COMPLEMENTS de MATHEMATIQUES et de PHYSIQUE

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COMPLEMENTS de

MATHEMATIQUES et de

PHYSIQUE

__________

Deuxième année de Pharmacie

LYON

__________

EXERCICES CORRIGES DE MATHEMATIQUES

Henri IMMEDIATO

__________

1996

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1

Cours - 1996

Université Claude Bernard - LYON I 2e Année de Pharmacie - 1996

Compléments de Mathématiques et Physique

Séance 1

NOMBRES COMPLEXES

1. Définition.

L'espace vectoriel réel R² des couples ( x , y ) de nombres réels peut être muni d'une addition : ( x₁ , y₁ ) + ( x₂ , y₂ ) = ( x₁ + x₂ , y₁ + y₂ )

et d'une multiplication :

( x₁ , y₁ ) × ( x2 , y₂ ) = ( x₁ x₂ − y1 y₂ , x₁ y₂ − x2 y₁ )

Muni de ces opérations, R² est un corps noté C. Les éléments de C s'appellent des nombres complexes. Un nombre complexe de partie réelle x et de partie imaginaire y s'identifie avec le point du plan R² de coordonnées x et y. L'axe des x est identifié avec R et s'appelle l' axe réel. L'axe de y s'appelle l' axe imaginaire. Le nombre complexe z est appelé l' affixe du point M de coordonnées x et y. Par abus de langage, on parlera aussi du "point z" du plan complexe, au lieu de parler du "point M d'affixe z" du plan.

2. Propriétés.

L'élément unité pour la multiplication est ( 1 , 0 ).

Un nombre réel x s'identifie au couple ( x , 0 ). L'élément unité ( 1 , 0 ) est le nombre réel 1.

L'élément ( 0 , 1 ) est noté i et l'on a :

i² = i × i = ( 0 , 1 ) × ( 0 , 1 ) = ( − 1 , 0 ) = − 1 Tout nombre complexe ( x , y ) peut être écrit :

( x , y ) = x ( 1 , 0 ) + y ( 0 , 1 ) = x × 1 + y × i = x + i y ( x , y ) = x + i y

x est la partie réelle du nombre complexe x + i y.

y est la partie imaginaire du nombre complexe x + i y.

La propriété essentielle du corps C est que :

Tout polynôme de degré n à coefficients complexes possède n racines dans le corps C.

On dit que C est algébriquement clos. De plus, c'est le plus petit corps algébriquement clos contenant R comme sous-corps : C est la clôture algébrique de R.

3. Représentation polaire.

Un point du cercle trigonométrique de centre 0 et de rayon 1, répéré par un angle polaire θ, a pour partie réelle cos θ et pour partie imaginaire sin θ. Le développement en série de Taylor de ces fonctions est :

cos θ = 1 − θ²

2 + … + ( − 1 )ⁿ θ² 2

n

n ! + …

(3)

sin θ = θ − θ³

3! + … + ( − 1 )ⁿ θ² ¹

2 1

n

+

( )! + …

Ces développements sont uniformément convergents dans tout voisinage de 0 et peuvent donc être manipulés termes à termes. On a :

cos θ + i sin θ = 1 + i θ−^θ

2

− i θ³ 3!

+ … + ( − 1 )ⁿ θ² 2

n

n !

+ ( − 1 )ⁿ θ² ¹

2 1

n

+

( )!

+ …

=

n n

=

= + ∞

∑

0

( )

! i

n θ n

Par analogie avec l'exponentielle réelle :

e^x =

n n

=

= + ∞

∑

0

x n

n

! on pose :

eⁱ^θ = cos θ + i sin θ ⁽Formule d'Euler )

Cette fonction a les mêmes propriétés qu'une exponentielle puisqu'elle est définie par une série identique.

Un point z du plan peut être repéré par ses coordonnées polaires r et θ : x = r cos θ

y = r sin θ

z = x + i y = r cos θ + i r sin θ = r ( cos θ + i sin θ ) = r eⁱ^θ z = r eⁱ^θ

r s'appelle le module du nombre complexe z.

θ s'appelle l' argument du nombre complexe z.

Le module d'un nombre complexe est un nombre positif (nul seulement si z = 0 ). L'argument d'un nombre complexe est défini à 2 k π près. On a, par exemple :

i = e

i π 2

− 1 = eⁱ^π

| z − a | est la distance entre les points d'affixes a et z.

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3

Cours - 1996

Séance 2

FONCTIONS DE VARIABLE COMPLEXE

1. Définition.

On appelle ici fonction de la variable complexe z toute application de C dans C. Une fonction f (z) de la variable complexe z = x + i y a une partie réelle et une partie imaginaire qui sont toutes deux des fonctions des deux variables x et y :

f (z) = P ( x , y ) + i Q ( x , y ) On dit qu'une fonction f (z) est dérivable en z₀ si le rapport f z f z

z z ( )− ( )

−

0 0

tend vers un limite finie dans C lorsque z tend vers z0.

2. Conditions de Cauchy.

Pour qu'une fonction f (z) = P ( x , y ) + i Q ( x , y ) soit dérivable, il faut et il suffit que P et Q vérifient les conditions de Cauchy :

∂

∂ P x = ∂

∂ Q

y et ∂

∂ P y = − ∂

∂ Q

x

Ces conditions expriment seulement que la fonction f (z) = P ( x , y ) + i Q ( x , y ne dépend pas explicitement de la variable z quand on fait le changement de variables :

z = x + i y z = x − i y

De ces conditions de Cauchy résulte le fait que, pour qu'une fonction P ( x , y ) des deux variables réelles x et y soit la partie réelle d'une fonction dérivable f (z), il faut et il suffit que son laplacien ∆P soit nul.

