SMP5
MECANIQUE ANALYTIQUE CHAPITRE I
RAPPELS
PARAMETRAGE ET LIAISONS.
*/ Les théorèmes généraux:
- s’appliquent à chaque solide constituant le système étudié
- fournissent les équations permettant de calculer toutes les inconnues du problème ( forces et paramètres)
*/ La méthode des équations de Lagrange:
- s’applique une seule fois au système étudié
- - permet, dans certaines conditions, de ne pas calculer certaines forces inconnues
On appelle système un ensemble de solides . Le système peut être déformable
).
( de primitifs paramètres
appelés sont
paramètres N
Ces
,..., soient
; paramètres N
3m 6n a particules m
et solides n de constitué )
( système Un
échéant.
cas le , inertieG d'
centre le avec lera on travail existe;
il s' (S) de O fixe point un suite, la par choisira On
-
: /Remarque
*
(S).
solide le pour paramètres 6
de besoin donc
a On
et , angles d' et P par passant axes
d' autour es
élémentair rotations
3 en décompose se
P de autour centrale
rotation La
choisi P point du ) sphériques ou
es cylindriqu es,
cartésienn (
s coordonnée les
donne se on on translati la
er caractéris Pour
choisi.
point ce de autour
rotation une
d' et points ses de un l' de on translati une
en décomposé être
peut solide de mouvement tout
Donc
P de autour centrale
rotation une
représente 0
, (S/R) glisseur
Le
S/R) (P
V vecteur de
n tanslatio une
représente
S/R) (P
V , 0 couple Le
0 , (S/R) S/R)
(P V , 0 S/R) (P
V (S/R),
glisseur un
et couple un en unique manière
de décompose se
torseur ce
(S), P point En tout
P Q (S/R) (Q/R)
V (P/R) V : (S) Q et (S) P : que tel
S/R) (P
V (S/R), e
cinématiqu r
son torseu par
décrit est R à rapport par
(S) solide un d' mouvement Le
GE .PARAMETRA -
I
1
N
:
angle l' par donnée est
plan ce dans P axe l' de position La
angle l' par repéré est et P axe l' instant chaque
à contient )
, ; ( plan Le
: effet en espace;
l' dans P axe l' de position la
instant, chaque
à repère, et
angles Les
u et
u
; ) , x ; ( horizontal plan
le sur P axe l' de projection la
est P - où
(S) à lié ) , , x ; ( R ) , , u ; ( R ) , , u ; ( R ) , , x ; (
* R fixe
) , , x ; ( R
: suivante ion
décomposit la
considère on
(S), de propre rotation la
effectue s'
duquel autour axe
l' P Soit
: mouvement du
ion décomposit de
Exemple /
*
0
0 0
0
z P , 2
u P , 0 1
P , 0 0 0 0
0 0 0
0
z
z z
v P
z
z w z
v y
P z
v
z y P z
w P z
v P z
y P z
y O
z
n z translatio
ψ ψ
u
x0 y0
v
P z0 .
Ψ repère à chaque instant la position du plan (P; v , z0) contenant l’axe P z
autour duquel se fait la rotation propre.
ϴ ϴ
w
v z0
z
P
u .
NUTATION
ϴ repère à chaque instant la position de l’axe P z dans le plan (P; v , z0)
ϕ ϕ
x
v w
y
P
z .
ROTATION PROPRE
s.
bilatérale liaisons
seules aux
, suite la par , limitera se
On n.
traductio sa
dans s inéquation des
ent intervienn lorsqu'
e unilatéral
dite est Elle . uniquement équations
des par te est tradui elle
lorsqu' bilatérale
dite est liaison Une
cause).
