Chapitre I Activité I Fonctions affines

Chapitre I Activité I Fonctions affines

Exercice 1 Easy…

1. On considère une fonction affine f de coefficient directeur strictement négatif.

Comparer en justifiant ^f

 

^{2 et f}

^{ }

^1,4

2. Donner l’expression algébrique de la fonction affine de coefficient directeur égal à 1,5et dont la courbe représentative passe par ^B



^{2 ; 3}



 

Exercice 2 Expressions algébriques…

1. Dans chacun des cas suivants, donner l’expression algébrique de la fonction affine dont la courbe représentative passe par les points suivants :

a. ^{A 1; 4}

 

et ^B



^{; 4}



b. ^{C 1; 3}

 

et ^{D 3 ; 7}

 

c. ^{E 2 ; 7}

 

et ^{F 5 ; 5}

 

2. Donner une expression algébrique :

a. De la fonction affine de coefficient directeur m2 et dont la courbe représentative passe par ^{I 4 ; 4}

 

b. De la fonction affine de coefficient directeur ¹

m 7 et dont la courbe représentative passe par I 4 ; ² 3

  

 

 

3. Donner l’expression algébrique de la fonction affine dont la courbe représentative passe par ^{G 6 ; 8}

 

et est parallèle à

 

^EF

Exercice 3 Lectures graphiques…

Donner par lecture graphique une expression algébrique des fonctions affines dont les courbes représentatives sont données ci-contre :

 

   

   

Exercice 4 Tracés de courbes…

Tracer dans les repère ci-dessous avec des couleurs différentes les courbes représentatives des fonctions affines suivantes :

1: 2 3

f x x

2

: 2 4

f x5x

3: 5

f x

4

2 7

: 3 3

f x x

5

: 6 2

f x7x

Exercice 5 Fonction affine par morceaux

Pour la fonction f dont la courbe représentative est donnée ci-contre, compléter les blancs pour régénérer une expression algébrique de f par morceaux :

 

 

 

si ; 0

si 0 ;1

:

si 1;

x

f x x

x

   



 



   





 

Chapitre I Activité II La fonction racine carrée

Exercice 1 Découverte sur Geogebra…

Partie A

Soient A et B deux points distincts,

C

le cercle de diamètre

 

^AB , C un point de

C

et H le point du segment

 

^AB tel que les droites

 

^CH et

 

^AB soient perpendiculaires.

1. Faire une figure en utilisant les instruments de géométrie (règle, équerre, compas…) 2. On note AHa, BHb et CHh. Montrer que h ab.

Partie B Avec Geogebra On munit le plan d’un repère orthonormé.

1. A l’aide de Geogebra, reproduire le dessin ci-dessus en sachant que :

 ^{A 1; 0}



^



^{, B}



^{b; 0}



avec b un réel positif (On créera un curseur que l’on nommera b et dont on effectuera les réglages)

 Le demi-cercle de diamètre

 

^AB intercepte l’axe des ordonnées au point C.

 Le point M a même abscisse que B et même ordonnée que le point C.

2. Créer une animation en activant la trace du point M et en faisant varier le curseur b.

3. Ecrire les coordonnées du point M en fonction de b.

4. Donner l’équation de la courbe décrite par le point M, pour b parcourant



^{0 ; }



5. Qu’a-t-on construit comme représentation graphique ?

Exercice 2 Etude de la fonction racine carrée à l’aide de la calculatrice…

Soit la fonction f définie sur un intervalle I telle que pour tout réel x dans I, ^{f x}

 

^{ x .}

1. Déterminer le plus grand intervalle I admissible.

2. Compléter le tableau suivant :

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

 

f x

3. Démontrer que f est croissante sur I

(On commencera par justifier que si a et b sont des nombres positifs b a a même signe que



^{b a}



^{b a}



⁾

4. Dresser le tableau de variations de f

5. Dresser la courbe représentative de la fonction f sur votre feuille. On limitera cette représentation à 0 x 13. 6. Soit la fonction g définie sur I telle que ^{g x}

 

^x. Résoudre l’équation ^{f x}

 

^{g x}

 

^{sur I.}

Exercice 3 Application à √ … Reprendre l’exercice 2 pour ^{f x}

 

^{ 2x3.}

Pour la question 2. on prendra x 



1,5 ; 0 ;1; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ;10 ;12



et pour la question 5. on limitera la représentation graphique à 1,5 x 12.