∆ P = ∂

∂

2 2

P x

+ ∂

∂

2 2

P y

= 0

Dans ce cas, la partie imaginaire Q est elle-même une fonction harmonique, c'est-à-dire dont le laplacien est nul, et on peut la définir, à une constante près, à partir des conditions de Cauchy qui donnent deux équations aux dérivées partielles :

∂

∂ Q

x = − ∂

∂ P

y et ∂

∂ Q

y = ∂

∂ P x Les fonctions P et Q sont des fonctions harmoniques conjuguées.

Les lignes P ( x , y ) = constante sont appelées lignes de niveau. Les lignes Q ( x , y ) = constante sont appelées lignes de champ.

(5)

3. Singularités des fonctions de variable complexe.

Une fonction f (z) de la variable complexe z est dite fonction monogène en un point a si elle est dérivable en ce point, c'est-à-dire si le rapport f z f a

z a ( )− ( )

− a une limite finie lorsque z tend vers a en suivant un chemin quelconque dans C. Une fonction monogène en tous points d'un domaine D du plan complexe est dite fonction holomorphe dans D.

Une fonction de variable complexe f (z) holomorphe dans un domaine D entourant un point a peut avoir quatre sortes de points singuliers en a :

• singularité artificielle : f (z) reste bornée au voisinage de a, mais f z f a z a ( )− ( )

− n'a pas de limite lorsque z tend vers a.

Dans ce cas, on peut rendre la fonction f (z) monogène en a en changeant la valeur de f (a).

Exemple : la fonction égale à z² pour z ≠ 0 et à 1 pour z = 0 a une singularité artificielle en 0. Elle est rendue holomorphe dans tout le plan en posant f (0) = 0.

On suppose, la plupart du temps qu'on a éliminé les singularités artificielles.

• pôle : f (z) non bornée au voisinage de a, mais 1

f z( ) est holomorphe au voisinage de a.

Exemple : la fonction 1

z a− n'est pas bornée au voisinage de a mais 1

f z( ) = z − a est holomorphe au voisinage de a. Le point a est un pôle pour la fonction 1

z a− .

Si le point a est un pôle pour la fonction f (z) , le plus entier positif n pour lequel ( z − a)ⁿ f(z) est holomorphe au voisinage de a s'appelle l' ordre de multiplicité du pôle.

Exemple : La fonction ( )( )

( )

z z

z z

− −

−

2 3

1 ³

a un pôle simple en z = 0 et un pôle d'ordre 3 en z = 1.

• point essentiel : a est un point singulier pour f (z) et pour 1

f z( ), mais f est une fonction uniforme, elle a une seule détermination pour une valeur de z.

Exemple : la fonction e

1 z= e

x x²+y²× e

− i +y x² y²

a un point essentiel en z = 0.

• point critique : la fonction f (z) ne reprend pas la même valeur quand on suit un chemin faisant un tour autour de a. On dit que f (z) est une fonction multiforme ou qu'elle a plusieurs déterminations en un point. On change de détermination en faisant un tour autour du point a.

Exemple : la fonction ln z définie par ln ( ρ eⁱ^θ ) = ln ρ + i θ augmente de 2 i π quand on fait un tour autour du point 0.

On peut rendre uniforme une fonction à plusieurs déterminations en pratiquant une coupure dans le plan complexe. Cette coupure constitue une barrière qu'on peut contourner, mais qu'on ne peut pas franchir.

Chaque fois qu'on franchit la coupure, on change de détermination.

Exemple : la fonction ln z est rendue uniforme dans le plan complexe par une coupure allant de 0 à l'infini sur l'axe réel. Dans le plan coupé, on choisit une détermination : la fonction ln z est alors bien définie en tout point du plan et elle est holomorphe dans le plan coupé. La détermination ln z = ln ρ + i θ avec 0 ≤θ <

2 π est appelée la détermination principale du logarithme.

Remarques sur les singularités.

• On étudie les singularités à l'infini en faisant le changement de variable z' = 1 z

et en étudiant les singularités de la fonction pour z' = 0.

• Une fonction f (z) peut n'avoir aucune singularité dans un domaine et, cependant, ne pas être holomorphe dans ce domaine. Par exemple, la fonction z n'a aucun point singulier dans le domaine compris entre deux

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Cours - 1996

cercles de centre 0 et cependant, elle change de détermination quand on fait un tour entourant le point 0 : elle n'est pas holomorphe dans le domaine compris entre les deux cerclces.

Une fonction qui n'a, dans un domaine D, qu'un nombre fini de points singuliers qui sont des pôles, est appelée une fonction méromorphe dans D.

Une fonction holomorphe dans tout domaine borné est appelée une fonction entière.

On appelle fonction analytique dans un domaine D toute fonction qui est holomorphe dans D, sauf peut-être dans un ensemble dénombrable de points singuliers (pôles, points essentiels, points critiques).

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Séance 3

INTEGRATION DES FONCTIONS DE VARIABLE COMPLEXE

Les résultats fondamentaux concernant l'intégration des fonctions de variable complexe ont été obtenus par Cauchy au XIX^e siècle.

1. La valeur de l'intégrale reste la même quel que soit le chemin emprunté pour aller d'un point à un autre, tant que la fonction est holomorphe : c'est le théorème de Cauchy. Il revient au même de dire que l'intégrale le long d'une courbe fermée est nulle si la fonction est holomorphe à l'intérieur du contour d'intégration.

2. Sur toute courbe fermée simple Γ entourant le point a et parcourue dans le sens direct :

(Γ)

∫

z a^dz− = 2 i π

Pour montrer ce résultat, on se ramène à a = 0 par un changement de variable et l'intégrale

(Γ)

∫

^dzz se calcule en passant aux coordonnées polaires :

(Γ)

∫

^dzz =

(Γ)

∫

⁽^{x iy}x⁾⁽^{dx idy}y ⁾

− +

2+ 2 =

(Γ)

∫

^{x dx}x ^{y dy}y +

2+ 2 + i

(Γ)

∫

^{x dy}x ^{y dx}y

−

2+ 2 =

(Γ)

∫

^drr + i

(Γ)

∫

^d^θ

En un tour sur Γ, θ varie de 2 π et ln r ne varie pas.