( réalisent la
qui
inconnus liaison
de efforts des
ion déterminat la
aussi mais
) effet ( t traduisen la
qui s inéquation ou
équations des
ent établissem l'
seulement non
nécessite liaison
une d' complète n
descriptio La
exemple par
frottement non
le : dynamiques -
...
pivotement non
roulement, non
, glissement non
: vitesses de
champs les
sur s limitation :
es cinématiqu -
...
permanent.
contact ,
rectiligne mouvement
plan, mouvement
fixe, point
: système le
pour permises
espace l'
de zones des
s limitation :
es géométriqu -
: être peuvent liaisons
Les
. système un
d' mouvement au
imposée n
restrictio une
est liaison Une
LIAISONS.
. LES - II
0 R et 0) f ( frottement de
pas a y n' il s'
R f R alors ) (S à rapport par
) (S de glissement
de pas 0 ) /S S (I V si
*
) /S S (I V à contraire sens
de et parallèle R
R f R alors ) (S à rapport par
) (S de glissement
0 ) /S S (I V si
*
0) f ( frottement a
y il s'
: que tel contact, en
surfaces des
nature la
de dépend valeur
la dont , frottement de
t coefficien dit
f, t coefficien un
existe Il
Coulomb de
Lois
. frottement de
force ou e angentiell réaction t
) ( R et normale réaction
) ( R où
R R
R - R
avec
permanent est
contact le
puisque 0
R R
que telles R
et R
sont réactions
les I, En
).
( commun nt
plan tange un
e géométriqu point
ce en admettent solides
2 ces instant, chaque
à qu' et I en ponctuel est
contact ce
, permanent contact
en sont ) (S et ) (S solides 2
lorsque
que suit, qui ce dans supposera, On
contact.
du Cas /
t
n t
2 1
2 1
2 1 t
n t
2 1
2 1
t n
t n 1 2 2
1
1 2 2 1 1
2 2
1
2 1
calculer.
la de permis ayant s principale liaisons
les avec compatible dite
sera grandeur Toute
. principaux paramètres
appelés q
,..., q , q notés ts indépendan paramètres
nouveaux
de définir de
et paramètres des
nombre le
réduire de
permet s
principale holonomes
liaisons des
compte en
prise La
compléter.
le pour ment éventuelle ent
intervienn elles
qu' Lagrange de
équations des
système le
établi avoir aprés qu' est n' ce
; résolution la
te durant tou ignorée
est elle aire;
complément liaison
une est principale non
liaison Une
complet.
dit est e paramètrag le
s, principale
sont liaisons les
toutes Si . résolution la
de début le dés compte en
prise est elle si principale dite
est liaison Une
/
*
0 et t 0 : si du temps te
indépendan dite
est holonome non
liaison Une
t 0
) ,...,
( f : t de ent explicitem pas
dépendent ne
t traduisen la
qui équations les
si du temps te
indépendan dite
est holonome liaison
Une /
*
0 ) t , ,...,
( ) t , ,...,
(
: forme la de sont équations les
dont liaisons aux
limitera se
On
. paramètres des
dérivés les
intervenir font
t traduisen la
qui équations les
si holonome non
dite est liaison La
0 ) t , ,...,
( f : forme la de sont et
paramètres des
dérivés les
intervenir pas
font ne es temps.Ell le
ment éventuelle et
paramètres de
finies
valeurs les
que intervenir font
ne t traduisen la
qui équations les
si holonome dite
est liaison / Une
*
).
( de primitifs paramètres
appelés sont
paramètres N
Ces
,..., soient
; paramètres N
3m 6n a particules m
et solides n de constitué )
( système Un
n 2
1
i 1
1 N .
1
i i 1
1
1
N
N i
N N
N
AG V(A/R)
(S/R).
II ( ).. (S/R)
(S/R)
m (A/R) V . (G/R) V m T(S/R) 2
(S) A
: finalement a
on ; S) ( de A en inertie d' matrice la
est (S) II où
(S/R) )..
( II (A/R) V G A m dm . (P/R) V P A )
/ (
: est R à rapport par
(S) de A en cinétique moment
le que et (G/R) V m dm (P/R) V
comme
dm . (P/R) V P A
. (S/R)
dm (P/R) V
. (A/R) V T(S/R) 2
(P/R) V , P A , (S/R)
(S/R) ,
(P/R) V , P A P A , (S/R) ,
(P/R) V
circulaire n
permutatio par
mixte produit du
invariance et
(S) parcourt P
lorsque constants
restent (S/R)
et (A/R) V
dm P A (S/R) .
