Sur les nombres premiers généralisés de Beurling. Preuve d'une conjecture de Bateman et Diamond

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

J

EAN

-P

IERRE

K

AHANE

Sur les nombres premiers généralisés de Beurling. Preuve

d’une conjecture de Bateman et Diamond

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

9, n

o

_{2 (1997),}

p. 251-266

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1997__9_2_251_0>

© Université Bordeaux 1, 1997, tous droits réservés.

L’accès aux archives de la revue « Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux » (http://jtnb.cedram.org/) implique l’accord avec les condi-tions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute uti-lisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte-nir la présente mention de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques

Sur les nombres

_{premiers généralisés}

de

_Beurling.

Preuve d’une

_conjecture

de Bateman et Diamond

par JEAN-PIERRE KAHANE

RÉSUMÉ. Soit P une _partie discrète et multiplicativement libre de la demi-droite

_ouverte

_{]1, ~[,}

et N le _semi-groupe unitaire _engendré par P. Les éléments de P _{s’appellent} nombres _{premiers généralisés} et ceux de N entiers

généralisés. Les fonctions de _{décompte correspondantes} sont _désignées

_P(x)

et

_N(x).

Le problème de _Beurling consiste à donner des conditions sur

_N(x)

qui entrainent le "théorème des nombres _premiers"

_{P(x) ~ x/ log x (x}

~

oo).

En _posant

_{N(x) =}

Dx +

_x03B5(x),

la condition de _Beurling est

_{03B5(x) =}

O((log x) -03B1)

avec a et il y a un _{contre-exemple} avec a L’article montre que la condition

_03B5(x)logx

~

_{L2(R+, dx/x)}

est suffisante, comme

l’avaient _conjecturé Bateman et Diamond.

ABSTRACT. Given _P, a discrete and _{multiplicatively} free subset of the open half

_line

_{]1, ~[,}

let N be the _{multiplicative semigroup generated by} 1 and P. The elements of P resp. N are called _{generalized primes resp. integers.}

The _counting functions are denoted _by

P(x)

and

N(x).

_Beurling’s problem

is to _give conditions on

_N(x)

which _imply the _"prime number theorem"

P(x) ~ x/log x (x

~

_~).

_Assuming

_N(x)

=

Dx+x03B5(x) (03B5

_~

0),

Beurling’s condition

_{is 03B5(x) =}

_{O((logx)-03B1) (x}

~

_~)

with a and a does

not work. The article proves that the condition

03B5(x)

log x ~

_{L2 (R+,}

_dx/x)

is _sufficient, as _{conjectured by} Bateman and Diamond.

Suivant

_Beurling

_[2],

soit P une

_partie

discrète de la demi-droite

ou-verte

_{]1, oo [,}

_{multiplicativement libre,}

et soit N le

_{semi-groupe multiplicatif}

engendré

par 1 et P. Les éléments de P

s’appellent

les nombres

premiers

généralisés

et ceux de N les entiers

_{généralisés.}

Désignons

_par et

_N(x)

respectivement

les fonctions de

_comptage

de P et N :

On suppose

avec D &#x3E; 0. Le

_problème

de

_Beurling

est de donner une condition sur

E(x),

aussi bonne _que

_{possible, qui}

entraîne

le "théorème des nombres

_{premiers" .}

La condition _que donne

_Beurling

est

et un

_exemple

montre _que cette condition est

_{précise :}

a

= 1

ne convient

pas.

En examinant le

_problème

la condition

s’introduit assez naturellement

[1,

_3,

_6]

et on est conduit à se demander

si

_(H)

entraîne

_(TNP).

La

_question

a été

_posée

_par Bateman et Diamond dans

_~1~,

_p.

_199,

et la

_conjecture

_étayée

_par Diamond dans

_[3].

Le but de

cet article est de

_répondre

aSirmativement. THEOREME.

_(H)

_implique

_(TNP).

Je

_rappellerai

d’abord des notations et résultats de

_[6].