3. Si f (z) est une fonction holomorphe dans un domaine D et sur la courbe frontière Γ de D , et si a est un point intérieur à Γ, on a :

f (a) = 1

2iπ

∫

(Γ) z^{f z}a ( )

− dz

( Γ étant parcourue dans le sens direct). C'est la formule de l'intégrale de Cauchy.

4. Par récurrence, on en déduit que si f (z) est indéfiniment dérivable dans D, sa dérivée d'ordre n en un point a intérieur à D est donnée par :

f⁽ⁿ⁾ (a) = n i

!

2 π

∫

(Γ) z^{f z}a ⁿ ( ) ( − ) ⁺¹ dz

5. Si la fonction f (z) est holomorphe dans une couronne D comprise entre deux cercles de centre a et de rayons R et R ' (avec R ' > R ), ainsi que sur ces deux cercles, on peut développer f (z) en série de Laurent sous la forme :

f (z) =

n n

= − ∞

= + ∞

∑

^cⁿ^{( z}⁻^{a )}ⁿ

avec

c_n = 1

2iπ

∫

γ s a^{f s}ⁿ ( ) ( − ) ⁺¹ ds

où γ est un cercle de centre a et de rayon quelconque compris entre R et R '. Le coefficient c₋₁ de 1 z a− dans le développement en série de Laurent de f (z) est appelé le résidu de f au pôle a.

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7

Cours - 1996

6. Si (C) est un chemin fermé, l'intégrale de f (z) dz le long de (C ) est égale au produit de 2 i π par la somme des résidus de f (z) aux pôles à l'intérieur de (C) :

(C)

∫

f (z) dz = 2 i π

∑

j ^R^j

C'est le théorème des résidus.

(9)

Séance 4

DISTRIBUTIONS

Définitions.

• On appelle "fonction de base" sur R, toute fonction ϕ : R_→C indéfiniment dérivable à support borné (le support d'une fonction est le plus petit ensemble fermé en dehors duquel la fonction est nulle). Les fonctions de base sur R forment un espace vectoriel D sur C.

Exemple : la fonction égale à e

− − 1

1 x² entre − 1 et 1 et à 0 en dehors de l'intervalle [ − 1 ; 1 ] est indéfiniment dérivable, y compris aux points − 1 et 1, et son support est l'intervalle [ − 1 ; 1 ] : c'est une fonction de base.

• On dit qu' une suite de fonctions de base tend vers 0 si la suite des fonctions tend uniformément vers 0 ainsi que toute suite de dérivées de même ordre.

• On appelle "distribution" sur R toute application linéaire et continue de l'espace vectoriel D des fonctions de base dans le corps C des complexes. Le terme "continu" veut dire que si une suite de fonctions de base tend vers 0, alors la suite des images de ces fonctions de base par la distribution est une suite de nombres complexes qui tend vers 0. Les distributions sur R forment un espace vectoriel D’ sur C.

Exemples :

∗ Toute fonction localement sommable (c'est-à-dire intégrable sur tout ensemble fermé borné) f définit une distribution par

< f , ϕ > =

∫

^{f (t)}^ϕ^{(t) dt}

∗ Par exemple, la "fonction de Heaviside" ϒ (x) égale à 0 pour x ≤ 0 et à 1 pour x > 0 définit la distribution de Heaviside ϒ :

< ϒ , ϕ > =

0

∫

∞^ϕ^{(t) dt}

∗ La distribution définie par la formule :

< δ , ϕ > = ϕ (0) est appelée "distribution de Dirac".

Propriétés.

• Si α est une fonction indéfiniment dérivable, pas nécessairement à support borné, et T une distribution, on peut définir la distribution α T par

< α T , ϕ > = < T , αϕ >

puisque αϕ est une fonction de base, chaque fois que ϕ est une fonction de base.

(10)

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Cours - 1996

• Pour toute distribution T, on peut définir une dérivée dT dx

par

< dT dx

, ϕ > = − < T , d dx

ϕ >.

Contrairement aux fonctions, une distribution est toujours dérivable. Comme une fonction peut définir une distribution, on peut se demander quel rapport il y a entre la dérivée au sens des fonctions et la dérivée au sens des distributions. Ce rapport est le suivant : si l’on considère une fonction f dérivable partout sauf en un point x₀ où la fonction présente un saut σ0 = f (x₀⁺ ) − f (x₀⁻ ), la dérivée de f , qui est presque partout définie (définie partout sauf sur un ensemble de mesure nulle), définit une distribution df

dx







 au moyen d’une intégrale ; cette distribution est liée à la distribution dérivée df

dx de la distribution définie par la fonction f par la formule :

df dx⁼

df dx







⁺^σ⁰^δ^.

