Quelques rappels sur les suites

Quelques rappels sur les suites

1 Suites arithmétiques

Définition. — On dit qu’une suite (u_n)_n>N est une suite arithmétique s’il existe un réelrtel que, pour tout entiern>N,u_n+1=u_n+r. Le nombrerest alors appelé la raison de la suite (u_n).

Méthode. — Pour démontrer qu’une suite (un)n>N est arithmétique, on calcule, pour tout entier n > N, un+1−un et on montre que cette différence est constante (i.e. indépendante den). La constante en question est la raisonr.

Formules explicites. — Soit (un)n>N une suite arithmétique de premier termeuN et de raison r. Alors, pour tous entiersn>N etp>N, un=up+ (n−p)r .

En particulier, siN = 0, on a pour toutn∈N,un=u0+nr.

Sommes de termes successifs. — Soit (un)n>N une suite arithmétique de premier termeuN. Alors, pour tous entiersp>N et n>p,

u_p+u_p+1+· · ·+u_n =

n

X

k=p

u_k = (n−p+ 1)×u_p+u_n

2 = (nombre de termes)×1^er terme + dernier terme

2 .

Cas particulier important :

1 + 2 +· · ·+n=

n

X

k=1

k=n(n+ 1)

2 .

2 Suites géométriques

Définition. — On dit qu’une suite (un)n>N est une suite géométrique s’il existe un réelq tel que, pour tout entiern>N,un+1=q×un. Le nombreqest alors appelé la raison de la suite (un).

Méthode. — Pour démontrer qu’une suite (un)n>N est géométrique, on calcule, pour tout entier,n>N,un+1

et on montre qu’on peut factoriserun dans cette expression de manière à aboutir à une égalitéun+1=q×un où qest une constante (i.e. indépendante de n). La constante en question est la raison.

La méthode qui consiste à calculer la quotient u_n+1 un

pour montrer qu’il est constant n’est valable que si on a démontré précédemment que la suite (un) ne s’annulait pas.

Formules explicites. — Soit (u_n)n>N une suite géométrique de premier terme uN et de raisonq6= 0. Alors, pour toutn>N et toutp>N, u_n=u_p×q^n−p .

En particulier, siN = 0, on a, pour toutn∈N,u_n=u₀×qⁿ.

Sommes de termes successifs. — Soit (u_n)_n>N une suite géométrique de premier terme u_N et de raison q6= 1 . Alors, pour tous entiersp>N et n>p,

u_p+u_p+1+· · ·+u_n=

n

X

k=p

u_k =u_p×1−q^n−p+1

1−q = (1^erterme)×1−qnombre de termes

1−q .

Cas particulier important : siq6= 1 alors

1 +q+q²+· · ·+qⁿ=

n

X

k=0

q^k =1−qⁿ⁺¹ 1−q .

Remarque. — Siq= 1 alors la suite géométrique est constante et

n

X

k=p

uk=up+up+· · ·+up

| {z }

n−p+1 fois

= (n−p+ 1)up.