Étude de la stabilité de deux systèmes multidimensionnels

Pour l'obtention du grade de

DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ DE POITIERS École nationale supérieure d'ingénieurs (Poitiers)

Laboratoire d'informatique et d'automatique pour les systèmes - LIAS (Poitiers) (Diplôme National - Arrêté du 25 mai 2016)

École doctorale : Sciences et ingénierie pour l'information, mathématiques - S2IM (Poitiers) Secteur de recherche : Automatique

Présentée par :

Ronan David

Étude de la stabilité de deux systèmes multidimensionnels

Olivier Bachelier, Nima Yeganefar Soutenue le 12 février 2018 devant le jury

Jury :

Président Driss Mehdi Professeur des Universités, Université de Poitiers Rapporteur Didier Henrion chercheur CNRS au LAAS de Toulouse

Rapporteur Paula Rocha Professor, Faculdade de Engenharia, Universidade de Porto, Portugal Membre Olivier Bachelier Professeur, Université de Poitiers

Membre Nima Yeganefar Maître de conférences, Université de Poitiers

Membre Hetel Laurentiu Chargé de Recherche au sein de l'équipe SyNeR (Systèmes hybrides, non linéaires et à retards) du Centre de Recherche en Informatique, Signal et Automatique de Lille, Université de Lille 1

Pour citer cette thèse :

Ronan David. Étude de la stabilité de deux systèmes multidimensionnels [En ligne]. Thèse Automatique. Poitiers : Université de Poitiers, 2018. Disponible sur Internet <http://theses.univ-poitiers.fr>

Pr´esent´ee `a

L’UNIVERSIT´E DE POITIERS Pour l’obtention du Grade de

DOCTEUR DE L’UNIVERSIT ´E DE POITIERS

´

ECOLE NATIONALE SUP´ERIEURE D’ING´ENIEURS DE POITIERS

´

ECOLE DOCTORALE SCIENCES ET ING´ENIERIE POUR L’INFORMATION

Diplˆome National - Arrˆet´e du 25 mai 2016

SPECIALITE : AUTOMATIQUE

Pr´esent´ee par

Ronan DAVID

´

Etude de la stabilit´

e de deux syst`

emes

multidimensionnels

Directeur de Th`ese : Olivier BACHELIER

Co-encadrant : Nima YEGANEFAR

Pr´esent´ee et soutenue publiquement le 12 f´evrier 2018

COMPOSITION DU JURY

Rapporteurs : Didier Henrion Professeur, LAAS-CNRS, Universit´e de Toulouse Paula Rocha Professeur, DEEC, Universit´e de Porto

Examinateurs : Laurentiu Hetel Charg´e de recherche, CNRS, CRIStAL, Lille Driss Mehdi Professeur, LIAS, Universit´e de Poitiers Olivier Bachelier Professeur, LIAS, Universit´e de Poitiers

Nima Yeganefar Maˆıtre de conf´erence, LIAS, Universit´e de Poitiers

Th`ese pr´epar´ee au sein du

" No blanket." The Hateful Eight ✁ Q. Tarantino

" Quoi ? !" Joseph à Marie✁ B. Burban

Mes premiers remerciements vont naturellement à Olivier Bachelier et Nima Yeganefar, sans qui cette thèse n’aurait jamais vu le jour. En effet, depuis le début de l’encadrement de mon stage de M2 jusqu’à aujourd’hui, ils m’ont tous deux apporté plein de précieux conseils et un soutien constant. Armés de patience, ils m’auront aidé et guidé à faire mes premiers pas dans le monde de la recherche (ainsi qu’en Autriche et au Portugal !). Ce fut un réel plaisir d’avoir pu travailler dans une ambiance décontractée mais sérieuse. Merci à vous deux. Je remercie ensuite sincèrement Didier Henrion et Paula Rocha d’avoir accepté d’être mes rapporteurs. Je les remercie également avec Laurentiu Hetel et Driss Mehdi d’avoir fait le déplacement jusqu’à Poitiers pour constituer le jury de cette thèse.

Ce travail ayant eu sa naissance au sein du projet ANR MSDOS, je tiens à remercier l’Agence Nationale de la Recherche qui permit le commencement de cette aventure. Grâce à cela, j’ai eu l’occasion de côtoyer à plusieurs reprises les membres du projet. Tout d’abord, merci aux deux métalleux de Limoges, Thomas et Francisco, avec qui j’ai pris beaucoup de plaisir à travailler, puis, à se retrouver ensuite autour d’une bière ou deux. Merci également à Nader pour m’avoir accueilli chez lui dans le but de me perfectionner au jeu des ε✁ δ ! Les heures passées là-dessus étaient très instructives et ont fini par porter leurs fruits. Merci aussi à Emmanuel, ainsi qu’à l’équipe du Nord : Alban, Hugues et Yacine. C’était à chaque fois sympa de se croiser et de discuter le temps d’une réunion ou d’une conférence.

Ayant passé une bonne partie du temps à errer au LIAS, je souhaite remercier tous les membres, permanents ou doctorants, avec qui j’ai pu discuter autour d’un n 1ème _{café. Merci} à Guillaume et Afzal, de m’avoir notamment briefé sur les TP que j’ai été amené à encadrer, ainsi qu’à Laurent-Emmanuel pour la partie enseignement des Maths. Je ne vais évidement pas oublier de remercier en particulier Massinissa et Ziad, avec qui j’ai bien rigolé, que ça soit au labo ou en périple au bar. Merci pour m’avoir dépanné de nombreuses fois avec mes problèmes "d’ordinateur" et d’avoir toujours su me remonter le moral1_{. Pour faire plaisir à Massi, je vais en} profiter pour rendre grâce aux talents de cuisinière de Céline (clin d’oeil à Victor, exilé à Bilbao). Et aux actuels doctorants / futurs docteurs : tenez bon !

Enfin, je remercie mes anciens compagnons mathématiciens de Nantes, avec qui j’ai passé deux ou trois ans à débroussailler les Maths que nous devions déguster, avant de finalement atterrir sur Poitiers. Ça fait toujours plaisir de se recroiser : au casino ou dans un couvent de bonnes soeurs, ces réunions de matheux anonymes sont toujours fortement intéressantes !

Beaucoup d’autres personnes m’ont également aidé, de près ou de loin, durant ces trois dernières années et méritent que je les remercie.

Thanks a lot to Juliette and Louisiane who spent time to help me to translate my first paper in english. The first one is always the harder. Tant que l’on parle de correcteurs, il faut évidement que je remercie Pierro et Ketty, qui, à l’autre bout du monde (entre deux ti-punchs j’imagine..), ont réussi à déceler une bonne centaine de fautes d’orthographes qui s’étaient glissées dans mon mémoire. J’ai grand hâte de vous revoir ! Merci aussi à Sylvain (PS, Minus, The squirrel ou simplement Maurice pour les intimes) : mon hôte dévoué préféré qui s’est lui aussi adonné à la chasse aux fautes d’orthographes.

Je remercie évidement tous les Maurices / Apémiens avec qui j’ai partagé de très bons moments durant ces trois ans, au bout d’une corde, sur une sangle ou dans la cave du Zinc.

1. « T’es qu’en première année, profite ! Ça va, t’es qu’en deuxième année, t’as le temps.. Bon, il te reste 6 mois, t’es encore large... L’été est long, ne t’inquiète pas pour la rédaction ! »

suis certain qu’on arrivera toujours à recréer ensemble d’autres très bons souvenirs.

Un grand merci à mes nouveaux collègues du lycée Georges Brassens, pour leur accueil, leurs conseils et leur aide précieuse (en particulier l’équipe de Maths avec qui je peux régulièrement dealer DM ou feuilles d’exos !).

Enfin, merci à Finkers (Mr Rémi, à la belle époque) et Titi pour m’avoir aidé à fêter comme il se doit ma soutenance durant la semaine de folie à Val Thorens. Merci à tous les 9h13, Trainards ou compagnons de fête : cette seconde famille qui m’a souvent fait rentrer en Bretagne le temps d’un week-end ou de quelques jours de vacances. Pour trouver le bon équilibre, il est important de savoir se changer les idées, prendre du recul et retrouver les copains de longue date (aller à la Teillouse par exemple ou tendre une slack au dessus de l’étang). Merci !

Pour terminer, j’ai une pensée particulière à toute ma famille, qui s’est souvent demandé ce que je pouvait bien faire pendant trois ans avec mon "équation". Merci à vous tout simplement ! Enfin, je remercie chaleureusement mes parents et mes deux soeurs pour m’avoir toujours encouragé et poussé à continuer. Je ne serais pas là aujourd’hui sans vous.

Ça y est mamie, j’ai enfin terminé mes études : je vais donc pouvoir commencer à travailler pour de vrai..

