Une fonction sommable sur tout segment est dite localement sommable (ou localement intégrable)

UE : Math 4

Fiche 5 2008-09

Distributions (1)

Rappels :

• Une fonctionfest dite de classeC^∞sur un intervalleIsi et seulement si elle est indéfiniment dérivable surI.

• Un segment est un intervalle fermé borné deR(autrement dit, de la forme[a, b]oùa, b∈R).

• Une fonctionφest une fonction test si elle est de classe C^∞ surR et si elle est nulle hors d’un segmentIφ. On noteD l’ensemble de ces fonctions.

• Une fonction sommable sur tout segment est dite localement sommable (ou localement intégrable). On noteL¹_loc(R,C) l’ensemble de ces fonctions.

1. Les applications suivantes deD dansRsont-elles des distributions ? Pour répondre on vérifiera

• qu’elles sont définies pour toute applicationφde l’ensemble des fonctions testD;

• qu’elles sont linéaires ;

• la continuité sera admise.

T₁(φ) = Z 1

0

φ(t)dt ; T₂(φ) = Z 1

0

|φ(t)|dt; T₃(φ) = Z +∞

0

t²φ(t)dt

T₄(φ) = Z +∞

0

φ(t)φ⁰(t)dt

On rappelle qu’une distributionT estrégulière s’il existe une applicationf localement intégrable telle que pour toutφ∈ D

T(φ) = Z +∞

−∞

φ(t)f(t)dt Parmi lesTi ci-dessus lesquelles sont régulières ?

2. Les applications suivantes sont-elles des distributions surD? Si oui, sont-elles régulières ? T5(φ) =

∞

X

n=0

φ⁽ⁿ⁾(n)

T₆(φ) =

∞

X

n=0

φ⁽ⁿ⁾(0)

T7(φ) =φ(a) +φ⁰(b) T8(φ) = max(φ(a),0)

1

Notations:

• On notera souventhT, φi = T(φ) pour une distribution T et une fonction testφ.

• SiS est une distribution, on noteσS la distribution symétrique définie par hσS, φi=hS, σφi.

• SiS est une distribution et aun nombre réel, on note τ_aS la translatée de S définie par hτ_aS, φi=hS, τ_−aφi.

3. Quelles sont les propriétés de l’ensemble des distributions surD?

Une distribution S est dite paire si σS = S (resp. impaire si σS = −S). Dans ce cas, quelle relation liehS, φ(−t)i ethS, φ(t)i, quelle que soit φ∈ D?

4. Rappel : ladistribution de Diracest définie par : hδ₀, φi=φ(0).

1. Déterminer la distributionδ_a=τ_aδ₀ (notée abusivement δ(t−a)).

2. Rappel : si S est une distribution et g une fonction , la distribution "produit" gS est définie par

hgS, φi=hS, g(t)φ(t)i.

Calculer la distributiongδade deux manières différentes.

5. Rappel : Ladérivée T⁰ d’une distributionT est définie par :

∀φ∈ D, hT⁰, φi=−hT, φ⁰i.

1. Calculerδ_a⁰

2. Calculer(gS)⁰. Trouver une expression simplifiée de gδ_a⁰. Calculer :e^atδ⁰ ,tδ⁰ ett²δ⁰. 3. Soitf la fonction définie par :

f(t) =

1−t² pour |t| ≤1 0 pour |t|>1.

SoitT =d(f)la distribution régulière associée àf. Calculer successivementT⁰ ,T⁰⁰ etT⁰⁰⁰. 4. Soit f(t) =H(t) sint. On note T =d(f) la distribution régulière associée. Calculer T⁰ et

T⁰⁰.

5. Soit l’applicationf définie surR par f(t) =

2−t² pour |t| ≤1 e^1−|t| pour |t|>1.

SoitT =d(f)la distribution régulière associée àf. Calculer successivementT⁰ ,T⁰⁰ etT⁰⁰⁰.

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