Chapitre 5 Existence et unicité des solutions aux systèmes de Roesser
5.3 Cas localement lipschitzien
5.3.2 Extension des solutions
5.4 Conclusion . . . 122
5.1 Introduction
Malgré le fait que les systèmes multidimensionnels soient étudiés depuis plusieurs dizaines d’années, leurs analyses étaient principalement focalisées sur des cas discrets et/ou linéaires. En effet, comme nous avons pu le voir, ces types de modèles couvrent déjà un vaste champs d’appli- cations pratiques et sont suffisamment complexes pour faire émerger les premières difficultés (voir par exemple [75]). Cependant, plusieurs chercheurs se sont récemment intéressés au cas continu et/ou non-linéaire, même si certains avaient déjà ouvert la voie auparavant (voir [96] pour l’un des premiers travaux sur le sujet et [19] pour une vue d’ensemble des différentes problématiques alors rencontrées). Par exemple, l’auteur de [51] examina l’équation de Darboux (une équation aux dérivées partielles (EDP) connue pour modéliser un système de filtrage d’un liquide), obtenue après une transformation d’un modèle de Roesser. L’idée de faire ce type de lien (EDP/Roesser) pour en exploiter les particularités de chacun de ces modèles avait déjà
été explorée par [101] et [30]. Dans [84], la stabilité d’un système continu avec singularité a été développée. De plus, le premier auteur des travaux précédents a consacré un chapitre entier de sa thèse au cas non-linéaire et a, notamment, apporté plusieurs contributions nouvelles aux problèmes de stabilité (au travers de la théorie de Lyapunov) appliqués à des pelotons de véhicules (voir [85]). Désormais, cette théorie de Lyapunov intéresse de plus en plus la communauté des systèmes 2D non-linéaires et les questions de stabilité et de stabilisation du modèle de Roesser non-linéaire semblent avoir attiré l’attention de plusieurs auteurs (voir [131,121,1,56]). On a également pu voir dernièrement que des conditions LMI (Inégalités Matricielles Linéaires) ont été développées par les auteurs de [68, 32] dans le but de répondre au problème de stabilité d’un système Roesser hybride (voir la sous-section1.3.3.2). Dans [93], la définition de stabilité est étendue pour des systèmes 2D non-linéaires à paramètres et plusieurs théorèmes sont alors donnés dans ce cadre. Finalement, on peut encore citer l’auteur de [122] qui propose une approche nouvelle pour trouver une fonction de Lyapunov d’un modèle de Roesser non-linéaire général.
Toutes ces dernières avancées montrent ainsi que les systèmes continus et/ou non-linéaires séduisent de plus en plus la communauté des systèmes nD. Malgré tout, certaines questions n’ont toujours pas été complètement étudiées, particulièrement dans le cas non-linéaire. Un exemple est celui du problème de Cauchy, concernant le modèle de Roesser continu non-linéaire, qui traite de l’existence même de solutions. Nous allons justement nous consacrer à cela dans ce qui va suivre.
Ce chapitre est naturellement découpé en deux parties indépendantes, où chacune traite du problème selon une certaine hypothèse de départ. Plus précisément, nous supposerons dans un premier temps que la fonction f qui définit le système est globalement lipschitzienne et nous verrons que cela entraine l’existence et l’unicité d’une solution, définie globalement. Puis, nous affaiblirons cette hypothèse dans la seconde partie, en supposant que f est seulement localement lipschitzienne, ce qui donnera alors des solutions définies seulement localement. Avant de commencer, notons que l’étude qui est faite ici suit les grandes lignes de la théorie de Cauchy pour les équations différentielles ordinaires (EDO). En effet, le modèle de Roesser généralise ce type d’équation et les techniques de points fixes employées pour établir le théorème de Cauchy-Lipschitz s’étendent facilement dans notre cas. Il peut donc être utile d’avoir déjà suivi un cours sur les EDO ou de se référer à un ouvrage qui traite du sujet (voir par exemple [113] ou [48, Chapitre 5]).
Concernant les normes usuelles, pour éviter les erreurs, nous préciseront à chaque fois la taille de l’espace dans lequel nous utiliseront la norme. Pour cela, nous utiliserons la notation⑤ ☎ ⑤m,✽
pour désigner la norme infinie de Km, mP tN1, N
2, N✉, jusqu’alors simplement notée ⑤ ☎ ⑤✽. Nous nous servirons de la relation élémentaire :
⑤ ☎ ⑤N1,✽, ⑤ ☎ ⑤N2,✽ ↕ ⑤ ☎ ⑤N1,✽❴ ⑤ ☎ ⑤N2,✽✏ ⑤ ☎ ⑤N,✽.
