gradF s’annule ? 2) Montrer queA=(1, 1)∈C

UNIVERSITÉPIERRE ETMARIECURIE ANNÉEUNIVERSITAIRE2011-2012 L2-PEIP2-LM256

Examen du 5 Juin 2012 Durée : 2 heures.

Les notes de cours et les calculatrices ne sont pas autorisées. Le sujet comprend quatre exercices, qui sont indépendants.

Exercice 1

On considère la fonction de deux variablesF(x,y)=x⁴+3y²−4x²y, et on note C l’ensemble {(x,y)∈R²,F(x,y)=0}.

1) Calculer−−−→

gradF. Quels sont les points deR²où−−−→

gradF s’annule ?

2) Montrer queA=(1, 1)∈C. Calculer le gradient deF en ce point. Montrer que près deF,C est le de la formey=ϕ(x), c’est à dire le graphe d’une fonctionϕ.

3) Donner un vecteur tangent enC enA, puis un vecteur unitaire tangent.

4) Donner l’équation de la droite affine tangente àC enA.

5) Calculerϕ⁰(1).

Exercice 2

On considère la courbe paramétrée C de l’espaceR³donnée par le paramé- trage suivant :

x(t)=cost, y(t)=si nt, z(t)=t, où 0≤t≤2π. 1) Calculer un vecteur tangent à C au point M(t)=¡

x(t),y(t),z(t)¢

, puis un vecteur unitaire tangent.

2) soit V₁ le champ de vecteurs défini par V~₁(x,y,z) =(x+z,y²,x). Calculer Z

C

V~₁(M)dM~.

3) SoitV2le champ de vecteur défini parV~2(x,y,z)=(y²cosx, 2ysinx+e^z,ye^z).

Montrer qu’il existe une fonction f telle queV~₂=−−−→

gradf. 4) Calculer f.

5) Calculer Z

C

V~₂(M)dM~.

1

Exercice 3

1) SoitD={(x,y)∈R², 1≤y≤10,y≤x≤y²}. Calculer en utilisant le théorème de Fubini les intégrales doublesI₁=

Ï

D

1

x²yd xd yetI₂= Ï

D

y

(x+y)²d xd y. 2) SoitD={(x,y)∈R²,x²+y²<1} le disque unité deR². Calculer en utilisant un changement de variables approprié

I3= Ï

D

x²

1+x²+y²d xd y.

3) SoitV1={(x,y,z)∈R³,x²+y²<1, 0<z<1}. Calculer en utilisant des coor- données cylindriques l’intégraleI₄=

Ñ

V1

(x²+y²+z²)d xd yd z.

4)SoitV2={(x,y,z)∈R³,x²+y²<1, 0<z<x²+y²+1}. Calculer le volume de V2.

5) SoitB₊={(x,y,z)∈R³,x²+y²+z²<1, 0≤z<1}. Calculer, en utilisant des coordonnées sphériques l’intégraleI₅=

Ñ

B₊

zd xd yd z.

Exercice 4

1) SoitS1={(x,y,z)∈R³,x+y+z=4,x≥0,y≥0,z≥0}. Vérifier queS est une portion du graphe d’une fonction que l’on précisera. CalculerI₁=

Ï

S1

x²dσ. 2) SoitS2=(x,y,z)∈R³,x=y²+2z², 0≤y≤1, 0≤z≤1}. L’ensembleS est-il un graphe ?

3) Calculer

I₂= Ï

S2

y zdσ.

2