On pose

Ces deux fonctions sont définies et

_analytiques

_pour o~ &#x3E; 1. Leur

_quotient

est

_{prolongeable analytiquement}

pour a~ &#x3E;

~,

et il est borné et d’inverse borné

_lorsque

o~ &#x3E;

2 -I- (~+

signifie .1

+ ~ pour un ô &#x3E;

_0),

_{parce que}

et _que le terme

_général

est 0

( #) .

Pour Q &#x3E; 1

en

_intégrant

_par

_parties.

On _suppose d’abord

Ainsi

₍₍₈₎

est définie _pour

_1,

et

L’intégrale

est une fonction de t

qui appartient

à

l’algèbre

de Wiener

A(II~) _

(II8),

donc +

_it)

_appartient

localement à cette

_{algèbre :}

Comme le

_{quotient ~ (1}

+

_it)

est un

multiplicateur

de

De

_plus,

comme valeur limite d’une fonction

analytique

de au + it bornée

dans

_chaque

demi-bande u &#x3E;

_0,

_{t ~}

_a,

Toujours

sous

_{l’hypothèse}

_(A),

on _pose

où la

_{première égalité}

définit _presque

_partout,

et la seconde définit la branche du

_logarithme

considérée.

LEMME.

_Quand

E

(&#x3E; 0)

tend vers

_{zéro, if}

tend vers t dans

Preuve. Sur tout intervalle

_compact

_(e

+

_it)Z(1-I-

e +

_it)

tend vers it

Z(l +

it)

uniformément et par

conséquent,

si

_Z(1

+

_it)

ne s’annule _pas sur cet

intervalle,

if(t)

+

_log(E

+

_it)

tend vers

Ê(t)

+

_{log it}

_{uniformément ;}

cela établit la convergence

de if

vers £ dans

_L2(-a,

_a)

_quand

a &#x3E; 0 est assez

petit.

Soit

_f

E

_{D(II8) (classe}

de

_Schwartz),

_positive

et de

_type

_positif,

portée

par

(-a,

a),

et soit

_fb

sa translatée _par b.

_Comme,

_pour 0 E’ _E,

la fonction _presque

_périodique

_{if, (t) -}

a ses coefficients

positifs,

on

voit _que

et la seconde

_intégrale

tend vers 0

_quand

f et e’ tendent vers 0. Donc les

if

convergent

dans et la limite s’identifie à i.

On tire du lemme la "formule de Fourier pour les nombres

premiers

de

B eurling"

où

_f

E

_D(If8)

et

On

_peut

étendre

_(FF)

à la classe des fonctions

_{f qui}

sont localement dans

L2,

avec

C f +1

1/2..

Nous utiliserons

_parfois

_(FF)

sous la forme

Voici les théorèmes établis en

[6]

à l’aide de

(FF).

T1. Si

_ç(1

+

_it)

ne s’annule _pas sur R et si

_{it ( (1}

+

_it)

est absolument continue sur

1I8,

on a

(TNP).

(On

dit _que

_F(t)

a un zéro d’ordre a en

_to

si

F(to)

= 0 _et

Comme les zéros de

₍₍₁

+

_it)

vont _par

_paires

_{(0, -0),}

l’ordre maximum d’un zéro

_{est ’.}

En corollaire de Tl et

_T2,

on a donc :

T3. Si

_{(1 +it)}

_appartient

à une classe de HÕlder localement sur

2

IEgB{0}

et _que

_{it Ç(1}

+

_it)

est absolument continue sur

1R.,

on a

(TNP).

(Ici

comme

_{plus tard,}

2+ signifie 2

+ J

_pour un ô &#x3E;

_0).

T4. La condition

entraîne

_(TNP)

_(2-

_signifie

2 - 5 _pour un à &#x3E;

_0).

La

_conjecture

de Bateman et Diamond était restée ouverte.

Désormais nous faisons

_{l’hypothèse}

(H).

