soit intégrable sur . On note la fonction définie sur par la formule .

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Concours Centrale-Supélec 1998

On note l’ensemble des fonctions continues sur l’intervalle à valeurs complexes telles que, pour tout nombre réel , la fonction

soit intégrable sur . On note la fonction définie sur par la formule .

L’objet du problème est d’étudier quelques propriétés de la fonction . Partie I - Étude de

I.A - Montrer que est un -espace vectoriel non réduit à et stable par l’application .

I.B - On note l’espace vectoriel des fonctions à valeurs complexes continues et intégrables sur . Comparer au sens de l’inclusion les espaces vectoriels et . I.C - Pour tout nombre réel , on note la fonction définie sur par la formule . Déterminer les valeurs de pour lesquelles appartient à , et prouver alors que est proportionnelle à . On exprimera le coefficient de pro- portionnalité à l’aide d’une intégrale que l’on ne cherchera pas à calculer.

Partie II - Propriétés de Soit une fonction appartenant à .

II.A - Montrer que la fonction est continue sur . II.B - Comportement asymptotique de en II.B.1) Déterminer la limite de en .

II.B.2) On suppose de plus intégrable sur . Déterminer la limite, lorsque tend vers , de

.

À quelle condition ce résultat permet-il d’obtenir un équivalent de au voisi- nage de ? Donner dans ce cas cet équivalent.

II.B.3) Donner des conditions suffisantes portant sur permettant d’obtenir un développement limité à tout ordre de la fonction en . Donner un tel

E f I ⁼ ] 0 +∞ , [

s > 0 f u ( )

u + s --- u

I f I

( ) s f u ( ) u + s --- u d

0 + ∞

∫

f =

f E

E C I { } 0

f f

L

I L E

α f _α I

f _α ( ) u = u ^{α – 1} α f _α E

f _α f _α

f

f E

f I

f +∞

f + ∞

f I s

+∞

f u ( ) u --- s + 1 --- u d

0 + ∞

∫

f + ∞

f

f +∞

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développement ainsi qu’un exemple de fonction vérifiant les conditions trouvées : on pourra observer que, pour tout ,

.

II.C - Soit un nombre réel strictement positif. Pour tout nombre réel tel que établir que

.

Que vient-on de démontrer pour ? Que peut-on en déduire ? Partie III - Expression de comme transformée de Laplace

On note le sous-espace vectoriel des fonctions complexes continues sur telles que, pour tout nombre réel , la fonction

soit intégrable sur . La fonction définie alors par la formule

s’appelle la transformée de Laplace de .

III.A - Transformée de Laplace d’un élément de

III.A.1) Soit un nombre réel . Justifier l’existence du nombre réel .

Comparer et lorsque .

III.A.2) Montrer que est contenu dans . III.A.3) Soit une fonction appartenant à .

a) Montrer que la fonction est continue sur . Quel est son comportement en ?

b) Donner une condition suffisante portant sur pour que possède une limite en . Donner un exemple de fonction réelle appartenant à telle que

.

III.B - Transformée de Laplace d’une fonction de type où appartient à Soit un élément de .

n ∈ IN∗

1 u + s

--- ( ) – 1 ^k u ^k s ^{k + 1} ---

k = 0 n – 1

∑ ^{( ) – 1 n}     ^u _s ^{--- n} 1 u + s --- +

=

a h

h < a

f ( a + h ) ( ) – 1 ^p f u ( )

u + a ( ) ^{p + 1} --- u d

0

∫ +∞

 

  h ^p

p = 0 +∞ ∑

=

f f

F I

x > 0 e ^{– xu} f u ( )

u

I Lf

Lf x ( ) e ^{– xu} f u ( ) d u

0

∫ +∞

=

f

E

x >0

M x ( ) = sup ( e ^{– xu} ( 1 + u ) ) u > 0

M x ( ) ₁ M x ( ) ₂ 0 < x ₁ < x ₂

E F

f E

Lf I

+∞

f Lf

0 ⁺ E

Lf x ( )

x → lim 0 , x > 0 = +∞

Lf f E

f E

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III.B.1) Pour tout , on note la fonction définie sur par la formule .