De plus, pour une fonction x : I Ñ KN définie sur I❸ ♣R q2, nous noterons⑥x⑥
I,✽ le supremum
des valeurs de⑤x♣tq⑤N,✽ lorsque t balaye l’ensemble I.
Enfin, nous utiliserons dans ce chapitre la notion de compacité ainsi que la notation A⑨⑨ B associée, qui signifie que A est un compact de l’ensemble B. Rappelons au passage qu’en dimension finie, les compacts sont simplement les fermés bornés (voir par exemple [70, Chapitre 1]).
5.2 Cas globalement lipschitzien
Cette partie a été présentée lors de la conférence European Control Conference 2015, en Autriche (voir [47]).
Tout d’abord, nous allons commencer par poser le cadre en définissant le modèle de Roesser 2D continu, non-linéaire, qui étend celui que l’on a déjà vu dans le cas discret (voir la sous- section1.3.3.1). De manière analogue au cas discret, nous fixerons les conditions initiales sur la frontière de ♣R q2, nous supposerons que la fonction f qui définit le système est régulière en un certain sens et nous chercherons des solutions ayant également une certaine régularité. Le résultat principal de cette partie est basé sur un théorème de point fixe, qui ne s’applique justement que dans un cadre précis (il faut considérer une contraction d’un espace de Banach). Pour démontrer notre résultat, nous allons voir qu’il existe des solutions définies localement (sur un carré de taille fixe), puis, nous arriverons à obtenir une solution globale unique au problème (définie sur tout♣R q2) grâce à une technique de recollement. Enfin, nous illustrerons l’importance des hypothèses du théorème à l’aide de contre-exemples très simples, et, avant de passer à la deuxième partie de ce chapitre, nous verrons que cette étude se transpose aisément au modèle de Fornasini - Marchesini continu, non-linéaire. La seule nuance à laquelle il faudra faire attention est de bien préciser le cadre de ce nouveau problème.
5.2.1 Théorème d’existence et d’unicité 5.2.1.1 Préliminaire
Soit f ✏ ♣f1, f2q : KN1✂ KN2 Ñ KN1✂ KN2 ✔ KN une application continue. Considérons le système de Roesser suivant :
❅ ♣t1, t2q P ♣R q2, ✄ ❇t1x1♣t1, t2q ❇t2x2♣t1, t2q ☛ ✏ ✄ f1 x1♣t1, t2q, x2♣t1, t2q ✟ f2 x1♣t1, t2q, x2♣t1, t2q✟ ☛ ✏ f x♣tq✟. (R-C✆-Mod) Soient Ψ1 : R Ñ KN1 et Ψ2 : R Ñ KN2 deux fonctions continues fixées. On regardera l’équation (R-C✆-Mod) soumise aux conditions initiales données par :
❅ ♣t1, t2q P ♣R q2, x1♣0, t2q ✏ Ψ1♣t2q et x2♣t1,0q ✏ Ψ2♣t1q. (CIR2) Le système (R-C✆-Mod)-(CI
R2) est une extension du modèle de Roesser 2D (R-Mod)-(CIN2)
au cas continu, non-linéaire. Une solution de ce système est une fonction x continue telle que ses dérivées partielles ❇t1x1 et ❇t2x2 existent au sens usuel et vérifient l’équation (R-C✆-Mod) sur ♣R q2, ainsi que les conditions initiales (CI
R2) sur la frontière de ♣R q2. Nous pouvons
également donner une définition équivalente, qui sera celle employée dans la suite :
Définition 14. Une fonction x✏ ♣x1, x2q est une solution du système de Roesser (R-C✆-Mod)- (CIR2) si x est une fonction continue vérifiant
❅ ♣t1, t2q P ♣R q2, ✩ ✬ ✬ ✬ ✫ ✬ ✬ ✬ ✪ x1♣tq ✏ Ψ1♣t2q ➺t1 0 f1♣x♣s, t2qq ds, x2♣tq ✏ Ψ2♣t1q ➺t2 0 f2♣x♣t1, sqq ds. (5.1)
Les deux définitions d’une solution sont les mêmes puisque si x vérifie (5.1), alors ses deux dérivées partielles❇t1x1 et❇t2x2existent automatiquement, sont continues sur♣R q
2et sont bien égales au membre de droite de (R-C✆-Mod). Réciproquement, on voit par intégration qu’une fonction continue solution de (R-C✆-Mod)-(CI
R2) vérifie alors (5.1).