Il nous suffit de

_montrer,

_d’après

Tl,

que

( (1 + it)

ne s’annule _pas.

Supposons

le

_contraire,

soit

((1 +z0)

= 0.

Une normalisation

_permet

de se borner au cas 0=1.

_{L’hypothèse}

(H)

signifie

que

l’intégrale

qui

figure

dans

l’expression

de

((1 +it)

appartient

à la classe

Hl

de

_Sobolev,

c’est-à-dire _que sa dérivée au sens des distributions

appartient

à

_L2(II8).

Ecrivons

en convenant _que

Hl

_représente

ici un élément de la classe Comme

+

_it)

est un

multiplicateur

de

H1

et

_{que -L}

( ~ (1

+

it) - ~ (1))

appar-tient à on

_peut

_écrire,

avec la même convention _que

ci-dessus,

avec C &#x3E; 0.

Rappelons

deux

_{propriétés,}

faciles à

_établir,

des fonctions F E

Hl.

D’abord

-uniformément sur

1R.,

ce _que nous écrirons F E

_~1/2-

_Ensuite,

₁

F

_{1 EE}

Hl.

Pour la commodité du

_lecteur,

nous donnons en

appendice

un

_{exposé rapide}

des

_propriétés

de

Hl.

Démontrons

_maintenant,

sous la double

hypothèse

_que

(H)

a lieu et

que

Z(1

+

_i)

=

Z(1 - i)

=

_0,

trois

_{propositions auxiliaires, qui}

vont _nous

permettre

d’aboutir à une contradiction.

PO. On a, pour

1 t assez

petit

(dépendant

de 2+)

Preuve. On _{sait que}

et,

comme

Z(1

+

_it)

_appartient

localement

_{à Ai,}

2

Supposons,

en visant la

contradiction,

_{que pour} des 0 arbitrairement voisins

de 0 on ait

Comme

_Z(l

+

_it)

_appartient

localement à

a 2

il s’ensuit _que

2

pour

1

t - 0

1+

et [ 0 1

assez

_petit

(ici

1+

signifie

2(1/2+)).

Posons e

=[ 0

[ + ,

et

où =

QA( [)

et

_{A(t) = (1- [ t}

₁₎₊

_(fonction

_triangle).

Ainsi m &#x3E;

_0,

et

_(FF1)

donne

Cette

_intégrale

se

_décompose

en dix morceaux : neuf

intégrales

de la forme

avec a =

_{0, :1:1,}

+0,

t(1

₊

0)

et

~(1 - 0) (nous

choisissons 0 assez

_petit

pour que les intervalles

(a - E,

a

+,E)

soient

disjoints),

et le

_reste,

qui

est

borné

_quand,

N étant 0. Les estimations

_qui

_précèdent

donnent

Pour N assez

_grand

(dépendant

de 2+)

et _pour

_{10 assez}

_petit

_(dépendant

de

_N)

on obtient I 0. La contradiction établit PO.

Preuve. On

opère

comme dans la _preuve de Tl

[6].

Mais au lieu d’écrire

que, pour

tout y

&#x3E; 0 et toute _cp E

_{D(R) ,}

Le

_premier

membre s’estime comme dans

[6],

à condition de

_vérifier,

ce

que nous allons faire dans un

_instant,

_que la fonction cos

_{2 t}

est

absolument continue au

_voisinage

de 1. En fixant _p et en faisant croître _y

à

_l’infini,

c’est

Il en résulte _{que, pour} tout Ô &#x3E;

_0,

on _a, en

_posant

Q(y)

=

, ~ . ~ /1 B

d’où Pl.

Reste à vérifier _que

_{Re é(1}

+

_t)

cos

₍₁

+

_{t) ,}

ou aussi bien

t Re é(1

+

_{t) ,}

est absolument continue au

voisinage

de 0. = ₊

t)

et

remarquons que est le module de

Z ( 1-I- i -I- it),

qui

appartient

à au

voisinage

de 0. On sait

_{qu’au voisinage}

de 0 on

_{a 1b}

E

LI

e1/J

E c’est-à-dire

_{’l/J’ e1/J}

E et

_aussi,

_par

_PO,

_que

eV;

_{&#x3E;_ &#x3E;}

t

1 t+

_pour

_{1 t}

₁

assez

petit.

