SMP5
MECANIQUE ANALYTIQUE CHAPITRE IV
EQUATIONS DE LAGRANGE
*/ Principe des puissances virtuelles:
Quelque soit le repère R, quelque soit le système (∑) , à tout instant t et pour tout champ de vitesses virtuelles compatible avec les liaisons principales , la puissance virtuelle des quantités d’accélération de (∑) par rapport à R est égale à la puissance virtuelle de tous les efforts appliqués à (∑) dans R.
I- Puissance virtuelle des quantités d’accélération:
R à rapport par
) ( de on accélérati d'
quantités de
es généralisé s
composante
1,....n i
dm q
P . O ) P
( où
q dm q
P . O ) P
( q
) ( P donc
dm q q
P . O
) P
(
) ( P : vient il q q
P O
(P) V : de compte en tenant
dm P) ( V . ) P
(
) ( P
: par donnée est
) ( de on accélérati d'
quantités des
) ( P virtuelle puissance
La
P i
n
1 i
*
P i
n
1 i
*
* acc
P 1
* i
* acc 1
* i
*
P
*
* acc
* acc
R
R
R R
i
i i i
n
i
i n
i
i
*/ Calcul des i :
,...n.
1 i q
) R ( T q
) R ( T dt
Γ d
: on trouve
dm ) R P
( 2 V
/R) 1 T(
: comme
dm q
) R P
( . V ) R P
( V
dm q
) R P
( . V ) R P
( dt V
d Γ
1,...n
i
q
) R P
( V q
P O dt
d et
q
) R P
( V q
P O
: suivantes p rop riétés
des comp te en tenant
dm q
P O dt
. d ) R P
( V
- dm q
P . O ) R P
( dt V
d
dm q
P . O dt
) R P
( V d
Γ
dm
q P . O ) R P
γ ( Γ
...n 1,
i Pour
i .
i i
P 2
P i
P
. i i
i i
. i i
P i
P i
P i
i
P i
i
II- Equations de Lagrange:
Le principe des puissances virtuelles : (R), (∑), CCV compatible, à t fixé
,...n.
1 i Q
q
) R ( U
q ) R ( T q
) R ( T dt d ) Lq
liaison) de
et donnés (
fs conservati non
efforts les
tous de e généralisé comp osante
la rep résente Q
Q q
) R ( U
Q Q
Q et
,...n.
1 i q
) R ( T q
) R ( T dt Γ d
: p uisque encore,
ou
,...n.
1 i Γ Q
: donc
s arbitraire scalaires
q q
Q Γ q
) ( P
) ( P
fs co n serv ati n o n
effo rts i i
P i
. i i
fs co n serv ati n o n
effo rts i
fs co n serv ati n o n
effo rts i i
P fs
co n serv ati n o n
effo rts i fs co n serv ati ieffo rts
ito tal
i .
i i
ito tal i
* i n
1 i
* i ito tal n
1 i
* i i
*
effo rts les to u s
* acc
Ce sont les n équations de Lagrange du mouvement de (∑) par rapport à R.
*/Démarche d’application:
1- Choix des liaisons principales, sachant que:
la prise d’une liaison holonome principale permet de réduire le nombre des paramètres principaux et donc le nombre des équations de Lagrange et que la prise d’une liaison parfaite principale réduit le nombre de efforts de liaison inconnus dans ces équations.
2- Définir les n paramètres principaux.
3- Construire le champ de vitesses virtuelles compatible avec les liaisons principales.
4-Calculer les énergies cinétique et potentielle compatibles du système étudié
5- Calculer les n composantes de force généralisées des tous les efforts appliqués au système
6- Etablir le système des n équations de Lagrange
7-Le compléter, éventuellement, par les équations de liaison
complémentaires.
*/ Remarque1:
Il y a autant d’équations de Lagrange que de paramètres principaux.
*/Remarque 2:
Si le système (∑) étudié est conservatif par rapport à R, alors:
R.
à rap p ort p ar
) ( de Lagrangien le
est /R) ( U - /R) T(
) ,...q q
, q L(
) R ( L où
,...n 1
i 0
q
) R ( L q
) R ( L dt d ) Lq
: oit S
,...n 1
i 0
q
) R ( U ) R ( T q
) R ( U ) R ( T dt d ) Lq
définition p ar
q des te indép endan )
,...q q
, q ( U ) R ( U : comme
,...n 1
i q
) R ( U
q ) R ( T q
) R ( T dt d ) Lq
: écrivent s'
Lagrange de
équations Les
s p rincip ale et
p arfaites sont
liaisons les
et toutes fs
conservati sont
donnés efforts
les tous p uisque
0 Q
P n
2 1
i .
i i
i P .
i P i
. n
2 1 P P
i P i
. i i
fs co n serv ati n o n effo rts i
i
Donc le mouvement d’un système conservatif est complètement décrit par la
donnée de son Lagrangien.