Introduction générale 1 Chapitre 1 Introduction aux systèmes multidimensionnels 5

1.1 Introduction . . . 5

1.2 Cas 1D : rappels . . . 6

1.2.1 Modèles 1D . . . 6

1.2.2 Solutions . . . 7

1.2.3 Stabilités . . . 7

1.3 Cas 2D : Présentation des modèles . . . 9

1.3.1 Système de Roesser . . . 10

1.3.2 Modèles de Fornasini - Marchesini . . . 11

1.3.3 Extensions possibles des modèles précédents . . . 12

1.3.4 Problème des conditions initiales . . . 14

1.4 Définitions de stabilité dans la littérature . . . 18

1.4.1 Notions de points d’équilibre . . . 18

1.4.2 Stabilité asymptotique . . . 18

1.4.3 Stabilité exponentielle . . . 21

1.4.4 Stabilité structurelle . . . 24

1.4.5 Remarques sur les définitions de stabilité . . . 26

1.5 Conclusion . . . 28

Chapitre 2 Solution du modèle linéaire discret de Fornasini - Marchesini 29 2.1 Introduction . . . 29

2.2 Solutions des deux modèles 2D scalaires de Fornasini - Marchesini . . . 30

2.2.1 Solution du modèle sans troisième terme . . . 30

2.2.2 Solution du modèle avec troisième terme . . . 33

2.2.3 Interprétation . . . 40

2.3 Solution du modèle 2D matriciel de Fornasini - Marchesini . . . 45

2.3.1 Détermination de la solution . . . 46

2.3.2 Interprétation . . . 48

2.3.3 Propriétés de U . . . 50

Chapitre 3 Stabilité du modèle de Fornasini - Marchesini 2D discret 55

3.1 Introduction. . . 55

3.2 Stabilité Structurelle équivalente à Stabilité Exponentielle . . . 57

3.3 Stabilité Exponentielle implique Stabilité Asymptotique . . . 59

3.3.1 Résultat principal . . . 59

3.3.2 Illustration graphique de simulations Matlab . . . 63

3.4 Stabilité Asymptotique équivalente à Attractivité . . . 64

3.4.1 Préliminaires . . . 65

3.4.2 Résultat principal . . . 66

3.4.3 Condition nécessaire d’attractivité . . . 69

3.5 Stabilité Asymptotique du modèle de Fornasini - Marchesini scalaire . . . 70

3.5.1 Condition nécessaire et suffisante . . . 70

3.5.2 Extension au cas matriciel . . . 75

3.6 Conclusion . . . 77

Chapitre 4 Équivalence des modèles 79 4.1 Introduction. . . 79

4.2 Préliminaires . . . 80

4.2.1 Systèmes linéaires discrets 2D classique . . . 80

4.2.2 Équivalence des systèmes . . . 82

4.3 Stabilité structurelle des systèmes 2D discrets . . . 85

4.3.1 Définition . . . 86

4.3.2 Stabilisation . . . 88

4.3.3 Application à l’équivalence Fornasini - Marchesini / Roesser . . . 90

4.4 Stabilisation du modèle Fornasini - Marchesini linéaire discret 2D . . . 92

4.4.1 Cas du modèle de Roesser . . . 92

4.4.2 Stabilisation d’un modèle de Fornasini - Marchesini linéaire 2D . . . 94

4.5 Conclusion . . . 97

Chapitre 5 Existence et unicité des solutions aux systèmes de Roesser 99 5.1 Introduction. . . 99

5.2 Cas globalement lipschitzien. . . 100

5.2.1 Théorème d’existence et d’unicité. . . 101

5.2.2 Existence et unicité des solutions du modèle de Fornasini - Marchesini : cas globalement lipschitzien . . . 106

5.3 Cas localement lipschitzien . . . 108

5.3.1 Théorème d’existence et d’unicité. . . 108

5.3.2 Extension des solutions . . . 116

5.4 Conclusion . . . 122

A.2 Étude d’un modèle de Roesser 2D linéaire discret . . . 130

A.2.1 Solution d’un modèle de Roesser . . . 130

A.2.2 Condition nécessaire d’attractivité . . . 131

A.2.3 Stabilité asymptotique pour un Roesser : contre-exemple. . . 131

A.2.4 Stabilité d’un système de Roesser linéaire 2D . . . 135

A.3 Équivalence des définitions de stabilité structurelle . . . 137

Annexe B Extension de certains résultats dans le cas nD 141 B.1 Solution du modèle de Fornasini - Marchesini nD discret - cas général . . . 142

B.1.1 Préliminaires . . . 142

B.1.2 Détermination de la solution . . . 143

B.2 Solution du modèle de Fornasini - Marchesini nD - cas autonome . . . 146

B.2.1 Solution et application au cas 2D . . . 146

B.2.2 Solution avec des conditions initiales de type Fornasini - Marchesini . . . 147

B.2.3 Solution avec la Transformée en Z . . . 149

B.2.4 Solution du cas scalaire . . . 152

B.3 Étude de la stabilité du modèle de Fornasini - Marchesini nD autonome . . . 153

B.3.1 Stabilité structurelle et exponentielle . . . 153

B.3.2 Stabilité exponentielle et asymptotique. . . 156

B.3.3 Stabilité asymptotique du cas scalaire . . . 161

B.3.4 Stabilité et attractivité. . . 163

B.4 Solution du modèle de Roesser nD continu . . . 164

B.4.1 Existence et unicité des solutions : cas globalement Lipschitzien . . . 165

B.4.2 Existence et unicité des solutions : cas localement Lipschitzien . . . 168

Annexe C Rappels de certains résultats utilisés 175 C.1 Théorème de Hurwitz . . . 175

C.2 Théorème de point fixe. . . 175

C.3 Différentiabilité par rapport à un paramètre (EDO). . . 176

C.4 Lemme de Gronwall . . . 177

Liste des notations 179

Liste des acronymes 183

Liste des figures 185

Liste des définitions de stabilité 187

La modélisation des systèmes physiques est au cœur des enjeux en automatique. Elle consiste à donner une représentation mathématique, souvent simplifiée, des phénomènes étudiés, afin de pouvoir en analyser les propriétés et d’espérer prédire les comportements associés. Cette démarche constitue la base de toute étude scientifique et s’avère souvent de la plus grande importance. Celui qui établit un modèle se retrouve alors confronté au problème de complexité de ce dernier : un modèle simple (par exemple linéaire) est plus facile à analyser, mais risque malheureusement de comporter des approximations qui peuvent se révéler trop importantes et donc préjudiciables pour les applications considérées. Très souvent, un procédé est décrit par un système d’équations dont on suppose qu’elle ne dépendent que d’une seule variable et l’on parle alors de système 1D (l’information se propage dans une seule direction, généralement le temps). Ceci peut se révéler très utile, mais aussi, parfois, insuffisant. À l’inverse, un modèle plus complexe (par exemple non-linéaire) représente plus fidèlement la réalité, mais nécessite inévitablement des outils plus sophistiqués, tant pour son analyse que pour une éventuelle modification de ses propriétés. Malgré ces difficultés, certains phénomènes révèlent les limites des modèles 1D pour décrire la physique sous-jacente et depuis plusieurs dizaines d’années, parmi les alternatives possibles, mes modèles multidimensionnels (communément appelés systèmes nD) sont de plus en plus envisagés. De tels modèles décrivent la propagation de l’information dans plusieurs directions indépendantes, qui peuvent être, par exemple, temporelles ou spatiales. Ils sont devenus au fil du temps un véritable challenge pour les chercheurs (voir [20, 21, 91, 79]). Ceci est dû, en partie, au fait qu’ils couvrent un vaste champs d’applications (beaucoup de systèmes physiques ont naturellement une structure nD : voir [22]) mais aussi au fait qu’ils se retrouvent au croisement de plusieurs théories mathématiques (par exemple l’analyse et géométrie algébrique, les équations aux différences / dérivées partielles, la théorie de Lyapunov). Parmi les applications notables des systèmes nD, on peut citer le traitement du signal et de l’image (voir [50,27]), le filtrage numérique (voir [16, 98]), les réseaux de capteurs (voir [123]), les systèmes inter-connectés (voir [44]), l’étude des pelotons de véhicules (voir [85]) et celles de certaines équations aux dérivées partielles (voir [101,97,112, 51]). Remarquons de plus qu’une attention particulière a été portée aux systèmes 2D linéaires (voir [77]), qui décrivent par exemple des algorithmes de commande par apprentissage itératif (en anglais Iterative Learning Control (ILC)) dont les concepts peuvent être reliés aux procédés répétitifs linéaires (LRPs) (voir [102, 116, 65]). Enfin, il convient de préciser que les deux modèles linéaires nD qui concentrent le plus d’attention de la part des chercheurs sont le modèle de Roesser (voir [69, 115]) et celui de Fornasini - Marchesini (voir [59,60]), c’est-à-dire les deux modèles qui seront étudiés dans cette thèse.

