4. 2. .

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Terminale S Devoir commun n°2 le 8 octobre 2009

Exercice 1 : 3points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Vous entourerez la ou les réponse(s) que vous pensez exacte(s).

Aucune justification n'est demandée.

1. Le conjugué de 𝑧 − 𝑧′ est

𝑧 + 𝑧′

𝑧 − 𝑧′ 𝑧 + 𝑧′

2. Si 𝑓 𝑧 = 2𝑧²− 12𝑧 + 26 alors 𝑓(𝑧) a pour racine : 3 + 2𝑖

et 3 − 2𝑖 L’équation 𝑓 𝑧 = −12𝑧 a pour solution 13 et

− 13

𝑓 𝑧 =

𝑧 + 3 + 2𝑖 (𝑧 + 3 − 2𝑖)

3.

Parmi les nombres suivants, lequel est réel ?

𝑧 − 𝑧 𝑧

𝑧 𝑧𝑧

Exercice 2 : 7 points

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (𝑂 ; 𝑢 , 𝑣 , ) Soit 𝐴 le point d’affixe −2𝑖 .

A tout point 𝑀, différent de 𝐴, d'affixe 𝑧, on associe le point 𝑀′ d'affixe 𝑧′ tel que : 𝑧^′ =^{𝑧−2+𝑖}

𝑧+2𝑖

.

1. Calculer l'affixe du point 𝑄′ associé au point 𝑄 d’affixe 2 − 3𝑖.

2.

Calculer l'affixe du point 𝑇 dont le point associé 𝑇′ a pour affixe 1 − 𝑖. 3. On pose 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦.

Montrer que 𝑧^′ = ^𝑥²^{−2𝑥+𝑦}²^+3𝑦+2

𝑥²+ 𝑦+2 ² +𝑖 ^{2𝑦−𝑥+4} 𝑥²+ 𝑦+2 ²

4.

Déterminer les ensembles des points 𝑀 d'affixe 𝑧 tel que : a) 𝑧′ soit réel.

b) 𝑧′ soit imaginaire pur.

Uniquement pour les élèves qui ne suivent pas la spécialité mathématique.

Soit la fonction 𝑓 définie sur ℝ\{−1} par : 𝑓 𝑥 =^𝑥²^−3𝑥+1 𝑥+1

1.

Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C représentative de la fonction au point d'abscisse 1.

2.

Existe-t-il des tangentes à la courbe C parallèles à la droite d’équation 𝑦 = −4𝑥? Si oui, déterminer en quels points et donner une équation de ces tangentes.

Uniquement pour les élèves qui suivent la spécialité mathématique.

A faire sur une copie séparée.

1. a) Soit 𝑛 un entier naturel. Déterminer pour 𝑛 ∈ [0 ; 7], le reste de la division euclidienne de 5^𝑛 par 13.

b) En déduire suivant les valeurs de 𝑛, le reste de la division euclidienne de 5^𝑛 par 13.

2. Pour tout 𝑛 ∈ ℕ, on pose 𝑢_𝑛 = 5^3𝑛+ 5^2𝑛+ 5^𝑛+ 1.

Démontrer que 𝑢_𝑛 est divisible par 13 si et seulement si 𝑛 n’est pas divisible par 4.

𝑓 est la fonction définie sur ] − 1 ; 1[ par 𝑓 0 = 1 et 𝑓^′ 𝑥 = ¹

1−𝑥²

^{où 𝑓′}

désigne la fonction dérivée de la fonction 𝑓.

On ne cherchera pas à expliciter 𝑓 𝑥 .

1. a) Donner l’approximation affine de la fonction 𝑓 en 0.

b) En déduire une valeur approchée de 𝑓(0,1).

2. On considère la fonction composée ℎ définie sur ] − 𝜋 ; 0[ par ℎ 𝑥 = 𝑓(cos 𝑥).

a) Quel est le signe de sin 𝑥 sur ] − 𝜋 ; 0[ ?

b) Démontrer que pour tout 𝑥 appartenant à ] − 𝜋 ; 0[, ℎ^′ 𝑥 = 1 où ℎ′

désigne la fonction dérivée de ℎ. c) Calculer ℎ(−^𝜋₂).

d) Déduire l’expression de ℎ 𝑥 .

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