Dans cette première partie, nous supposerons que la fonction f qui définit le modèle de Roesser est globalement lipschitzienne, c’est à dire qu’elle satisfait l’hypothèse (un peu plus forte que la "simple" continuité) qui suit.
Définition 15. Une fonction f : KN Ñ KN est globalement L-lipschitzienne (ou L-lipschitz)
pour une constante L→ 0 donnée si
❅ ♣y, zq P ♣KNq2, ⑤f♣yq ✁ f♣zq⑤
N,✽↕ L ⑤y ✁ z⑤N,✽.
Notons que l’on dit parfois que la fonction f est globalement lipschitzienne28 s’il existe une certaine constante L→ 0 telle que f satisfait la définition précédente. Ainsi, nous allons prouver que, sous cette hypothèse, le modèle (R-C✆-Mod) admet une unique solution dans l’espace des fonctions continues C♣♣R q2, KNq, qui vérifie les conditions initiales (CI
R2).
5.2.1.2 Résultat principal
Nous allons commencer par résoudre le problème sur un carré I✆ :✏ rt✆
1, t✆1 Ts✂rt✆2, t✆2 Ts ⑨⑨ ♣R q2, de taille (suffisamment petite) fixée par T → 0, pour un t✆ :✏ ♣t✆
1, t✆2q P ♣R q2 quelconque. L’idée sous-jacente est de pouvoir trouver une solution sur n’importe quel compact de♣R q2 de taille fixe, puis ensuite de les recoller entre elles afin d’obtenir une solution sur♣R q2 tout entier.
Pour cela, introduisons l’ensemble fonctionnel X✆ :✏ C♣I✆, KNq, que l’on munit de la norme
infinie notée ⑥ ☎ ⑥I✆,✽, et démontrons le résultat intermédiaire suivant :
Lemme 11. Supposons que la fonction f qui définit (R-C✆-Mod) soit globalement L-lipschitzienne (au sens de la définition15) et fixons T → 0 telle que LT ➔ 1, ainsi que t✆ :✏ ♣t✆1, t✆2q P ♣R q2. Considérons deux fonctions continues α1 :rt✆2, t✆2 Ts Ñ KN1 et α2:rt✆1, t✆1 Ts Ñ KN2. Alors, le système de Roesser (R-C✆-Mod) soumis aux conditions initiales
★
α1, sur t0✉ ✂ rt✆2, t✆2 Ts, α2, sur rt✆1, t✆1 Ts ✂ t0✉ ,
(5.2) admet une unique solution dans X✆ ✏ C♣I✆, KNq.
Démonstration. Considérons U✆: X✆ Ñ X✆, définie pour tout yP X✆ par :
❅ t :✏ ♣t1, t2q P I✆, ✩ ✬ ✬ ✬ ✬ ✫ ✬ ✬ ✬ ✬ ✪ U1✆♣yq♣tq ✏ α1♣t2q ➺t1 t✆1 f1♣y♣s, t2qq ds, U2✆♣yq♣tq ✏ α2♣t1q ➺t2 t✆2 f2♣y♣t1, sqq ds.
Cette application est clairement bien définie (pour rappel : α1, α2, f1 et f2 sont des fonctions continues). L’intérêt d’introduire U est de pouvoir faire la remarque suivante : une fonction continue x est solution de (R-C✆-Mod)-(5.2) si et seulement si elle est un point fixe de U✆ (i.e., U✆♣xq ✏ x). Ensuite, comme I✆ est compact et KN complet, l’espace X✆,⑥ ☎ ⑥
I✆,✽
✟ est un Banach. Ainsi, d’après le théorème de point fixe de Banach (voir le théorème21 de l’annexe C), pour prouver le résultat attendu, il nous suffit de montrer que U✆ est strictement contractante. Pour cela, prenons y, zP X✆ et observons que pour tout t :✏ ♣t1, t2q P I✆, nous avons
⑤U1✆♣yq♣tq ✁ U1✆♣zq♣tq⑤N1,✽ ✏ ✞✞ ✞✞ ✞ ➺t1 t✆1 ✏ f1♣y♣s, t2qq ✁ f1♣z♣s, t2qq✘ds ✞✞ ✞✞ ✞ N1,✽ ↕ ➺t1 t✆1 ✞✞f♣y♣s, t2qq ✁ f♣z♣s, t2qq✞✞N,✽ds ↕ L ➺t✆1 T t✆1 ✞✞y♣s, t2q ✁ z♣s, t2q✞✞N,✽ds ↕ LT ⑥y ✁ z⑥I✆,✽.