Cette dernière

_inégalité

entraîne

te-1/J

E

_{L 2}

_loc) ce

_{qui, joint}

à

’if; 1 e1/J

E

L 2

_loc)

entraîne

_tlb’

E ce

_{qui, joint à e}

E entraîne

_(te)’

1

E

L 1

au

voisinage

de

_0,

ce

qu’on

avait à vérifier.

P2.

_Quand

t est assez

grand,

on a

Preuve. En

_application

de

_(FF)

nous allons écrire de nouveau

avec ici

L’intégrale

I se

décompose

maintenant en 25

_intégrales

_Id,

à savoir

_Io,

Il [-1, 12, 1-2, 10,

1- 0

et toutes les autres. On a

et,

si l’on suppose

1

Z(1

+ 20-’ sur l’intervalle

(0 -,E, 0 + e),

Compte-tenu

de

_(2),

la somme de toutes les autres

_intégrales

est

_majorée

par

A étant la somme des

coefficients,

soit

Supposons

maintenant

_{Z(1+i9) 1}

8-a pour une suite de valeurs B ~ oo.

Choisissons E = de _sorte

que

1

Z(1

+

_it)

_I~

20-a sur l’intervalle

(0 -

E, 0

+

_E)

_{quand 0}

est assez

_grand,

et observons _que

En

_ajoutant,

on obtient

donc I 0 si a &#x3E; 8 et si 0 est assez

_grand.

En choisissant a = 9 la

contradiction établit P2.

PO est intervenue dans la _preuve de Pl . Dans la

_suite,

nous n’utiliserons

que Pl et P2.

(c’est

l’exemple

de

_Beurling)

et

Ecrivons,

par

commodité,

avec

Il faut entendre _par là _que

_h(u)du

est une _mesure, telle _que la mesure

(1 -

cos

_u)du

+

_h(u)du

est

_positive.

La commodité

_consistera,

dans les

écritures,

à traiter h comme une fonction.

_Décomposons

L sous la forme

où

_Li

=

Lcp,

_avec

cp E

_V(1R.),

_paire,

et telle _que

_cp(t)

= 1

quand

-2 t 2.

Posons enfin

de

_façon

_que

Comme

Li

est à

_support

_compact,

_hl

est

_continue,

restriction à R d’une fonction entière de

_type

_exponentiel,

et de

_plus

réelle _{parce que p} est

_paire.

Interprétons

d’abord Pl à l’aide de h. Pl s’écrit

donc

Il en résulte _que

hl

est bornée

_et,

comme c’est une fonction entière de

_type

exponentiel,

que

h’

est bornée. Il en résulte

également

_que

hi (u)

est à décroissance

_rapide

_{quand u --&#x3E;}

-oo.

la formule de Poisson

_s’applique

sous la forme

devant

_{s’interpréter}

comme

27r~(0)).

Comme

Considérons les ensembles d’entiers

La dernière formule s’écrit aussi

~~

étant la somme étendue aux entiers n tels _que

hl

_0,

soit

On a donc

1

1

désignant

le cardinal de

_{A~ .}

Désignons

par

k(u)

la

plus

petite

fonction &#x3E;

0,

de classe

Cl

par morceaux,

k est donc une somme de fonctions

_triangles,

de

_pentes

_{±M, portées}

_par

les intervalles

_{In -}

_{[27rn -}

_k2-j-l,

_m ’ 27rn + _m

1

_(n

E ’ ° Observons _que,

_{lorsque u appartient}

à la réunion des

_In,

Donc

_{h2(u) &#x3E; k(u)}

_{quand u}

E

UIn.