Avant de détailler le contenu de cette thèse, précisons que cette dernière a été financée par l’Agence Nationale de la Recherche et fait partie intégrante du projet ANR-13-BS03-0005 intitulé

MS-DOS(Multidimensional Systems - Digressions on Stability)2_{, qu’elle s’est déroulée au sein} du Laboratoire d’Informatique et d’Automatique pour les Systèmes (LIAS), laboratoire sous la tutelle de l’École Nationale Supérieure d’Ingénieurs de Poitiers (ENSIP), composante de l’Université de Poitiers et de l’École Nationale Supérieure de Mécanique et d’Aérotechnique (ENSMA). Elle a commencé en 2014 dans le but de traiter, d’un point de vue théorique et pratique, des problèmes relatifs à la stabilité et la stabilisation des systèmes multidimension-nels. D’une manière générale, les objectifs sont d’étendre les connaissances scientifiques de ce domaine en développant cette thématique au niveau national et international. Pour cela, différents partenariats ont été mis en place afin de réunir des chercheurs du LIAS (Poitiers), de l’INRIA (Saclay-Île-de-France, puis Lille), de XLIM (Limoges, Poitiers), du LATP (Mar-seille), de ISSI (Zielona Gora, Pologne) et ainsi de créer en France un important groupe de recherche autour de la thématique des systèmes multidimensionnels. Ce projet prendra fin dans sa forme actuelle au début de l’année 2018 mais ouvre aujourd’hui quantité de perspectives nouvelles. Cette thèse se découpe en cinq chapitres. Dans les quatre premiers chapitres, nous nous contenterons d’étudier des modèles linéaires discrets 2D. En effet, c’est sous cette forme que, historiquement, les auteurs ont présenté et étudié les systèmes nD, étant donné qu’une grande majorité des applications possibles entre dans ce cadre linéaire (voir [117]). Cependant, nous nous intéresserons également à un modèle non-linéaire continu dans le dernier chapitre. Notons que les trois premiers chapitres pris ensemble, le quatrième chapitre et le cinquième chapitre constituent trois groupes qui peuvent être étudiés indépendamment les uns des autres. Le détail du contenu de ces chapitres est précisé ci-après.

Le premier chapitre est une introduction au domaine des systèmes multidimensionnels. Nous commencerons par donner quelques rappels concernant les modèles 1D et leur stabilité afin de mieux appréhender le passage en 2D (ou plus généralement en nD). Ensuite, nous franchirons le pas de la deuxième dimension en nous intéressant aux deux modèles linéaires discrets 2D qui attirent le plus l’attention de la communauté nD et qui seront au cœur de cette thèse, à savoir le modèle de Roesser et le modèle de Fornasini - Marchesini. Nous terminerons ce premier chapitre en présentant trois définitions de stabilité (asymptotique, exponentielle, structurelle) que nous exploiterons au chapitre3.

Nous donnerons, dans le second chapitre, la formulation de la solution d’un modèle de Fornasini - Marchesini linéaire discret 2D dans trois cas de figure différents. Les deux premiers constituent le cas scalaire (sans, puis avec un terme en x♣i, jq). Le troisième est le cas matriciel général. Il s’agira essentiellement de démonstrations techniques basées sur des suites à deux variables. Les résultats obtenus dans ce chapitre nous seront très utiles dans le chapitre3.

Ensuite, le troisième chapitre sera consacré au modèle de Fornasini - Marchesini linéaire discret 2D. Plus précisément, nous établirons les différents liens qui existent entre les notions de stabilité structurelle, stabilité exponentielle et stabilité asymptotique. Puis, nous illustrerons tous ces concepts en regardant de plus près le cas scalaire. La particularité de ce type de modèle nous permettra alors d’obtenir des conditions nécessaires et suffisantes de stabilité, contrairement au cas matriciel qui s’avère plus complexe.

L’approche empruntée dans le quatrième chapitre se distinguera des autres, puisqu’elle se base sur l’analyse algébrique appliquée à la théorie des systèmes linéaires. L’objectif est d’étendre le concept de stabilité structurelle à une classe plus générale de systèmes linéaires discrets 2D (qui englobent notamment les deux modèles de Roesser et de Fornasini - Marchesini comme instances particulières) et de regarder le problème de stabilisation structurelle sous un autre 2. Pour plus d’informations, voir le site internet dédié à ce projet : https ://www.lias-lab.fr/msdos/doku.php

systèmes algébriquement équivalents. Nous nous focaliserons sur le cas du modèle de Fornasini Marchesini et sur un modèle de Roesser algébriquement équivalent au modèle de Fornasini

-Marchesini, puis, nous établirons une loi de commande dynamique qui stabilise structurellement un modèle de Fornasini - Marchesini linéaire discret 2D à partir de lois statiques existantes de stabilisation des modèles de Roesser.

Enfin, le dernier chapitre se tournera vers le problème d’existence et d’unicité des solu-tions d’un modèle de Roesser non-linéaire continu 2D. En effet, contrairement aux systèmes discrets abordés dans les chapitres précédents, il n’est pas évident de répondre à cette question sans se placer dans un cadre approprié. À l’instar des équations différentielles ordinaires (qui constituent le cas 1D lorsque l’on travaille en continu) et de la théorie de Cauchy, nous ferons certaines hypothèses sur la régularité de la fonction f qui définit le modèle. Nous montrerons d’abord que si cette fonction f est globalement lipschitzienne, alors il existe une unique solution définie globalement. Puis, dans un second temps, nous verrons que si f est seulement localement lipschitzienne, alors il y a tout de même existence et unicité de la solution, mais dans ce cas, cette dernière n’est (a priori) définie que localement. Toute la question est alors de savoir s’il est possible de prolonger cette solution locale afin d’obtenir une solution globale.

Pour compléter ces cinq chapitres, trois annexes suivront la conclusion générale.

La première annexe regroupe certains résultats supplémentaires obtenus dans le cas linéaire discret 2D : nous y traiterons notamment l’équivalence de deux définitions (de stabilité exponentielle et structurelle) et nous reprendrons l’étude de la stabilité du modèle de Fornasini - Marchesini pour la transposer au modèle de Roesser.

La seconde annexe contient la généralisation de plusieurs démonstrations du cas 2D au cas nD. Nous expliciterons notamment la solution d’un système de Fornasini - Marchesini linéaire discret nD, puis, nous en étudierons sa stabilité. D’autre part, nous traiterons également le problème d’existence et d’unicité d’un modèle de Roesser non-linéaire continu nD.

Pour finir, la dernière annexe rappellera des résultats classiques qui nous seront utiles dans certaines démonstrations exposées dans cette thèse.

Introduction aux systèmes

multidimensionnels

1.3 Cas 2D : Présentation des modèles . . . . 9

1.3.1 Système de Roesser . . . 10

1.3.2 Modèles de Fornasini - Marchesini . . . 11

1.3.3 Extensions possibles des modèles précédents. . . 12

1.3.3.1 Cas non-linéaire non-autonome. . . 13

1.3.3.2 Cas hybride. . . 13

1.3.3.3 Cas implicite . . . 13

1.3.3.4 Cas nD . . . 14

1.3.4 Problème des conditions initiales . . . 14

1.4 Définitions de stabilité dans la littérature . . . 18

1.4.1 Notions de points d’équilibre . . . 18

1.4.2 Stabilité asymptotique . . . 18

1.4.3 Stabilité exponentielle . . . 21

1.4.4 Stabilité structurelle . . . 24

1.4.5 Remarques sur les définitions de stabilité . . . 26

1.5 Conclusion . . . 28

1.1 Introduction

Dans ce premier chapitre, nous allons d’abord introduire quelques rappels sur le cas 1D ce qui nous permettra de mieux comprendre la problématique propre aux systèmes multidimensionnels. Ensuite, nous présenterons les deux modèles les plus utilisés par la communauté nD, qui sont le modèle de Roesser et le modèle de Fornasini - Marchesini. Chacun de ces deux modèles comporte leur panel de variantes (e.g., non-linéaire, hybride, implicite), dont certaines d’entre elles seront alors précisées. Dès lors, nous constaterons que les difficultés apparaissent, notamment avec le choix des conditions initiales qui s’avère crucial dans l’étude d’un système. Puis, nous discuterons de stabilité en énonçant les trois notions importantes de stabilité asymptotique, exponentielle et

structurelle, utilisées par la suite dans l’étude de ces systèmes. On terminera ce premier chapitre en expliquant pourquoi, selon nous, ces définitions généralisent correctement celles du cas 1D.

Pour rester dans un cadre général, nous emploierons la notation K pour désigner le corps de réels R ou le corps des complexes C et nous travaillerons sur l’espace vectoriel KN_{, où N P N}✝

(fixé) sera la dimension de l’espace "d’arrivée".

1.2 Cas 1D : rappels

Cette partie est dédiée au cas des systèmes discrets à une variable. Nous allons rappeler quelques notions importantes avant d’analyser le cas des systèmes dynamiques à deux variables. Pour cela, nous allons revenir sur le modèle 1D, sa solution et sa stabilité. Le lecteur familier avec tous ces concepts peut directement continuer à la Section 1.3.