On obtient ensuite une seconde inégalité, analogue, avec ⑤U✆
2♣yq♣tq ✁ U2✆♣zq♣tq⑤N2,✽. Puisqu’elles sont toutes les deux vraies pour tout tP I✆, nous en déduisons que
⑥U✆♣yq ✁ U✆♣zq⑥I✆,✽ ↕ LT ⑥y ✁ z⑥I✆,✽.
Enfin, comme par hypothèse LT ➔ 1, on conclut que U✆ est bien contractante, ce qui termine la preuve.
Nous sommes maintenant en mesure d’énoncer et de démontrer le résultat principal de cette partie.
Théorème 11. Supposons que la fonction f qui définit (R-C✆-Mod) soit globalement L- lipschitzienne (au sens de la définition15). Alors, le modèle non-linéaire 2D de Roesser (R-C✆-Mod) soumis aux conditions initiales (CIR2) admet une unique solution x dans C♣♣R q2, KNq.
Démonstration. Commençons par utiliser le lemme 11: il existe une solution x✏ ♣x1, x2q définie sur29 r0, T s2, satisfaisant ❅ ♣t1, t2q P r0, T s2, x1♣0, t2q ✏ Ψ1♣t2q et x2♣t1,0q ✏ Ψ2♣t1q.
✆ Dans un premier temps, nous allons étendre cette solution sur le rectangle r0, T s ✂ r0, 2T s (voir à la fin de la preuve la figure5.1 pour une illustration). Pour cela, on applique une nouvelle fois le lemme11, avec le point t✆ ✏ ♣0, T q et les conditions initiales α1 ✏ Ψ1 et α2✏ x2♣ ☎ , T q, ce qui nous donne alors une solution y définie sur le carré r0, T s ✂ rT, 2T s. Notons la fonction
rx : r0, T s ✂ r0, 2T s ÝÑ KN,
t ÞÑ
★
x♣tq, si t P r0, T s2,
y♣tq, si t P r0, T s ✂ rT, 2T s.
Pour voir que rx est bien définie, il faut nous assurer que ses deux expressions coïncident bien sur l’intersection des deux carrés, c’est à dire que⑥x ✁ y⑥r0,T s✂tT ✉,✽✏ 0. Or, on peut faire le calcul suivant pour tout t1 P r0, T s :
⑤x1♣t1, Tq ✁ y1♣t1, Tq⑤N1,✽✏ ✞✞ ✞✞➺t1 0 rf1♣x♣s, T qq ✁ f1♣y♣s, T qqs ds ✞✞ ✞✞ N1,✽ ↕ ➺T 0 ⑤f♣x♣s, T qq ✁ f♣y♣s, T qq⑤N,✽ ds ↕ L ➺T 0 ⑤x♣s, T q ✁ y♣s, T q⑤N,✽ ds ↕ LT ⑥x ✁ y⑥r0,T s✂tT ✉,✽.
D’autre part, x2✏ y2surr0, T s✂tT ✉ par construction, donc on en déduit que ⑥x ✁ y⑥r0,T s✂tT ✉,✽↕ LT⑥x ✁ y⑥r0,T s✂tT ✉,✽. Puis, comme LT ➔ 1, cela implique que ⑥x ✁ y⑥r0,T s✂tT ✉,✽✏ 0, i.e., rx est bien définie.
✆ Nous allons maintenant montrer que rx est solution de (R-C✆-Mod) sur r0, T s ✂ r0, 2T s. Cela est presque évident étant donné que x et y sont solutions sur respectivement r0, T s2 et r0, T s ✂ rT, 2T s. Le seul point non trivial est de s’assurer que ❇t1rx1♣t1, Tq existe pour tout t1P r0, T s et est égale à f1♣rx♣t1, Tqq. Il en découle de ces trois points suivants :
✩ ✬ ✫ ✬ ✪
Sur r0, T s2 : rx ✏ x, solution de (R-C✆-Mod), donc ❇t
1rx1♣t1, T✁q ✏ f1♣x♣t1, Tqq, Sur r0, T s ✂ rT, 2T s : rx ✏ y, solution de (R-C✆-Mod), donc ❇t1rx1♣t1, T q ✏ f1♣y♣t1, Tqq, Sur r0, T s ✂ tT ✉ : rx ✏ y ✏ x, c’est à dire rx♣t1, Tq ✏ x♣t1, Tq ✏ y♣t1, Tq.