*/Remarque 3:
e.
p otentiell énergie
une d' dériver cas
certains dans
p euvent nt
entraineme d'
inertie d'
efforts Les
-
) ( à colinéaire toujours
p as est ' n ) / ( p uisque général
en p as est l' ne virtuelle
p uissance leur
mais nulle rs est toujou Coriolis
de efforts des
réelle p uissance la
-
: que Notons
P O' ) / Ω( ) / Ω( P O' dt /R
) Ω(R/R d
) /R γ(O' /R)
S (P f
: nt entraineme d'
inertie d'
force de densité une
et -
) / ( ) / ( 2 ) / (
f
: Coriolis de
inertie d'
force de densité une
-
: p ar es rep résenté inertie
d' forces des
s, extérieure forces
des p lus en nt ap p araisse ),
( ) (S solide chaque
p our et R Dans
galiléen non
rep ère )
R(O' et galiléen rep ère
(O) R Soient
* 0
0 0
0 0
j e
0 C
j 0
P V R
P V
R R R
R R
P V R
R R
S P j
*/Remarque 4:
Les équations de Lagrange relatives à x , y ou z ( resp. ψ,ϴ et ϕ) sont des
combinaisons linéaires des théorèmes de la résultante ( resp. théorèmes des
moments) appliqués aux différents constituants solides de (∑) et projetés sur
les axes correspondants.
cste cosθ
a g m cste z
. G O g m )
(S/R U
) cos (
2 sin 1
2A 1 ) S ( )..
( II ) S 2 ( ) 1 T(S/R
: sont R
à rap p ort p ar
) ( de s comp atible e
p otentiell et
cinétique énergies
Les
) cos (
w sin u
, u z
) S (
0 0
0 0
0 0 )
( II
est (S) de O en inertie d'
p rincip ale matrice
la (S);
de inertie d'
p rincip al rep ère
un est ) , w , u O;
( R
(S) à lié ) , y , x O;
( R
) , w , u O;
( R
) , v , u O;
( R
fixe ) , y , x O;
( R
(S).
de et , Euler d'
angles les
sont qui
p rincip aux p aramètres
donc,3 a
On
. 0 ) (O/R V
p uisque
0 (O) V car 0 (O) V . R P
z R y R x
R R
: effet en nulle;
est O en R réaction la
de virtuelle p uissance
la car p arfaite est
Elle
. p rincip ale t
du temp s.e te
indép endan holonome,
est Elle 0.
z y x : fixe"
p oint O
"
liaison la
est liaison seule
La
O.
en ) S ( de inertie d'
p rincip aux moments
les C et A A, note On
. z a G O que G tel inertie
d' centre de
m, masse de
est (S) O.
fixe p oint son
de autour z
O axe d'
homogène (S)
révolution de
solide un
d' mouvement le
, g p esanteur de
champ le
dans considère, On
. ascendante verticale
la est z O où fixe direct, ,
orthonormé rep ère
un ) , y , x O;
( R Soit
Lagrange.
de M ouvement :
Exemp le /
*
0 0
. 2 2 .
. 2 . 2
0 o
0 0
0 .
. .
. .
. 0 . 0
o 2
O , 2
u O , 0 1
O , 0
0 0 0
0
*
* R O
* 0
n3 n2 0
0 n1 O
O
0 0
0 0 0
0
O
P
z z
C R
S R
z z
R
C A A S
z
z z
z z
z
I
sin a g m sin H cos sin A
A
: ) L de compte en tenant
encore, ou
sin a g m ) cos (
sin C
cos sin A
A
0 Q et
sin a g m ) R ( U
; ) cos (
sin C cos
sin A
) R ( T
; A ) R ( T ) L
) cos (
C H laquelle dans
mouvement, du
première intégrale
constante
H ) cos (
C
0 ) cos (
d C
0 Q et 0 ) R ( U
; 0 ) R ( T
; ) cos (
C ) R ( T ) L
) cos (
cos C sin
A K laquelle dans
mouvement, du
première intégrale
constante K
) cos (
cos C sin
A
0 )
cos (
cos C sin
d A
0 Q et 0 ) R ( U
; 0 ) R ( T
; ) cos (
cos C sin
A ) R ( T ) L
: sont Lagrange de
équations 3
Les
. . .. 2
. . . .
.. 2 P
. . . .
. 2 .
0 t à .
. .
. .
.
P .
. .
0 t à .
2 . .
. 2 .
. .
2 . .
P .
2 . . .
dt
dt
*/Remarques :
- Le système (∑) est conservatif par rapport à R, l’équation de Lagrange relative à ϴ peut être remplacée par l’intégrale première de l’énergie:
cste
cosθ a
g m )
cos (
2 sin 1
2 A
1
. . 22 .
2 . 2
C
- Ces équations de Lagrange peuvent retrouvées en appliquant le théorème du moment dynamique en O à (S) par rapport à R
z : de rotation de axe l sur projetée P GO ) / S/R ( d )
u : de rotation de axel' sur projetée P GO ) / S/R ( d )
z : de rotation de axel' sur projetée P GO ) / S/R ( d )
)/
( . ) (II ) S/R ( où P GO ) / S/R ( d
:soit
R OO P GO )R ( M 0)P ( M ) S/R (
: écrit s' O en dynamique moment du théorème le galiléen,
0 0 0
0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0 0
0 0
0 0
0 0 0 0 0
dt R L
dt R L
dt R L
RS S dt R
R
z rotation la
de axe ' l de direction la
sur équation cette
de p rojection )p ar
u rotation la
de axe ' l de direction la
sur équation cette
de p rojection p ar
)
z rotation de
axe ' l de direction la
sur équation cette
de p rojection p ar
)
: retouve on
G O /
) S
( soit
) S
( . ) ( II ) S
(
R O
O G
O ) ( )
( /
) S
( )
S (
: écrit s'
R à rap p ort p ar
(S) de O en dy namique moment
du théorème le
galiléen, étant
R
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0 0