1.2.1 Modèles 1D

Un modèle 1D discret peut s’écrire de la manière suivante : ❅ i P N, ★ x♣i 1q ✏ f i, x♣iq✟, x♣0q ✏ x0, (1D-Mod) (1D-CI) où x P ♣KN_qN _{est la solution du système, x}

0 P KN est la condition initiale donnée et f : N✂ KN ÝÑ KN est la fonction définissant le système, également connue.

On commence par remarquer que le problème est bien posé, dans le sens où il y a une et une seule solution à l’équation (1D-Mod) soumise à la condition initiale (1D-CI), qui se calcule par récurrence par la formule :

❅ i P N, x♣iq ✏ f i ✁ 1, f♣i ✁ 2, f♣. . . , f♣1, f♣0, x0qq . . . qq✟. (1.2) Remarque 1. Dans certaines situations, la modélisation d’un problème conduit plutôt à une équation de la forme :

❅ i P N, x♣i n0q ✏ f i, x♣iq, x♣i 1q, . . . , x♣i n0✁ 2q, x♣i n0✁ 1q✟, (1.3) où f : N✂ KN_{✂ ☎ ☎ ☎ ✂ K}N _{ÝÑ K}N _{est la fonction définissant ce modèle et n0P N}✝ _{est fixé. On}

peut en fait se ramener à une équation du type (1D-Mod) en posant rx :✏ ♣rx1, . . . ,rxn0q tel que : ❅ i P N, ✩ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✫ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✪ rx1♣iq ✏ x♣iq, rx2♣iq ✏ x♣i 1q, ... rxn0✁1♣iq ✏ x♣i n0✁ 2q, rxn0♣iq ✏ x♣i n0✁ 1q, ðñ ✩ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✫ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✪ rx1♣i 1q ✏ rx2♣iq, rx2♣i 1q ✏ rx3♣iq, ... rxn0✁1♣i 1q ✏ rxn0♣iq,

rxn0♣i 1q ✏ f i, rx1♣iq, . . . , rxn0♣iq ✟

. En effet, (1.3) est alors équivalent à l’équation rx♣i 1q ✏ rf i,rx♣iq✟, avec :

r f : N✂ KNr ÝÑ KNr i, ☎ ✝ ✆ rx1 ... rxn0 ☞ ✍ ✌✟ ÞÝÑ ☎ ✝ ✝ ✝ ✆ rx2 ... rxn0 f♣i, rx1, . . . ,rxn0q ☞ ✍ ✍ ✍ ✌ , où rN :✏ n0N.

On peut retenir que, grâce à cette astuce de réécriture, le modèle décrit par (1D-Mod) est très général et couvre un grand nombre de situations qui se modélisent avec une seule variable.

1.2.2 Solutions

Une première question à laquelle on peut tenter de répondre est de savoir s’il est possible de trouver une formule explicite plus exploitable que celle décrite par (1.2). A priori, cette question est difficile quand la fonction f définissant le système (1D-Mod) est quelconque. Cependant, il est possible d’y répondre dans certains cas particuliers, comme par exemple celui des systèmes linéaires autonomes :

❅ i P N, x♣i 1q ✏ A x♣iq ④ x♣0q ✏ x0, (1.4)

où AP MN♣Kq est donnée. En effet, la solution s’écrit simplement :

❅ i P N, x♣iq ✏ Ai_x

0.

Un autre exemple, qui généralise le modèle précédent (1.4), est celui du cas linéaire non-autonome avec second membre :

❅ i P N, x♣i 1q ✏ A♣i 1qx♣iq u♣i 1q ④ x♣0q ✏ x0, (1.5)

où AP ♣MN♣KqqN et uP ♣KNqNsont données. Cette fois encore, on peut montrer que la solution

s’écrit : ❅ i P N, x♣iq ✏ i✁1 ➵ l✏0 A♣i ✁ lqx0 i ➳ k✏1 i✁1✁k➵ l✏0 A♣i ✁ lqu♣kq, (1.6)

avec comme convention que la somme est nulle et le produit égal à IN si l’indice du haut est

strictement inférieur à celui du bas. À l’aide d’une formule explicite, il est parfois plus facile de répondre à certains problèmes de stabilité du système, comme on va le voir dans la suite. Au passage, on peut préciser la solution de (1.5) lorsque A est supposée à coefficients constants :

❅ i P N, x♣iq ✏ Ai_x 0 i ➳ k✏1 Ai✁ku♣kq. (1.7) 1.2.3 Stabilités

Nous introduisons ici certains concepts de stabilité que l’on sera amené à généraliser au cas 2D. Pour simplifier les notations et faciliter la compréhension, nous choisissons des définitions de stabilité qui possèdent un aspect global plutôt que local (ce que l’on trouve généralement dans les ouvrages traitant du cas 1D). De plus, comme les systèmes que l’on rencontrera seront autonomes (i.e., la fonction f qui définit le modèle ne dépend pas des variables d’évolution), nous allons énoncer ces définitions dans ce cadre. Notons néanmoins que l’hypothèse d’autonomie n’est pas restrictive puisque pour n’importe quel système général (1D-Mod) défini par f, il suffit pour cela de poser F :♣X, Y q ÞÑ ♣X 1, f♣X, Y qq, y♣iq :✏ ♣i, x♣iqq et de considérer l’équation y♣i 1q ✏ F y♣iq✟qui vérifie y♣0q ✏ ♣0, x0q.

Ainsi, nous allons étudier le modèle x♣i 1q ✏ f x♣iq✟, soumis à la condition initiale (1D-CI). Avant de présenter la question de la stabilité, on définit d’abord ce qu’est un point d’équilibre. Définition 1. Les points d’équilibres du système x♣i 1q ✏ f x♣iq✟sont les points fixes de f, à savoir, les vecteurs x✍_{P K}N _{tels que f♣x}✍_{q ✏ x}✍_.

Ainsi, lorsque la solution x prend la valeur x✍ _{(point fixe de f) à un certain instant i} 0P N, alors toutes ses prochaines valeurs seront les mêmes :

❉ i0 P N ④ x♣i0q ✏ x✍ ñ ❅ i → i0, x♣iq ✏ x✍.

Dans ce cas, la trajectoire de x restera sur tx✍_{✉ à partir de l’instant i0 et il n’y aura plus} d’évolution au sein du système. Ceci est en particulier vrai quand la condition initiale (1D-CI) du système est un point d’équilibre (i.e., x0✏ x✍_{), car alors x♣Nq ✏ tx}✍_✉.

Si le point d’équilibre n’est pas l’origine, on peut toujours, par changement de variable, se ramener à ce dernier. En effet, pour un point fixe x✍ P KN_{③ t0✉ de f, il suffit d’étudier la suite}

y:✏ x ✁ x✍ P ♣KN_qN_{à la place de x. Elle sera alors solution de l’équation y♣i 1q ✏ g y♣iq}✟_{, où} g: KN Ñ KN, X ÞÑ f♣X x✍q ✁ x✍ a pour point fixe zéro. Cela nous permettra dans la suite d’énoncer les définitions de stabilité par rapport à zéro, allégeant ainsi les notations.

Remarque 2. Dans tout ce qui va suivre, on supposera que f possède un point d’équilibre situé à l’origine. Par abus de langage, on parlera parfois de stabilité du système pour faire référence à la stabilité de ce point d’équilibre, surtout lorsqu’il est unique (cas linéaire).

L’idée des définitions qui vont suivre est de trouver une manière rigoureuse de formaliser les notions intuitives que l’on peut avoir avec la stabilité des systèmes dynamiques. Si une légère perturbation des conditions initiales entraîne une petite modification de la solution, on a envie de dire qu’il y a une certaine forme de stabilité dans le modèle. Si en plus, cette petite modification finit par disparaître avec le temps, le concept de stabilité serait légèrement différent du précédent et a priori plus fort. Enfin, si on veut garantir que cette perturbation disparaisse avec une certaine rapidité, on aimerait une troisième notion, encore plus forte, qui caractérise la vitesse à laquelle la solution absorbe les perturbations. De manière plus formelle, nous allons les introduire mathématiquement dans ce qui suit.

Définition 2. Supposons que la fonction f définissant le système (1D-Mod) ne dépende pas de iet soit nulle en zéro, point d’équilibre du système. Pour un vecteur x₀ P KN _{quelconque, on}

note x la solution de (1D-Mod)-(1D-CI). On dit alors que l’origine est : 1. Stable si❅ ε → 0, ❉ δε→ 0 ④ ⑤x0⑤ ↕ δε ñ ⑥x⑥_✽↕ ε.

2. Instable s’il n’est pas stable, i.e., ❉ ε → 0 ④ ❅ δ → 0, ❉ x0 P KN _{④ ⑤x0⑤ ↕ δ, ⑥x⑥}

✽ → ε. 3. Attractif si xP c0♣N, KN_q.

4. Asymptotiquement stable si x est stable et attractif.

5. Exponentiellement stable si❉ ♣M, qq P R✝ _{✂ ♣0, 1q ④ ❅ x0 P K}N_{, ❅ i P N, ⑤x♣iq⑤ ↕ M ⑤x0⑤ q}i_.

Notons Br:✏

✥

yP KN ④ ⑤y⑤ ➔ r✭la boule ouverte de KN pour la norme⑤ ☎ ⑤, centrée en zéro, de rayon r → 0. La stabilité peut s’illustrer de la manière suivante : l’origine est stable si, en prenant la condition initiale x0 dans une boule Bδε suffisamment petite, on génère alors une

solution qui sera confinée dans une autre boule Bε, de rayon ε→ 0 fixé au préalable, et ceci pour

tout temps. En d’autres termes, si la solution "démarre" proche de la solution nulle, alors elle restera proche d’elle. L’origine est instable si au contraire on ne peut jamais contenir toute la solution x proche de la solution nulle, c’est à dire qu’il existera toujours un instant i0P N✝ _pour lequel x♣i0q sera à l’extérieur d’une certaine boule Bε, peu importe à quel point on fait démarrer

x proche de zéro. Ensuite, si la condition initiale x0 est suffisamment petite, alors x sera attiré par la solution nulle quand il y a attractivité de l’origine. Enfin, la stabilité exponentielle est plus forte que la stabilité asymptotique puisqu’elle requière en plus une vitesse de convergence exponentielle.

