Probabilités et échantillonnage

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Fluctuation

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Lycée Louise Michel (Gisors)

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Définir une loi de probabilité Calculs de probabilités Echantillon et simulation Fluctuation

110. Dénombrer à l’aide d’un arbre ou d’un tableau.

111. Etablir et utiliser une loi de probabilité.

112. Calculer des probabilités dans des cas simples.

113. Exploiter la formuleP(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B).

114. Utiliser un programme pour simuler.

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lable dont on ne peut pas connaître à l’avance le résultat obtenu. Ce résultat n’est pas toujours le même à chaque tentative.

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Au cours d’une expérience aléatoire, l’ensemble de tous les résultats possibles, appelé , est noté généra- lementΩ.

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Au cours d’une expérience aléatoire, l’ensemble de tous les résultats possibles, appelé univers , est noté généra- lementΩ.

Définition :

On appelle tout sous-ensemble de l’universΩ, c’est à dire un ensemble constitué decertainséléments de Ω. On dit également que l’ est réalisé par ces éventualités.

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Au cours d’une expérience aléatoire, l’ensemble de tous les résultats possibles, appelé univers , est noté généra- lementΩ.

Définition : événements

On appelle évènement E tout sous-ensemble de l’universΩ, c’est à dire un ensemble constitué decertainséléments de Ω. On dit également que l’évènement E est réalisé par ces éventualités.

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• Un est un ensemble constitué

d’un seul élément deΩ;

(10)

• Un événement élémentaire est un ensemble constitué d’un seul élément deΩ;

• Un est l’ensemble constitué d’au-

cun élément deΩ, c’est l’ensemble vide∅;

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• Un événement impossible est l’ensemble constitué d’au- cun élément deΩ, c’est l’ensemble vide∅;

• Un est l’ensemble constitué de tous

les éléments deΩ, c’est-à-direΩlui-même.

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• Un événement certain est l’ensemble constitué de tous les éléments deΩ, c’est-à-direΩlui-même.

• L’ d’un évènement A, noté A et pro-

noncé « A barre », est l’ensemble de tous les éléments deΩne se trouvant pas dans l’ensemble A.

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• Un événement certain est l’ensemble constitué de tous les éléments deΩ, c’est-à-direΩlui-même.

• L’événement contraire d’un évènement A, noté A et pro- noncé « A barre », est l’ensemble de tous les éléments deΩne se trouvant pas dans l’ensemble A.

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expérience aléatoire surΩ, la distribution de fréquences ob- tenues se stabilise autour d’une distribution de fréquences théoriques appelée loi de probabilité surΩ.

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Loi de probabilité

Soit E = {e¹, e², . . . , en} l’univers d’une expérience aléa- toire.

Définir une loi de probabilité sur E, c’est associer à chaque issueeⁱ un nombrepⁱ appelé probabilité de{eⁱ}tel que :

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Loi de probabilité

Pour tout entieriavec 16i6n, 06pi61;

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Loi de probabilité

Pour tout entieriavec 16i6n, 06pi61; p1+p2+. . .+pn= 1

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Définir une loi de probabilité Calculs de probabilités Echantillon et simulation

Fluctuation Propriété : probabilité d’un événement

La probabilité d’un événementAest la somme des probabi- litéspi des issues qui le réalisent.

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Remarque : On dit aussi qu’on est en situation d’équiprobabilité.

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Propriétés : probabilité dans une situation d’équiprobabilité

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Propriétés : probabilité dans une situation d’équiprobabilité Les n événements élémentaires d’un univers Ω liés à une expérience aléatoire sont dits équiprobables si et seulement si la probabilité de chacun d’eux est

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Propriétés : probabilité dans une situation d’équiprobabilité Les n événements élémentaires d’un univers Ω liés à une expérience aléatoire sont dits équiprobables si et seulement si la probabilité de chacun d’eux est 1

n. Si l’événementAcomportekissues, alors la probabilité de l’événementAest :

p(A) =

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Propriétés : probabilité dans une situation d’équiprobabilité Les n événements élémentaires d’un univers Ω liés à une expérience aléatoire sont dits équiprobables si et seulement si la probabilité de chacun d’eux est 1

n. Si l’événementAcomportekissues, alors la probabilité de l’événementAest :

p(A) = nombre d’issues de A nombre total d’issues = k

n

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Exemple

1.On considère l’expérience aléatoire suivante : On tire une carte dans un jeu de 30 cartes.