Soit maintenant A une fonction telle _que

et

Pour tout intervalle I =

(a, b)

de

longueur supérieure

à

2J, désignons

_par

l’intervalle

_{(a -}

_6,

b +

_~).

Ainsi

quand u

E et 2ô

_{ln 1.}

. Choisissons 6

_{= k2-;-3}

et n E

_{A~ .}

Alors

Donc, pour ô

ainsi

_choisi,

Or,

par

l’égalité

de

Parseval,

pour un A assez

_grand.

Alors

donc

donc

_log

_{1 Aj}

_{1= O(j)}

et cela contredit

_(3).

Pour achever la preuve du théorème il suffit donc de prouver

(4).

Comme

oo),

il suffit de vérifier _que

Or, d’après

(1),

t-lel

_appartient

à

HI

sur

(2, oo),

c’est-à-dire +

fIt-lei

E

LZ (2,

_oo),

donc

C’est ici

_{qu’intervient}

_{P2, qui}

dit que

1 el &#x3E; ~ t (9

pour t

assez

_grand.

Donc

e

L2(2,

_{oo), (4)}

a lieu avec A =

10,

et le théorème est démontré.

Concluons par

quelques

commentaires.

Les

_{propositions PO,}

Pl et P2 sont un _peu

décevantes,

_parce

qu’elles

expriment

des

_propriétés

d’une fonction

_Z(1

+

_it)

et d’une fonction

_P(ey)

qui

n’existent _pas.

_Cependant

on

_peut

en sauver

_quelque

chose.

Au lieu de

_(H),

_supposons seulement

_(A).

_Alors,

comme on l’a _vu,

it ( (1 +

it)

et it

_Z(1+it)

_{appartiennent}

à

_{Ajoutons l’hypothèse}

_{que it}

_{( (1 + it),}

donc aussi

_{it Z(1}

+

_it),

_appartient

à Alors les

_propositions

PO et Pl

sont valables.

La

_question

se _pose,

naturellement,

de savoir si elles

s’appliquent

à des

fonctions

_qui

existent. La

_réponse

est

_positive,

et la construction de telles fonctions est

_indiquée

dans la dernière

_partie

de

_[6].

La construction est

délicate,

parce que l’on

exige

à la fois

(A)

et

it Z(1

+

_it)

E

HI ~.

La

con-struction devient un _peu

plus

facile si l’on renonce à la condition

(A).

La condition

_(A)

_{paxaît naturelle,}

et

_{je m’y}

suis tenu dans

_[6]

ainsi que dans le

_présent

_article,

où

_je

n’ai _pas eu à m’en

préoccuper puisqu’elle

complète

si on oublie

e(x)

_pour s’attacher exclusivement aux

propriétés

de la fonction

_Z(1

+

_it)

_qui

entraînent

_(TNP).

_J’y

reviendrai

_peut-être

plus

tard. Voici

_quelques

indications.

On suppose que la fonction

est

_analytique

dans le

_demi-plan

u &#x3E; 1 et se

_prolonge

_par continuité au

demi-plan

fermé Q &#x3E; 1. Cela suffit à définir

_i(t)

et à établir

_(FF).

Les énoncés Tl et

_{T2, qui}

_{s’appliquent}

à

_Z(1

+

_it)

comme à

~(1

+

_it),

restent

valables. Dans la

_suite,

on _suppose, au lieu de

(1),

GL

Les

_propositions

PO et Pl restent

_valables,

avec des _preuves

_inchangées.

Pour obtenir

_P2,

nous avons utilisé

(2),

_qui

est une

_conséquence

de

(1),

et

nous avons encore utilisé

(1),

tout à la

_fin,

en écrivant _que

t-’Î

appartient

à

H1

sur

(2, oo).

C’est ce

qui

nous a

permis

d’obtenir

(4)

et de conclure.

Mais,

pour avoir

(4)

avec un certain

A,

il nous sufiit _{que pour} un B &#x3E; 0 convenable on ait

Cela entraîne une version affaiblie de

P2,

où 9 est

remplacé

_par un autre

exposant,

et

_permet

de conclure comme dans le cas B = 1.