La proposition suivante énumère certains liens fondamentaux qu’il y a entre les différentes définitions de stabilité que l’on vient de voir. Pour plus de détails, voir par exemple [72, Chapitre 3], [73, Chapitre 4], [2, Chapitre 5], [126, Chapitre 5].

Proposition 1.

1. La stabilité exponentielle implique la stabilité asymptotique, mais la réciproque est fausse en général.

2. Il n’y a pas d’implication entre stabilité et attractivité : un système peut être stable sans être attractif, et vice versa.

3. Dans le cas linéaire (1.4), stabilité exponentielle, stabilité asymptotique et attractivité sont équivalentes au fait que les valeurs propres de la matrice A (qui définit le système) sont toutes de module strictement inférieur à 1 : Sp♣Aq ⑨ D. La stabilité simple, quant à elle, est équivalente au fait que d’une part, Sp♣Aq ⑨ D et, d’autre part, les éventuelles valeurs propres de module un ont un bloc de Jordan associé d’ordre un. Cela revient également à montrer que toutes les solutions du système sont bornées. On dira parfois que la matrice A vérifie ces critères de stabilité à la place du système (1.4) associé.

Remarque 3. Avant de poursuivre, revenons rapidement sur le premier point de la propriété1: le fait qu’un point d’équilibre exponentiellement stable le soit asymptotiquement est facile à voir. Par contre, pour trouver un contre-exemple à la réciproque, il faut puiser dans les systèmes non-linéaires puisque le troisième point nous dit justement que ces deux notions sont équivalentes dans le cas linéaire. Considérons pour cela le système scalaire réel suivant :

❅ i P N, x♣i 1q ✏ ❛ x♣iq

1 2x2_♣iq ④ u♣0q ✏ u0 P R. La solution s’écrit ❅ i P N, x♣iq ✏ x0♣1 2ix2

0q✁1④2, donc on peut voir que l’unique point d’équilibre (zéro) est asymptotiquement stable. Mais comme x♣iq ✏ O♣1④❄iq, on conclut qu’il n’est pas exponentiellement stable.

D’autre part, le deuxième point de la propriété1ne doit pas être négligé même s’il peut être difficile d’exhiber un exemple où le point d’équilibre est attractif mais instable. Pour illustrer notre propos, considérons une particule mobile dans un plan, dont la trajectoire est régie par les équations en coordonnées polaires suivantes :

❅ i P N, ★ ρ♣i 1q ✏ ❛ρ♣iq, Θ♣i 1q ✏ ❛2πΘ♣iq, ④ ★ ρ♣0q ✏ ρ0 P R✝, Θ♣0q ✏ Θ0 P r0, 2πq . Ces deux équations étant découplées, on vérifie facilement que la solution est donnée par :

❅ i P N, ρ♣iq ✏ ρ01④2i , Θ♣iq ✏ 2π ✂ Θ0 2π ✡_1④2i .

L’unique point d’équilibre, x✍ _{:✏ ♣1, 0q, est clairement attractif mais n’est pas stable. Pour} se convaincre de cette particularité, on peut prendre ε :✏ 1④2, δ → 0 quelconque et on place initialement la particule au point de coordonnées polaires ♣ρ0,Θ0q :✏ ♣1, arctan ♣δ④2qq. Elle se situe donc à l’intérieur de la boule de rayon δ, centrée sur le point de coordonnées polaire x✍_. On peut alors trouver un instant i0 P N✝ _{pour lequel la particule sort de la boule de rayon ε,} également centrée sur le point de coordonnées polaires x✍_{. Cet exemple est illustré par [54,} chapitre 4].

Si on insiste sur ces cas particuliers, c’est parce que l’on rencontrera ces subtilités dans l’étude de la stabilité des systèmes multidimensionnels qui présenteront d’ailleurs leurs propres particularités. Il est donc important d’être au clair avec ces notions avant d’essayer de les généraliser en dimensions supérieures.

1.3 Cas 2D : Présentation des modèles

Dans cette section, on va discuter des deux principaux modèles discrets étudiés dans le domaine des systèmes multidimensionnels, à savoir celui de Roesser et celui de Fornasini -Marchesini. Les solutions de ces modèles seront des suites à deux variables indépendantes, à valeurs dans KN_{. On verra ensuite certaines généralisations possibles de ces systèmes}

(non-linéaire, non autonome, hybride ou implicite) puis on discutera des problèmes que les conditions initiales (également désignées par conditions de bords ou conditions aux frontières) peuvent engendrer.

1.3.1 Système de Roesser

Le système de Roesser discret linéaire 2D fut introduit en 1972 par D. Givone et P. Roesser (voir [69]) pour donner une représentation d’état de circuits électriques interconnectés. Il fut ensuite réintroduit en 1975 pour des problèmes de traitement d’images (voir [115]), et trouve finalement d’autres applications dans divers domaines (voir [117]). Il peut s’écrire sous la forme suivante : ❅ ♣i, jq P N2_, ✩ ✬ ✬ ✫ ✬ ✬ ✪ ✂ x1♣i 1, jq x2♣i, j 1q ✡ ✏ A ✂ x1♣i, jq x2♣i, jq ✡ P KN_, x1♣0, jq ✏ Ψ1♣jq , x2♣i, 0q ✏ Ψ2♣iq. (R-Mod) (CIN2)

D’un point de vue mathématique, l’équation (R-Mod) soumise aux conditions initiales (CIN2)

admet une unique solution xP KN_{, calculable par récurrence. Elle a deux composantes, x1 et x2,}

à valeurs respectivement dans KN1 et KN2 où♣N1_{, N}

2q P N2 ④ N1 N2 ✏ N. On dit que la matrice AP MN♣Kq définit le modèle et que Ψ1 P ♣KN1qN,Ψ2 P ♣KN2qN sont les conditions initiales. Si

on note A :✏ ✂

A11 A12 A21 A22 ✡

avec A11P MN1♣Kq, A12 P MN1,N2♣Kq, A21 P MN2,N1♣Kq, A22 P MN2♣Kq, alors la relation (R-Mod), qui décrit l’évolution du modèle de Roesser, est équivalente à :

❅ ♣i, jq P N2_, ★

x1♣i 1, jq ✏ A11x1♣i, jq A12x2♣i, jq ✏✏A11 A12 ✘

x♣i, jq P KN1_, x2♣i, j 1q ✏ A21x1♣i, jq A22x2♣i, jq ✏✏A21 A22

✘

x♣i, jq P KN2_.

(1.9a) (1.9b)

On peut l’illustrer de deux manières avec les figures1.1 et1.2qui suivent.

Figure1.1 – Représentation (1) d’un système de Roesser (1.9a)-(1.9b)

i 1 j rA11A12s ☎ KN1 x1♣i 1, jq x♣i, jq ✆ ✆ ✆ ✆ ✆ ✆ ✆ ✆ ✆ ✆ ✆ ✆ ✌ ✆ i j 1 rA21A22s ☎ x₂♣i, j 1q x♣i, jq KN2 ✌ ✆ ✆ ✆ ✆ ✆ ✆ ✆ ✆ ✆ ✆ ✆ ✆ ✆

Figure1.2 – Représentation (2) d’un système de Roesser (1.9a)-(1.9b) ✆ ✆ x1♣i 1, jq x2♣i, j 1q KN KN1 _KN2 ✌x♣i, jq rA11 A12s ☎ _rA 21 A22s ☎

Avant de poursuivre, remarquons que si l’on considère par exemple N2✏ 0, on retrouve alors le cas linéaire 1D (1.4) avec jP N un simple paramètre : ce modèle 2D est donc une extension des systèmes 1D. On reviendra plus en détails sur ce point dans la partie 1.4.5.

1.3.2 Modèles de Fornasini - Marchesini

Le premier modèle de Fornasini - Marchesini discret linéaire 2D fut introduit en 1976 à la suite d’un problème de réalisation de filtres 2D, en partant d’un point de vue algébrique (voir [59]), puis connait d’autres domaines d’applications par la suite (voir [92,78,117]). Il peut s’écrire sous la forme suivante :

❅ ♣i, jq P N2_, ★

x♣i 1, j 1q ✏ A x♣i, j 1q B x♣i 1, jq C x♣i, jq P KN, x♣0, jq ✏ Ψ1♣jq , x♣i, 0q ✏ Ψ2♣iq.

(FM3-Mod) (CIN2) L’unique solution x de (FM3-Mod) - (CIN2) est une suite à valeurs dans KN (calculable par

récurrence). On dit que le triplet de matrices ♣A, B, Cq P ♣MN♣Kqq3 définit le modèle et que

Ψ1 P ♣KN1qN_,Ψ2 P ♣KN2qN sont les conditions initiales imposées. Notons qu’elles ne sont pas précisées dans l’article original [59] et qu’il faut alors imposer Ψ1♣0q ✏ Ψ2♣0q pour des raisons de compatibilité.

