Rappels sur les suites
Définition. Une suite numérique , notée plus souvent est une fonction dont la variable est un entier naturel. L’image d’un entier n’est pas notée mais et se lit « indice ». On dit que est le terme général de la suite et que est le rang de ce terme.
Les manières les plus courantes de définir une suite sont les suivantes.
Par une fonction
On se donne une fonction , la suite est définie par
Exemple
Soit la suite définie par
Soit la suite définie par . C’est la suite des entiers naturels impairs.
Par une relation de récurrence
Une suite est définie par récurrence quand elle définie par la donnée :
de son premier terme ;
d’une relation qui permet de calcul un terme à partir du précédent. Cette relation est appelée relation de récurrence.
Exemple
Soit la suite définie par et .
On a . . . .
Sens de variation
Définition. La suite est dite décroissante si pour tout , La suite est dite croissante si pour tout , . . . .
La suite est dite constante si pour tout , . . . .
La suite est dite . . . . si elle est croissante, décroissante ou constante.
Remarque. Une suite peut être monotone « à partir d’un certain rang », c’est-à-dire qu’il existe un entier tel que soit une suite monotone.
Pour déterminer le sens de variation d’une suite, il existe essentiellement trois méthodes.
Si , étudier le sens de variations de
Si est monotone sur un intervalle alors est également monotone et de même sens de variation à partir du rang .
Étudier le signe
En effet, si pour , alors est croissante à partir du rang .
Si , comparer le quotient à 1.
Si pour , on a , alors donc est croissante à partir du rang . Exemple. Étudier les variations de la suite définie par .
Suites arithmétiques
Définition. Une suite est dite arithmétique si chaque terme se déduit du précédent en . . . . une constante appelée . . . . de la suite.
Une suite arithmétique vérifie la relation de récurrence . . . .
Théorème. Soit et deux entiers naturels, alors . . . . En particulier . . . . et . . . .
On retiendra ce résultat sous la forme .
Théorème. Soit et deux entiers naturels avec et une suite arithmétique. Alors
On retiendra ce résultat sous la forme
Théorème. Soit une suite arithmétique de raison .
Si , la suite est . . . .
si , la suite est . . . .
Suites géométriques
Définition. Une suite est dite géométrique si chaque terme se déduit du précédent en . . . . par une constante appelée . . . . de la suite.
Une suite géométrique vérifie la relation de récurrence . . . .
Théorème. Soit et deux entiers naturels, alors . . . . En particulier . . . et . . . .
On retiendra ce résultat sous la forme .
Théorème. Soit et deux entiers naturels avec et et une suite géométrique de raison . Alors
Là aussi le résultat pourra se retenir sous la forme
premier terme de la somme
.
Théorème. Soit une suite géométrique de raison avec .