29. La constante T → 0 est fixée par la constante de Lipschitz L avec la relation LT ➔ 1 : voir la démonstration du lemme11.
Finalement, en partant d’une solution x de (R-C✆-Mod) définie initialement sur r0, T s2, nous avons réussi à l’étendre en une solution sur le rectangler0, T s ✂ r0, 2T s. Nous appellerons encore x cette extension. De plus, elle est l’unique solution vérifiant les conditions initiales
❅ ♣t1, t2q P r0, T s ✂ r0, 2T s, x1♣0, t2q ✏ Ψ1♣t2q et x2♣t1,0q ✏ Ψ2♣t1q.
En effet, s’il y avait une autre solution au problème, disons y, alors le lemme 11 nous dirait que les restrictions de x et y au carrér0, T s2 sont égales. Même chose pour leurs restrictions au second carré r0, T s ✂ rT, 2T s, ce qui impliquerait finalement que x ✏ y.
✆ En répétant ce processus d’extension de la solution, on peut par récurrence étendre x en une solution unique (toujours notée x) de (R-C✆-Mod) sur le demi cylindre r0, T s ✂ R , vérifiant
❅ ♣t1, t2q P r0, T s ✂ R , x1♣0, t2q ✏ Ψ1♣t2q et x2♣t1,0q ✏ Ψ2♣t1q.
De la même manière, en suivant la direction t1, on peut ensuite étendre x en une solution unique de (R-C✆-Mod) vérifiant les conditions initiales (CIR2). Cela termine ainsi la preuve.
Figure5.1 – Illustration du recollement - théorème 11
0 T 0 T 2T T T 2T t1 t1 t2 t2 x1♣t1, t2q y1♣t1, t2q x2♣t1, t2q y2♣t1, t2q rx2♣tq P KN2 rx1♣tq P KN1 x1 ✏ Ψ1 x2✏ Ψ2 y2✏ x2 y1 ✏ Ψ1 ✌ ✌ 5.2.1.3 Remarques et contre-exemples
Remarque 24. D’une manière plus générale, nous pouvons considérer le modèle de Roesser (R-C✆-Mod) où l’application f dépend également de la variable t (c’est d’ailleurs ce que nous
ferons dans la prochaine section lorsque l’on traitera le cas localement lipschitzien). Plus précisément, étant donné une fonction f :♣R q2✂ KN Ñ KN, on peut regarder le système
❅ t ✏ ♣t1, t2q P ♣R q2, ✄ ❇t1x1♣tq ❇t2x2♣tq ☛ ✏ f t, x♣tq✟ ④ ★ x1♣0, t2q ✏ Ψ1♣t1q x2♣t1,0q ✏ Ψ2♣t1q , (5.4) Si on suppose que f est globalement lipschitzienne en la deuxième variable, uniformément par rapport à la première, i.e.,
❉ L → 0 ④ ❅ t P ♣R q2, ❅ ♣y, zq P ♣KNq2, ⑤f♣t, yq ✁ f♣t, zq⑤
N,✽ ↕ L ⑤y ✁ z⑤N,✽,
alors, la preuve du théorème précédent pourra s’adapter facilement et montrera que le sys- tème (5.4) admet une unique solution.
On déduit immédiatement du théorème11et de la remarque 24le corollaire qui va suivre, concernant le cas linéaire, non-autonome, avec second membre. Remarquons que ce résultat a été également obtenu dans [51, Lemma 1], dans le cas où AP M2♣Rq est une matrice constante. Corollaire 7. Soient A :♣R q2Ñ M
N♣Kq et u : ♣R q2Ñ KN deux applications continues. Si
A est bornée sur ♣R q2, alors le système défini par ❅ t ✏ ♣t1, t2q P ♣R q2, ✄ ❇t1x1♣tq ❇t2x2♣tq ☛ ✏ A♣tqx♣tq u♣tq ④ ★ x1♣0, t2q ✏ Ψ1♣t1q x2♣t1,0q ✏ Ψ2♣t1q , (5.5) admet une unique solution continue, définie sur tout ♣R q2.
Donnons ensuite deux exemples très simples de modèles de Roesser qui ne satisfont pas entièrement les hypothèses du théorème11. Cela va nous permettre de souligner l’importance de celles-ci, puisque dans ces deux cas-là, la conclusion du théorème n’est alors plus vraie.