Ainsi,

dans le cadre que nous venons de

_donner,

(5)

implique

(TNP).

La suite de l’étude consisterait à

_déterminer,

autant _que faire se

_peut,

les

fonctions

_a(t)

telles _que al E

~(2,

_oo)

entraîne

_(TNP).

Le lecteur attentif

peut

s’y

exercer.

La formule

_(FF)

a été

présentée

_pour la

première

fois dans un cours

donné à l’Université de Crète à Héraclion en avril

_1995,

dans le cadre de la

"chaire

_{Pichorides", puis exposée}

en

_juillet

1995 à

Anogia

(Crète)

lors du

colloque

"Harmonie

_analysis

from the Pichorides

_{viewpoint" .}

Une rédaction

en a été

_publiée,

avec divers articles issus de ce

colloque,

_par les soins de

Myriam Déchamps

[5].

La forme

_primitive

de

_(FF),

_appliquée

aux nombres

premiers ordinaires,

figure

dans le numéro de la Gazette des mathématiciens consacré au centenaire du théorème des nombres

_premiers

[4].

Le

_colloque

en

janvier

1996.

Enfin,

en avril

_1996,

le

_colloque

de Montréal à la mémoire

de Carl Herz a été l’occasion _pour moi de

_m’essayer

à contredire la

conjec-ture de Bateman et

_{Diamond ; j’ai}

mentionné

_plus

haut les

_exemples

_que

je

suis _parvenu à construire

_[6].

Bien

_évidemment,

c’est

_l’analyse

de l’échec de la construction de

_{contre-exemples qui}

m’a

_{conduit, laborieusement,}

au

présent

article.

Je remercie M. Balazard pour toute une série de très utiles

_suggestions.

Appendice

sur

Hl

=

Hl

(R)

Définitions

_{équivalentes :}

₁₎

F E

H1

_signifie

_que F est continue sur R

et _que sa dérivée au sens des distributions

_appartient

à

_{L2(1R) ;}

₂₎

F E

H1

signifie

que F est transformée de Fourier d’une fonction

appartenant

à

L

La seconde définition montre _que

Hl

est contenu dans en

parti-culier,

les fonctions

_appartenant

à

H1

sont continues et bornées. Jointe à

ce dernier

_fait,

la

_première

définition montre _que

H1

est une

algèbre.

On

utilise encore la

première

définition _pour les

propriétés

_{qui suivent,}

concer-nant une fonction F E :

uniformément sur R

BIBLIOGRAPHIE

[1]

BATEMAN P. T. and DIAMOND H. G., Asymptotic distribution _{of Beurling’s}

generalized prime numbers, Studies in number theory, M.A.A. Studies _6,

_(W.

J.

Leveque,

ed.),

1969.

[2]

BEURLING _{A., Analyse} de la loi _asymptotique de la distribution des nombres pre-miers _{généralisés,} Acta Math. 68

_(1937),

255-291.

[3]

DIAMOND H. _G., The _prime number theorem _{for Beurling’s generalized numbers,} J. Number _Theory 1

_(1969),

200-207.

[4]

KAHANE _J.-P., Une _formule de Fourier sur les nombres premiers, Gazette des

Mathématiciens 67 _(janvier

_1996),

3-9.

[5]

KAHANE _J.-P., Une _formule de Fourier pour les nombres premiers, application

aux nombres _{premiers généralisés} de _Beurling, Publ. Math. _Orsay 96.1

_(1996),

"Harmonic _analysis from the Pichorides _viewpoint "

[6]

KAHANE J.-P., A Fourier _{formula for prime numbers,} Canadian Mathematical

Society Conference _Proceedings 21

_(1997),

89-102.

Jean-Pierre KAHANE CNRS URA 757 Université de Paris-Sud Mathématiques - Bâtiment 425 91405 _Orsay Cedex e-mail : _{jean-pierre.kahane@math.u-psud.fr}