SMP5
MECANIQUE ANALYTIQUE CHAPITRE V
INTEGRALES PREMIERES DU MOUVEMENT.
mouvement du
première intégrale
cste q
) R ( T
0 q
) R ( T dt
d
: écrit s' ante correspond
Lagrange de
équation l
0 Q
et q 0
) R ( U q
) R ( T a on R
% ) ( système un
d' q paramètre un
pour Si
1,2,3 i
cste
: mouvement du
premières intégrales
3 e cst (G/R)
0 (G/R)
O fixe point un
en nulle est appliquées
forces des
moments des
somme la
, R dans lequel,
pour (S)
1,2,3 i
cste V
: mouvement du
premières intégrales
3 e cst (G/R)
V 0 (G/R)
R
% isolé - pseudo G
centre de
solide (S)
: /Exemples
*
initiales.
conditions des
aide l' à déterminée étant
constante la
de valeur la
t
; cste ) t , ....q q , q , ,...q q
, q ( f
: du temps cours
au constant reste
qui t de et q des , q des
fontion groupement
tout R à rapport par
) ( système un
d' mouvement du
première intégrale
appelle On
: n /Définitio
*
. .
q P
i 0i
0 0
i i
. n .
2 .
1 n 2
1 .
i i
I-Intégrale première de l’énergie:
*/ Conditions d’existence:
Si pour un système (∑) par rapport à R:
-toutes les liaisons sont parfaites, principales et indépendantes de t
-tous les efforts qui travaillent, autres que ceux de liaison, sont conservatifs Alors:
*/ démonstration:
n i
n i n
n i
n i n
i
1 1
i .
i P i
.
1
i i
. i .
i
i P i
. i
fs conservati non efforts i
i
1 i
P P
n 2
1 P P
i .
1 i
..
i
1 .
i .
n .
2 .
1 n 2
1
q q
) R ( U
q q
) R ( T
q
) R ( T dt
q d
: vient il sommant, en
et ant correspond
le par équation
chaque t multiplian en
. ,...n.
1 i
q
) R ( U
q ) R ( T q
) R ( T dt
d
: écrivent s'
Lagrange de
équations Les
,...n.
1 i 0 Q
: donc pas, nt travaille ne
fs conservati non
efforts les
et s principale prises
et parfaites sont
liaisons les
Toutes
q q
) R ( U
dt
) R ( U d ) q ,...., q , q ( U ) R ( U
q q ) R ( q T
q
) R ( T
dt ) R ( dT ) q ..., , q , q , q ,...., q , q ( T ) R ( T
t
R ) U ( R ) cste (
T P
t
n i n i n
i
n i
n i n n
i
cste )
R ( U ) R ( T et
0 dt
) R ( U ) R ( T d
: finalement
donc
) R ( T 2 q
) R ( q T
: ) Euler d' théorème
( obtient on
1;
pour
) R ( T 2 )
q (
) R ( q T
: obtient on
, à rapport par
égalité cette
dérivant en
) q ..., , q , q , q ,...., q , q ( T )
q ..., , q , q , q ,...., q , q ( T IR
0 T
T , q aux rapport
par e quadratiqu
est T ) R ( T
du temps tes
indépendan et
s principale sont
liaisons les
Toutes
dt
) R ( U d
dt
) R ( T d q
) R ( q T
dt d
: soit
q q
) R ( U
q q
) R ( T
q
) R ( q T
- q
) R ( q T
dt d
P P
1 .
i .
i
1 .
i .
i
. n .
2 .
1 n 2
1 . 2
n .
2 .
1 n
2 1
0 1
i . 2
P
1 .
i .
i
1 1
i .
i P i
.
1
i i
. i ..
i
1 .
i .
i
*/ Remarque:
Pour un système conservatif à un degré de liberté, l’intégrale première de l’énergie permet
d’obtenir simplement l’équation du mouvement.
II- Intégrale première de Painlevé:
n i
n i n
n i n
i n
i
1 1 i
.
i P i
.
1
i i
. i .
i
i P i
. i
fs conservati non efforts i
P i
1 i
P P
n 2
1 P P
i .
1 i
..
i
1 .
i
. n .
2 .
1 n 2
1
P 0 2 i
q q
) R ( U
q q
) R ( T
q
) R ( T dt q d
: vient il sommant, en
et ant correspond le
par équation chaque
t multiplian en
. ,...n.
1 i
q ) R ( U
q ) R ( T q
) R ( T dt
d
: écrivent s'
Lagrange de
équations Les
,...n.
