École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia
Cycle initial Polytechnique, 2eannée 2008–2009
Électromagnétisme
Examen (4e), durée 1h30
documents autorisés (distribués) : formulaire 13 mai 2009
Notes Exercices Note finale / 20
Nom Prénom
Nombre d’heures de travail
Régulier (heures par semaine) Ponctuel (avant l’examen)
Ne pas dégrafer les feuilles svp !
Extrait du règlement des études de Polytech’Nice Sophia (section 9) : Pendant la durée des épreuves il est interdit :
– de détenir tout moyen de communication (téléphone portable, micro-ordi- nateur, . . . ), sauf conditions particulières à l’épreuve ;
– de communiquer entre candidats ou avec l’extérieur et d’échanger du ma- tériel (règle, stylo, calculatrice, . . . ) ;
– d’utiliser, ou même de conserver sans les utiliser, des documents ou maté- riels non autorisés pendant l’épreuve.
Toute infraction aux instructions énoncées ci-avant ou tentative de fraude dû- ment constatée entraîne l’application du décret No95-842 du 13 juillet 1995 relatif à la procédure disciplinaire dans les établissements publics d’enseigne- ment supérieur.
Électromagnétisme 1
1 Champ électrique d’une station de base (6 points)
La téléphonie mobile utilise, entre autres, les fréquences autour de f = 980 MHz pour la communication entre le téléphone et la station de base. L’antenne d’un téléphone portable représente une surface équivalenteAe = 5×10−3m2 pour les ondes électroma- gnétiques (cette aire, à peu près égale à celle d’un carré de dimensions 7 cm×7 cm, ne correspond pas aux dimensionsphysiques de l’antenne mais à ses dimensionsélectriques).
On considère que l’onde électromagnétique venant de la station de base est une OPPM se propageant dans l’air seloneˆz; le champ électrique, d’amplitude E0, est orienté seloneˆx. Cette représentation est bien sûr valide seulement localement, dans une région autour du portable (l’onde émise par la station de base ne peut pas être une OPPM qui remplit tout l’espace !). L’onde arrive de façon perpendiculaire à la surface de l’antenne du téléphone portable.
a. Donner les expressions complexes des champs électrique E~˜ et magnétiqueB~˜. b. Donner l’expression de la valeur moyenne de la puissance transportée par cette
onde par unité de surface.
c. La puissance moyenne reçue par le mobile est égale àPr= 2 nW. Calculer l’intensité I de l’onde électromagnétique venant de la station de base.
d. Calculer l’amplitude E0 du champ électrique à l’endroit où se trouve le portable (rappel : l’impédance du vide η0= 120πΩ).
2 Entre deux conducteurs parfaits (14 points)
Un conducteur parfait (métal à conductivité infinie, σ =∞) remplit le demi-espace z <0. Une OPPM de fréquence f se propage dans le vide (z > 0) selonˆk =−eˆz (vers l’axe deznégatif !). L’onde est de polarisation linéaire : le champ électrique, d’amplitude Ei0, reste toujours parallèle à eˆx. La réflexion de cette onde incidente sur le conducteur parfait àz= 0 crée une onde réfléchie dans z >0.
a. Donner la représentation complexe des ondes électromagnétiques incidente (~
˜ Ei,
~˜
Bi) et réfléchie (E~˜r,B~˜r).
b. Appliquer la condition de continuité des composantes tangentielles du champ élec- trique sur une interface et donner l’expression de l’amplitude de l’onde réfléchie.
c. Calculer le coefficient de réflexion en amplitude r=Er0/Ei0.
d. Donner l’expression du champ électrique total (représentation complexe et réelle).
e. On ajoute à la géométrie du problème un deuxième conducteur parfait qui remplit le demi-espace z > L. Montrer que la condition de continuité des composantes tangentielles du champ électrique total (question précédente) sur l’interface àz=L implique que seules les ondes dontλ=λn= 2L/n (nentier) peuvent exister entre les deux conducteurs.
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g. A.N. : Ei0 = 2.5 V m−1,L= 20 cm.
Utiliser la Figure 1 pour tracer le vecteur E~ du champ électrique total àt =T /4 pourλ=λ1 etλ=λ2. Calculer les fréquences permises entre les deux conducteurs.
Électromagnétisme 3
olytechniquedel’UNS’Nice-Sophia CycleinitialPolytechnique,20
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Fig. 1: Exercice 2, question g.
agnétisme4
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Formulaire
A Analyse vectorielle
A.1 Gradient
A.1.1 Coordonnées cylindriques
−−→
gradV = ∂V
∂ρˆeρ+1 ρ
∂V
∂φeˆφ+∂V
∂z ˆez (1)
A.1.2 Coordonnées shpériques
−−→
gradV = ∂V
∂reˆr+1 r
∂V
∂θ ˆeθ+ 1 rsinθ
∂V
∂φeˆφ (2)
A.2 Divergence
A.2.1 Coordonnées cylindriques
divA~ = 1 ρ
∂(ρAρ)
∂ρ +1 ρ
∂Aφ
∂φ +∂Az
∂z (3)
A.2.2 Coordonnées shpériques
divA~ = 1 r2
∂(r2Ar)
∂r + 1
rsinθ
∂(sinθAθ)
∂θ + 1
rsinθ
∂Aφ
∂φ (4)
A.3 Rotationnel
A.3.1 Coordonnées cylindriques
−→ rotA~ = 1
ρ ˆ
eρ ρˆeφ eˆz
∂
∂ρ
∂
∂φ
∂
∂z
Aρ ρAφ Az
(5)
A.3.2 Coordonnées shpériques
−→
rotA~ = 1 r2sinθ
eˆr rˆeθ rsinθeˆφ
∂
∂r
∂
∂θ
∂
∂φ
Ar rAθ rsinθAφ
(6)
Électromagnétisme 5
Page blanche
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Page blanche
Électromagnétisme 7
Brouillon
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Brouillon
Électromagnétisme 9
