I₁(x) et b ∈ J_p(x), alors, comme d'après le point IV- du lemme 1.15, si y est un élément d'une chaîne extrême de x, y forme un diamant avec un 3-cycle C si et seulement si x forme un diamant avec C ; on en déduit que a forme un diamant avec un 3-cycle C si et seulement si b forme un diamant avec C ; et comme des points I- à III- du lemme 1.15 T(a, b) = −, alorsb∈I_n(a), or du point i- ci-dessus on doit avoir I_n(a) vide, ce qui est absurde.

iii- Montrons que l'un des I₁(x) et J_p(x) est vide et l'autre est de cardinal un :

D'après ii-, et à une dualité près, supposons que J_p(x)est vide etI₁(x)est de cardinal supérieur à 2 et soit a et b deux éléments deI₁(x), avecT(a, b) = +, comme ci-dessus, on doit avoir b ∈J₁(a), ce qui est absurde, car on a J₁(a) vide d'après i-

Des points i-, ii-, iii- on déduit le lemme 1.17.

Notations et dénitions :

Si T est un tournoi de base E, et si x et x' sont deux éléments de E tels que T(x, z) = T(z, x') pour tout élément z de E− {x, x⁰}, alors x et x' sont dits symétriques et x' est dit un symétrique de x.

Lemme 1.18 Si x' est le symétrique de x et y' est le symétrique de y tels que {y, y⁰} ⊆ E− {x, x⁰}, alors il n'existe aucun isomorphisme f entre T et T^∗ vériant f({x, x⁰}) = {x, x⁰} et f({y, y⁰}) = {y, y⁰}.

Preuve :

En eet : Sinon, remarquons d'abord que f(x) = x' et f(y) = y', et comme T(x', y') = - T(x', y) = T(x, y), alors on doit avoir T^∗(x, y) = T^∗(x⁰, y⁰) = T^∗(f(x), f(y)) =T(x, y), ce qui est absurde.

Lemme 1.19 Soit T est un tournoi de base E et de cardinal ni. Et soit f un isomorphisme entre T et T^∗, tel que pour tout élément x de E, il existe un élément y de E tel que f({x, x⁰}) = {y, y⁰}. Si pour tout x et y, (y 6=

x), les pairs d'éléments {x, x⁰} et {y, y⁰} ne se chevauchent pas, alors, si O_f({x, x⁰}) ={fⁱ({x, x⁰}), i ∈N} est l'orbite de {x, x⁰}, O_f({x, x⁰}) est soit de cardinal un, soit de cardinal pair de la forme 4h + 2 où h est un entier.

Preuve :

Supposons que O_f({x, x⁰}) est de cardinal impair 2h+1 avec h ≥1. Posons x_i =fⁱ(x₀)avec x=x₀ et i∈ {0, ...,2h}. D'abord on a :

T(x₀, x₁) = T(x⁰₀, x⁰₁) (1)

Car : T(x₀, x₁) =−T(x⁰₀, x₁) =T(x⁰₀, x⁰₁).

D'une part, par récurrence, on a : T(x₀, x⁰₀) = (−1)ⁱT(x_i, x⁰_i), donc on a : T(x₀, x⁰₀) = T(x_2h, x⁰_2h) = T^∗(f(x_2h), f(x⁰_2h)), et par suite f(x_2h) = x⁰₀, et f(x⁰_2h) = x₀.

D'autre part, par récurrence on a :T(x₀, x₁) = (−1)ⁱT(x_i, x_i+1)∀i∈ {0, ...,2h}. Donc : T(x₀, x₁) = −T(x_2h−1, x_2h) = −T^∗(f(x_2h−1), f(x_2h)) =T(x_2h, x⁰₀) = T^∗(f(x_2h), f(x⁰₀)) = T^∗(x⁰₀, x⁰₁). soit T(x₀, x₁) = T^∗(x⁰₀, x⁰₁). Ce qui contredit (1).

Et par suite O_f({x, x⁰})est de cardinal pair.