Exemple 9. ✌ Considérons f : R2 Ñ R2, ♣y1, y2q ÞÑ ♣ey1, ey2q, application continue qui n’est pas globalement lipschitzienne (seulement localement). La solution x de (R-C✆-Mod)-(CIR2)
satisfait alors
❅ t ✏ ♣t1, t2q P ♣R q2, e✁x1♣tq✏ ✁t1 e✁Ψ1♣t2q et e✁x2♣tq✏ ✁t2 e✁Ψ2♣t1q. En particulier, x n’est pas définie sur tout♣R q2 mais seulement sur le sous ensemble
✦
♣t1, t2q P ♣R q2 ④ ✁ t1 e✁Ψ1♣t2q→ 0 et ✁ t2
e✁Ψ2♣t1q → 0 ✮
⑨ ♣R q2. ✌ Regardons ensuite f : R2 Ñ R2, ♣y1, y2q ÞÑ ♣g♣y1q, g♣y2qq, où
g: R ÝÑ R, y ÞÝÑ
★❄y, si y ➙ 0, 0, sinon.
La fonction f est continue mais n’est pas localement lipschitzienne en♣0, 0q (donc à fortiori pas globalement non plus). En prenant des conditions initiales Ψ1 ✏ 0 et Ψ2 ✏ 0, on peut voir que la solution n’est pas unique. En effet, la fonction nulle ainsi que♣t1, t2q ÞÑ 14♣t21, t22q sont toutes deux solutions de (R-C✆-Mod)-(CIR2).
En résumé, dans les deux exemples présentés, l’hypothèse de Lipschitz globale n’était pas satisfaite. Dans le premier cas, on n’avait que l’existence partielle de la solution et dans le second cas, on a perdu l’unicité.
Ajoutons de plus que le premier exemple montre qu’avec des conditions initiales Ψ1 et Ψ2 non dérivables, alors les dérivées partielles qui n’apparaissent pas dans le système (R-C✆-Mod), i.e.,❇t2x1 et❇t1x2, n’existent pas.
5.2.2 Existence et unicité des solutions du modèle de Fornasini - Marchesini : cas globalement lipschitzien
Avant de poursuivre avec le cas localement lipschitzien du modèle de Roesser, nous allons rapidement voir que l’on peut adapter l’étude précédente (cas globalement lipschitzien) au modèle de Fornasini - Marchesini 2D, continu, non-linéaire. Notre but ici n’est pas de détailler autant que ce que nous avons fait dans la section précédente, mais simplement de montrer comment faire cette adaptation correctement. Pour cela, nous allons poser le bon cadre qui permet de reprendre le raisonnement qui nous a conduit au théorème11(d’existence et d’unicité) de la section précédente.
Comme nous l’avons déjà mentionné rapidement en introduction : un cas particulier de ce modèle (en linéaire) a été étudié dans [51] dans le but d’analyser un problème de filtrage de polluant dans un liquide, le point de départ étant un modèle de Roesser linéaire continu du type (5.5).
5.2.2.1 Préliminaire
Considérons un modèle de Fornasini - Marchesini 2D continu, non linéaire, défini par f P C♣KN ✂ KN, KNq au travers des relations suivantes :
✩ ✫ ✪ sur ♣R q2 : ❇ t1t2x ✏ f ♣❇t1x,❇t2xq , surt0✉ ✂ R : x ✏ Ψ1, sur R ✂ t0✉ : x ✏ Ψ2, (FM-C✆-Mod) où Ψ1,Ψ2P C1♣R , KNq, telles que Ψ1♣0q ✏ Ψ2♣0q ✏: ψ0 P KN, sont les conditions initiales.
Ce système est une extension du modèle de Fornasini - Marchesini 2D (FM-Mod) au cas continu non-linéaire. Nous dirons qu’une solution de ce système est une fonction x de l’espace
✥
yP C1 ♣R q2, KN✟ ④ ❇t1t2y et❇t2t1y existent, sont continues et égales ✭
qui satisfait (FM-C✆-Mod). Comme f est continue, on peut remarquer que les deux dérivées partielles de la solution ❇t1t2x et❇t2t1xseront automatiquement continues. De plus, on voit en intégrant deux fois le système précédent que x est solution de (FM-C✆-Mod) si et seulement si x est dans l’espace C1 ♣R q2, KN✟et est solution de l’équation suivante :
❅ t :✏ ♣t1, t2q P ♣R q2, x♣tq ✏ Ψ1♣t2q Ψ2♣t1q ✁ ψ0 ➻
I♣tq
f♣❇t1x,❇t2xq , (5.6) où l’on note I♣tq :✏ r0, t1s ✂ r0, t2s ⑨⑨ ♣R q2.