1 i 0 Q
: donc pas, nt travaille ne
fs conservati non
efforts les
et s principale prises
et parfaites sont
liaisons les
Toutes
t ) R ( q U
q ) R ( U dt
) R ( U d ) t , q ,...., q , q ( U ) R ( U
t ) R ( q T
q ) R ( q T
q
) R ( T
dt ) R ( dT
) t , q ..., , q , q , q ,...., q , q ( T ) R ( T
: tion /Démonstra
*
Painlevé de
première intégrale
l' est t cste A
) R ( U T T alors t
) R ( L dt
que dA telle t) , A(q si et
fs conservati sont
liaison, de
ceux que autres nt, travaille qui
efforts les
tous -
t de dépendre peuvent
et s principale parfaites,
sont liaisons les
toutes -
: R à rapport par
) ( système un
pour Si
: existence d’
Conditions /
*
) R ( L : /Remarque
*
Painlevé de
première intégrale
l' est c' t
cste A
) R ( U T
T écrire peut
on alors
t ) R ( L dt
dA que
telle t)
, A(q si
t
) R ( L
) R ( U T
dt T d
: finalement et
T T
2 q
) R ( q T
0 q q T et
T q
q T
; T 2 q
q T
: Euler d'
théorème le
après d' et T T T
) R ( T : comme
t ) R ( L t
) R ( U ) R ( T
) R ( U ) R ( T q
) R ( q T
dt d
t
) R ( U dt
) R ( U d
t ) R ( - T
dt
) R ( T d q
) R ( q T
dt d
: soit
q q
) R ( U
q q
) R ( T
q
) R ( q T
- q
) R ( q T
dt d
P 0
2
i P
0 2
1 2
1 .
i .
i
1 .
i . 0
i 1
1 .
i . 1
i 2
1 .
i . 2
i
0 1
2
P 1
. P i .
i
P P
1 .
i .
i
1 1
i .
i P i
.
1
i i
. i ..
i
1 .
i .
i
n i n
i n
i n
i n i
n i
n i
n i n n
i
Painlevé.
de première intégrale
l' de r particulie cas
un donc est qui énergie l'
de première intégrale
l' retrouve on
t 0 ) R ( et L T ) R ( T , 0 T alors t de tes indépendan sont
liaisons les
toutes Si
: 2 /Remarque
*
Lagrange.
de équations des
linéaire n
combinaiso une
est Painlevé de
première intégrale
L'
: /Remarque1
*
2
0
propre rotation
de pas donc rectiligne
(OA)
. 0 ) (O/R V
puisque
0 (O) V
car 0 (O) V
. R P
car
parfaite et
du temps te
indépendan holonome,
est Elle 0.
z y x : fixe"
point O
"
liaison La
: sont liaisons Les
(OA).
tige la à t précession
une instant, tout
à impose, C
C moteur couple
Un
. G inertie d'
centre de
et 2L longueur de
m, masse de
est (OA)
O.
fixe point son
de autour z
O axe d'
homogène (OA)
rectiligne tige
une d' mouvement le
, g pesanteur de
champ le
dans considère, on
, ascendante verticale
la est z
O où ) , y , x O;
( R galiléen et
fixe direct, ,
orthonormé repère
au rapport Par
: Exemple /
*
0
*
* R O
*
0
0 0
0 0 0
O
z
z
cste A
) 0
(OA/R U
) T(OA/R )
L(OA/R
plus de
cste cos θ
a g m cste
z . G O g m )
(OA/R U
3 sin L m 4 2 T 1 et
0 T , 3
L m 4 2 T 1
donc
3 sin L m 4 2 1 ) S ( )..
( II ) S 2 ( ) 1 T(OA/R
: sont R
à rapport par
) ( de s compatible e
potentiell et
cinétique énergies
Les
cos w
sin u
u z
) OA
(
0 0
0
0 3
0 4
0 3 0
4 ) ( II
est (OA) de O en inertie d'
principale matrice
la (OA);
de inertie d' principal repère
un est ) , w , u O;
( R
(OA) à lié ) , w , u O;
( R
) , v , u O;
( R
fixe ) , y , x O;
( R
. principal
paramètres seul
un donc, a On
f conservati est
il poids le est liaison, de
autre , effort seul
Le s.
principale et
parfaites sont
liaisons les
Toutes
0 P donc 0 ) (
et z
) (
puisque parfaite
est elle t;
de dépendant liaison
t liaison
La
0 0
0
0 0
2 2 2
0 1
. 2 2 2
2 2 . 2
2 0
o 0 0
0 .
. 0 0
2 2
o 2
2 u
O , 0 1
O , 0
0 0 0
* C
* 0
0
t t
R S
R
OA z R
ml ml
OA z
z z
z
prec prec
P P
z t
. L Lagrange de
équation l'
t directemen écrivant
en retrouvée être
peut mouvement du
équation Cette
0 sin
L g m cos
3 sin L m 4 3
L m 4
: alors
0
comme
0 sin
L g m cos
3 sin L m 4 3
L m 4
: soit au temps;
rapport par
dérivation par
obtenue est
ante correspond mouvement
du équation L'
cos L g m 3 sin
L m 4 2 1 3
L m 4 2 1 cste
: ,
et : initiales conditions
des aide l' à obtenue est
constante la
de valeur la
cste cos
L g m 3 sin
L m 4 2 1 3
L m 4 2 1
) / ( T
: Painlevé de
première intégrale
l' écrire peut
on donc
2 .. 2
2
. .
2 . .. 2
2 .
0 0
2 2 2 2
0 2 .
. 0 0
2 2 2 2
2 .
0 0
2