Exercice 4 Simplifications…

a. ^{2 8} ... ...

2

   b. ^{4 64} ...

2

  c. ^{2 52 1 ...}

4 2

   d. ^{5 125} ... ...

5

   e. 2 ^{45 ... ... 5}

4 2

  

Rappels :

 Sia0 ; a² a

 Si 0 et 0 ; et a a

a b a b a b

b b

     

 ab et a b ne sont égaux à rien de particulier !

Chapitre I Activité III Polynômes du second degré

Préambule : Vous devez d’abord faire l’activité « chapitre 1 rappels sur les équations » avant de débuter cette activité.

On rappelle ce qui a été vu en classe de seconde sur les fonctions polynômes du second degré.

Propriété : Variations et courbe représentative d’un polynôme du second degré sous forme canonique On se donne un polynôme du second degré sous la forme : →

 Cas 1 : Si 0

 La courbe représentative de f est une parabole de sommet ; dont la concavité est tournée vers le haut.

 La droite

 

^ d’équation est un axe de symétrie pour la courbe représentative de f.

 f admet pour minimum sur atteint pour x =

 Les variations de f sont les suivantes :

 Cas 2 : Si 0

 La courbe représentative de f est une parabole de sommet ; dont la concavité est tournée vers le bas.

 La droite

 

^ d’équation est un axe de symétrie pour la courbe représentative de f.

 f admet pour maximum sur atteint pour x =

 Les variations de f sont les suivantes : x

 

f x

   

O  

∆ : (Axe de symétrie)

x

 

f x

    ^O  

∆ :  

(Axe de symétrie)

Exercice 1 Lien avec la seconde…

En exploitant la mise sous forme canonique (exercice 9 « chapitre 1 rappels sur les équations ») montrer que toute fonction définie sur par f x: ax²bxc où a, b et c sont des nombres réels fixés et a est non nul est une fonction polynôme du second degré au sens de la définition donnée en seconde.

Reformuler alors toutes les propriétés précédentes en remplaçant et par leur expression en fonction de a, b et  b²4ac.

Exercice 2 Mise en situation géométrique…

Déterminer x pour que le triangle ABC suivant soit rectangle en A.

   

   

 

Définition : Fonction trinôme ou polynôme du second degré

On appelle fonction trinôme ou fonction polynôme du second degré toute fonction définie sur ^{    }



^;



par f x: ax²bxc où a, b et c sont des nombres réels fixés et a est non nul.

Définition : Racine d’un trinôme

On appelle racine d’un trinôme ^A

 

^{x ax2bxc} toute solution de l’équation ^A

 

^{x 0}

Exemple : x2 est racine du trinôme ^A

 

^{x 2x23x14 car A 2}

 

 ²

 

^{2 2}  3 2 14 8 6 14 14 14 0     

Exercice 3 Etude d’une fonction trinôme…

Soit le trinôme défini sur par ^{f x}

 

^{2x212x7.}

1. Donner une représentation graphique de la fonction f à l’aide de la calculatrice.

L’équation ^{f x}

 

^0 admet-elle des solutions ? (En spécifier le nombre) 2. Donner le forme canonique de ^{f x}

 

^.

a. A partir de cette forme, peut-on trouver la forme factorisée de ^{f x}

 

^?

b. Peut-on trouver les solutions de l’équation ^{f x}

 

^{0 ?}

3. Reprendre l’étude précédente avec ^{g x}

 

^{3x26x4} puis avec ^{h x}

 

^{4x28x4}

2 2  3 1

Exercice 4 Généralisations et démonstrations…

Soit le trinôme défini sur par ^{f x}

 

^{ax2bxc} où a, b et c sont des nombres réels fixés et a est non nul.

1. Utiliser Geogebra pour tracer la courbe représentative de f pour plusieurs valeurs de a, b et c.

(Utiliser un curseur pour ces paramètres)

Quel est le nom de cette représentation graphique ?

Donnez une allure grossière de la courbe représentative lorsque a0 et a0.

