O J I 1
1 2
Exercice 1:
A/ 1/on considère la fonction h définie sur IR par: h(x)=xex-2ex+2.
a) étudier les variation de h (on précisera en particulier h(0).
b) Montrer que l'équation h(x)=0 admet autre que 0 une solution unique appartenant à l'intervalle ]
2 3,2[
c) En déduire le signe de h(x) sur IR.
2/ soit la fonction g définie par g(x)=2(1-e –x); on pose I=[
2 3 ,2].
a) démontrer que l'équation h(x)=0 équivalente à g(x)=x.
b) montrer que g est strictement croissante sur IR.
c) Montrer que si xI; alors g(x)I.
3/ soit la suite( xn) définie sur IN* par:
g(x ) n 1 x
2 x 3
n 1
n 1
a) Montrer que xn[3 2 , ]
b) démontrer que la suite (xn) est croissante.
c) En déduire la suite (xn) est convergente d) Déterminer sa limite.
B/ 1/ soit la fonction f définie sur IR* par:
² x e 1 ) x ( f
x
a) calculer les limites de f aux bornes de son domaine de définition.
b) Montrer que f est dérivable sur IR* et que f '(x)=
x ) x ( h
3 . c) Dresser le tableau de variations de h.
d) Montrer que f()=
) 2 (
1
et donner une valeur approchée de f().
2/ construire la représentation graphique de f dans un repère orthonormé.
Exercice 2:
A/ on considère la fonction f définie sur IR par:
e 1 e
e 2e ) x (
f 2x x
x x 2
la courbe représentative de f dans un repère orthonormé, donnée par la figure suivante:
On précise que I(0,1) est un centre de symétrie de la courbe et que la droite T est la tangente à en ce point
1/ a) déterminer par un calcul la limite de f en -∞ et préciser l'asymptote à correspondante.
b) déterminer la limite de f en +∞ et préciser l'asymptote à correspondante.
a) Calculer l'abscisse du point d'intersection A de la courbe avec l'axe des abscisses.
En déduire les coordonnées du point B de la courbe d'ordonnée 2.
2/ par une lecture graphique :
a) donner le signe de f(x) suivant les valeurs de x.
b) donner la valeur de f '(0).
B/ soit F la fonction définie sur IR par F(x)=Log(e2x - ex+1)-1.
sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
1/ a) déterminer la limite de F en -∞.
b) montrer que F(x)=2x-1+Log(1- e -x + e -2x) ; xIR.
c) Déterminer la limite de F en +∞.
d) Montrer que admet deux asymptotes dont l'une est la droite d'équation y=2x-1.
2/ a) montrer que f est la dérivée de F b) dresser le tableau de variations de F.
3/ préciser la tangente à au point d'abscisse 0 puis tracer . Exercice 3:
on considère la fonction f définie par f(x)=
e 2 e 2
x x
1/ a) déterminer le domaine de définition de f.
b) montrer que pour tout xDf; f(x)=
2e 1
2e 1
x x
. Déduire la limite de f en -∞.
c) montrer que le point I(Log2,0) est un centre de symétrie de la courbe représentative de f.
d) étudier les variations de f.
e) déterminer une équation de la tangente à f aux points A et B d'abscisses respectifs 0 et Log6.
2/ tracer dans un repère orthonormé f en faisant figure les renseignement obtenus précédemment.
3/ soit g la fonction définie sur ]-∞,Log2[ par g(x)=f(x).
a) montrer que g réalise une bijection de ]-∞,Log2[ sur un intervalle J que l'on précisera.
b) Montrer que l'équation g(x)=x admet une unique solution ]-1,0[.
Exercice 4:
f définie sur l'intervalle [0,+∞[ par:
e x e 1 ) x (
f x
x
.
A/ 1/ soit g la fonction définie sur [0,+∞[ par g(x)=e x-x-1.
a) montrer que, pour tout x >0, on a g'(x) >0. en déduire le sens de variations de g sur [0,+∞[.
b) Calculer g(0). En déduire que pour tout x >0, on a g(x) >0.