Un second modèle de Fornasini - Marchesini discret linéaire 2D fut introduit en 1978, toujours à propos d’un problème de réalisation de filtres 2D (voir [60]). Il s’agit de l’équation (FM3-Mod) où l’on suppose que C ✏ 0 :

❅ ♣i, jq P N2_, ★

x♣i 1, j 1q ✏ A x♣i, j 1q B x♣i 1, jq P KN, x♣0, jq ✏ Ψ1♣jq , x♣i, 0q ✏ Ψ2♣iq.

(FM-Mod) (CIN2) Comme précédemment, l’unique solution est un élément de♣KN_qN2

. Le modèle est cette fois-ci défini par le couple de matrices ♣A, Bq P ♣MN♣Kqq2 et Ψ1 P ♣KN1qN,Ψ2 P ♣KN2qN sont les

conditions initiales imposées. Contrairement au système précédent, les quantités Ψ1♣0q et Ψ2♣0q n’interviennent pas dans l’expression de la solution. Notons que le choix de ces conditions initiales est différent dans l’article original [60] : nous aborderons ce problème de manière détaillée dans la partie 1.3.4.

On peut illustrer ces modèles par la figure 1.3qui suit.

i 1 j 1 A B C x♣i 1, j 1q x♣i, j 1q x♣i 1, jq x♣i, jq x♣i 1, j 1q P KN ✆ ✆ ✆ ✆ ✆ ✆ ✆ ✆ ✆ ✆ ✆ ✆ ✌ ✌ ✌ ✂

Figure1.3 – Représentation des systèmes de Fornasini - Marchesini (FM3-Mod) et (FM-Mod)

Notons au passage que si l’on considère, par exemple, B ✏ 0, on retrouve encore une fois le cas linéaire 1D avec j P N qui devient un simple paramètre : ce modèle 2D est donc, comme celui de Roesser (R-Mod), une autre extension possible de (1.4) (voir la partie1.4.5).

Remarque 4. Dans toute la suite, on considérera le second modèle (FM-Mod) plutôt que le premier (FM3-Mod). Cela sera détaillé au chapitre 3, l’idée est simplement que ces deux formulations peuvent modéliser la même chose. A noter qu’Attasi avait introduit un autre système 2D, peu avant les deux modèles que l’on vient d’évoquer (voir [4,5]) :

❅ ♣i, jq P N2_, ★

x♣i 1, j 1q ✏ A x♣i, j 1q B x♣i 1, jq ✁ AB x♣i, jq P KN, x♣0, jq ✏ Ψ1♣jq , x♣i, 0q ✏ Ψ2♣iq,

(1.12a) (1.12b) où ♣A, Bq P ♣MN♣Kqq2 est supposé former une paire de matrices commutantes.

Étant donné que (1.12a) est un cas particulier de l’équation (FM3-Mod) (où C :✏ ✁AB ✏ ✁BA) on ne l’étudiera pas particulièrement. On donnera néanmoins une formulation de sa solution dans le prochain chapitre, à la section2.2.2.

1.3.3 Extensions possibles des modèles précédents

La majorité des travaux effectués dans le domaines des systèmes multidimensionnels a surtout porté sur les modèles linéaires que l’on a évoqué dans les paragraphes précédents. Quelques auteurs ont néanmoins généralisé ces modèles (par exemple les cas non-linéaires, implicites) afin

de couvrir un champ d’application plus vaste. Cependant, il faut garder en tête que plus le modèle est complexe et général, plus il sera difficile d’en étudier les propriétés.

1.3.3.1 Cas non-linéaire non-autonome

Plusieurs auteurs ont proposé différentes extensions non-linéaires des modèles introduits précédemment (voir par exemple [96, 94, 135, 132, 108]). D’une manière générale, une extension du modèle de Roesser peut s’écrire en remplaçant (R-Mod) par :

❅ ♣i, jq P N2_, ✂ x1♣i 1, jq x2♣i, j 1q ✡ ✏ f i, j, x♣i, jq, u♣i, jq✟,

où f : N2_{✂ R}N _{✂ R}M _{ÝÑ R}N _{est la fonction qui définit ce nouveau modèle de Roesser, non}

linéaire, non autonome, avec un second membre uP ♣RM_qN2

, M P N. De même (voir [135,108]), on peut étendre le modèle de Fornasini - Marchesini en remplaçant (FM-Mod) par :

❅ ♣i, jq P N2_{, x♣i 1, j 1q ✏ f i, j, x♣i, j 1q, x♣i 1, jq, u♣i, jq}✟_,

où f : N2_{✂ R}N _{✂ R}N _{✂ R}M _{ÝÑ R}N _{est la fonction qui définit ce nouveau modèle de Roesser,}

non linéaire, non autonome, avec un second membre uP ♣RM_qN2

, M P N. 1.3.3.2 Cas hybride

Une autre extension du modèle de Roesser (R-Mod) - (CIN2) a été beaucoup étudié , il s’agit

d’un système hybride avec une dimension discrète et une continue (voir [66,18,116,87,32]) qui permet de modéliser, par exemple, des problèmes liés à la gestion de convois (pelotons) de voitures (voir [83]) : ❅ ♣t, kq P R ✂ N, ✩ ✬ ✬ ✫ ✬ ✬ ✪ ✂ ❇tx1♣t, kq x2♣t, k 1q ✡ ✏ A x♣t, kq P KN_, x1♣0, kq ✏ Ψ1♣kq , x2♣t, 0q ✏ Ψ2♣tq,

où la solution x a deux composantes, l’une continue et l’autre discrète. L’analogue de l’incré-mentation “iÐ i 1” du cas discret est la dérivation par rapport à la variable continue. La condition initiale Ψ2 est ici une fonction de R Ñ KN2 alors que Ψ1 est une suite à une variable de KN1. Rien ne change concernant la matrice AP M

N♣Kq.

1.3.3.3 Cas implicite

Les modèles que nous avons rencontrés jusqu’ici sont explicites, c’est-à-dire que l’on dispose d’une formulation de l’état futur, ♣x1♣i 1, jq, x2♣i, j 1qq pour le système (R-Mod) et x♣i 1, j 1q pour (FM3-Mod) (ou (FM-Mod)), en fonction des états passés. Il est possible d’imaginer une version implicite de ces différents modèles. Par exemple, le modèle suivant est une version implicite de (FM3-Mod) (voir [81,62,36]) :

❅ ♣i, jq P N2_{, E x♣i 1, j 1q ✏ A x♣i, j 1q B x♣i 1, jq C x♣i, jq,}

où E P MN♣Kq est potentiellement non inversible. Ici, le caractère implicite est donné de manière

linéaire par la matrice non inversible E, mais il est possible d’avoir une forme non linéaire plus générale. Par exemple, voici une extension de (R-Mod),

❅ ♣i, jq P N2_{, f} ✂✂ x1♣i 1, jq x2♣i, j 1q ✡ , x♣i, jq ✡ ✏ 0,

où f : RN _{✂ R}N _{Ñ R}N _{est une fonction donnée qui rend l’équation implicite sous certaines}

conditions.

Remarquons que dans le cas 1D, l’unique dimension est souvent associée au temps. Ainsi, un modèle implicite peut être non causal, c’est à dire qu’il ne peut pas décrire le comportement d’un système réel pour lequel tout signal ne peut dépendre d’un autre signal dans le futur. Dans le cas 2D, il est probable qu’au moins une des deux dimensions ne soit pas associée au temps, mais par exemple à l’espace. Il est donc possible que la causalité ne soit un enjeu que sur une dimension, voire sur aucune. Cependant, nous ne traiterons pas ce sujet dans cette thèse. 1.3.3.4 Cas nD

Enfin, pour le moment, nous avons seulement parlé des systèmes de Roesser et de Fornasini -Marchesini à deux variables. On va rapidement voir ici qu’ils sont généralisables en dimension nP N✝ quelconque (voir [77,65,18]). Pour cela, nous utiliserons, avec i :✏ ♣i1, . . . , inq P Nnet

mP N quelconques, la notation ♣♣ik✌ mq pour désigner le n-uplet ♣i1, . . . , ik_✁1, m, ik_✁1, . . . , inq.

Le modèle de Roesser (R-Mod) en version nD peut ainsi s’écrire :

❅ i P Nn_{, ❅ k P rr1, nss,} ✩ ✬ ✬ ✫ ✬ ✬ ✪ xk♣♣ik✌ ik 1q ✏ n ➳ l✏1 Aklxl♣iq P KNk, xk♣♣ik,0q ✏ Ψk♣♣ikq,

où l’unique solution x a n composantes xk, qui sont des suites de♣KNkqN

n

, avec N1 ☎ ☎ ☎ Nn✏ N.

Les matrices Aij P MNi,Nj♣Kq définissent le système et les ΨkP ♣K

NkqNn✁1 les conditions initiales.