Montrer que est continue sur . Quel lien existe-t-il entre la suite et la fonction ?

III.B.2) Soient et deux nombres réels tels que et un entier natu- rel non nul. Pour tout , montrer que

. En déduire que

. III.B.3) Montrer que

admet une limite lorsque tend vers et que tend vers .

III.B.4) Montrer que est élément de et que sa transformée de Laplace est , c’est-à-dire que pour tout ,

III.B.5) Application. Soit un élément de . En considérant la fonction définie au I.C, établir que

où est la fonction définie sur par la formule .

Partie IV - Calcul de l’intégrale On se propose d’établir la formule

(1)

où et .

n ∈ IN∗ g _n I

g _n ( ) x e ^{– xu} f u ( ) d u

1 ⁄ n

∫ n

=

g _n I ( ) g _{n n ≥ 1}

Lf

a b 0 < < a b n

s ∈ I e ^{– sx} g _n ( ) x d x

a

∫ b ^{e – sa e – au} u --- u ^{f u ( )} + s d

1 ⁄ n –

∫ n ^{e – sb e – bu} u --- u ^{f u ( )} + s d

1 ⁄ n

∫ n

–

=

e ^{– sx} Lf x ( ) d x

a

∫ b ^{e – sa e – au} u --- u ^{f u ( )} + s d

0

∫ +∞ ^{e – sb e – bu} u --- u ^{f u ( )} + s d

0

∫ +∞

–

=

e ^{– sx} Lf x ( ) d x

a

∫ b

a 0 b + ∞

Lf F

f s ∈ I

e ^{– sx} Lf x ( ) d x =

0 + ∞

∫ ^{f ( ) s}

α ] ^{0 1} , [ ^f _α

Γ α ( )Γ ( 1 – α ) u ^{α – 1} 1 + u --- u d

0 + ∞

∫

=

Γ I

Γ α ( ) e ^{– y} y ^{α – 1} d y

0 + ∞

∫

=

u ^{α – 1} 1 + u --- u d

0 + ∞

∫

u ^{α – 1} u e ^{i λ} + 1 --- u d

0 + ∞

∫ = ---e sin ^π _πα ^{– iλα}

α ∈ ] ^{0 1} , [ λ ∈ ] – π , π [

MATHÉMATIQUES I Filière PC

Concours Centrale-Supélec 1998 IV.A - Étudier l’intégrabilité de

sur lorsque appartient à et appartient à . IV.B - On pose

, ,

Montrer que, pour tout , la fonction est constante sur l’intervalle (on pourra observer que si est un élément de , pour

tout et tout , ).

IV.C - En utilisant la relation et la formule d’Euler

montrer que, pour tout ,

. À l’aide d’un changement de variable prouver que

.

IV.C.1) En introduisant une suite d’éléments de convergeant vers , obtenir la formule (1). Calculer finalement l’intégrale

et en déduire la valeur de l’intégrale de Gauss .

••• FIN •••

u ^{α – 1} u e ^iλ + 1 --- u

I α ] ^{0 1} , [ λ ] – π , π [

γ α λ ( , ) e ^iλα u ^{α – 1} u e ^iλ + 1 --- u d

0

∫ +∞

= 0 < < α 1 –π λ π < <

0 < < α 1 λ γ α λ ( , )

] – π , π [ λ ₀ ] ⁰ , π [

u > 0 λ λ ≤ ₀ u e ^iλ + 1 ² ≥ u e ^{i λ}

+ 1 ² γ α λ ( , – ) = γ α λ ( , ) λα

sin 1

2i --- e ( ^iλα – e ^{– iλα} )

=

0 < < λ π γ α λ ( , ) sin λα sin λ u ^α

1 + 2u cos λ + u ² --- u d

0

∫ +∞

=

γ α λ ( , ) sin λα ( u sin λ – cos λ ) ^α u ² + 1 --- u d

cotan λ

∫ +∞

=

] ⁰ , π [ π

u ^{α – 1} 1 + u ---

0

∫ +∞ ^du

e ^{– t}

d t

0

∫ +∞