Jeudi17Janvier2013, durée2 heures EXAMEN FINAL
EXAMEN FINAL
La précision et la clarté de la rédaction seront prises en compte dans l'attribution de la note.
Le barème est donné à titre indicatif. Documents autorisés : une feuille de note A4, calculatrices.
On rédigera les trois exercices sur des copies distinctes.
Exercice 1 Produits scalaires et matrices orthogonales ( 6 points ) Les deux questions sont indépendantes.
1. Soit R2 muni de la base (−→ i ,−→
j). Pour tout couple de vecteur (−→u ,−→v), de composantes
−
→u u1
u2
et −→v v1
v2
, on considère le crochet[,] :R2×R2→Rdéni par [−→u ,−→v] =u1v1+u1v2+u2v1+ 2u2v2.
a. Montrer que [,] est un produit scalaire surR2, on note k−→ukC =p
[−→u ,−→u] la norme dénie par [,].
b. Soit−→e1
1 0
. Vérier que k−→e1kC= 1.
c. Déterminer les coordonnées de−→e2, vecteur normé, c'est-à-direk−→e2kC= 1et orthogonal à −→e1 pour le produit scalaire déni par [,]. On dira que la baseβ = (−→e1,−→e2) est C- orthonormale.
d. Soitφl'application linéaire dénie parφ(−→e1) =e1 etφ(−→e2) =−e2. Donner la matrice de l'applicationφdans la baseβ et dans la base canonique. Illustrer l'action deφavec un dessin.
2. Soit R3 muni de la base canonique (−→ i ,−→
j ,−→
k). Soit ψ une application linéaire dont la matrice dans la base canonique est
A=
a b c b c a c a b
a. Montrer que la matriceAest orthogonale si et seulement si a2+b2+c2 = 1
ab+ac+bc = 0
b. On suppose que les conditions ci-dessus sont satisfaites. Montrer que det(A) = 3abc− (a3+b3+c3).
c. Montrer que si un des coecients est nul alors A est soit la matrice d'une symétrie orthogonale soit la matrice d'une rotation d'angle π.
Exercice 2 Aires et volumes ( 4 points )
Les deux questions sont indépendantes.
1. Calculer l'aire du domaine déni parD={(x, y)∈R2, x>0,16x2+y262y}.
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Jeudi17Janvier2013, durée2heures EXAMEN FINAL 2. Déterminer le volume du domaineV ⊂R3 déni par
x2 4 +y2
9 +z261
(indication on pourra utiliser le changement de variable déni parΦ :R+×[0,2π]×[0, π]→ R3 avec Φ(r, θ, ψ) = (2rcos(θ) sin(ψ),3rsin(θ) sin(ψ), rcos(ψ)), on remarquera que pour r= 1,Φest la paramétrisation d'une ellispoïde).
Exercice 3 Paraboles ( 12points )
Dans tout l'exercice (−→ i ,−→
j ,−→
k) désigne la base canonique de R3, c'est-à-dire une base oth- onormale deR3 pour le produit scalaire usuel.
1. Conique. On considère dans le plan muni du repère R= (O,−→ i ,−→
j) la coniqueΓ dénie par l'équation
2x2−4xy+ 2y2−5√
2x+ 3√
2y+ 4 = 0 a. Déterminer dans un repère adapté une équation réduite de Γ. b. TracerΓ dans le repèreR.
2. Surface de révolution. On muni l'espaceE du repèreR1= (O,−→ i ,−→
j ,−→
k). Dans le plan (Oxy) on considère la parabole C d'équation y = 2x2. On note S la surface obtenue par révolution de la courbe C autour de l'axe(Oy).
a. Esquisser la surface S.
b. Donner une paramétrisation simple de C et en déduire une paramétrisation Φ : R× [0,2π]→R3 deS.
c. Soit M(x, y, z)un point deS (doncM = Φ(t, θ)). Montrer que les coordonnées deM vérient y= 2x2+ 2z2. Cette équation est l'équation cartésienne de la surface S. 3. Changement de repère. Dans R3 muni de la base canonique (−→
i ,−→ j ,−→
k) on considère
−
→v1
√ 2 2
−
√ 2 2
0
et−→v2
√ 2
√2 2 2
0
.
a. Déterminer la matriceP, dans la base canonique, de l'applicaton,φqui transforme la base canonique(−→
i ,−→ j ,−→
k)en la base(−→v1,−→v2,−→ k).
b. On note (x, y, z) les coordonnées dans le repère R1 = (O,−→ i ,−→
j ,−→
k) et (X, Y, Z) les coordonnées dans R2 = (O,−→v1,−→v2,−→
k). Déduire à partir de la relation
x y z
=
P
X Y Z
les relations entre les coordonnées des deux repères.
c. Soit Ω(1,0,0) dans le repère R2= (O,−→v1,−→v2,−→
k). On note ( ˜X,Y ,˜ Z˜)les coordonnées dansR3= (Ω,−→v1,−→v2,−→
k). Établir les relations entre(X, Y, Z)et( ˜X,Y ,˜ Z)˜ .
d. En déduire les relations entre les coordonnées(x, y, z)dansR1et( ˜X,Y ,˜ Z)˜ dansR3. e. A l'aide des questions précédentes donner une paramétrisationΦ˜ de la surface obtenue
par révolution de la courbeΓ étudiée en 1. autour de l'axe(Ω,−→v2).
f. Comment peut-on déterminer l'équation cartésienne dans le repère R1 de la surface obtenue par révolution de la courbeΓ?
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