Nombres complexes+Correction

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Classe de terminale S

1 Exercice 6 : nombres complexes

Soit un plan P rapporté à un repère orthonormal direct ( , , )O u v

. On note A le point d'affixe i et B celui d'affixe -2i. M le point d'affixe z et M' le point d'affixe z'.

Soit f l'application du plan complexe définie par:

f z z z i

( )= =' iz − + 2

1 1. Soit z un complexe différent de i.

a. On désigne par r et θ le module et un argument de z - i. Interpréter géométriquement r et θ b. Montrer que (z' + 2i)(z - i)=1.

c. On désigne par r' et θ' le module et un argument de z' + 2i. Interpréter géométriquement r' et θ^{' .} 2. Soit (C) le cercle de centre A et de rayon 1. Montrer que si M appartient à (C), son image M' par f appartient à un cercle (C') de centre B dont on donnera le rayon.

3. Soit T le point d'affixe 2

2 1 2

+ + 2

 

i

a. Calculer l'affixe de AT^→ ; en déduire que T appartient au cercle (C) . b. Déterminer une mesure en radians de l'angle

u AT, ^→



 

. Tracer le cercle (unité 2cm) et placer T.

c. En utilisant les questions précédentes, construire l'image T' de T par f.

Correction :

Dans le plan rapporté au repère orthonormal ( , , ), on donne tels que: ; 2 et à tout point ( ), on associe le point '( ') son image par l'application complexe définie par:

( ) ' 2

A B

O u v A et B z i z i

M z M z f

f z z z

= = −

= =

( )

1

1) Soit , on note et le module et un argument de :

a) étant l'affixe du vecteur , on a . est la distance . arg( ) arg (2 ). d'où par définition de l'a

A A

A

i iz

z i r z i

z z AM r z i z z AM r AM

z i z z

θ π

− +

≠ −

− = − = − =

− = −

( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

rgument:

arg( ) ; (2 ). Géométriquement, on a : ; (2 )

2 2 2 ( 1) 2 2 2

b) ' 2 2

1 1 1

soit, ' 2 1 1. donc

1 1 1

z i u AM u AM

z i z i i iz z i z i

z i z i i z i z i z i

iz iz iz

i z i

i iz

z i z i z i

iz iz iz

π θ π

− = =

− − + + − − +

 

+ − = +  − = − = −

+ + +

 

− +

+ − = − = = =

+ + +

( )( )

( ) ( ) ( )

on a bien ' 2 1

c) Comme ' 2 est l'affixe du vecteur ', on a:

' est le module de ' 2 , donc : ' ' 2 ' '. ' est la distance '.

' arg ' 2 (2 ). arg ' 2 ; ' (2 ). donc o

B

z i z i

z i BM

r z i r z i z z BM r BM

z i z i u BM

θ π π

+ − =

+

+ = + = − =

= + + =

^{n a :}^θ^'⁼

(

^{u BM}^;^{' (2 ) .}

)

^π

(2)

2

( )( )

( )( ) ( ) ( )

2) Le point est sur le cercle ( ) de centre est de rayon 1 se traduit par la relation: 1 d'après 1b) on a ' 2 1, si on prend le module de cette égalité, on a

' 2 1 ' 2 1 le modul

M C A AM

z i z i

z i z i z i z i

=

+ − =

+ − = ⇔ + − = e d'un produit est le produit des modules.

soit ' 1 car ' 2 ' et .

Finalement si 1 on en déduit que ' 1. ' est donc sur le cercle ( ') de centre et de rayon 1.

BM AM z i BM z i AM

AM BM M C B

× = + = − =

= =

( ) ( )

2 2

3) Soit le point d'affixe 1

2 2

2 2 2 2 2

a) L'affixe du vecteur est : 1 1

2 2 2 2 2

2 2 2

1 1 2 1.

2 2 2

1, donc le point est sur l

T

T A T A T A

T A

T z i

AT z z i i z z i z z i

AT AT z z i i

AT T

 

= + + 

 

 

− = + +  − ⇔ − = + ⇔ − = +

 

= = − = + = + = × =

=

( ) ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ^{( )} ( )

e cercle ( ).

b) ; arg (2 ), arg arg 1 (2 ) soit: ; (2 ) .

T A T A 4

C

u AT = z −z π z −z = +i π u AT =π π

( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

c) D'après les questions précédentes, on a: ' 2 1 ' ' 2 1 puisque

arg ' 2 arg 1 (2 ) arg ' 2 arg (2 ). d'après les propriétés des arguments.

donc ; ' ; (2 ).

z i z i d où z i z i

z i

z i z i z i

z i

u BM u AM

π π

π

+ − = + = ≠

−

 

+ =   ⇔ + = − −

−

 

= −

( )

soit ; ' (2 ) .

4

En prenant , son image ' par est donc sur le cercle ( ') tel que ; ' (2 ).

4 u BM

M T T f C u BT

π π

= −

= = −

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