Démonstration :

< df

dx^,^ϕ^{> =}⁻^<f , d dx

ϕ > = −

∫

^f^ddx ϕdx = −

∫

− ∞^x⁰ ^f^ddx

ϕ dx−

x₀

∫

+ ∞^f^ddx ϕ dx Pour chaque morceau d’intégrale, on intègre par parties :

−

− ∞

∫

^x⁰ ^f^ddx

ϕ dx = [ −f ϕ ]_{− ∞}^x⁰⁻ +

∫

− ∞^x⁰ ^{f ’}^ϕ^dx⁼⁻^{f (x}⁰⁻⁾^ϕ⁽^x⁰^{) +}

∫

− ∞^x⁰ ^{f ’}^ϕ^dx

−

x₀

∫

+ ∞^f^ddx

ϕ dx = [ −f ϕ ]

x₀⁺ + ∞ +

x₀

∫

+ ∞^{f ’}^ϕ^dx^{= +}^{f (x}⁰⁺⁾^ϕ⁽^x⁰^{) +} x₀

∫

+ ∞^{f ’}^ϕ^dx

Par addition, il vient :

−

∫

^f^ddx

ϕdx = [ f (x0+

) −f (x0−

) ] ϕ (x0) +

∫

^{f ’}^ϕ^dx^{= <}^σ⁰^δ^,^ϕ > + < df dx







^,^ϕ^>

Exemple : soit ϒ la distribution de Heaviside, définie par la fonction égale à 0 pour x négatif et à 1 pour x positif. Au point 0, elle présente un saut égal à 1. Sa dérivée au sens des fonctions est presque partout nulle puisque la fonction est constante par intervalles. Sa dérivée au sens des distributions est donc

d dx

ϒ = δ.

(11)

Séance 5

CONVOLUTION

Définition.

Si f et g sont deux fonctions localement sommables, alors la fonction h définie par : h (x) =

∫

f ( x − t ) g ( t ) dt

lorsque l'intégrale existe, est une fonction localement sommable qu'on appelle le "produit de convolution" de f et g et qu'on note :

h = f g

Propriétés.

• f g = g f. Le produit de convolution est commutatif.

En effet, si l'on pose x − t = u^{, on a}du = − dt^{et :} ( f g ) (x) = −

+ ∞

∫

− ∞f ( u ) g ( x − u ) du =

− ∞

∫

+ ∞f ( u ) g ( x − u ) du = ( g f ) (x)

• On démontre que si f ou g est continue, f g est continue (démonstration pas évidente).

• Si les deux fonctions f et g ont leurs supports dans l'intervalle [ 0 ; + ∞ [ , fg existe et a son support dans [ 0 ; + ∞ [. On a alors :

( f g ) (x) = ϒ (x)

0

∫

xf (x − t) g (t) dt

Cette propriété se démontre en considérant successivement les deux cas x ≤^{0 et}x_≥ 0.

Définitions.

• Le support d'une distribution est le plus petit ensemble fermé en dehors duquel la distribution est nulle.

Ceci veut dire que si une fonction de base ϕ a son support en dehors du support de la distribution T, on a

< T , ϕ > = 0.

• Si S et T sont deux distributions sur R, on appelle "produit de convolution" de S et T, la distribution, lorsqu'elle existe, définie par :

< S T , ϕ > = < Sx , < Ty , ϕ ( x + y ) > >

Condition d'existence : les supports A et B de S et T sont tels que, pour tout x ∈ A et pour tout y ∈ B : x + y borné ⇔ x borné et y borné

Propriétés.

• Si le produit de convolution existe, il est commutatif :

(12)

11

Cours - 1996

S T = T S

• Si S ou T a un support borné, S T existe.

• Si S et T ont toutes deux leur support borné à gauche, leur produit de convolution existe et a son support borné à gauche. Les distributions à support borné à gauche forment une algèbre (espace vectoriel muni d'un produit lui donnant une structure d'anneau) appelée l' algèbre de convolution D'+.

• La distribution de Dirac δ est l'élément unité du produit de convolution : T δ = δ T = T

• Pour tout entier m≥ 1, δ^(m)T existe et est égal à la dérivée m-ième de T au sens des distributions : δ^(m)T = d T

dx

m m

• Les résultats de l'exercice 3 de la séance 4 s'écrivent :

( δ' −λδ ) ϒ (x) e^λ^x = δ ( δ" + ω²δ ) ϒ( ) sinx ωx

ω = δ

δ^{( m )} ϒ( )

( )!

x x m

m−

−

1

1 = δ

• Soit Γ le cercle trigonométrique dans R² , toute distribution sur Γ a son support borné. Le produit de convolution de deux distributions sur Γ existe toujours et les distributions sur Γ forment une algèbre de convolution D' (Γ).

(13)

Séance 6

SERIES DE FOURIER

Série de Fourier d'une fonction périodique.

Si f est une fonction périodique de période T, on appelle série de Fourier de f la série :

n

∑

∈ Z*

cn (f) e^{n i x} où les coefficients de Fourier de f sont donnés par la formule :

cn (f) = 1 T

a

a+T

∫

^e⁻^{n i t}^{f (t) dt} ⁽^a réel quelconque )

La série de Fourier de f existe dès que la fonction f est intégrable sur tout intervalle de longueur finie.

En tout point où f a une limite à droite f (x+0) et une limite à gauche f (x−0), la somme de la série de Fourier de f est donnée par la formule :

n

∑

∈ Z*

cn (f) e^{n i x} = 1

2 [ f (x−0) + f (x+0) ]

En particulier, en un point où f est continue, f (x) est égal à la somme de sa série de Fourier : f (x) =

n

∑

∈ Z*

cn (f) e^{n i x}

Les fonctions de carré sommable sur une période, c'est-à-dire telles que l'intégrale

a

a+T

∫

^|^{f (t)}^|²^dt^existe,

vérifient la formule de Parseval-Plancherel :

n

∑

∈ Z*

| cn (f) |² = 1 T

a

a+T

∫

^|^{f (t)}^|²^dt

Si le produit de convolution f g existe, les coefficients de Fourier du produit de convolution sont donnés par : cn ( f g ) = T cn (f) × cn (g)

Série de Fourier d'une distribution périodique.

Une distribution T sur R est dite distribution périodique de période T si elle est égale à sa translatée par T : δTT = T

Les distributions périodiques de période T s'identifient aux distributions sur le cercle Γ de longueur T dans R². Elles forment une algèbre de convolution D' ( Γ ). Dans cette algèbre de convolution, l'élément unité δ est identifié à la distribution

n

∑

∈ Z*

δ n T sur R ( "peigne" de Dirac ).

