Première S2 Exercices sur le chapitre 9 : E5. 2007 2008
E5 Savoir comparer des fonctions.
P 84 n ° 58.
a. f ( x ) = 1 − x + x 21
+ alors f est définie et dérivable sur ] - 2 ; + ∞ [.
f ' ( x ) = - 1 − )² x 2 (
+1 . Le numérateur de f ' ( x ) est égal à - 1 ( 2 +x )² − 1 donc c'est un nombre négatif.
Pour tout x ∈ ] - 2 ; + ∞ [, alors f ' ( x ) < 0 donc f est une fonction strictement décroissante sur l'intervalle ] - 2 ; + ∞ [.
b. En particulier, pour x ∈ [ 0 ; 1 ] , on a f ( 0 ) ≥ f ( x ) ≥ f ( 1 ).
Or f ( 0 ) = 3
2 et f ( 1 ) = 1
3 . Donc un encadrement de f sur l'intervalle [ 0 ; 1 ] est 1
3 ≤ f ≤ 3 2 . c. En particulier pour x ∈ ] - 2 ; 0 ] alors f ( x ) ≥ f ( 0 ).
Donc f ( x ) ≥ 3
2 pour tout réel de l'intervalle ] - 2 ; 0 ].
f est donc minorée par 3 2 . p 84 n ° 59.
f ( x ) = x + 1
x f est définie et dérivable sur * . et f ' ( x ) = 1 −
²
x1 . Le numérateur de f ' est égal à x² − 1.
Le tableau de variation est donc :
x −∞ -1 0 1 +∞
signe de f ′ + 0 − − 0 +
- 2 + ∞ + ∞
f
- ∞ - ∞ 2
Sur l'intervalle ] 0 ; 1 [, f est strictement décroissante. Donc pour tout x de ] 0 ; 1 ], f ( x ) ≥ f ( 1 ).
Sur l'intervalle ] 1 ; + ∞ [, f est strictement croissante. Donc pour tout x de ] 1 ; + ∞ [, f ( 1 ) ≤ f ( x ).
Donc pour tout x de ] 0 ; + ∞ [ f ( x ) ≥ 2.
Ainsi la somme d'un réel strictement positif et de son inverse est strictement supérieure à 2.
p 87 n ° 82.
a. Voir cours.
b. Voir cours.
c. Je note f ( x ) = ( 1 + x )3 alors f ' ( x ) = 3 ( 1 + x )² et f ' ( 0 ) = 3 et f ( 0 ) = 1.
Donc une équation de la tangente T en 0 est y = 3x + 1.
Or ( 1 + x )3≥ 1 + 3x. ce qui signifie que la courbe de f est située au dessus de la tangente en 0 sur [ 0 ; 2 ].
