Méthode 1. Montrer qu’une fonction est une densité de probabilité.

Fonctions de répartitions et densités

Fiche Méthode 1

Méthode 1. Montrer qu’une fonction est une densité de probabilité.

Pour montrer qu’une fonction f est une densité de probabilité, on revient à la définition en prouvant successivement que :

• f est positive sur R ;

• f est continue sur R sauf éventuellement en un nombre fini de points. On précisera alors quels sont les points où f pourrait ne pas être continue. On ne perdra pas de temps à déterminer si oui on non f y est continue, cela n’est pas nécessaire.

• Z +∞

−∞

f (t)dt converge et vaut 1.

Méthode 2. Montrer qu’une fonction est une fonction de répartition.

Rappelons que si X est une variable aléatoire, la fonction de répartition de X (ou loi de X) est par définition la fonction F X définie pour tout x ∈ R par :

F _X (x) = P (X ≤ x).

Pour montrer que F : R → R est la fonction de répartition (aussi appelée loi de probabilité) d’une variable aléatoire X, on prouvera que :

• F est croissante sur R ;

• lim

x→+∞ F (x) = 1 et lim

x→−∞ F (x) = 0 ;

• F est continue à droite en tout point de R , c’est à dire :

∀x ₀ ∈ R, lim

x→x

F (x) = F(x 0 ).

Bien souvent, le fait que F soit une fonction de répartition provient de sa définition même (recherche de la fonction de répartition de Y lorsque Y = g(X) par exemple) et les points précédents sont automatiquement vérifiés (du moins si vous n’avez pas fait d’erreurs, et ça peut justement être utile pour contrôler vos calculs). Il sera donc inutile de les préciser dans votre copie.

Ces trois points sont à vérifier essentiellement dans un unique cas : lorsqu’on étudie la convergence

en loi d’une suite (X n ) de variables aléatoires, on vérifie que la « fonction limite » F des F X

est

la fonction de répartition d’une variable aléatoire (ou du moins si elle coïncide avec la fonction

de répartition d’une variable aléatoire en tous ses points de continuité).

ECS2 Lycée Louis Pergaud

Méthode 3. Déterminer la fonction de répartition d’une variable aléatoire.

Si on dispose d’une densité f de X, alors on calcule :

∀x ∈ R , F (x) = Z x

−∞

f (t) dt.

Si Y = g(X) et qu’on connait la loi F _X de X, on détermine F _Y en procédant comme suit exprime F _Y en fonction de F _X . Pour cela, . On . Surtout, avant de composer par une fonction (logarithme, racine carrée),

• on commence par regarder l’ensemble des valeurs prises par Y afin de déterminer sans calcul à quels endroits F Y vaut 0 ou 1 ;

• on exprime P (Y ≤ x) en fonction de P (X ≤ x). Pour cela, on veillera bien au sens des inégalités et à justifier pourquoi ce signe change ou non.

Méthode 4. Prouver qu’une variable aléatoire X est à densité.

Si la fonction de répartition de X n’a pas été déterminée, on commencera par la déterminer.

Il faut ensuite prouver que cette fonction est :

• continue sur R tout entier. En général, seuls un ou deux point peuvent poser problème.

En ces points, il faudra alors revenir à la définition de la continuité, en étudiant les limites à droite et à gauche.

• de classe C ¹ , sauf éventuellement en un nombre fini de points. Là encore, on se contentera de préciser quels sont ces points, mais on ne poussera pas l’étude plus loin.

Méthode 5. Déterminer la densité d’une variable aléatoire X.

Il faudra bien entendu avoir déjà prouvé que la variable X est à densité (cf ci-dessus).

Une densité de X est alors toute fonction coïncidant avec F _X ⁰ sauf éventuellement en un nombre fini de points.

• Si F X est dérivable sur R tout entier, alors on peut la prendre comme densité de X.

• Sinon, on ne dira pas que F _X ⁰ est une densité (puisqu’elle n’est pas définie partout), et on prendra comme densité une fonction qui coïncide avec F _X ⁰ là où cette dernière existe, et n’importe quelle valeur (0 est le choix standard) en les points (nécessairement en nombre fini) où F _X ⁰ n’est pas définie.

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