Comme le cercle Γ est borné, toute fonction indéfiniment dérivable de l'abscisse curviligne s (définie à un multiple entier près de la période) est une fonction de base sur Γ : les fonctions e^{n i}^ω^s sont des fonctions de bases sur Γ.

A une distribution T de D' ( Γ ), on peut associer sa série de Fourier :

(14)

13

Cours - 1996 n

∑

∈

Z*

cn ( T ) e^{n i}^ω^x où les coefficients de Fourier de T sont donnés par la formule :

cn ( T ) = ¹

T^{< T ,}e⁻^{n i}^ω^x >

avec ω = 2 π T ^.

Pour une distribution définie par une fonction périodique localement sommable, on retrouve la formule donnant les coefficients de Fourier de la fonction, l'intégrale s'étendant à un intervalle d'une période.

Les séries de Fourier des distributions sur Γ possèdent les propriétés essentielles des séries de Fourier de fonctions périodiques de période T. Notamment, les coefficients de Fourier d'un produit de convolution sont donnés par :

cn ( TS ) = T cn ( T ) cn ( S )

Il y a cependant des différences importantes avec les séries de Fourier de fonctions :

• La série de Fourier d'une distribution T sur Γ (où d'une distribution périodique sur R ) converge toujours vers cette distribution : une distribution est toujours égale à la somme de sa série de Fourier. En particulier, sur R :

n

∑

∈ Z*

δnT =

n

∑

∈ Z*

1

T e^{n i}^ω^x = 1 T

n

∑

∈ Z*

e^{n i}^ω^x

• La dérivation terme à terme d'une série de Fourier de distribution de D' ( Γ ) est toujours une opération légitime :

d dx

m m

T =

n

∑

∈ Z*

cn ( T ) ( i nω )^m e^{n i}^ω^x

n

∑

∈ Z*

δnT ( m )

= 1 T

n

∑

∈ Z*

( i nω )^m e^{n i}^ω^x

• Pour qu'une série trigonométrique

n

∑

∈ Z*

cn e^{n i}^ω^x converge vers une distribution sur Γ, il faut et il suffit que la suite des | cn | soit majorée par une puissance de n quand n tend vers l'infini.

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Séance 7

TRANSFORMATION DE FOURIER

Transformée de Fourier d'une fonction.

La transformation de Fourier d'une fonction, telle qu'elle a été définie plus haut par la formule : F f (λ) =

− ∞

∫

+ ∞^e⁻^{2 i}^π^λ^t f (t) dt

peut s'appliquer à toute fonction intégrable sur R. Les fonctions intégrables sur R ne sont qu'une classe particulière de fonctions localement sommables. Elles définissent donc des distributions particulières : ces distributions régulières, définies par la formule

< f , ϕ > =

− ∞

∫

+ ∞f (t) ϕ (t) dt

peuvent s'appliquer, en fait, même à des fonctions ϕ dont le support n'est pas borné : il suffit que les fonctions ϕ décroissent à l'infini plus vite que n'importe quelle puissance de 1

t .

De telles fonctions ϕ, qui ont les mêmes propriétés que les fonctions de base à l'exception du support borné, s'appellent des fonctions à décroissance rapide. Elles forment un espace vectoriel complexe S contenant l'espace vectoriel D des fonctions de base. Les fonctions à décroissance rapide sont elles-mêmes des fonctions intégrables et, de ce fait, possèdent une transformée de Fourier.

La transformée de Fourier F f d'une fonction f possède les propriétés suivantes : 1. | F f (λ) | ≤

∫

^|^{f (x)}^|^dx

2. F f (λ) tend vers 0 si λ tend vers l'infini.

3. Si f est une fonction m fois continûment dérivable, on a :

• ( 2 i π λ )^m F f = F f^(m)

• | 2 i π λ | ^m | F f | ≤

∫

^|^f^(m)^(x)^|^dx

4. Si la fonction x^m f (x) est intégrable, la transformée de Fourier F f est m fois continûment dérivable et l'on a :

F [ ( − 2 i π x⁾^m f (x) ] = ( F f )^(m) 5. Pour tout réel k différent de 0 :

F [ f (kx) ] = 1

| |k

( F f ) 

 λ k



 En particulier, pour k = − 1 :

F [ f ( − x ) ] = ( F f ) ( −λ )

Il en résulte que si f est paire, F f est paire aussi, et si f est impaire, F f est impaire aussi. La transformation de Fourier conserve la parité.

6. La transformation de Fourier conjuguée F est définie par Ff (λ) =

− ∞

∫

+ ∞^e^{2 i}^π^λ^t^{f (t) dt}. Le nombre complexe Ff (λ) est le conjugué du nombre complexe F f (λ) si la fonction f (x) est réelle.

(16)

15

Cours - 1996

Des propriétés 3 et 4, il résulte que la transformée de Fourier d'une fonction à décroissance rapide est une fonction à décroissance rapide.

Transformation de Fourier des distributions.

Les distributions qui sont définies sur les fonctions à décroissance rapide s'appellent les distributions tempérées. Elles forment un espace vectoriel complexe S ' qui est contenu dans l'espace vectoriel D ' des distributions sur R .

Exemples :

• Toutes les distributions à support borné sont des distributions tempérées.

• Les fonctions bornées sont tempérées.

• Les fonctions localement sommables à croissance lente sont tempérées.

• Le produit d'un polynôme par une distribution tempérée est une distribution tempérée.

On peut définir la transformée de Fourier d'une distribution tempérée par la formule :

< F T , ϕ > = < T , F ϕ >

La transformation de Fourier conjuguée F est définie par la formule :

< FT , ϕ > = < T , Fϕ >

Propriétés de la transformation de Fourier.