(P/R) V
dm (A/R) V . (P/R) V
T(S/R) 2
: donc
P A (S/R) (A/R)
V (P/R) V : (S) A soit
T(S/R).
de Expression /
*
R.
à rapport par
(S) de vive force appelée est
) / ( 2
0 T(S/R) : R ), (
dm ) / 2 (
T(S/R) 1
: par défini T(S/R)
scalaire le
est
R repère au rapport par
G inertie d' centre de et m masse de (S) solide du cinétique énergie
L'
: Définition /
*
cinétique.
Energie -
III
A A
) A A (
) (
) ( )
(
) ( )
(
) (
2
S S
R S
R S T
S
R P V
S P S P
S P S
P
S P S
P
S P
jmax
1 j
j max
1 j
2 2 2
2 2
2
A G A
A G
A 3
ème
G 2
O
) R / S T(
)
R / T(
alors ) ( )
( si
: Additivité /
*
) (
) (
) (
) , ( II : alors G
A et
base une dans exprimée
est ) ( II inertie d' centrale matrice
la si
. concentrée est
m masse la
toute que suppose on
où G particule la
de A en inertie d' matrice la
est ) , ( II
) , ( II ) ( II ) ( II : IR A
: ) Huygens de
e du théorèm tion
généralisa (
Koenig de
Théorème 2
/
*
G de autour rotation
de cinétique énergie
G de on translati de
cinétique énergie
(S/R) )..
( II (S/R).
2 1 (G/R) V
2 m 1 T(S/R)
0 G A : Koenig de
théorème le
obtient on
G A si
O de autour rotation
de cinétique énergie
(S/R) )..
( II (S/R).
2 1 T(S/R)
et 0 (O/R) V : R à rapport par
fixe (S) de O A si
: rs particulie Cas
/
*
j
S j
m m
m
m m
m
m m
m m
G S
m G
m G S
S
S S
.2 .2
2 2 . 0
1,2
0
. . .2
2 .2
0 1
0
0 D
z G , 0 0 0 bary G O 0 0 0 0
0 0
. .
bary 0
0
0 0 0
0 0 0
4 3 2
2 1 2
) 1 R D/
( T
est 2 et 1 liaisons les
avec compatible R
à rapport par
(D) de cinétique énergie
l'
R -x et R
x - cste , ou x : principal paramètre
seul un qu' reste ne il
s principale sont
2 et 1 Si
2 2 1 2
) 1 R D/
( T
est 1 liaison la
avec compatible R
à rapport par
(D) de cinétique énergie
l'
et x principaux paramètres
2 que reste ne il
) aire complément 2
( principale est
1 Si
(D) à lié ) , , x ; ( R ) , , x ; ( R ) , , x (O;
R
t de te indépendan et
holonome ,
bilatérale
R x cste R
x intégrable puique
holonome -
semi 0 R x glissement sans
roulement -
2 -
nutation.
de ni precession de
pas donc R
que barycentri repère
le dans fixe est G est disque du axe ' L
t de te indépendan et
holonome ,
bilatérale
R y et cste ,
cste ;
0 z : contact et
plan mouvement -
1 -
: sont liaisons Les
. et , Euler d' angles 3 et G de z) y, x, ( s coordonnée 3
: primitifs paramètres
6 a On
glisser.
sans roule il lequel sur ) x (O;
horizontal matériel
axe l' avec
I en permanent ponctuel
contact en
, ) , x (O;
fixe cal plan verti le
dans mouvement en
R, rayon de et m masse de
G, centre de homogène, (D)
disque un considère on
, fixe et direct , orthonormé )
, , x (O;
R à rapport Par
: EXEMPLE /
*
x mR m
x m
x mR m
z y G z
y G z
y z
y z
y
trans
