A225. 5 fois 17 = ?

A225. 5 fois 17 = ?

1. Les paires dont le produit est un carré parfait forment 5 sous-ensembles disjoints de 14 nombres{1,4,9,16,25},{2,8,18},{3,12},{5,20}et{6,24}. Dans les 17 entiers distincts choisis, il y en a au moins 17−(25−14) = 6 parmi ces 14 nombres. D’après le principe des tiroirs, il en existe 2 dans le même sous-ensemble : leur produit est alors un carré parfait.

2. A l’aide de la fonction (bijective) arctangente, nous nous ramenons au choix de 17 réels distincts dans l’intervalle

−^π₂;^π₂

. D’après le principe des tiroirs, il existe deux réelsa < bsitués dans un même sous-intervalle de longueur ₁₆^π. D’où 0< b−a < ₁₆^π.A l’aide de la fonction (croissante) tangente et de tan (b−a) = _1+pq^p−q où p = tanb et q = tana, il vient 0 < _1+pq^p−q < tan₁₆^π. Partant de tan^π₄ = 1, et en enchaînant deux fois tan 2t = _1−tan^{2 tan}2^tt suivi d’une résolution d’une équation du second degré, nous obtenons les valeurs tan^π₈ =√

2−1 et tan₁₆^π =p 4 + 2√

2−√ 2−1.

Le résultat découle alors de l’inégalité√ 2> ⁷₅.

3. Supposons qu’il existe p entier tel que 2^3p ≡ −1 ≡ 2⁴ (mod 17). Nous vérifions que l’ordre multiplicatif de 2 modulo 17 est 8, et nous en dédui- sons 2^3p+4≡1≡2⁸ (mod 17). Il découle d’un théorème de Lagrange que 3^p+ 4≡0 (mod 8), ce qui est clairement impossible par parité.

4. Notons s(n) la somme des chiffres de l’entier n. Montrons d’abord que parmi 159 nombres consécutifs n1, . . . , n159, il y en a un dont la somme des chiffres est un multiple de 17. Parmin₁, . . . , n₈₀, il y a 8 multiples de 10. Soit n_k celui dont le chiffre des dizaines est le plus petit (62).Nous avons alors par récurrences(n_k+10j+i) =s(n_k) +j+ipourj= 0. . .7 et i= 0. . .9.Ainsi parmin_k, . . . , n_k+79, les 16 valeurs consécutivess(n_k) à s(n_k) + 16 sont prises, l’une d’elle étant divisible par 17. Nous vérifions que la séquence 9. . .9

| {z }

13

21 à 1 0. . .0

| {z }

13

78 est maximale avec 158 termes.

5. Cherchons une progression arithmétique de même raison que le premier terme a, de sorte que 17!a¹⁷ soit la puissance 2009 d’un entier. Les ex- posants i et j d’un même nombre premier pdans la décomposition dea et de 17! = 2¹⁵3⁶5³7²11¹13¹17¹ vérifient alors 17i+j ≡0, soit i≡709j (mod 2009) à l’aide d’une relation de Bezout 6×2009−709×17 = 1.

D’oùa= 2⁵⁹⁰3²³⁶5¹¹⁸7¹⁴¹⁸11⁷⁰⁹13⁷⁰⁹17⁷⁰⁹ est tel que 17!a¹⁷=b²⁰⁰⁹avec b= 2⁵3²5¹7¹²11⁶13⁶17⁶.

1