1. F T et F T sont des distributions tempérées.

2. Si T est une distribution à support borné, son image F T par la transformation de Fourier est une fonction prolongeable pour les valeurs complexes de λ en une fonction entière V (λ) donnée par la formule :

V (λ) = < Ux , e⁻^{2 i}^π^λ^x >

3. F [ δ ] = 1 F [ δ ' ] = 2 i π λ F [ δ^(m) ] = ( 2 i π λ⁾^m F [ δa ] = e⁻^{2 i}^π^λ^a F 



k k

= − ∞

= + ∞

∑

^δ^k ^ =

k k

= − ∞

= + ∞

∑

^δ^k

F [ T^(m) ] = ( 2 i π λ⁾^m F T F [ ( − 2 i π x )^m T ] = ( F T )^(m) 4. F 1 = F 1 = δ

5. Formule de réciprocité :

• Pour toute fonction à décroissance rapide ϕ : F F ϕ = F Fϕ = ϕ

• Pour toute distribution tempérée T : F F T = F FT = T Corollaire : F T = 0 ⇔ T = 0

6. Formule de Parseval-Plancherel :

Si f et g sont des fonctions de carré intégrable, leurs images par la transformation de Fourier sont des fonctions de carré intégrable et on a :

− ∞

∫

+ ∞^|^{f (x)}^|²^dx⁼

∫

_{− ∞}^{+ ∞}^{| F}^{f (λ)}^|²^dλ

− ∞

∫

+ ∞^{f (x) g x}^{( ) dx}⁼

∫

_{− ∞}^{+ ∞}^F^{f (λ)}^F^g^{( )}^λ ^dλ

7. Formule sommatoire de Poisson :

Si ϕ est une fonction à décroissance rapide :

k k

= − ∞

= + ∞

∑

^ϕ⁽^k^{) =}

k k

= − ∞

= + ∞

∑

^F^ϕ⁽^k⁾

(17)

Transformation de Fourier et convolution.

La propriété fondamentale est que la transformation de Fourier transforme un produit de convolution en multiplication et une multiplication en produit de convolution :

F ( S T ) = F S . F T F ( S T ) = FS .FT

F ( S .T ) = F S F T F( S.T ) = FS F T

(18)

1

CMP - 1996

Séance 1.

NOMBRES COMPLEXES

Exercice 1.

Soit z l’affixe d’un point M du plan complexe.

1°/ Montrez que tous les points M d'affixe z du plan complexe vérifiant la relation z

z +

− 1 1

= k,

où k est une constante réelle différente de 1, sont sur un même cercle (C_k ) dont on calculera la position du centre et le rayon.

2°/ Comparez les cercles (C_k ) et (C¹

k).

3°/ Quel est l'ensemble des points M d'affixe z du plan complexe vérifiant la relation z

z +

− 1 1 = 1

3°/ Dessiner les ensembles de points obtenus pour les valeurs de k égales à 0 , 1 3 , 1

2 , 1 , 2 , 3 , ∞.

Exercice 2

1°/ Déterminez les nombres complexes solutions de l'équation : z⁴ = 1.

2°/ Déterminez sous forme trigonométrique les solutions de l'équation : z⁴ = 8 ( 1 − i 3 ).

3°/ Soit a = 6 2 2

− + i 6 2 2

+ . Vérifiez : a⁴ = 8 ( 1 − ⁱ 3 ). En déduire sous forme algébrique les ré- sultats du 2°/.

4°/ Des questions 2°/ et 3°/, déduire les valeurs exactes de cos 11 12

π et sin 11 12

π.

Exercice 3

λ, α, β étant trois constantes données réelles ou complexes, montrez que les solutions de l'équation : λⁿ ( z −α )ⁿ − ( ^z − β )ⁿ = 0

sont toutes sur une même circonférence. Calculez la position du centre et le rayon de cette circonférence.

(19)

Exercice 4

Soit z∈ C, z = x + i y, ( x , y ) ∈ R², P ( z ) = z³− 3 i z²− ( 3 −ⁱ ) z + 2 + 2 i.

1°/ Vérifiez que l'équation P ( z ) = 0 admet une solution réelle z₀ et une solution imaginaire pure z₁. Résou- dre l'équation P ( z ) = 0. Calculez le module et l'argument des solutions z₀ , z₁ , z₂.

2°/ Dans le plan complexe, soient M₀ , M₁ , M₂ , les points d'affixes respectives z₀ , z₁ , z₂. Calculez Z =

z z

2 0

1 0

−

− . Démontrez que | Z | = 1. Précisez la nature du triangle (M₀ , M₁ , M₂ ).

Exercice 5

1°/ Quel est l’ensemble des points M vérifiant la relation

| z + 1 | + | z − 1 | = ^k, k étant une constante réelle ?

2°/ Quelle condition doit vérifier k pour que le problème ait une solution ? 3°/ Ecrire l’équation de l’ensemble des points M vérifiant la relation donnée.

4°/ Dessiner les ensembles de points obtenus pour les valeurs de k égales à 2 , 3 , 4 , 5.

Exercice 6

| z + 1 | − | ^z − 1 | = ^k, k étant une constante réelle ?

4°/ Dessiner les ensembles de points obtenus pour les valeurs de k égales à −2 , −1 , 0 , 1 , 2.

Exercice 7

| z + 1 | × | ^z − 1 | = ^k, k étant une constante réelle ?

2 , 1 , 3 2, 2 , 3.

(20)

3

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Séance 2.

FONCTIONS DE VARIABLE COMPLEXE

Exercice 1.

On considère la fonction de deux variables réelles x et y : P ( x , y ) = x 2



 1 + 1

2 2

x +y



.

1°/ Montrez que P ( x , y ) est la partie réelle d'une fonction analytique f (z) de la variable complexe z = x + i y. Calculez la fonction f (z) vérifiant f (1) = 1.