SoitEl’événement : " On tire le poisson Némo ".

SoitF l’événement : "On tire un poisson".

Calculer les probabilités des événementsEetF. Vidéo

2. On tire une carte deux fois de suite.

SoitGl’événement : "on obtient au moins une fois Némo".

CalculerP(G). Vidéo

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éléments qui sont communs àA etB.

On la noteA∩B.

A B

×e

Ainsie∈A∩B signifiee∈A ete∈B.

LorsqueA∩B=∅, on dit que les ensemblesA etB sont disjoints.

(26)

La réunion de deux ensembles A et B est l’ensemble des éléments qui sont dansAou dansB.

On la noteA∪B.

A B

×e

Ainsie∈A∪B signifiee∈A oue∈B.

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de probabilité surΩ.

SoitAetB deux événements deΩ. Alors on a : p(A∪B) =p(A) +p(B)−p(A∩B)

Ω A

B

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Exemple

1.Dans une classe de 35 élèves, 16 élèves pratiquent l’anglais, 11 élèves pratiquent l’espagnol et 4 élèves pratiquent les deux.

Calculer la probabilité qu’un élève choisi au hasard ne pratique aucune des deux langues. Vidéo

2. L’expérience consiste à lancer un dé à six faces.

SoitAl’événement : "on obtient un nombre pair".

SoitBl’événement : "On obtient un multiple de 5".

CalculerP(A∪B). Vidéo

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Certaines expériences aléatoires sont particulièrement longues à réaliser. Grâce à la calculatrice ou à l’ordinateur, il est sou- vent possible de les remplacer par des expériences « équiva- lentes », beaucoup plus rapides à effectuer.

Définition : simulation

Simuler une expérience aléatoire, c’est la remplacer par une autre expérience qui conduit aux même résultats dans les mêmes conditions.

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de temps, trop d’argent ....

On travaille alors sur une partie bien choisie de cette population, qu’on appelle échantillon. Ainsi, on peut calculer, dans cette partie de la population, le pourcentage f d’individus ayant une certaine propriété. Si cette partie n’est pas « trop petite » on conçoit intuitivement que le pourcentage réelp, relatif à toute la population, devrait être « voisin def ».

Définition : échantillon

Un échantillon de taillenest formé des résultats de nrépé- titions indépendantes de la même expérience aléatoire.

(31)

On considère le lancer d’une pièce équilibrée : on s’intéresse au nombre de « pile ». La proportion théorique de « pile » est 0,5.

On réalise 20 échantillons de taille 50, puis on représente gra- phiquement les résultats : chaque point représente un échan- tillon de taille 50. Son ordonnée correspond à la fréquence des « pile » observée dans l’échantillon.

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Fluctuation

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

−1

Numéro de l’échantillon.

0

Par exemple, dans le troisième échantillon de taille 50, on a obtenu 20 « pile » ce qui représente une fréquence de 0,4.

On observe ici la fluctuation d’échantillonnage. Les fréquences observées fluctuent autour de la proportionpqui vaut 0,5.

Définition : fluctuation d’échantillonnage

Soit plusieurs échantillons de même taille d’une expérience aléatoire. La distribution des fréquences varie d’un échan- tillon à l’autre : c’est la fluctuation d’échantillonnage.

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Fluctuation

0.2 0.4 0.6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

−1

Numéro de l’échantillon.

b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b

0

Propriété : loi des grands nombres

Plus la taille de l’échantillon est grande, moins il y a de fluctuation de la fréquence observée autour de la proportion théoriquep.

Lorsquenest grand, sauf exception, la fréquence observée f est proche de la proportionp.

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Dans une population, la proportionpd’individus présentant un certain caractère est inconnue.

On prélève dans cette population un échantillon aléatoire de taillen. On notef la fréquence d’apparition du caractère dans l’échantillon.

La fréquence observéef est appelée uneestimation de la proportionp.

Remarque : l’estimation trouvée dépend de l’échantillon considéré, donc il y a plusieurs estimations possibles d’une même proportionp.

Vidéo