2. En reprenant la forme canonique de ^{f x}

 

obtenue dans (exercice 9 « chapitre 1 rappels sur les équations ») a. Déterminer, dans le cas où elles existent les racines de ^{f x}

 

en fonction de a , b et  b²4ac.

b. Donner une condition sur  b²4ac pour que ^{f x}

 

admette des racines.

c. Donner dans le cas où ^{f x}

 

admet des racines une forme factorisée de ^{f x}

 

^.

3. Recopier et compléter le tableau suivant :

( b²4ac est appelé discriminant du trinôme ^{f x}

 

^{ax2bxc)}

Forme

développée Forme canonique Discriminant Signe de ∆

Racines (si elles existent)

Forme factorisée

ax2 bxc  b²4ac

 0

 0

 0

On pourra dans toute la suite utiliser les résultats contenus dans ce tableau !

Exercice 5 Résolutions d’équations, nouveau look…

1. En utilisant les résultats de l’exercice précédent, résoudre les équations suivantes :

a. x²3x 2 0 b.



^x1

 

^x22x3



^{0 c. x26x2 d. x2  x 1 0}

e. x²  x 1 0 f. x³2x² 3x g. ² 5 ²⁵ 0

x  x 4  h.



^x22x2



^24

2. a. Déterminer par le calcul les abscisses des points d’intersection (s’ils existent) des courbes représentatives des fonctions f et g définies sur par ^{f x: }



^x1



^{2 et g x: 2x2.}

b. Faire de même avec les fonctions :

1 f x x

x

 et g x: ¹

x sur un domaine convenable que l’on explicitera.

3. Donner le ou les antécédents de 4 par la fonction f x: x²x Exercice 6 C’est quand même mieux ainsi…

Reprendre l’exercice 1 à la lumière de vos nouvelles connaissances.

Exercice 7 Signe du trinôme…

1. Démontrer les propriétés dans les cases coloriées :

(On pourra exploiter les factorisations du tableau de l’exercice 3 en page 4 ou le cas échéant les formes canoniques et dresser un tableau de signes)

Forme

développée Signe

de ∆ Racines Forme factorisée

Signe du trinôme

ax2 bxc

 0

Deux racines :

1 2

x b

a

  

 et ₂

2 x b

a

  

 a x



x1



xx2



Avec x₁x₂ (sinon, inverser l’ordre de x₁etx₂ dans le tableau)

Mnémotechnie :

Signe de a à l’extérieur des racines

 0 Une racine « double » :

1 2

x b a

 a x



x1



²

Toujours du signe de a et s’annule une fois en

2 b a



 0 Pas de racine Pas de

factorisation

Toujours du signe de a et ne s’annule pas

On pourra dans toute la suite utiliser les résultats contenus dans ce tableau !

2. Déterminer le signe des expressions algébriques suivantes :

a. ^A

 

^{x x2 3x2 b. B}

 

^{x  x22x1 c. C}

 

^{x  2x212x18 d. D}

 

^{x x2 2x4}

3. Résoudre les inéquations suivantes : a.



^x1

 

^x22x13



^{0 b.} _x^x_1^{ x}₃^_x²

Exercice 8 Etude économique…

Une entreprise développe des jeux vidéo.

Pour une quantité x, exprimée en milliers de jeux, le coût total de production en milliers d’euros est égal à

 

^{50 0,1 2 10}

C x  x x  avec ^x



^{0 ;100}



^.

La recette en milliers d’euros est alors égale à ^{R x}

 

^48x.

Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût total. On suppose que tous les jeux produits sont vendus.

Déterminer le nombre de jeux vidéo à produire pour que l’entreprise soit bénéficiaire.

Exercice 9 Positions relatives…

Déterminer les positions relatives des courbes représentatives des fonctions f et g définies sur par f x: x²1 et g x: 3x1.

(Rappel : Pour étudier la position relative de deux courbes

 

^{Cf et}

 

^Cg on étudie le signe de la différence ^{f x}

 

^{g x}

 

^{. Si f x}

 

^{g x}

 

^{0 alors}

 

^Cf est au-dessus de

 

^Cg et au-dessous sinon )

Exercice 10 Equations se ramenant au second degré…

1. En posant Xx² résoudre les équations suivantes :

a. x⁴3x² 2 0 b. x⁴x² 2 0 c. x⁴x²  1 0 2. Résoudre les équations suivantes :

a. 2 4x²  4 x b. x² 3x 2 2x1 Exercice 11 Inéquations…

Résoudre les inéquations suivantes :

1.