2°/ Soit (C_k ) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe z vérifie la relation ^z z

− + 1

1 = k. Mon- trez que, pour k ≠ 1, ^(Ck ) est un cercle dont on calculera la position du centre et le rayon. Etudiez le cas particulier k = 2. Que se passe-t-il lorsque k est égal à 1 ?

Pour un point m de (C_k ), on pose Z = 1 2



 z + 1 z



. a) Calculez ^Z

Z

− + 1

1 en fonction de k.

b) Montrez que, lorsque le point m d'affixe z parcourt (C_k), le point M d'affixe Z parcourt, pour k ≠ 1, un cercle (D_k) dont on calculera la position du centre et le rayon ?

c) Montrez que le cercle (D_k) passe par le centre du cercle (C_k) .

Exercice 2.

Soient a et b deux constantes réelles différentes. On considère les deux fonctions des variables réelles x et y :

P ( x , y ) = ( )( )

( )

x a x b y

x b y

− − +

− +

2

2 2 et Q ( x , y ) = ( )

( )

a b y

x b y

−

− ²+ ²

1°/ Montrez que P ( x , y ) + i Q ( x , y ) est une fonction analytique f (z) de la variable complexe z = x + i y. 2°/ Etudiez les lignes de niveau P ( x , y ) = constante et les lignes de champ Q ( x , y ) = constante du po-

tentiel complexe f (z). Représentez graphiquement les courbes correspondant aux valeurs − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 des constantes.

(21)

Exercice 3

On considère la fonction : Arc tg z = 1 2 i ln 1

1 +

− i z i z. 1°/ Déterminez les points singuliers de la fonction Arc tg z. 2°/ Comment peut-on rendre uniforme la fonction Arc tg z ?

3°/ La fonction Arc tg z ayant pour valeur 0 au point z₀ = 0, trouver sa valeur au point z₁ = 1 + i , lorsqu'on passe de z₀ à z₁ par un chemin rectiligne.

Exercice 4

On considère la fonction : Arc cos z = 1 i

ln ( z + z²−1 ).

1°/ Déterminez les points singuliers de la fonction Arc cos z.

2°/ Comment peut-on rendre uniforme la fonction Arc cos z ? 3°/ La fonction Arc cos z ayant pour valeur π

2 au point z0 = 0, trouver sa valeur au point z1 = 2 , lorsqu'on passe de z0 à z1 par un demi-cercle (Γ) de centre 1 et d'ordonnées positives.

(22)

5

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Séance 3

INTEGRATION DES FONCTIONS DE VARIABLE COMPLEXE

Exercice 1

1°/ Calculer l'intégrale

(C)

∫

¹2



 z + 1 z



 dz , étendue au cercle trigonométrique (C) de centre O ( 0 ; 0 ) et de rayon 1 parcouru dans le sens direct.

(C)

∫

^zz

− + 1

1 dz , étendue au cercle (C) de centre A ( − 1; 0 ) et de rayon 1 parcouru dans le sens direct.

(C)

∫

^_^ ^zz

− + 1 1



 2

dz , étendue au cercle (C) de centre A ( − 1; 0 ) et de rayon 1 parcouru dans le sens direct.

Exercice 2

Calculer l'intégrale 1

2 iπ

∫

(C)⁽^z z^{a e}⁾ + z

4 dz , étendue au cercle trigonométrique (C) de centre O ( 0 ; 0 ) et de rayon 1 parcouru dans le sens direct.

Exercice 3

Calculer l'intégrale

0

∫

π ^coscos 3 2

x + x dx

Exercice 4

Calculer l'intégrale

0

∫

1₍_x₊₂₎⁵^dx_x³₍₁₋_x₎²

(23)

(24)

7

CMP - 1996

Séance 4

DISTRIBUTIONS

Exercice 1

Soit T une distribution sur R. Montrez les propriétés suivantes : 1°/ x T = 0 ⇔ (∃ c ∈ C ) ( T = c δ )

2°/ Pour que la dérivée de T soit nulle, il faut et il suffit qu'il existe un nombre complexe c vérifiant T = c 1,

où 1 est la distribution définie par 1 (ϕ) =

∫

^{ϕ (x) dx.}

Exercice 2

Trouver la limite, quand h tend vers 0, dans l'espace D′ des distributions sur R , de δ_h δ _h h

− ₋ 2

.

Exercice 3

ϒ ( x ) désignant la fonction de Heaviside, calculer, au sens des distributions : 1°/ 

 d dx − λ 

 ϒ ( x ) e^λ^x

2°/ 

 d dx

2

2 + ω² 

 ϒ( ) x sinωx ω

3°/ d dx

m m

ϒ

− ( ) −

( )!

x x m

m 1

1 pour m entier ≥ 1

(25)

(26)

9

CMP - 1996

Séance 5

CONVOLUTION

Exercice 1

Soit ϒ (x) la fonction de Heaviside.

1°/ Calculez le produit de convolution ϒ (x) e^λ^x ϒ (x) e^{µ x} . 2°/ Calculez le produit de convolution ϒ (x) sin x ϒ (x) sh 2x .

Exercice 2

Soit δ la distribution de Dirac, ϒ (x) la fonction de Heaviside, D′+ l'espace des distributions sur R à support borné à gauche. Trouvez les inverses dans D′+ des distributions suivantes :

1°/ δ″ − 5 δ′ + 6 δ 2°/ ϒ + δ″

3°/ ϒ (x) e^x + δ′

Exercice 3

Résoudre l'équation intégrale

0

∫

x^{( x}⁻ t ) cos ( x − t ) f ( t ) dt = g ( x ) , où g est une fonction donnée et f une fonction inconnue, les deux ayant leur support dans l'intervalle [ 0 ; + ∞ [.

