1 Champ électrique d’une station de base (6 points)

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Électromagnétisme

Examen (4^e), durée 1h30

documents autorisés (distribués) : formulaire 13 mai 2009

Notes Exercices Note finale / 20

Nom Prénom

Nombre d’heures de travail

Régulier (heures par semaine) Ponctuel (avant l’examen)

Ne pas dégrafer les feuilles svp !

Extrait du règlement des études de Polytech’Nice Sophia (section 9) : Pendant la durée des épreuves il est interdit :

– de détenir tout moyen de communication (téléphone portable, micro-ordi- nateur, . . . ), sauf conditions particulières à l’épreuve ;

– de communiquer entre candidats ou avec l’extérieur et d’échanger du ma- tériel (règle, stylo, calculatrice, . . . ) ;

– d’utiliser, ou même de conserver sans les utiliser, des documents ou maté- riels non autorisés pendant l’épreuve.

Toute infraction aux instructions énoncées ci-avant ou tentative de fraude dû- ment constatée entraîne l’application du décret N^o95-842 du 13 juillet 1995 relatif à la procédure disciplinaire dans les établissements publics d’enseigne- ment supérieur.

(2)

École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia

Cycle initial Polytechnique, 2^eannée 2008–2009

1 Champ électrique d’une station de base (6 points)

La téléphonie mobile utilise, entre autres, les fréquences autour de f = 980 MHz pour la communication entre le téléphone et la station de base. L’antenne d’un téléphone portable représente une surface équivalenteAe = 5×10⁻³m² pour les ondes électroma- gnétiques (cette aire, à peu près égale à celle d’un carré de dimensions 7 cm×7 cm, ne correspond pas aux dimensionsphysiques de l’antenne mais à ses dimensionsélectriques).

Commentaire:

D’où vient cette valeur ? On considère ici un dipoleλ/2: directivité maximale D = 1.22. La surface équivalente Ae = λ²D/4π ≈9×10⁻³m² et on divise par deux pour avoir la puissance disponible à une charge adaptée.

On considère que l’onde électromagnétique venant de la station de base est une OPPM se propageant dans l’air seloneˆ_z; le champ électrique, d’amplitude E₀, est orienté seloneˆ_x. Cette représentation est bien sûr valide seulement localement, dans une région autour du portable (l’onde émise par la station de base ne peut pas être une OPPM qui remplit tout l’espace !). L’onde arrive de façon perpendiculaire à la surface de l’antenne du téléphone portable.

a. Donner les expressions complexes des champs électrique ~

˜

E et magnétique ~

˜ B. Réponse (0.5 point):

~˜

E=E₀e^{j (ωt}⁻^kz)eˆ_x

~˜

B= _ω¹~k∧E~˜ = ¹_cE₀e^{j (ωt}⁻^kz)eˆ_y

b. Donner l’expression de la valeur moyenne de la puissance transportée par cette onde par unité de surface.

Réponse (1.5 points ; on peut donner directement I):

S~= _µ¹₀E~∧B~ = _µ¹₀_cE₀²cos²(ωt−kz)eˆ_z

<S~>= ¹₂q_ε

0

µ0E₀²eˆ_z= _2η¹

0E₀²eˆ_z I = _2η¹

0E₀² enW m⁻²

c. La puissance moyenne reçue par le mobile est égale àPr= 2 nW. Calculer l’intensité I de l’onde électromagnétique venant de la station de base.

Réponse (2 points):

Pn=R

Ae <S~> ·ˆndS=R

AeIkˆ·nˆdS =R

AeIdS=IAe

donc I =Pn/Ae= ₅²_×^×₁₀¹⁰₋⁻3⁹^W

m² = 0.4µW m⁻².

d. Calculer l’amplitude E₀ du champ électrique à l’endroit où se trouve le portable (rappel : l’impédance du vide η₀= 120πΩ).

E₀ =√

2η₀I =p

2·120π·0.4×10⁻⁶√

Ω W m⁻²= 17.4 mV m⁻¹

Électromagnétisme ²

(3)

2 Entre deux conducteurs parfaits (14 points)

Un conducteur parfait (métal à conductivité infinie, σ =∞) remplit le demi-espace z <0. Une OPPM de fréquence f se propage dans le vide (z > 0) selonˆk =−ˆe_z (vers l’axe deznégatif !). L’onde est de polarisation linéaire : le champ électrique, d’amplitude E_i0, reste toujours parallèle àeˆ_x. La réflexion de cette onde incidente sur le conducteur parfait àz= 0 crée une onde réfléchie dans z >0.

a. Donner la représentation complexe des ondes électromagnétiques incidente (~

˜ E_i,

~˜

B_i) et réfléchie (~

˜ E_r, ~

˜ B_r).