   

 

2

2

1 3 2

3 10 0

x x x

x x

  

   2.

  ^{ }

3 2

2

4 3

1 1 0

x x x

x x x

  

  

Exercice 12 Intersection entre deux courbes…

On considère la fonction trinôme ^{f x}

 

^{x2 1} de courbe représentative

 

^Cf et la droite

 

^ d’équation ymx où m est un réel fixé.

1. En utilisant Geogebra conjecturer les valeurs du réel m pour lesquelles

 

^{Cf et}

^{ }

^ n’admettent aucun point d’intersection (tracer

 

Cf et

 

^ ) et créer un curseur pour m)

2. Démontrer le résultat précédent.

Exercice 12 ALGO TP algo N°1

 

Activité IV

Fonction valeur absolue

Exercice 1 Découverte de la valeur absolue…

On prend pour unité graphique 1cm.

1. Tracer la droite réelle et placer les points O, A, B, C, D d’abscisse x_O 0 ; x_A 2 ; x_B6 ; x_C 3et x_D  1 2. Calcul de la distance pour deux abscisses positives.

a. Calculer les distances OA, OB, AB et BA. En utilisant la règle, vérifiez vos affirmations.

b. Expliquer par une phrase comment on peut calculer la distance entre deux points ayant chacun, une abscisse positive.

3. Calcul de la distance pour deux abscisses négatives.

a. Calculer les distances OC et OD puis DC et BC. En utilisant la règle, vérifiez vos affirmations.

b. La méthode du 2.b. est-elle toujours valable ?

4. Calcul de la distance pour une abscisse négative et une positive.

a. Calculer la distance BC et DA. En utilisant la règle, vérifiez vos affirmations.

b. La méthode du 2.b. est-elle toujours valable ? 5. Soient 4 points E, F, G, H d’abscisses respectives ⁵

3 ; 11 ; ¹¹

 5 et  2

En utilisant la méthode vue précédemment calculer les distances EF ; GH et FG.

Exercice 2 Expressions simples de la valeur absolue…

1. Donner une expression simple de ab (On distinguera le cas où ab du cas où ab) 2. Donner une expression simple de a (On distinguera le cas où a0 du cas où a0) Exercice 3 Algorithmique…

Voir TP Algo N°2

Exercice 4 A la même distance…

On place 5et ¹¹

3 sur la droite réelle.

1. Calculer la distance exacte entre 5et ¹¹ 3 .

2. Y-a-t-il un autre nombre qui soit à cette même distance de 5 ? Si oui lequel ? Exercice 5 Ecrire à l’aide d’une valeur absolue la distance entre deux réels…

Comme demandé dans le titre avec :

a.  et 3 b. 1 et 3 c. 3et ⁴

5 d. xet 4 e. xet 3 Exercice 6 Une expression générale pour √ …

En distinguant le cas où x0 du cas où x0 exprimer x² en fonction de x.

En déduire une expression générale pour x² faisant intervenir la valeur absolue de x.

Exercice 7 Représentation graphique de la valeur absolue…

Donner dans le repère ci-dessous la courbe représentative de la fonction valeur absolue f x:  x .

Exercice 8 Résolutions d’équations…

Résoudre dans les équations suivantes :

a. x 0 b. x  2 1 c. x  1 2 d. x2 4 e. 4x 4 f. x2 3 Exercice 9 Résolutions d’inéquations…

Résoudre dans les inéquations suivantes :

a. x 6 b. x  2 c. x3 4 d. x3 2 Exercice 10 Résolutions d’équations ou d’inéquations bis…

Résoudre dans les équations ou inéquations suivantes :

a. x4  x9 b. x2  x2 c. x3  2x d. x3  x1 Exercice 11 Représentation graphique d’une fonction affine par morceaux…

Dresser la courbe représentative sur



^{3 ; 3}



de la fonction définie sur par f x:  2x  x 1 x1 . (Unité graphique 1 cm)

(Aide : On pourra exploiter les résultats de l’exercice 2 et opérer par distinction de cas)

Exercice 12 Influence de la valeur absolue sur une courbe représentative…

On donne ci-contre la courbe représentative d’une fonction f . Tracer dans le même repère la courbe représentative de la fonction g f Exercice 13 Représentation graphique d’une fonction valeur absolue…

En exploitant la méthode de l’exercice précédent tracer la courbe

représentative de la fonction f x:  2x3 sans procéder par disjonction des cas.