2/ soit h la fonction définie sur [0,+∞[ par h(x)=(2-x)ex-1.
a) étudier la fonction h et dresser son tableau de variations.
b) Montrer que l'équation h(x)=0 admet une solution et une seule et que l'on ait >1.
c) Vérifier que 1,84 < < 1,85.
d) Préciser, suivant les valeurs du nombre réel x ≥ 0, le signe de h(x).
B/ 1/ a) justifier que f est définie en tout point de [0,+∞[.
b) montrer que, pour tout x ≥ 0, on peut écrire f(x)=
xe 1
1 e
x x
. En déduire
) x ( lim f
x .
Interpréter géométriquement, relativement à f, le résultat obtenu.
c) monter que pour tout x ≥ 0 ,
e x x ) x ( ) h x ( 'f 2
. d) Dresser le tableau de variations de f .
2/ a) montrer que pour tout x ≥ 0, f(x)-x=
e x
) x ( g ) x 1 (
x
.
b) en déduire suivant les valeurs du réel x ≥ 0, la position de la courbe f
par rapport à la droite D: y=x.
3/ a) préciser la tangente au point de f d'abscisse 0.
b) tracer f , en faisant figurer sur le dessin la droite ∆ d'équation y=1 et tous les éléments obtenus au cours de l'étude.
Exercice 5:
on considère la fonction f définie sur [0,+∞[ par f(x)=
e 1 x
e 1
x x
et f sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
A/ soit g(x)=x+2-ex avec x ≥ 0.
1/ étudier les variations de g sur [0,+∞[.
2/ a) montrer que l'équation g(x)=0 admet une solution unique dans [0,+∞[.
b) prouver que 1.14 ≤ ≤ 1.15.
3/ en déduire le signe de g(x) suivant x.
B/ 1/ a) montrer que pour tout x ≥ 0; f'(x)=
)² e 1 x (
) x ( e g
x x
. b) en déduire les variations de f sur [0,+∞[.
2/ a) montrer que pour tout x ≥ 0; f(x)=
x e 1 e
x x
. b) en déduire lim f(x)
x ; interpréter graphiquement ce résultat.
3/ a) établir que f()=
1
1 .
b) donner une équation de la tangente T à f au point d'abscisse 0.
4/ a) montrer que f(x)-x=
e 1 x
) x ( u ) 1 x (
x
; avec u(x)= ex-xex-1.
b) étudier les variations de la fonction u sur [0,+∞[; en déduire le signe de u(x).
c) en déduire alors la position de f par rapport à T.
5/ tracer f et T.
Exercice 6 :
soit f la fonction définie sur IR par: f(x)=
1 e e
x 2 x 2
. On désigne par la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
A/ 1/ a) étudier les variations de f.
b) montrer que le point de d'abscisse 0 est un centre de symétrie de . 2/ a) montrer que pour tout x IR; |f'(x)| ≤
2 1.
b)en déduire la position relative de et de sa tangente en . 3/ a) montrer que f est une bijection de IR sur un intervalle J que l'on déterminera. On désigne par ' la courbe représentative de f -1.
b) explicité f -1, pour xJ.
4/ pour tout x réel, on pose g(x)=f(x)-x.
a) étudier les variations de g.
b) montrer que l'équation f(x)=x admet une unique solution telle que
2
1 < < 1.
a) étudier la position relative de ' et la droite d'équation y=x.
b) construire et '.
5/ calculer en fonction de l'aire de la partie du plan limitée par les courbes et ' et les axes de coordonnées.
B/ on considère la fonction définie par (x)= f(x).
1/ montrer que est une bijection de IR sur J et que pour tout xJ;
-1(x)=f -1(x²).
2/ soit F la fonction définie sur ]1,1[ par:
0 x si dt ) 2 1 ( Log )
0 ( F
1 e ) e
x ( F
)
² x 1
² ( x Log 2 1
0 2t
t
a) étudier la parité de F.
b) montrer que F est dérivable sur ]0,1[ et calculer F'(x).
c) calculer F( ) 2
2 ; en déduire l'expression de F(x) pour x ]0,1[.
3/ étudier la continuité et la dérivabilité de F en 0.
4/ construire la courbe de F dans un repère orthonormé.
5/ en remarquant que
x 1
1 x 1
1
² x 1
2
; calculer F( )
² e 1
e
