Correction des exercices relatifs aux nombres complexes
Exercice 95 p 306 1.
a. Calculons les affixes des points A’ et B’ images des points A et B par f.
= = ² − 4. = −4 + 2 = = ² − 4. = −4 + 2
b. Soit et deux points ayant la même image par f cad tels que ′ = ′ .
′ = ′ ² − 4. = ² − 4.
² − 4. − ² + 4. = 0
− + − 4 = 0
= ! "= 8
Ainsi et sont confondus ou ont pour milieu le point A(8) cad qu’ils sont image l’un de l’autre par la symétrie centrale de centre A.
2. Soit I le point d’affixe -3.
a. Démontrons que OMIM’ est un parallélogramme ssi ² − 3 + 3 = 0. OMIM’ est un parallélogramme %&&&&&&' = ′(&&&&&&'.
Deux vecteurs sont égaux ssi ils ont la même affixe
OMIM’ est un parallélogramme ssi = −3 − ² + 4 ² − 3 + 3 = 0. b. Je résous dans ℂ l’équation donnée.
Je calcule Δ. Δ = −3 < 0
Donc l’équation a deux solutions complexes conjuguées : = ,-.√, 0 = 1 3.
a. Exprimons + 4 en fonction de − 2. + 4 = − 2²
Question très classique et très importante : On a : + 4 = − 2²
Donc |+ 4| = | − 2²| |+ 4| = | − 2|² d’après la propriété du module Et arg + 4 = 2. arg − 2 [27] d’après la propriété de l’argument
b. Soit M(z) et M’(z’) son image.
9 : ; = 2 | − 2| = 2
| − 2|² = 4 <= | − 2| > 0 |+ 4| = 4
?@– −4? = 4 B= 4
Donc si les points M décrivent le cercle C, alors les points images M’ décrivent le cercle de centre K et de rayon 4.
c. Donnons la forme trigonométrique de C+ 4. C+ 4 = −3 = 3 D E−FG + E−FGH .
On cherche les points M(z) qui ont pour image le point E.
= I C = ² − 4
C + 4 = − 2²
Or, deux nombres complexes sont égaux ssi ils ont même module et même argument (à 2k7 près).
= I J |C + 4| = | − 2|
arg + 4 = 2. arg − 2 [27]K
L 3 = | − 2|
−M = 2. arg − 2 [27]K L √3 = | − 2|
−MN = arg − 2 [7]K L √3 = | − 2|
−MN = arg − 2 [27] K O √3 =| − 2|
,M
N = arg − 2 [27] K Ainsi, deux points M et N ont pour images E avec : @ = √3 D E−FNG + E−FNGH ou @ = √P − √P . Q= √3 D E,FNG + E,FNGH ou Q = −√P + √P .
Exercice 107 p 307
1. Déterminons les nombres complexes z tels que M, P et Q soient distincts deux à deux.
M, P et Q soient distincts deux à deux O ≠ ≠ ,
≠ , K .
O = = ,
= ,K S1 − = 0 1 − = 0
1 − = 0K O = 0 = −1 = 1
K
Ainsi M, P et Q soient distincts deux à deux ≠ −1 0 ≠ 0 0 ≠ 1. 2. Sous cette condition, UV&&&&&&'; X&&&&&&'Y = <=Z E[]--\\G [27] = <=Z + 1 [27] .
3. Sous les mêmes conditions, le triangle MPQ est rectangle en M <=Z + 1 = F[7] soit
<=Z − −1 =F[7] à savoir U&'; &&&&&&'Y =F[7] ù −1.
Ainsi, l’ensemble des points M tels que le triangle MPQ soit rectangle en M est la droite d’équation _ = −1 `=aé 0 .
Exercice 116 p 309
1. Déterminons l’affixe du centre.
Ω est le milieu de [AB] donc Ω =d! e Ω= − . 2. Ecrivons f forme algébrique.
f =,!g.N!.= ,!g.N-.N!.N-.=,h!,h.h =,+, Calculons Ωi.
Ωi = |f− Ω|= j et on sait que le rayon du cercle est Ω = | − Ω|=j donc i 9 :.
3.
a. On peut ici utiliser l’équation paramétrique d’un cercle (et oui Caroline…) Par construction du point E, on peut dire :
C = −+j 0.kl soit C+= j 0.kl .
Par suite, mC+m =j et <=Z EC+G =FN [27].
(sinon on traduit le fait qu’il soit sur le cercle et on interprète l’angle avec la relation de Chasles pour les angles, lien avec l’argument).
4.
a. Je reconnais l’écriture complexe de la rotation de centre Ω et d’angle FN. b. Soit K’= =B.
On a alors n= 0.klEn+G − à savoir n= C donc l’image de K par r est le point E.
La construction du point E permet de voir directement que =I = B car …(définition de l’image d’un point par une rotation).
