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Sur les conditions de convergence de certaines séries multiples

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Texte intégral

(1)

B ULLETIN DE LA S. M. F.

C AMILLE J ORDAN

Sur les conditions de convergence de certaines séries multiples

Bulletin de la S. M. F., tome 9 (1881), p. 113-115

<http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1881__9__113_0>

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(2)

- 113

Sur les conditions de convergence de certaines séries multiples;

par M. CAMILLE JORDAN.

(Séance du 17 juin 1881.)

Eisenstein a établi {Journal de Crelle, t. 33) que la série

v v v — — — — L^Là Z((^+^+...+^)^

~ ao — oo — eo

où ^, . . ., v,^ sont des fonctions linéaires des variables entières

^n • • • » Xn par rapport auxquelles on fait la sommation/est con- vergente ou divergente suivant qu'on a

2 (A > n ou 2 [s. ^ n

(pourvu que le déterminant des fonctions v ne soit pas nul).

La démonstration de cet illustre auteur peut être simplifiée et généralisée comme il suit :

Considérons d'abord la série

' "2^2^ * ' ' (^fTTTT (^4-...-+-.z'^

7

^!)^

?

où x^ , . . . , Xn prennent tous les systèmes de valeurs possibles, le système 0 , 0 , . . . excepté.

Soit y un entier quelconque. Le nombre des systèmes de valeurs de x\, ..., Xn non supérieures à y en valeur absolue est évidem- ment ( a y + i ) " — ! . Celui des systèmes de valeurs où Fune au moins des variables est égale à y, les autres ne surpassant pas y , sera

( 2 j 4 . l ) ^ _ I _ [ ( 2 ^ « _ l ) n _ ^ ^ , ^ 3 ^ - l ^ - l ^ _ ^

Chacun des termes de la série S correspondants à ces systèmes de valeurs étant évidemment compris entre -ï- et —î— ? leur

y^ ( n y2 )**

somme sera comprise entre

//.^""^y^-^1+... n. a re-1 y"-1 -(-...

yî'f- nvr^

\\. S

(3)

— 114 —

La série S sera donc comprise entre T et — T , T désignant la

/^

somme

V' i.a"-1^-1-}-...

^

y^

Or, pour que T soit convergent, il faut et il suffit, comme on sait, qu'on ait

2p.> n.

Soit maintenant F une fonction homogène et de degré k des va- riables x\,..., Xm laquelle reste finie et positive pour tous les sys- tèmes de valeurs réelles de ces variables ; soit 0 une autre fonction de ces variables, de degré inférieur à a À:. La série

u-vv...—^—

l- —— 7 7 T^.—'—ï"

' ~~LL F^

T - V V '

Z^i F»-^

sera convergente ou divergente (abstraction faite des termes qui deviendraient infinis) suivant qu'on aura

(i) a À' >> n ou ak^n.

Soient, en effet, M et m le maximum et le minimum de F pour tous les systèmes de valeurs réelles des variables qui satisfont à la relation

x\ -\-... + x\ ^= i.

pa

La fonction —————————^.> ne dépendant que des rapports des

(^4-...4-^)'T

variables, restera constamment comprise entre M01 et w". D'autre part, pour des valeurs suffisamment grandes des variables, la fonc- tion —————————^ tendra vers zéro, car elle est .inférieure à4»

(^4-...4-^)T 4>

—^? ^désignant la plus grande des variables; or il est clair que x^

cette dernière quantité tend vers zéro, son dénominateur étant d'un degré plus élevé que son niimérateur.

Donc, pour des valeurs suffisamment grandes des variables, le

(4)

- ii!ï -

rapport des termes de la série U à ceux de la série

^ss-

(^+...4-^)^a À

sera compris entre les deux quantités positives ——— et ——— »l l

A r M» -h s m* + &

£ étant aussi petit que l'on voudra. Donc, pour que U soit conver- gente, il faut et il suffit que V le soit, ce qui donne la condi- tion (i).

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