Quant au modèle de Fornasini - Marchesini en nD, nous l’étudierons dans l’annexe (voir B) où nous généraliserons notamment certains résultats de stabilités obtenus dans le cas 2D. Il peut s’écrire comme suit :

❅ i P ♣N✝_qn_{, ❅ k P rr1, nss,} ✩ ✬ ✬ ✫ ✬ ✬ ✪ x♣iq ✏ n ➳ l✏1 Alx♣♣il✌ il✁ 1q P KN, x♣♣ik,0q ✏ Ψk♣♣ikq,

où les matrices A1, . . . , AnP MN♣Kq définissent le modèle et les ΨkP ♣KNqN

n✁1

les conditions initiales.

1.3.4 Problème des conditions initiales

Comme on l’a précisé en début de section, les différents modèles 2D que l’on a abordés sont tous définis sur le quart de plan discret N2 _{(les indices i et j sont des entiers naturels). Pour qu’il} existe des solutions, il faut alors se donner des conditions initiales qui soient compatibles avec ces équations. Dans ce cas, on pourra calculer une solution par récurrence, qui est unique étant donnée la forme de nos modèles. Une première question se pose donc : où choisir les conditions initiales quand on travaille sur N2_?

Contrairement au cas 1D défini par (1D-Mod) - (1D-CI), pour initialiser le système, il n’est pas suffisant de connaître une seule valeur de x (ou un nombre fini de valeurs, nécessaire dans le cas (1.3)). Nous avons besoin d’imposer un nombre infini de valeurs initiales sur un sous-ensemble de N2_{, mais le choix de ce sous-ensemble est spécifique au système considéré et n’est pas unique.} Cette particularité, spécifique au cas des systèmes multidimensionnels, rendra leur étude plus riche et complexe que celle des systèmes dynamiques à une seule variable.

Concernant les deux modèles de Fornasini - Marchesini (FM3-Mod) et (FM-Mod), quand on se place sur N2_{, un choix naturel en terme de calculabilité est de se donner les conditions}

initiales sur la frontière de N2 _{(les demi-axes N✂ t0✉ et t0✉ ✂ N) comme nous l’avons fait jusqu’à} présent. Ce parti pris a été beaucoup adopté dans la littérature (e.g., [109, 96, 74, 80, 32]). Pour le modèle de Roesser (R-Mod), ce choix ne va pas s’avérer idéal. En effet, en voulant imposer les valeurs de x sur les deux demi-axes, cela pourrait entraîner trop de contraintes et conduire à un système sans solution : il y aurait alors une incompatibilité des conditions initiales sur le modèle3_{. C’est pourquoi on se donne avec (CI}

N2) seulement les valeurs de la première

composante x1 sur t0✉ ✂ N et les valeurs de la deuxième composante x2 sur N✂ t0✉, ce qui est suffisant à assurer l’existence et l’unicité de la solution. D’ailleurs, on peut facilement vérifier avec l’équation (R-Mod) et la formule (1.7) que la solution x prend les valeurs suivantes sur la frontière de N2 _{: pour tout ♣i, jq P N}2_,

x♣i, 0q ✏ ✂ Ai₁₁Ψ1♣0q i➳✁1 k✏0 Ai₁₁✁1✁kA₁₂Ψ2♣kq , Ψ2♣iq ✡ , et x♣0, jq ✏ ✂ Ψ1♣jq , Aj₂₂Ψ2♣0q j_➳✁1 k✏0 Aj₂₂✁1✁kA21Ψ1♣kq ✡ , (1.16)

avec comme convention que la première somme est nulle si i✏ 0, ainsi que la deuxième si j ✏ 0. Il est important de retenir qu’il n’y a pas qu’un seul choix possible pour les conditions initiales. Par exemple, les auteurs de [108] ne les prennent sur les demi-axes N✂ t0✉ et t0✉ ✂ N mais sur N✂t0✉ t♣i0, j0q✉ et t0✉✂N t♣i0, j0q✉. Le point ♣i0, j0q P ♣N✝q2 induit une translation de N2 _{sur N}2 _{t♣i0, j0q✉ où la solution est alors définie. De la même manière, d’autres exemples} sont proposés dans [61]. Enfin, dans le cas de (FM-Mod) où l’on suppose AP GN♣Kq, on pourrait

imaginer des conditions initiales du type : x♣k0, jq ✏ Ψ1♣jq, x♣i, 0q ✏ Ψ2♣iq, où k0 P N✝ est fixé et Ψ1♣0q ✏ Ψ2♣k0q. Les valeurs de x se calculeraient alors avec la relation :

❅ ♣i, jq P N2_{, x♣i, jq ✏} ✩ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✫ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✪ A✁1x♣i 1, jq A✁1Bx♣i 1, j ✁ 1q, si i➔ k0, j → 0, Ψ1♣jq, si i✏ k0, j → 0, Ax♣i ✁ 1, jq Bx♣i, j ✁ 1q, si i→ k0, j → 0, Ψ2♣iq, si i➙ 0, j ✏ 0.

On vérifie que la solution est ainsi bien définie.

Une deuxième question se pose ensuite à nous : que se passe t-il si on se place non plus sur N2 mais sur un autre sous-ensemble de Z2_{? En effet, on a jusqu’ici considéré des systèmes discrets} qui ont leurs indices i et j dans N, mais il est tout à fait possible de les prendre dans Z. Dans ce cas, il faut repenser la problématique des conditions initiales puisqu’on a alors d’avantage de choix dans la manière d’initialiser le système (Voir [61, 125] pour un point vue algébrique général).

Une possibilité, adoptée par Fornasini et Marchesini concernant leurs modèles (FM3-Mod) et (FM-Mod), est de réduire l’étude à l’ensemble Z2 _:✏✥_{♣i, jq P Z}2 _{④ i j ➙ 0}✭_{⑨ Z}2 _{et de fixer} les conditions initiales sur la frontière de Z2 _{(voir [59, 60]). L’idée est d’étendre en 2D la notion} de passé / présent / futur qui existe naturellement en 1D quand la variable discrète représente une notion temporelle : l’initialisation du système se fait donc sur l’axe✥♣i, jq P Z2 _{④ i j ✏ 0}✭_, puis pour un certain instant k0 P N✝_{, il y a}

— le passé sur✥♣i, jq P Z2 _{④ 0 ↕ i j ➔ k0}✭_, — le présent sur✥♣i, jq P Z2 _{④ i j ✏ k0}✭_, — le futur sur ✥♣i, jq P Z2 _{④ i j → k0}✭_.

3. L’analogue 1D de cette situation est par exemple donné par le système (1.4) auquel on impose en plus x♣1q ✏ x1P KN tel que x1✘ Ax0.

La forme du système de Fornasini - Marchesini permet de dire que le futur de la solution est uniquement déterminé par ses valeurs à l’instant présent, elles mêmes imposées par ses états du passé. Cependant, ce choix n’est pas beaucoup employé dans la littérature et on peut remarquer que ce n’est pas le plus simple pour calculer la solution termes à termes. De plus, cette approche n’a pas été envisagé dans l’étude du modèle de Roesser, puisqu’en général on restreint son étude au quart de plan N2_.

En résumé, pour initialiser un système il y a plusieurs choix possibles, selon que l’on se place sur Z2 _{ou un de ses sous-ensembles. Dans la suite, quand on travaillera avec le modèle} de Roesser (R-Mod), on se placera toujours sur N2 _{et on utilisera un seul type de conditions} initiales : celles décrites par (CIN2), illustrées par la figure1.4 ci dessous.

Figure 1.4 – Conditions initiales du type (CI_N2) d’un système de Roesser (R-Mod)

♣0, 0q i j x1♣i, jq P KN1 Ψ1♣jq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ♣0, 0q i j x2♣i, jq P KN2 Ψ2♣iq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x₁♣i, jq P KN1 _x 2♣i, jq P KN2 Ψ1♣jq Ψ2♣iq

Ensuite, quand on traitera du modèle de Fornasini - Marchesini (FM-Mod), il y aura deux possibilités (les plus étudiées dans la littérature) suivant que l’on se place respectivement sur Z2 ou N2 :

- Conditions initiales sur ✥♣i, jq P Z2 _{④ i j ✏ 0}✭_:

❅i P Z, x♣i, ✁iq ✏ X ♣iq, (CIZ2)

- Conditions initiales sur les demi-axes positifs, i.e., sur t0✉ ✂ N and N ✂ t0✉ :

❅♣i, jq P N2_{, x♣0, jq ✏ Ψ1♣jq , x♣i, 0q ✏ Ψ2♣iq, (CI} N2) où les suites Ψ1,Ψ2 P ♣KNqN sont données telles que Ψ1♣0q ✏ Ψ2♣0q.

Illustrons simplement ces deux types de conditions initiales sur l’image 1.5qui suit. Figure 1.5 – Conditions initiales d’un système de Fornasini - Marchesini (FM-Mod)

♣0, 0q i j CIZ:X♣iq CIN: Ψ1♣jq , Ψ2♣iq Z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Remarque 5. Comme les conditions initiales (CIN2) du système de Roesser (qui impliquent (1.16))

sont imposées de manière assez similaire à celles du modèle de Fornasini - Marchesini considéré sur N2_{, s’il n’y a pas d’ambiguïté, on notera (CI}

N2) pour faire référence aux deux situations.

