D2916. Des chiffres merveilleux MB
Problème proposé par Bernard Vignes
On trace un triangle rectangle isocèle OAB de côtés OA = OB = a et le cercle (Γ) de centre A et de rayon AB . D’un point P situé sur la médiatrice de OA et extérieur à (Γ), on trace la droite PO qui coupe (Γ) en un point C intérieur au segment OP tel que PC = a. Enfin à partir du centre ω du cercle circonscrit au triangle AOP, on trace le rayon ωA et le point D symétrique de O par rapport à ce rayon. On désigne par α l’angle AOP.
Q1 Démontrer que le ratio α/π est un nombre rationnel.
Q2 Par convention le rayon ωO est égal à l’unité. Calculer l’aire du triangle ADP et la somme des carrés des dimensions des côtés de ce triangle.
Q1) On reconnaît la construction de l'heptagone par ''neusis''. (voir wikipédia)
α = 3π/7 , α /π = 3/7
Q2) Angles du triangle APD : APD = OPA = π – 2α = π/7 ,
ωPD = (OPA)/2 + APD = 3π/14, Dans le triangle isocèle PωD, ωDP = ωPD = 3π/14
Par symétrie ωDA = ωOA = π/2 – π/7 = 5π/14, PDA = PDω + ωDA = 3π/14 + 5π/14 = 4π/7 et le 3ième angle DAP = π – (APD + PDA) = π – (π/7 + 4π/7) = 2π/7 .
Sachant que ωO = 1, AD = 2sin(π/7), AP = 2sin(4π /7),
Aire DAP = (1/2)*(2sin(π/7))*(2sin(4π /7))*sin = 2sin(π/7)sin(2π/7)sin(4π/7) ≈ 0,661437
La somme des carrés des côtés du triangle ADP :
4( sin²(π/7) + sin²(2π/7) + sin²(4π/7) ) = 2[1 – cos(2π/7) +1 – cos(4π/7) +1 – cos(8π/7)]
Mais cos(2π/7) + cos(4π/7) + cos(8π/7) = – ½ , l'aire est 2(3+1/2), elle vaut 7.
