PREMIÈRES-RÉSUMÉ>PROBABILITÉS>
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☎ G énéralit és ✆
• Int ersect ionet réunionde 2 événement s : A A∩B B
Ω
A∩B : évent ualit és de A et B.
A A∪B B
Ω
A∪B : évent ualit és de A ou B.
p(A∪B) = p(A) + p(B)− p(A∩B)
• A et B sont incom pat ibles ssi A∩B = ∅
A B
Ω
p(A∪B) = p(A) + p(B)
• A et A sont cont raires
A A
Ω
p(A) = 1− p(A)
• Équiprobabilit é
Si l’univers Ωcomprend n évent ualit és équi- probables, la probabilit é de chacune est 1
n. P our t out événement A on a alors :
p(A) = nombre de cas favorables nombre de cas possibles
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☎ Loi d’une variable aléat oire✆
X est une variable aléat oire qui prend les valeursxi (16i 6k)
valeurs x1 x2 . . . xk probabilit é p1 p2 . . . pk
• Esp érance m at hém at ique de X : E(X) =
Xk
i= 1
xipi = x1p1+ . . .+ xkpk
• Variance de X : V(X) =
Xk
i= 1
pi(xi− E(X))2 ou
V(X) = Xk
i= 1
pix2i − (E(X))2 (formule de Koenig)
• Écart typ e de X : σ(X) = p V(X)
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☎ Loi binom iale ✆
• Épreuve et loi de B ernoulli X∼ B(1 ;p)
X = nombre de succés q= 1− p
•
S S
q
p xi 0 1
pi q p
• Schém a de B ernoulli et loi binom iale Répét it ion de n épreuves de Bernoulli iden- t iques et indép endant es : X ∼ B(n;p)
X = nombre de succés q= 1− p
•
S•
S•
S• S S S•
S S S•
S• S S S•
S S S•
S•
S• S S S•
S S S•
S• S S S•
S S
q
q
q
q p
p q
p
p q
q p
p q
p
p q
q
q p
p q
p
p q
q p
p q
p
n k
est le nombre de chemins comport ant k succès sur n répét it ions. (Exemple : 42 = 6.)
xi 0 1 . . . k . . . n
pi qn pqn−1 . . . nkpkqn−k . . . pn E(X) = p V(X) = npq σ(X) = √
npq
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X. Hallosserie