~˜

E_i=E_i0e^{j (ωt+kz)}ˆe_x

~˜

B_i= _ω¹~k∧ ~

˜

E =−¹_cE_i0e^{j (ωt+kz)}ˆe_y

~˜

E_r = ˜E_r0e^{j (ωt}⁻^kz)eˆ_x

~˜

B_r = _ω¹~k∧ ~

˜

E= +¹_cE˜_r0e^{j (ωt}⁻^kz)eˆ_y

b. Appliquer la condition de continuité des composantes tangentielles du champ élec- trique sur une interface et donner l’expression de l’amplitude de l’onde réfléchie.

Le champ électrique est nul dans le PEC (z<0) donc :

~˜

E_itan(z= 0) + ~

˜

E_rtan(z= 0) = 0 E_r0 =−E_i0

c. Calculer le coefficient de réflexion en amplitude r=Er0/Ei0. Réponse (1 points):

r=−1

d. Donner l’expression du champ électrique total (représentation complexe et réelle).

~˜ E=

(0 , z <0

2 jE_i0sin(kz)e^j^ωteˆ_x , z >0 E~=

(0 , z <0

−2E_i0sin(kz) sin(ωt)eˆ_x , z >0

e. On ajoute à la géométrie du problème un deuxième conducteur parfait qui remplit le demi-espace z > L. Montrer que la condition de continuité des composantes tangentielles du champ électrique total (question précédente) sur l’interface àz=L implique que seules les ondes dontλ=λn= 2L/n (nentier) peuvent exister entre les deux conducteurs.

~˜

E_tan(z=L) = 0 doncE_i0sin(kL) = 0 :

(4)

f. Quelle condition est alors imposée sur la fréquence f des ondes ? Réponse (2 points):

λ = 2L/n → f = n_2L^c : les fréquences permises prennent des valeurs discrètes, multiples d’une fondamentale.

g. A.N. : E_i0 = 2.5 V m⁻¹,L= 20 cm.

Utiliser la Figure 1 pour tracer le vecteur E~ du champ électrique total àt =T /4 pourλ=λ1 etλ=λ2. Calculer les fréquences permises entre les deux conducteurs.

λ=λ₁ : une demie période sinusoïdale, négative.

λ=λ₂ : une période sinusoïdale, négative-positive.

L’amplitude max est à 5 V m⁻¹.

Fréquences permises :fn=n₂³_·₂₀^×¹⁰_×⁸₁₀^{m s}₋2⁻¹

m =n0.75×10⁹Hz =n750 MHz.

Électromagnétisme ⁴

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olytechniquedel’UNS’Nice-Sophia CycleinitialPolytechniq

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 agnétisme5 5

(6)

Formulaire

A Analyse vectorielle

A.1 Gradient

A.1.1 Coordonnées cylindriques

−−→

gradV = ∂V

∂ρˆe_ρ+1 ρ

∂V

∂φeˆ_φ+∂V

∂z ˆe_z (1)

A.1.2 Coordonnées sphériques

−−→

gradV = ∂V

∂reˆ_r+1 r

∂V

∂θ ˆe_θ+ 1 rsinθ

∂V

∂φeˆ_φ (2)

A.2 Divergence

divA~ = 1 ρ

∂(ρA_ρ)

∂ρ +1 ρ

∂A_φ

∂φ +∂A_z

∂z (3)

divA~ = 1 r²

∂(r²Ar)

∂r + 1

rsinθ

∂(sinθAθ)

∂θ + 1

rsinθ

∂A_φ

∂φ (4)

A.3 Rotationnel

−→ rotA~ = 1

ρ ˆ

e_ρ ρˆe_φ eˆ_z

∂

∂ρ

∂

∂φ

∂

∂z

A_ρ ρA_φ A_z

(5)

−→

rotA~ = 1 r²sinθ

eˆ_r rˆe_θ rsinθeˆ_φ

∂

∂r

∂

∂θ

∂

∂φ

Ar rAθ rsinθAφ

(6)

Électromagnétisme ⁶

(7)

Page blanche

(8)

Page blanche

Électromagnétisme ⁸

(9)

Brouillon

(10)

Brouillon

Électromagnétisme ¹⁰