Comme précédemment, nous allons supposer en plus que la fonction f qui définit le modèle est globalement L-lipschitzienne pour une constante L→ 0 donnée, c’est à dire que pour tout ♣y1, y2q , ♣z1, z2q P ♣KNq2 on a l’inégalité suivante :
⑤f♣y1, y2q ✁ f♣z1, z2q⑤N,✽↕ L ⑤♣y1, y2q ✁ ♣z1, z2q⑤2N,✽✏ L ⑤y1✁ z1⑤N,✽❴ ⑤y2✁ z2⑤N,✽. 5.2.2.2 Résultat principal
Maintenant que ces précisons ont été apportées, nous allons commencer par résoudre l’équa- tion (5.6) sur le carré I✆:✏ rt✆
1, t✆1 Ts✂rt✆2, t✆2 Ts ⑨ ♣R q2, de taille fixée par T → 0 suffisamment petit, pour t✆ :✏ ♣t✆
1, t✆2q P ♣R q2 quelconque. Pour cela, introduisons l’ensemble fonctionnel X✆:✏ C1♣I✆, KNq que l’on munit de la norme infinie
⑥y⑥X✆,✽:✏ ⑥y⑥I✆,✽❴ ⑥❇t1y⑥I✆,✽❴ ⑥❇t2y⑥I✆,✽.
Cet espace est ainsi un Banach (I✆ est compact et KN complet), cadre adéquat à l’utilisation du
Lemme 12. Supposons que la fonction f qui définit (FM-C✆-Mod) soit globalement L-lipschitzienne et fixons T → 0, strictement inférieur à L✁1❴L✁1④2, ainsi que t✆ :✏ ♣t✆1, t✆2q P ♣R q2. Considérons
α1, α2 des fonctions de respectivement C1♣rt✆2, t✆2 Ts , KNq et C1♣rt✆
1, t✆1 Ts , KNq telles que α1♣t✆2q ✏ α2♣t✆1q ✏ α0 P KN. Le système de Fornasini - Marchesini suivant
✩ ✫ ✪ sur I✆ : ❇t1t2x ✏ f ♣❇t1x,❇t2xq , sur tt✆1✉ ✂ rt✆2, t✆2 Ts : x ✏ α1, sur rt✆1, t✆1 Ts ✂ tt✆2✉ : x ✏ α2,
admet alors une unique solution x dans X✆ ✏ C1♣I✆, KNq. De plus, ❇t1t2x et❇t2t1x existent, sont continues et égales sur I✆✏ rt✆1, t✆1 Ts ✂ rt✆2, t✆2 Ts.
Démonstration. Construisons l’application U✆: X✆ Ñ X✆ donnée pour tout yP X✆ par : ❅ t P I✆, U✆♣yq♣tq :✏ α1♣t2q α2♣t1q ✁ α0
➻
I♣t✆,tq
f♣❇t1y,❇t2yq , où l’on note I♣t✆, tq :✏ rt✆
1, t1s ✂ rt✆2, t2s ❸ I✆. Elle est bien définie puisque les fonctions t ÞÑ α1♣t2q α2♣t1q✁α0et tÞÑ➫I♣t✆,tqf♣❇t1y,❇t2yq sont dans X✆. L’équation (5.6) est alors équivalente au problème de point fixe x✏ U✆♣xq. Ainsi, dès que l’on aura montré que U✆ est strictement contractante, on pourra conclure avec le théorème de point fixe de Banach (voir le théorème21
de l’annexeC). Ce dernier point se justifie par les calculs suivants : pour tout y, zP X✆, on a que ❅ t P I✆, ⑤U✆♣yq♣tq ✁ U✆♣zq♣tq⑤N,✽✏✞✞✞✞ ➻ I♣t✆,tq ✏ f♣❇t1y,❇t2yq ✁ f ♣❇t1z,❇t2zq✘✞✞✞✞ N,✽ ↕ L ➻ I✆ ⑤❇t1♣y ✁ zq⑤N,✽❴ ⑤❇t2♣y ✁ zq⑤N,✽ ↕ LT2⑥y ✁ z⑥X ✆,✽.