Exercice 14 Inégalité triangulaire…

1. a. Démontrer que pour tous réels a et b, ab  a  b

b. En déduire que pour tous réels a et b, ab  a  b (Inégalité triangulaire) 2. Montrer que plus généralement,

pour tous réels a et b, a  b  ab  a  b  

Activité V

Variations de fonctions associées

Exercice 1 Découverte sur Geogebra des fonctions et où k est un réel et f une fonction…

1. a. Représenter avec Geogebra la fonction f définie sur par ^{f x}

 

^{x33x2 2}

b. Dresser son tableau de variations par lecture graphique.

2. Pour différentes valeurs du nombre réel k, tracer la courbe représentative de la fonction définie sur par

 

u x:  f x k (Conseil : utiliser un curseur pour k)

Quelle conjecture peut-on faire sur le sens de variation de f et de u ?

3. Reprendre la question 2. pour la fonction g définie sur par ^{g x:  k f x}

 

Propriété 1 : Sens de variation de la fonction f k et de la fonction k f Soit un réel k et une fonction f définie sur un intervalle I.

 Les fonctions f et f k ont mêmes sens de variation sur l’intervalle I.

 Si k0 les fonctions f et kf ont même sens de variation sur l’intervalle I.

Si k0 les fonctions f et kf sont de sens de variation contraire sur l’intervalle I.

Exercice 2 Variations de fonctions du type et … 1. Démontrer la propriété 1.

2. On sait depuis la classe de seconde que la fonction f x: ¹

x est décroissante sur



^{ ; 0}



^{et sur}



^{0 ; }



Avec la propriété 1, déterminer le sens de variation de la fonction : ³x ²

h x x

  sur



^{ ; 0}



^{et sur}



^{0 ; }



3. En utilisant la propriété 1, déterminer le sens de variation de la fonction h x: 2 x sur



^{0 ; }



Propriété 2 : Sens de variation de la fonction f

Soit une fonction f définie sur un intervalle I telle que f x

 

⁰ pour tout x dans I.

On définit sur I la fonction g f par g x^:  f x

 

. Les fonctions f et g f ont même sens de variation sur I.

Propriété 3 : Sens de variation de la fonction ¹ f

Soit une fonction f définie sur un intervalle I telle que f x

 

soit de signe constant et f x

 

⁰ pour tout x dans I.

On définit sur I la fonction h ¹

 f par

 

: 1

h x f x .

Les fonctions f et h ¹

 f sont de sens de variation contraire sur I.

Exercice 3 Utilisons les propriétés précédentes…

1. Démontrer les propriétés 2. et 3.

2. Déterminer, à l’aide de ces propriétés, le sens de variation de la fonction f x:   3 2x sur ; ³ I    2  3. Déterminer, à l’aide de ces propriétés, le sens de variation de la fonction f x: ¹₂

 x sur ^{I }



^{0; }



Exercice 4 Bilan…

On considère la fonction f définie sur dont le tableau de variations est le suivant :

Déterminer le tableau de variations complet des fonctions suivantes :

1. g f 2 2. h2f 3. i 2f 1 4. j ²

 f 5. k ³ f

 6. l f 7. ² 5 m 3

f

    

Activité VI

Position relative de

: → √

;

: →

et

: →

sur

; ∞

 

On considère les trois fonctions f x:  x ; g x: x et h x: x² sur



^{0 ; }



dont les courbes représentatives sont données ci-dessous :

                                 

1. Conjecturer les postions relatives de

 

^{Cf ;}

 

^{Cg et}

 

Ch .

2. a. Déterminer le signe sur



^{0 ; }



de l’expression algébrique ^A

 

x x² x à l’aide d’un tableau de signes.

b. Montrer que sur



^{0 ; }



^{; x x et}



^{x x}



^{x x}



ont même signe c. En déduire une démonstration de la conjecture effectuée à la question 1.