Exercice 4

On désigne par f (x) la solution de l'équation différentielle

y″′ + 2 y″ + y′ + 2 y = − 10 cos x satisfaisant aux conditions initiales :

y (0) = 0, y′^{(0) = 0} ^y″^{(0) =}−⁴

On pose F (x) = ϒ (x) f (x), où ϒ (x) est la fonction de Heaviside. Ecrire l'équation différentielle satisfaite par F (x) au sens des distributions. Déterminer alors F (x) en utilisant le calcul symbolique dans D′+ .

(27)

(28)

11

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Séance 6

SERIES DE FOURIER

Exercice 1

1°/ Calculez la série de Fourier de la fonction f (x) égale à x dans l'intervalle −π < x < π, et périodique de période 2π. Calculez

n=

∑

∞ 1

1 n2

et

n=

∑

∞ 1

1

2 1 ²

( n+ ) .

2°/ Calculez la série de Fourier de la fonction g (x) égale à x³ dans l'intervalle −π < x < π, et périodique de période 2π. En déduire la valeur de sin x − ^sin²

2³

x + … + (− 1)ⁿ⁺¹ sin n x n³ + ….

3°/ Montrez que l'on peut déduire les développement trouvés de celui de δ_(π) sur le cercle Γ de longueur 2 π.

Exercice 2

1°/ Soit T une distribution périodique de période T. Montrez que sa série de Fourier peut se mettre sous la forme :

n=

∑

∞ 0

a_n cos 2πnx T

+

n=

∑

∞ 0

b_n sin 2πnx T avec des coefficients a_n et b_n que l'on explicitera.

Dans les deux questions suivantes, on pose, pour une fonction ϕ, ϕ1 ( x ) = ϕ ( − x )

2°/ On dit qu'une distribution T est impaire si l'on a < T , ϕ1 > = − < T , ϕ > pour toute fonction de base ϕ ∈ D. Montrez que la série de Fourier d'une distribution impaire de période T se réduit à une série de sinus.

3°/ On dit qu'une distribution T est paire si l'on a < T , ϕ1 > = < T , ϕ > pour toute fonction de base ϕ ∈ D.

Montrez que la série de Fourier d'une distribution paire de période T se réduit à une série de cosinus.

(29)

Exercice 3

Soient f et g deux fonctions périodiques de période T, de carré intégrable sur une période (espace L² (T)).

1°/ Montrez que

h ( x ) = 1

T 0

∫

Tf ( x + t ) g ( t ) dt

est aussi une fonction périodique de période T, de carré intégrable sur une période.

2°/ Calculez les coefficients de Fourier cn ( h ) de h en fonction des coefficients de Fourier cn ( f ) et cn ( g ) de f et g.

3°/ En admettant que pour tout x , la série de Fourier de h ( x ) est convergente et a pour somme h ( x ), montrez les formules :

k=−∞

∑

+∞ ^c^k^{( f ) c}^^k^{( )}^g ⁼^T¹ a^+T

∫

a f ( x ) g x^( ) dx

k=−∞

∑

+∞ ^{| c}^k^{( f ) |}²⁼T¹

+T a

∫

a | f ( x ) |² dx

(30)

13

CMP - 1996

• •

Séance 7

TRANSFORMATION DE FOURIER

Exercice 1

1°/ Soient f et g deux fonctions intégrables (c'est-à-dire appartenant à l'espace L1 ) définie sur R. Montrez que le produit de convolution défini par : h ( x ) = f g =

− ∞

∫

+ ∞^{f ( x}⁻ y ) g ( y ) dy est aussi dans L1 et que l'on a : ║ h ║_L

1 ≤ ║ f ║_L

1 × ║ g ║_L

1, la norme de convergence en moyenne de L1 étant définie, pour une fonction f , par ║ f ║_L

1 =

− ∞

∫

+ ∞| f ( t )| dt.

2°/ Montrez directement la formule : F h = F f . F g , la transformée de Fourier F f d'une fonction f ∈ L1 étant définie par : F ( λ ) =

− ∞

∫

+ ∞^e⁻^{2 i}^π^λ^u f ( u ) du.

Exercice 2

Calculez la transformée de Fourier de la fonction f ( t ) définie par

f ( f ) =







1 1

1

0 1

1 2

pour pour pour

| |

| | t

t t

<

=

>

Formule de réciprocité.

Exercice 3

Calculez l'intégrale

− ∞

∫

+ ∞^e⁻^{| t |} cos x t dt. En déduire la valeur de l'intégrale

0

∫

+ ∞^{cos xt}1+t² dt.

1

−1 1

t

(31)

(32)

1

Séance 1 - 1996

Séance 1.

NOMBRES COMPLEXES

Exercice 1.

1°/ Montrez que tous les points M d'affixe z du plan complexe vérifiant la relation z

z +

− 1 1

= k,

où k est une constante réelle différente de 1, sont sur un même cercle (C_k ) dont on calculera la position du centre et le rayon.

2°/ Comparez les cercles (C_k ) et (C¹

k).

3°/ Quel est l'ensemble des points M d'affixe z du plan complexe vérifiant la relation z

z +

− 1 1 = 1

2 , 1 , 2 , 3 , ∞.

Corrigé de l’Exercice 1

1°/ Ensemble des points dont le rapport des distances à deux points fixes est une constante.

Comme le module d’un rapport est aussi le rapport des modules du numérateur et du dénominateur, la relation z

z +

− 1 1 = k peut être écrite aussi :

| |

z z +

− 1 1 = k

Comme un module de nombre complexe est un nombre positif ou nul, le problème n’aura de sens que si la constante réelle k est positive ou nulle ou infinie.

Condition d’existence : k ≥ 0

On sait (cours de Terminale) que l’ensemble des points dont le rapport des distances à deux points fixes est une constante positive est un cercle du faisceau à points limites les deux points fixes. Montrons-le par le calcul.

Soient x et y la partie réelle et la partie imaginaire, respectivement, du nombre complexe z : z = x + i y