Si ce cardinal est de la forme 4h, alors, comme T(x₀, x⁰₀) = (−1)ⁱT(x_i, x⁰_i) , pouri∈ {0, ...,4h−1}, alors pour i = 4h-1, on aT(x₀, x₀⁰) =−T(x4h−1, x⁰_4h−1), ce qui montre qu'on doit avoirf(x_4h−1) = x₀. (car on a :f({x_4h−1, x⁰_4h−1}) = {x₀, x⁰₀}). Et par suite l'orbite O_f(x₀) = {fⁱ(x₀), i∈ N}, est de cardinal 4h, ce qui est impossible d'après le lemme 1.8. D'où le lemme1.19.

Lemme 1.20 Soit T un tournoi de base E de cardinalc≥10et tel que pour tout élément x de E on a :

Soit : I₁(x), I_n(x), J₁(x) sont vides, et J_p(x) est de cardinal un.

Soit : I₁(x) est de cardinal un et I_n(x), J₁(x), et J_p(x) sont vides.

Soit a est un élément de E⁻(x)− {x⁰} et b est un élément de E⁺(x)− {x⁰}. Supposons que T(x, x') = + et que T et T^∗ sont (-3)-hypomorphes.

Si T(a, b) = +, et si f_x,a,b est un isomorphisme entre les restrictionsT /E− {x, a, b} et T^∗/E− {x, a, b}, alors on a :

f_x,a,b(x⁰) = x⁰ et ∀z ∈E− {x, x⁰, a, a⁰, b, b⁰}, ∃t∈E− {x, x⁰, a, a⁰, b, b⁰} tel que f_x,a,b((z, z⁰)) = (t, t⁰).

Et si b 6=a⁰ alors on a en plus : fx,a,b(a⁰) =b⁰ et fx,a,b(b⁰) =a⁰.

Et on a un résultat analogue pour f_x⁰_,a,b si T(a, b) = -.(en changeant x par

x').

Preuve du lemme 1.20 Posons J_p(x) = {x⁰} dans le premier cas, et I₁(x) = {x⁰}dans le deuxième cas . Et remarquons que, des points I- à III- du lemme 1.15, x' est l'unique point symétrique de x. Donc T est de cardinal pair.

E−{x, a, b}étant de cardinal impair. Donc du lemme1.8on déduit quef_x,a,b admet un point xe f.

I- Si b6=a⁰ :

Montrons que f_x,a,b(x⁰) =x⁰ :

Supposons que f⁰ ∈ E⁺(f), le raisonnement est analogue si f ∈ E⁻(f). Si f /∈ {x⁰, a⁰, b⁰} : posons f_x,a,b(f⁰) = f”. (f” 6= f⁰ car on ne peut pas avoir deux points xes).

D'abord f”∈ {x⁰, a⁰, b⁰}, car sinon f⁰ ∈ {x, a, b}/ et on aura :

T(f, z) = −T(f”, z)∀z ∈ E− {f, f”}, Or ceci est impossible car des points I- à III- du lemme 1.15, qui est applicable car µ(F) = 0 pour toute partie F de E de cardinal c-3 : Puisque T et T^∗ sont (-3)-hypomorphes, on a soit f⁰⁰ ∈ Jp−1(f) soit f” ∈ I₂(f), or les restrictions T /Jp−1(f) et T /I₂(f) sont fortement connexes, et il doit exister un élément αdeJp−1(f)ou deI₂(f)tel que T(α, f) = T(α, f⁰⁰)ce qui est absurde car α∈E− {f, f”}.

Supposons par exemple que f" = x', les autres cas se traitent de la même façon.

On aura alors T(f, z) =−T(f”, z)∀z ∈E− {f, f”, x}, et comme justié ci- dessus, on a soit f⁰⁰ ∈Jp−1(f) soit f”∈ I₂(f). Or les restrictions T /Jp−1(f) et T /I₂(f) sont fortement connexes, donc f et f" appartiennent à un même diamant, et du lemme 1.14, qui est applicable car µ(F) = 0 pour toute partie F de E de cardinal c-3 : Puisque T et T* sont(-3)-hypomorphes, il doit