Pour plus de concision, on utilisera parfois la suite Ψ P ♣KN_qN2

qui regroupe les conditions initiales Ψ1 et Ψ2 de la manière suivante :

Ψ :✏ ✩ ✬ ✫ ✬ ✪ ♣Ψ1,0q , sur t0✉ ✂ N, ♣0, Ψ2q , sur N ✂ t0✉, 0, sur N2_{③ ❇N}2_,

dans le cas du modèle de Roesser, ou Ψ :✏ ✩ ✬ ✫ ✬ ✪ Ψ1, surt0✉ ✂ N, Ψ2, sur N✂ t0✉, 0, sur N2_{③ ❇N}2_,

dans le cas du modèle de Fornasini - Marchesini. Ainsi, le maximum des normes infinies de Ψ1 et Ψ2 peut s’écrire ⑥Ψ⑥_✽ :✏ ⑥Ψ1⑥_✽❴ ⑥Ψ2⑥_✽.

On verra dans le chapitre suivant que le choix de travailler sur Z2 _{ou sur N}2 _{aura des} conséquences importantes sur la solution du système étudié, tout comme le choix des conditions initiales (contrairement à ce que peuvent affirmer certains chercheurs : voir par exemple [94]). En particulier, les notions de stabilité peuvent différer selon que l’on se place dans un cas ou dans l’autre. On mettra en évidence une confusion souvent faite à ce sujet dans la littérature : la stabilité structurelle et la stabilité asymptotique ne sont pas toujours équivalentes (voir Chapitre3).

1.4 Définitions de stabilité dans la littérature

Dans cette partie, on va énoncer plusieurs définitions de stabilité que l’on peut rencontrer dans la littérature concernant les systèmes linéaires 2D de Roesser (R-Mod) et Fornasini - Marchesini (FM-Mod). On commencera par la notion de point d’équilibre pour ensuite introduire la stabilité asymptotique et la stabilité exponentielle. Ces deux notions ont été généralisées de manières différentes, suivant les auteurs, du cas 1D au cas 2D (voir 1.2.3). La difficulté sera de savoir quelles seront les extensions les plus pertinentes parmi toutes celles proposées par les chercheurs. Puis, on introduira une troisième définition : la stabilité structurelle. Il s’agit d’une propriété algébrique du modèle qui ne fait pas intervenir les conditions initiales. À la fin de cette partie, on discutera des problèmes que peuvent poser certaines définitions et on expliquera pourquoi on privilégiera certaines plutôt que d’autres.

1.4.1 Notions de points d’équilibre

Avec les systèmes dynamiques à une variable, on a d’abord défini ce qu’est un point d’équilibre (voir Définition1) pour parler ensuite de stabilité de celui-ci et on a vu que l’on pouvait toujours se ramener à l’étude de la stabilité en l’origine. Dans le cas 2D, cette notion du point d’équilibre est peu abordée. De plus, il est peut-être moins immédiat de voir pourquoi on peut le supposer être à l’origine, c’est ce que que nous allons développer dans ce qui suit.

Il est possible de réécrire les modèles de Roesser (R-Mod) et Fornasini - Marchesini (FM-Mod) autonomes sous la forme suivante :

❅ ♣i, jq P ♣N✝q2_{, x♣i, jq ✏ f x♣i ✁ 1, jq, x♣i, j ✁ 1q}✟_{, où f : K}N _{✂ K}N _{Ñ K}N_.

Un point d’équilibre de ce système est ici un vecteur x✍ _{P K}N _{tel que x}✍ _{✏ f♣x}✍_{, x}✍_{q (voir}

par exemple [94]). Comme le cas 1D autonome (1D-Mod), on peut supposer sans perte de généralité que x✍ ✏ 0. En effet, on pourrait considérer la suite y :✏ x ✁ x✍ _{qui vérifie l’équation} y♣i, jq ✏ g y♣i ✁ 1, jq, y♣i, j ✁ 1q✟sur♣N✝q2, où la fonction

g: KN ✂ KN ÝÑ KN, ♣X, Y q ÞÝÑ f ♣X x✍, Y x✍q ✁ x✍,

est telle que g♣0, 0q ✏ 0. Notons qu’en linéaire, les points d’équilibres correspondent au noyau de IN ✁ A pour (R-Mod) et au noyau de IN✁ A ✁ B pour (FM-Mod).

Remarque 6. Dans les cas qui vont nous intéresser par la suite, à savoir les systèmes de Roesser (R-Mod) et de Fornasini - Marchesini (FM-Mod), on basera l’étude de la stabilité autour de

l’origine et on parlera abusivement de stabilité du système. 1.4.2 Stabilité asymptotique

Dans la littérature, la stabilité asymptotique a été définie de différentes manières selon les systèmes (linéaires ou non-linéaires) et varie suivant le type de conditions initiales imposées. On rappelle ici deux définitions principales utilisées dans la suite, qui diffèrent selon le choix des conditions initiales du type (CIN2) ou (CI_Z2) (voir la partie1.3.4précédente pour plus de

détails).

Définition 3 ([94, 87, 132]). Les systèmes de Roesser (R-Mod) et de Fornasini - Marchesini (FM-Mod), soumis aux conditions initiales Ψ1,Ψ2 du type (CI_N2) (ou simplement Ψ), sont dits

asymptotiquement stables si leur solution x est :

➍ stable : ❅ ε → 0, ❉ δε→ 0 ④ ⑥Ψ⑥_✽↕ δε ñ ⑥x⑥_✽ ↕ ε. (Stab)

Notons que ΨP c0♣N2_{, K}N_{q équivaut à Ψ1,Ψ2P c0♣N, K}N_{q dans le cas du modèle de Fornasini}

- Marchesini (ou à Ψ1 P c0♣N, KN1q et Ψ2 P c0♣N, KN2q dans le cas du modèle de Roesser). Ensuite, rappelons que xP c0♣N2_{, K}N_{q désigne une suite convergente vers zéro (sous entendu à l’infini)}

ce qui s’écrit mathématiquement :

❅ ε → 0, ❉ NεP N ④ ❅ ♣i, jq P N2, i j ➙ Nε ñ ⑤x♣i, jq⑤ ↕ ε.

Pour qu’il n’y ai aucune ambiguïté, précisons également la formulation mathématique de xP c0♣Z2, KNq :

❅ ε → 0, ❉ NεP N ④ ❅ ♣i, jq P Z2, ⑤i⑤ ⑤j⑤ ➙ Nε ñ ⑤x♣i, jq⑤ ↕ ε.

Lorsque les conditions initiales sont du type (CIN2), la définition3est une simple généralisation

des propriétés classiques de stabilité / attractivité des systèmes 1D définis par (1D-Mod). Concernant l’attractivité, on veut que la solution converge vers zéro, mais contrairement au cas 1D, la convergence d’une suite à plusieurs variables doit être assurée dans n’importe quelle direction pointant vers l’infini. En particulier, x doit tendre vers zéro en suivant les demi-axes N✂ t0✉ et t0✉ ✂ N, ce qui implique nécessairement que Ψ1♣jq :✏ x1♣0, jq Ñ 0 et Ψ2♣iq :✏ x2♣i, 0q Ñ 0 (avec (R-Mod)) ou Ψ1♣jq :✏ x♣0, jq Ñ 0 et Ψ2♣iq :✏ x♣i, 0q Ñ 0 (avec (FM-Mod)). C’est pourquoi on demande à ce que Ψ converge vers zéro avant de vérifier que x

fasse bien de même, sans quoi cette propriété ne pourrait jamais être vraie.

On pourrait en fait transposer la définition3 à des systèmes définis sur Z2_{, soumis à des} conditions initiales du type (CIZ2). Il faudrait juste modifier légèrement (Att) :

χP c0♣Z, KNq ñ x P c0♣Z2, KNq,

puisque la solution devrait converger en particulier en suivant l’axe des conditions initiales ✥

♣i, jq P Z2_{④ i j ✏ 0}✭_{. Cependant, cette définition n’a jamais été proposée dans la littérature.} D’autre part, comme notre but est de généraliser le cas 1D, il faut faire attention à ne pas oublier d’étendre le concept de stabilité (qui correspond à (Stab) dans ce que l’on a introduit précédemment). Par exemple, dans [67], l’auteur définit la stabilité asymptotique d’un modèle de Roesser par la condition :

sup

iPrr0,kss ⑤ x♣i, k ✁ iq ⑤ ÝÝÑk

0.

Il s’agit d’une inspiration de la définition donnée dans [3], qui transpose celle introduite dans [60] (voir (SAZ2) de la définition 4qui va suivre) pour le modèle de Fornasini - Marchesini. Au final,

cela n’est équivalent qu’à l’attractivité (Att) et donc ne prend pas en compte une notion de stabilité analogue à celle du cas 1D. Cependant, nous reviendrons sur ce point à la section3.4

pour un éclaircissement.

La deuxième définition utilisée dans la littérature concerne le modèle de Fornasini - Marchesini, quand on se place sur Z2_.

Définition 4 ([60]). Le système (FM-Mod), considéré sur Z2_{, soumis à la condition initiale X} du type (CIZ2) est dit asymptotiquement stable si :

✂ X P l✽♣Z, KNq ✡ ñ ✂ sup iPZ ⑤ x♣i, k ✁ iq ⑤ ÝÝÑk 0 ✡ . (SAZ2)