Il en découle cette première majoration : ⑥U✆♣yq ✁ U✆♣zq⑥
I✆,✽↕ LT2⑥y ✁ z⑥X✆,✽. (✍)
De la même manière on voit que❅ t P I✆, ⑤❇t1U✆♣yq♣tq ✁ ❇t1U✆♣zq♣tq⑤N,✽✏ ✞✞ ✞✞➺t2 t✆2 ✏ f♣❇t1y,❇t2yq ♣t1, sq ✁ f ♣❇t1z,❇t2zq ♣t1, sq ✘ ds✞✞✞✞ N,✽ ↕ L ➺t✆2 T t✆2 ⑤❇t1♣y ✁ zq♣t1, sq⑤N,✽❴ ⑤❇t2♣y ✁ zq♣t1, sq⑤N,✽ ds ↕ LT ⑥y ✁ z⑥X✆,✽,
entrainant cette seconde majoration :
⑥❇t1♣U✆♣yq ✁ U✆♣zqq⑥I✆,✽↕ LT ⑥y ✁ z⑥X✆,✽. (✍✍) On obtient par symétrie une dernière majoration :
⑥❇t2♣U
✆♣yq ✁ U✆♣zqq⑥
I✆,✽↕ LT ⑥y ✁ z⑥X✆,✽. (✍ ✍ ✍)
Enfin, on peut conclure de (✍), (✍✍) et (✍ ✍ ✍) que
⑥U✆♣yq ✁ U✆♣zq⑥X✆,✽↕ L T ❴ T2
✟
⑥y ✁ z⑥X✆,✽.
Comme T est, par hypothèse, strictement inférieur à L✁1❴ L✁1④2, l’application U✆ est bien strictement contractante, ce qui termine ainsi la preuve.
Avec le lemme précédent, on en déduit le théorème suivant.
Théorème 12. Supposons que la fonction f qui définit (FM-C✆-Mod) soit globalement L- lipschitzienne. Alors le modèle non-linéaire 2D de Fornasini - Marchesini (FM-C✆-Mod) admet une unique solution x dans C1♣♣R q2, KNq. De plus, ❇
t1t2x et ❇t2t1x existent, sont continues et égales.
Démonstration. Il suffit d’adapter la démonstration du théorème 11de la section précédente en utilisant le lemme 12 à la place du lemme11. Les histoires de recollement de solutions sont en fait simplifiées puisque l’espace KN n’est ici pas divisé en KN1 et KN2, donc il n’y a pas besoin de décomposer la solution en x1 et x2.
5.3 Cas localement lipschitzien
Cette partie a été présentée lors de la conférence 9th International Workshop on Multidimen- sional Systems 2015, au Portugal (voir [45]).
Dans la section précédente, nous avons regardé le cas où la fonction f qui définit le modèle de Roesser est globalement lipschitzienne. Malheureusement, cette supposition est restrictive et ne permet pas d’appliquer le théorème11 d’existence et d’unicité dans beaucoup de situations. Nous allons donc ici relaxer cette hypothèse et démontrer un second théorème qui nous donnera des solutions cette fois-ci locales. Dans un second temps, nous aborderons la problématique qui consiste à étendre le domaine d’existence autant que possible. Pour cela, nous suivrons globalement le même cheminement que précédemment, en utilisant de nouveau le théorème de point fixe de Banach. Pour être un peu plus général, à partir de maintenant, nous ne supposerons plus le système autonome, ni le fait que f soit définie sur tout ♣R q2.
5.3.1 Théorème d’existence et d’unicité 5.3.1.1 Cadre du problème
Soit f ✏ ♣f1, f2q : I ✂ KN Ñ KN une application continue, où I :✏ I1✂ I2 ⑨ ♣R q2 est un produit de deux intervalles ouverts de R (pour la topologie induite par celle de R). Considérons le système de Roesser continu, 2D, non-autonome, non-linéaire suivant :
❅ t P I, ✄ ❇t1x1♣tq ❇t2x2♣tq ☛ ✏ f t, x1♣tq, x2♣tq✟. (R-C✆-Mod 2)
Soient Ψ1 : R Ñ KN1 et Ψ2 : R Ñ KN2 deux fonctions continues fixées et t✆ :✏ ♣t✆
1, t✆2q un point de I. On regardera l’équation (R-C✆-Mod 2) soumise aux conditions initiales
❅ ♣t1, t2q P I, x1♣t✆1, t2q ✏ Ψ1♣t2q et x2♣t1, t✆2q ✏ Ψ2♣t1q. (CIR2 2) Dans la suite, nous supposerons également que la fonction f satisfait la définition suivante : Définition 16. La fonction f : I✂ KN ÝÑ KN est dite localement lipschitzienne en la deuxième
variable si pour tout♣t✆, x✆q P I ✂ KN, il existe une constante (de Lipschitz) L✆ → 0, ainsi qu’un
voisinage30 Ω✆⑨ I ✂ KN de ♣t✆, x✆q, tels que pour tout t P I et y, z P KN,